第5讲 函数的图象及应用讲义——2025届高三数学一轮复习

第5讲 函数的图象及应用 课标要求； 1.了解函数的实际意义，能借助图象理解参数 , ,的意义，了解参数的变化对函数图象变化的影响. 2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 考情分析； 函数的图象、图象变换以及由图象求解析式，尤其是函数的图象与性质的综合应用是考查的热点，预测2025年高考的热点仍是此内容，以中档题为主，可能会与三角函数式的求值、化简相结合. 理一理 1. 函数 的有关概念 振幅 周期 频率 相位 初相 ①   2. 用五点法画 一个周期内的简图时，要找五个特征点 ②   ③   ④   ⑤   ⑥   0 0 0 0 3.函数 的图象经变换得到 的图象的两种方法 ［提醒］ （1）两种变换的区别：①先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是 个单位长度；②先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是 个单位长度； （2）变换的注意点：无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量 而言的，即图象变换要看“自变量”发生多大变化，而不是看角“ ”的变化. 记一记 1.函数的图象平移的规律为“左加右减，上加下减”. 2.由到的变换：向左平移个单位长度而非 个单位长度. 3.若函数的最大值为，最小值为，则，. 用一用 1. 若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为 2. 如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式为 核心考点⇄师生共研 考点一 函数的图象及变换 例1 已知函数. （1） 作出在上的图象； （2） 函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？ 解题技法 的图象的两种作法 函数 五点法 设,由取0,,,,来求出相应的,通过列表,计算得出五点坐标,描点连线后得出图象 图象变换法 由函数的图象通过变换得到的图象,有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移” ［注意］ 平移变换和伸缩变换都是针对而言,即本身加减多少值,而不是加减多少值. 对点训练 1. 已知函数,若将的图象向右平移个单位长度后,再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）,得到函数的图象,则（ ） A. B. C. D. 2. [2024·山东淄博模拟]已知函数的图象与轴的两个相邻交点间的距离为，要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 考点二 由图象确定的解析式（链接高考） 例2 [2023·新课标Ⅱ卷]已知函数，如图,，是直线与曲线的两个交点，若，则 ． 【考题变式】 1. （条件变式）如图，函数,的图象与轴的交点为，与直线,的交点分别为，，，.若梯形的面积为 ，则 2. （同类变式）已知函数，如图点，和，关于点对称，若，则 解题技法 根据三角函数的图象求解析式,重在对, , 的理解,主要从以下三个方面考虑: （1）根据最大值或最小值求出的值. （2）根据最小正周期求出 的值. （3）求 的常用方法：①代入法，把图象上的一个已知点的坐标代入（此时要注意该点的位置）或把图象的最高点或最低点的坐标代入.②五点法，确定 的值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口. 对点训练 1. 如图，已知函数的部分图象与坐标轴分别交于点，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 考点三 三角函数图象与性质的综合应用 角度1 三角函数图象与性质的综合 例3 [2024·重庆模拟]（多选）已知（其中，）的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 函数在区间上单调递减 D. 若，且，则 解题技法 解决三角函数图象与性质的综合问题的关键 首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性）. 角度2 函数的零点（方程根）问题 例4 已知将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若是函数的一个零点，则 的最小值是 解题技法 巧用图象解决三角函数中的零点（方程根）问题 解决三角函数中的零点（方程根）问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后再将方程根的问题转化为图象的交点问题，利用数形结合思想解决. 角度3 三角函数模型的应用 例5 （多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）.一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图3中点）开始计时，则下列结论正确的是（ ） A. 点再次进入水中时用时30秒 B. 当水轮转动50秒时，点处于最低点 C. 当水轮转动150秒时，点距离水面2米 D. 点第二次到达距水面米时用时25秒 解题技法 利用三角函数模型解决实际问题的步骤 （1）寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型. （2）寻找数据，建立函数解析式进行解题. （3）将所得结果“翻译”成实际答案，要注意根据实际作答. 解题思路如下： 对点训练 1. 已知函数在上有4个零点，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 2. （多选）已知函数，先将的图象上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的最小正周期为 D. 在区间上单调递减 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 函数在区间上的简图是 （ ） A. B. C. D. 2. 