第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念讲义——2025届高三数学一轮复习

第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念 课标要求 1.了解任意角、弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 考情分析； 本讲内容高考一般不直接考查，但它是后续各讲学习的基础，是学习三角函数必须掌握的基本功. 预计2025年高考可能会与同角三角函数的基本关系及三角恒等变换结合考查. 理一理 1. 角的概念的推广 （1）定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. （2） 分类：按旋转方向，角可以分成三类： ①正角、负角和②零角. （3） 终边相同的角:所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合③， ，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和. ［提醒］ 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同. 2. 弧度制的定义和公式 （1） 定义：长度等于④半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号表示，读作弧度. （2） 公式 角 的弧度数公式 （表示弧长） 角度与弧度的换算 ; ⑤   弧长公式 ⑥   扇形面积公式 ⑦   ［提醒］ 角度与弧度换算的关键是 ，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用. 3. 任意角的三角函数 （1）定义：设 是一个任意角，，它的终边与单位圆相交于点,那么⑧  ,⑨   ,⑩  . （2）定义的推广:设是角 的终边上异于顶点的任意一点，其到原点的距离为,则,,. （3）三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图. 记一记 1.象限角的集合 2.轴线角的集合 3. 所在象限与 所在象限的关系 所在象限 一 二 三 四 所在象限 一、三 一、三 二、四 二、四 用一用 1. 角的终边所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知 为第一象限角，且,则的终边在第 象限. 核心考点⇄师生共研 考点一 任意角与终边相同的角 例1 （多选）下列命题正确的是（ ） A. 终边落在轴的非负半轴的角的集合为 ,} B. 终边落在轴上的角的集合为 ,} C. 第三象限角的集合为 D. 在 范围内所有与 角终边相同的角为 和 解题技法 （1）象限角的判断方法 ①图象法:在平面直角坐标系中作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角. ②转化法:将已知角化为的形式,即找出与已知角终边相同的角 ,由 所在象限判断已知角所在象限. （2）确定 , 的终边位置的步骤 ①用终边相同的角的形式表示出角 的范围. ②写出 或的范围. ③根据的可能取值确定 或的终边所在的位置. 对点训练 1. 集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ） A. B. C. D. 2. 若 是第二象限角,则（ ） A. 是第一象限角 B. 是第三象限角 C. 是第二象限角 D. 是第三或第四象限角或在轴的负半轴上 考点二 扇形的弧长及面积公式 例2 已知一扇形的圆心角为,弧长为,周长为,面积为,半径为. （1） 若 ,,求扇形的弧长; （2） 若,求的最大值及此时扇形的半径和圆心角. 解题技法 应用弧度制解决问题的思路 （1）求扇形面积最大值的问题时，常转化为利用二次函数或基本不等式求最值问题； （2）在解决弧长问题、扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. ［注意］ 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度. 对点训练 1. 已知一扇形的弧长为,面积为,则其半径2,圆心角 2. 已知一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆的周长的比为 考点三 三角函数的定义及其应用 角度1 三角函数的定义 例3 已知角 的终边上一点,且,则  , 解题技法 三角函数定义的应用 （1）已知角 的终边上一点的坐标，可先求出点到原点的距离,然后利用三角函数的定义求解. （2）已知角 的终边所在的直线方程，可先设出终边上一点的坐标，求出此点到坐标原点的距离，再利用三角函数的定义求解，应注意分情况讨论. ［注意］ 若角的终边在一条直线上，用参数设点的坐标时，要注意参数的取值范围. 角度2 三角函数值符号的判定 例4 （1） 点落在（ ） A. 第一象限内 B. 第二象限内 C. 第三象限内 D. 第四象限内 （2） 若角 是第四象限角，则 三角函数值符号的判断方法 要判断三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号.如果角不能确定所在象限，那就要分类讨论进行求解. 对点训练 1. 已知点是角 的终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 2. （多选）已知角 的终边经过点,且 与 的终边关于轴对称，则下列选项正确的是 （ ） A. B. 为钝角 C. D. 点在第一象限 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为（ ） A. B. C. D. 2. （人教A版必修第一册 例6改编）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. （人教A版必修第一册 改编）若角 满足,,则 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 若 是第一象限角，则 是第四象限角 B. 