第3讲 第1课时三角恒等变换讲义——2025届高三数学一轮复习

第3讲 第1课时三角恒等变换 课标要求； 1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 3.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 考情分析； 三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数式的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变形运用.预计2025年高考可能单独考查，也可能与三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查，选择题、填空题、解答题均有可能出现，属中、低档难度. 理一理 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ［提醒］ 二倍角公式实际上就是由两角和公式中令 所得.逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现. 记一记 1.升幂、降幂公式 , . ,. 2.公式的常用变形 ， , , . ， ， 若，则. 用一用 1. 已知,则（ ） A. 3 B. C. D. 2. 求值： 第1课时 两角和、差及倍角公式 核心考点⇄师生共研 考点一 三角公式的基本应用 例1 （1） [2024·云南昆明“三诊一模”]已知，则（ ） A. B. C. D. （2） 若，且 ，，则 解题技法 利用三角函数公式解题时应注意的问题 （1）首先要注意公式的结构特点和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号相反”. （2）应注意同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用. （3）应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用. 对点训练 1. 已知角 的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 2. 考点二 三角公式的逆用与变形应用 例2 （1） [2022·新高考Ⅱ卷]若 ，则（ ） A. B. C. D. （2） 解题技法 三角函数公式逆用和变形应用的注意点 （1）三角函数公式逆用或变形应用时，一定要注意公式成立的条件和角之间的关系; （2）注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值”变“角”，以便构造出适合公式的形式. 对点训练 1. （ ） A. B. C. D. 2 2. 已知 , ,， , ，则下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 考点三 变换求值 角度1 三角公式中变“角” 例3 （1） 已知 ，，若，则（ ） A. B. C. D. （2） 若，，则（ ） A. B. C. D. 角度2 三角公式中变“名” 例4 已知，，则 解题技法 三角公式应用的解题思路 （1）角的变换：明确各个角之间的关系（包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角），熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化，如： ， ，,等. （2）名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常用到同角关系或诱导公式，把正弦函数、余弦函数化为正切函数，或者把正切函数化为正弦函数、余弦函数. 对点训练 已知 ，，，则 ， 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知,且 为第四象限角，则（ ） A. B. C. D. 3. [2024·湖南长沙模拟]设 ，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. （多选）下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. （人教A版必修第一册 例3改编）已知,且,则 7. 化简： 8. 已知，，则 9. 已知 ， 都是锐角，，.求： （1） 的值； （2） 的值. B 综合运用 10. 已知，则实数（ ） A. B. C. D. 11. 已知角 的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点为角 终边上的一点，将角 的终边逆时针旋转得到角 的终边，则（ ） A. B. C. D. 2 12. 1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法，要用尺规作出正十七边形就要将圆十七等分，高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为 ，则 13. 已知,,.求： （1） 的值； （2） 的值. C 素养提升 14. 已知，. （1） 证明：； （2） 计算的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3讲 第1课时三角恒等变换 课标要求； 1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 3.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 考情分析； 三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数式的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变形运用.预计2025年高考可能单独考查，也可能与三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查，选择题、填空题、解答题均有可能出现，属中、低档难度. 