把函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,则 的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. （人教A版必修第一册 图5.4-11改编）正切函数的图象可以看作一组平行曲线,具有性质：直线（为常数）与相邻曲线交点之间的距离都相等.若直线与相邻两交点间的距离为,则在区间内的最大值与最小值之和为（ ） A. B. C. D. 4. [2024·安徽合肥模拟]将函数图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到曲线.若曲线关于轴对称，则 的值为（ ） A. B. C. D. 5. [2024·广东模拟]（多选）如图，弹簧下端悬挂着的小球做上、下运动（忽略小球的大小），它在（单位：）时相对于平衡位置的高度（单位：）可以由确定,则下列说法中正确的是（ ） A. 小球运动的最高点与最低点的距离为 B. 小球经过往复运动一次 C. 当时，小球是自下往上运动 D. 当时,小球到达最低点 6. 将函数的图象向右平移个单位长度,则平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是 7. [2024·云南昆明模拟]已知，的部分图象如图所示，，为的图象上两点，则 8. 将函数的图象向左平移个单位长度,再把所得的图象保持纵坐标不变,横坐标伸长到原来的4倍得到的图象,则的解析式是  ;函数在区间上的值域是 9. 某实验室一天的温度（单位:）随时间（单位:）的变化近似满足函数关系： ,. （1） 求实验室这一天的最大温差； （2） 若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？ B 综合运用 10. [2024·福建泉州模拟]如图，函数的部分图象与轴交于点，与轴交于点，其最高点为.若，则的值为 （ ） A. B. C. D. 2 11. 如图，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成直二面角，若点，之间的空间距离为，则  . 12. [2024·山东济南模拟]已知函数在上的值域为，则 的取值范围为 13. [2024·江苏南京模拟]已知，. （1） 若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求的值； （2） 若函数的图象关于点对称，且函数在上单调，求 的值. C 素养提升 14. 已知函数,,的部分图象如图所示. （1） 求函数的解析式及的单调递增区间； （2） 把函数图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变）,再向左平移个单位长度,得到函数的图象,求关于的方程在上所有的实数根之和. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5讲 函数的图象及应用 课标要求； 1.了解函数的实际意义，能借助图象理解参数 , ,的意义，了解参数的变化对函数图象变化的影响. 2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 考情分析； 函数的图象、图象变换以及由图象求解析式，尤其是函数的图象与性质的综合应用是考查的热点，预测2025年高考的热点仍是此内容，以中档题为主，可能会与三角函数式的求值、化简相结合. 理一理 1. 函数 的有关概念 振幅 周期 频率 相位 初相 ①   2. 用五点法画 一个周期内的简图时，要找五个特征点 ②   ③   ④   ⑤   ⑥   0 0 0 0 3.函数 的图象经变换得到 的图象的两种方法 ［提醒］ （1）两种变换的区别：①先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是 个单位长度；②先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是 个单位长度； （2）变换的注意点：无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量 而言的，即图象变换要看“自变量”发生多大变化，而不是看角“ ”的变化. 记一记 1.函数的图象平移的规律为“左加右减，上加下减”. 2.由到的变换：向左平移个单位长度而非 个单位长度. 3.若函数的最大值为，最小值为，则，. 用一用 1. 若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为 [解析]将函数 的图象向左平移 个单位长度后所得到的函数图象对应的解析式为. 2. 如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式为 [解析]从题图中可以看出，从 时的图象是函数 的半个周期，所以，，，所以,又，所以.又 ，, ，所以，所以，. 核心考点⇄师生共研 考点一 函数的图象及变换 例1 已知函数. （1） 作出在上的图象； 【解】因为， 所以. 列表如下： 0 1 2 0 0 1 描点、连线得 在 上的图象如图所示. （2） 函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？ [答案]将 的图象上的所有点向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，再将 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数 的图象，再将 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数 的图象. 解题技法 的图象的两种作法 函数 五点法 设,由取0,,,,来求出相应的,通过列表,计算得出五点坐标,描点连线后得出图象 图象变换法 由函数的图象通过变换得到的图象,有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移” ［注意］ 平移变换和伸缩变换都是针对而言,即本身加减多少值,而不是加减多少值. 对点训练 1. 