若 ， 是第一象限角，且 ，则 C. 若圆心角为的扇形的弧长为 ，则该扇形的面积为 D. 若扇形的圆心角为,圆心角所对的弦长为，则该扇形的弧长为 6. 若 ,角 与 终边相同，且 ,则 7. 已知角 的终边过点，且,则 8. 用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内（含边界）的角 的集合是 9. 如图，在平面直角坐标系中，角 的始边与轴的非负半轴重合且与单位圆交于点，它的终边与单位圆交于轴上方的一点,始边不动，终边在运动. （1） 若点的横坐标为，求 的值； （2） 若为等边三角形，写出与角 终边相同的角 的集合. B 综合运用 10. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形.如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形中较小的锐角为 ,则 的值为（ ） A. B. C. D. 11. （多选）已知点在第一象限，则在内角 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. （多选）如图，，是单位圆上的两个质点，点的坐标为,,质点以 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点以的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（ ） A. 经过后，的弧度数为 B. 经过后，扇形的弧长为 C. 经过后，扇形的面积为 D. 经过后，，在单位圆上第一次相遇 13. 已知且有意义. （1） 试判断角 是第几象限角； （2） 若角 的终边上有一点,且为坐标原点），求实数的值及 的值. C 素养提升 14. 在一块顶角为 ，腰长为2的等腰三角形厚钢板废料中用电焊切割出一个扇形，如图，现有两种方案，既要充分利用废料，又要使切割时间最短，问哪一种方案最优？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念 课标要求 1.了解任意角、弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 考情分析； 本讲内容高考一般不直接考查，但它是后续各讲学习的基础，是学习三角函数必须掌握的基本功. 预计2025年高考可能会与同角三角函数的基本关系及三角恒等变换结合考查. 理一理 1. 角的概念的推广 （1）定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. （2） 分类：按旋转方向，角可以分成三类： ①正角、负角和②零角. （3） 终边相同的角:所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合③， ，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和. ［提醒］ 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同. 2. 弧度制的定义和公式 （1） 定义：长度等于④半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号表示，读作弧度. （2） 公式 角 的弧度数公式 （表示弧长） 角度与弧度的换算 ; ⑤   弧长公式 ⑥   扇形面积公式 ⑦   ［提醒］ 角度与弧度换算的关键是 ，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用. 3. 任意角的三角函数 （1）定义：设 是一个任意角，，它的终边与单位圆相交于点,那么⑧  ,⑨   ,⑩  . （2）定义的推广:设是角 的终边上异于顶点的任意一点，其到原点的距离为,则,,. （3）三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图. 记一记 1.象限角的集合 2.轴线角的集合 3. 所在象限与 所在象限的关系 所在象限 一 二 三 四 所在象限 一、三 一、三 二、四 二、四 用一用 1. 角的终边所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 [解析]选.因为,所以角 与角 是终边相同的角，又 ,所以角 的终边在第四象限，即角 的终边在第四象限. 2. 已知 为第一象限角，且,则的终边在第 象限. [解析]因为 为第一象限角，所以 为第一或第三象限角，又，所以,所以 的终边在第三象限. 核心考点⇄师生共研 考点一 任意角与终边相同的角 例1 （多选）下列命题正确的是（ AD ） A. 终边落在轴的非负半轴的角的集合为 ,} B. 终边落在轴上的角的集合为 ,} C. 第三象限角的集合为 D. 在 范围内所有与 角终边相同的角为 和 [解析] 显然正确;对于,终边落在 轴上的角的集合为,角度与弧度不能混用,故 错误;对于,第三象限角的集合为 ,,故 错误;对于,所有与 角终边相同的角可表示为 ,,令 ,,解得,,从而当 时, ;当 时,,故 正确. 解题技法 （1）象限角的判断方法 ①图象法:在平面直角坐标系中作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角. ②转化法:将已知角化为的形式,即找出与已知角终边相同的角 ,由 所在象限判断已知角所在象限. （2）确定 , 的终边位置的步骤 ①用终边相同的角的形式表示出角 的范围. ②写出 或的范围. ③根据的可能取值确定 或的终边所在的位置. 对点训练 1. 集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ） A. B. C. D. [解析]选.当 时,,此时 表示的范围与 表示的范围一样;当 时,,此时 表示的范围与 表示的范围一样. 2. 若 是第二象限角,则（ ） A. 是第一象限角 B. 是第三象限角 C. 是第二象限角 D. 是第三或第四象限角或在轴的负半轴上 [解析]选.由 是第二象限角,可得 ,.