理一理 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ［提醒］ 二倍角公式实际上就是由两角和公式中令 所得.逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现. 记一记 1.升幂、降幂公式 , . ,. 2.公式的常用变形 ， , , . ， ， 若，则. 用一用 1. 已知,则（ ） A. 3 B. C. D. [解析]选.原式 .故选. 2. 求值： [解析]因为 . 所以. 第1课时 两角和、差及倍角公式 核心考点⇄师生共研 考点一 三角公式的基本应用 例1 （1） [2024·云南昆明“三诊一模”]已知，则（ ） A. B. C. D. [解析]因为，所以.故选. （2） 若，且 ，，则 [解析]由题意可得，于是， 故. 解题技法 利用三角函数公式解题时应注意的问题 （1）首先要注意公式的结构特点和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号相反”. （2）应注意同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用. （3）应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用. 对点训练 1. 已知角 的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. [解析]选.由三角函数的定义，得 , ， 则 . 2. [解析]因为 , 所以原式. 考点二 三角公式的逆用与变形应用 例2 （1） [2022·新高考Ⅱ卷]若 ，则（ ） A. B. C. D. [解析]由题意得 ,整理得，即，所以.故选. （2） [解析]. 解题技法 三角函数公式逆用和变形应用的注意点 （1）三角函数公式逆用或变形应用时，一定要注意公式成立的条件和角之间的关系; （2）注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值”变“角”，以便构造出适合公式的形式. 对点训练 1. （ ） A. B. C. D. 2 [解析]选.故选. 2. 已知 , ,， , ，则下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题意知, , , 将两式分别平方并相加，得 , 所以,故,错误; 因为 , ,， 所以, 所以 ,即 ，所以, 所以,故 正确，错误.故选. 考点三 变换求值 角度1 三角公式中变“角” 例3 （1） 已知 ，，若，则（ ） A. B. C. D. [解析]因为 ,，所以，，，所以，因此.故选. （2） 若，，则（ ） A. B. C. D. [解析]因为, 所以， 所以.故选. 角度2 三角公式中变“名” 例4 已知，，则 [解析]由题意可得 ， 则，即. 因为，， 所以，， 根据同角三角函数基本关系式，可得， 所以原式 . 解题技法 三角公式应用的解题思路 （1）角的变换：明确各个角之间的关系（包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角），熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化，如： ， ，,等. （2）名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常用到同角关系或诱导公式，把正弦函数、余弦函数化为正切函数，或者把正切函数化为正弦函数、余弦函数. 对点训练 已知 ，，，则 ， [解析]因为，且， 所以,， 由 ，得 ， 又因为，则， 所以 . 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. （ ） A. B. C. D. [解析]选. 2. 已知,且 为第四象限角，则（ ） A. B. C. D. [解析]选.由 可得，即，因为 为第四象限角，所以，所以.故选. 3. [2024·湖南长沙模拟]设 ，则（ ） A. B. C. D. [解析]选，即，所以，即，所以.故选. 4. 已知，，，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. [解析]选.因为，，所以，故，所以，故，因此.故选. 5. （多选）下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. [解析]选.因为，故 正确； ，故 正确； ，故 正确； 因为， 所以，故 错误.故选. 6. （人教A版必修第一册 例3改编）已知,且,则 [解析]由题意得, 所以， 则. 7. 化简： [解析]. 8. 已知，，则 [解析]因为，， 所以， ， 所以，, 所以， 所以. 9. 已知 ， 都是锐角，，.求： （1） 的值； 解：因为 ， 都是锐角，所以， 又， 故. （2） 的值. [答案] 因为，且 为锐角，所以， 所以. B 综合运用 10. 已知，则实数（ ） A. B. C. D. [解析]选.由已知可得，， 则 ，即 ,所以.故选. 11. 已知角 的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点为角 终边上的一点，将角 的终边逆时针旋转得到角 的终边，则（ ） A. B. C. D. 2 [解析]选.由题可知， 所以， 则原式 .故选. 12. 1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法，要用尺规作出正十七边形就要将圆十七等分，高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为 ，则 [解析]由题意得, 所以 . 13. 已知,,.求： （1） 的值； 解：因为,所以, 又， 所以， 所以. （2） 的值. [答案] 因为, 所以, 又, 所以， 所以 . C 素养提升 14. 已知，. （1） 证明：； 证明：方法一：由条件， , 得， 即 , 整理得 , 即 ，得证. 方法二：由条件，, 即， ， 得，， 从而可得 ，得证. （2） 计算的值. 解：由（1）知. 由， 可得， 所以 . 学科网（北京）股份有限公司 $$