已知函数,若将的图象向右平移个单位长度后,再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）,得到函数的图象,则（ ） A. B. C. D. [解析]选.将函数 的图象向右平移 个单位长度,可得函数 的图象; 再把 图象上所有点的横坐标伸长到原来2倍（纵坐标不变）得到函数 的图象. 2. [2024·山东淄博模拟]已知函数的图象与轴的两个相邻交点间的距离为，要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 [解析]选.由题意得，则，所以，.所以只需将函数 的图象向左平移 个单位长度即可得到函数 的图象.故选. 考点二 由图象确定的解析式（链接高考） 例2 [2023·新课标Ⅱ卷]已知函数，如图,，是直线与曲线的两个交点，若，则 ． ［分析及溯源］ 本题考查三角函数的图象与性质，考查函数的零点与三角函数的诱导公式，求三角函数的值.试题源于教材人教A版必修第一册练习和综合运用. [解析]对比正弦函数 的图象易知，点 为“五点（画图）法”中的第五点，所以 由题知,两式相减，得，即,解得. 代入①，得,所以， 所以. 【考题变式】 1. （条件变式）如图，函数,的图象与轴的交点为，与直线,的交点分别为，，，.若梯形的面积为 ，则 [解析]如图，设 的图象与 轴交于点，，根据对称性知，是梯形 的中位线.由题意得 , 即 ,所以. 因此, ,, 故. 又, 即,得. 因为,,所以, 所以. . 2. （同类变式）已知函数，如图点，和，关于点对称，若，则 [解析]由题意及题图得，， 所以 ，. 同理 ，， 所以， ，，所以， 解得，所以. 又点 在曲线 上， 所以, 所以 ,, 即 ,. 因为 ，所以, 所以. 解题技法 根据三角函数的图象求解析式,重在对, , 的理解,主要从以下三个方面考虑: （1）根据最大值或最小值求出的值. （2）根据最小正周期求出 的值. （3）求 的常用方法：①代入法，把图象上的一个已知点的坐标代入（此时要注意该点的位置）或把图象的最高点或最低点的坐标代入.②五点法，确定 的值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口. 对点训练 1. 如图，已知函数的部分图象与坐标轴分别交于点，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. [解析]选.在 中，令，可得，所以，令，则 ，解得，故,.所以 的面积为. 2. 函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 [解析]根据题图，可得，即，解得.点 是五点作图的第二个点，则，解得，满足，所以. 考点三 三角函数图象与性质的综合应用 角度1 三角函数图象与性质的综合 例3 [2024·重庆模拟]（多选）已知（其中，）的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 函数在区间上单调递减 D. 若，且，则 [解析]由题图可知 为 的最小正周期），则，又，所以，则，所以选项 错误；，因为点 在函数 的单调递减的图象上，所以 ，，所以 ，，因为，所以，所以选项 正确；，若，则，所以函数 在区间 上单调递减，所以选项 正确；若，则，即，所以，因为，所以 ，即，所以，所以选项 正确.故选. 解题技法 解决三角函数图象与性质的综合问题的关键 首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性）. 角度2 函数的零点（方程根）问题 例4 已知将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若是函数的一个零点，则 的最小值是 [解析]由题意，可知函数 的图象向左平移 个单位长度，可得函数 的图象，所以. 因为 是函数 的一个零点，所以， 即,所以, 所以 或,解得 或. 因为，所以当 时， 的最小值是 ； 当 时， 的最小值是. 综上， 的最小值是. 解题技法 巧用图象解决三角函数中的零点（方程根）问题 解决三角函数中的零点（方程根）问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后再将方程根的问题转化为图象的交点问题，利用数形结合思想解决. 角度3 三角函数模型的应用 例5 （多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）.一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图3中点）开始计时，则下列结论正确的是（ ） A. 点再次进入水中时用时30秒 B. 当水轮转动50秒时，点处于最低点 C. 当水轮转动150秒时，点距离水面2米 D. 点第二次到达距水面米时用时25秒 [解析]由题意，角速度（弧度/秒），又由水轮的半径为2米，且圆心 距离水面1米，可知半径 与水面所成角为，点 再次进入水中用时为（秒），故 错误； 当水轮转动50秒时，半径 转动了（弧度），而，点 正好处于最低点，故 正确； 建立如图所示的平面直角坐标系， 设点 距离水面的高度 ， 由 得 又角速度（弧度/秒）， 当 时，， 所以，， 所以点 距离水面的高度，当水轮转动150秒时，将 代入，得，所以此时点 距离水面2米，故 正确； 将 代入 中， 得 或， 即 或. 所以点 第二次到达距水面 米时用时25秒，故 正确. 解题技法 利用三角函数模型解决实际问题的步骤 （1）寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型. （2）寻找数据，建立函数解析式进行解题. （3）将所得结果“翻译”成实际答案，要注意根据实际作答. 解题思路如下： 对点训练 1. 已知函数在上有4个零点，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. [解析]选.由于，令 得 或，作出 和 的图象（如图）， 由于 在 上有4个零点，则，所以实数 的最大值为.故选. 2. （多选）已知函数，先将的图象上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的最小正周期为 D. 在区间上单调递减 [解析]选.将 的图象上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，可得到函数 的图象，再将所得图象向右平移 个单位长度，可得到函数 的图象，错误；，正确；函数 的最小正周期 ，正确；当 时，,易知函数 在区间 上单调递减,正确. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 函数在区间上的简图是 （ ） A. B. C. D. [解析]选.令 得，排除,选项;由,，排除 选项，经检验，符合题意.故选. 2. 把函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,则 的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. [解析]选.把函数 图象上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数 的图象,故 的值为. 3. （人教A版必修第一册 图5.4-11改编）正切函数的图象可以看作一组平行曲线,具有性质：直线（为常数）与相邻曲线交点之间的距离都相等.若直线与相邻两交点间的距离为,则在区间内的最大值与最小值之和为（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题可知,,则,,因为，所以,故,函数 在区间 内的最大值与最小值之和为. 4. [2024·安徽合肥模拟]将函数图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到曲线.若曲线关于轴对称，则 的值为（ ） A. B. C. D. [解析]选.将函数 图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象对应的函数解析式为，再将所得到的图象向左平移 个单位长度得到曲线，则曲线 对应的函数解析式为,又曲线 关于 轴对称，所以，，则，又,所以.故选. 5. [2024·广东模拟]（多选）如图，弹簧下端悬挂着的小球做上、下运动（忽略小球的大小），它在（单位：）时相对于平衡位置的高度（单位：）可以由确定,则下列说法中正确的是（ ） A. 小球运动的最高点与最低点的距离为 B. 小球经过往复运动一次 C. 当时，小球是自下往上运动 D. 当时,小球到达最低点 [解析]选.由 可知,小球运动的最高点与最低点的距离为,错误;最小正周期,正确;当 时,,小球先向上运动,再向下运动,错误;当 时,,小球到达最低点,正确.故选. 6. 将函数的图象向右平移个单位长度,则平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是 [解析]将函数 的图象向右平移 个单位长度后所得图象对应的函数解析式为. 由 ,,得,, 当 时,对称轴方程为,当 时,对称轴方程为,故平移后的图象中与 轴最近的对称轴的方程是. 7. [2024·云南昆明模拟]已知，的部分图象如图所示，，为的图象上两点，则 [解析]将，代入，得 结合题图及，,得 解得 所以, 所以. 8. 将函数的图象向左平移个单位长度,再把所得的图象保持纵坐标不变,横坐标伸长到原来的4倍得到的图象,则的解析式是  ;函数在区间上的值域是 [解析]由题意,把 的图象的横坐标变为原来的,纵坐标不变,可得 的图象,再把所得图象向右平移 个单位长度,可得 的图象.故 的解析式是.当 时,,则. 9. 某实验室一天的温度（单位:）随时间（单位:）的变化近似满足函数关系： ,. （1） 求实验室这一天的最大温差； 解： ， 因为，所以， . 故， 于是 在 上的最大值为12,最小值为8. 故实验室这一天最高温度为,最低温度为,最大温差为. （2） 若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？ [答案] 依题意,当 时实验室需要降温. 由（1）得, 故有,即. 又因为,因此, 即. 所以若要求实验室温度不高于,则在 至 时实验室需要降温. B 综合运用 10. [2024·福建泉州模拟]如图，函数的部分图象与轴交于点，与轴交于点，其最高点为.若，则的值为 （ ） A. B. C. D. 2 [解析]选.设 的最小正周期为，依题意，得，所以，又，所以 .将点 代入，又，得，所以 ，，又 ，所以，所以.易得，则，，因为，所以，即，解得 或（舍去）.故选. 11. 如图，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成直二面角，若点，之间的空间距离为，则  . [解析]由题设并结合题图可知， ,得,又，则, 所以. 12. [2024·山东济南模拟]已知函数在上的值域为，则 的取值范围为 [解析]因为，所以当 时，，又函数 在 上的值域为，所以结合正弦函数的图象（图略）可知，，解得，即 的取值范围为. 13. [2024·江苏南京模拟]已知，. （1） 若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求的值； 解：， 因为函数 图象的两条相邻对称轴之间的距离为，所以，则 ，所以 ，解得， 所以， 所以. （2） 若函数的图象关于点对称，且函数在上单调，求 的值. [答案] 由（1）知，因为函数 的图象关于点 对称，所以 ，,所以，. 由，， 得, 因为 在 上单调，所以 解得,所以取,则. C 素养提升 14. 已知函数,,的部分图象如图所示. （1） 求函数的解析式及的单调递增区间； 解：由题图知,,最小正周期 , 所以. 因为点 在函数 的图象上, 所以, 即. 又因为, 所以,所以,从而. 故函数 的解析式为. 令,, 得,, 故 的单调递增区间为,. （2） 把函数图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变）,再向左平移个单位长度,得到函数的图象,求关于的方程在上所有的实数根之和. [答案] 依题意得. 因为 的最小正周期 , 所以 在 内有2个周期. 令,得, 即函数 的图象的对称轴为直线. 由,得. 又, 所以 在 内有4个实数根. 将实数根从小到大依次设为,则,. 所以关于 的方程 在 上所有的实数根之和为. 学科网（北京）股份有限公司 $$