对于,可得 ,,此时 位于第三象限,故 错误;对于,可得 ,,当 为偶数时,位于第一象限，当 为奇数时,位于第三象限,故 错误;对于,可得 ,,即 ,,所以 位于第一象限,故 错误;对于,可得 ,,所以 是第三或第四象限角或在 轴的负半轴上,故 正确. 考点二 扇形的弧长及面积公式 例2 已知一扇形的圆心角为,弧长为,周长为,面积为,半径为. （1） 若 ,,求扇形的弧长; 【解】,扇形的弧长. （2） 若,求的最大值及此时扇形的半径和圆心角. [答案] 方法一:由题意知,所以,则,当 时,,,,所以 的最大值是,此时扇形的半径是,圆心角. 方法二: ,当且仅当,即 时，取得最大值，最大值是，此时扇形的圆心角. 解题技法 应用弧度制解决问题的思路 （1）求扇形面积最大值的问题时，常转化为利用二次函数或基本不等式求最值问题； （2）在解决弧长问题、扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. ［注意］ 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度. 对点训练 1. 已知一扇形的弧长为,面积为,则其半径2,圆心角 [解析]因为扇形的弧长为，所以,解得.由,解得. 2. 已知一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆的周长的比为  . [解析]设圆的半径为,则扇形的半径为,记扇形的圆心角为 ,则，所以.所以扇形的弧长与圆的周长的比为. 考点三 三角函数的定义及其应用 角度1 三角函数的定义 例3 已知角 的终边上一点,且,则  , [解析]设,由题设知,,所以（为坐标原点），即,所以,所以,即,解得.当 时，,,,所以,;当 时，,,,所以,. 解题技法 三角函数定义的应用 （1）已知角 的终边上一点的坐标，可先求出点到原点的距离,然后利用三角函数的定义求解. （2）已知角 的终边所在的直线方程，可先设出终边上一点的坐标，求出此点到坐标原点的距离，再利用三角函数的定义求解，应注意分情况讨论. ［注意］ 若角的终边在一条直线上，用参数设点的坐标时，要注意参数的取值范围. 角度2 三角函数值符号的判定 例4 （1） 点落在（ ） A. 第一象限内 B. 第二象限内 C. 第三象限内 D. 第四象限内 [解析]因为,,所以点 落在第四象限内. （2） 若角 是第四象限角，则 [解析]由题知，，，， 所以. 解题技法 三角函数值符号的判断方法 要判断三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号.如果角不能确定所在象限，那就要分类讨论进行求解. 对点训练 1. 已知点是角 的终边上一点，则（ ） A. B. C. D. [解析]选.依题意，点 的坐标为,则 为坐标原点）,故. 2. （多选）已知角 的终边经过点,且 与 的终边关于轴对称，则下列选项正确的是 （ ） A. B. 为钝角 C. D. 点在第一象限 [解析]选.角 的终边经过点，,正确； 与 的终边关于 轴对称，由题意得 的终边经过点， 为第二象限角，不一定为钝角，,错误，正确；因为,,所以点 在第一象限，正确. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为（ ） A. B. C. D. [解析]选.分针每分钟转 ，则分针在8点到10点20分这段时间里转过度数为，所以.故选. 2. （人教A版必修第一册 例6改编）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形的面积为（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题知扇形所在圆的半径，则这条弧所在的扇形的面积. 3. 下列各选项中正确的是（ ） A. B. C. D. [解析]选. ,则 角是第四象限角，故,错误; ,则 角是第一象限角，故，错误;,则 是第二象限角，故，错误;,则10是第三象限角，故，正确.故选. 4. （人教A版必修第一册 改编）若角 满足,,则 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 [解析]选.因为,所以 是第二或第四象限角，当 是第二象限角时，,,满足;当 是第四象限角时，,,则,不符合题意，所以 是第二象限角.故选. 5. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 若 是第一象限角，则 是第四象限角 B. 若 ， 是第一象限角，且 ，则 C. 若圆心角为的扇形的弧长为 ，则该扇形的面积为 D. 若扇形的圆心角为,圆心角所对的弦长为，则该扇形的弧长为 [解析]选.对于，若 为第一象限角，则 ,,,所以 ,,,是第四象限角，故 正确；对于，若,，满足 ， 是第一象限角，且 ,但 ,故 错误；对于，设扇形所在圆的半径为,则 ,解得,所以该扇形的面积，故 错误；对于，若圆心角为,圆心角所对的弦长为，则扇形所在圆的半径，所以该扇形的弧长,故 正确.故选. 6. 若 ,角 与 终边相同，且 ,则 [解析]因为 ,所以与 终边相同的角为 ,,又 ,所以令 或 可得 或 . 7. 已知角 的终边过点，且,则 [解析]因为角 的终边过点，且,所以.又,解得,所以. 8. 用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内（含边界）的角 的集合是 [解析]由题图，终边 对应角为,,终边 对应角为,，所以角 的集合是,. 9. 如图，在平面直角坐标系中，角 的始边与轴的非负半轴重合且与单位圆交于点，它的终边与单位圆交于轴上方的一点,始边不动，终边在运动. （1） 若点的横坐标为，求 的值； 解：由题意可得,根据三角函数的定义得. （2） 若为等边三角形，写出与角 终边相同的角 的集合. [答案]因为 为等边三角形，则,故与角 终边相同的角 的集合为. B 综合运用 10. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形.如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形中较小的锐角为 ,则 的值为（ ） A. B. C. D. [解析]选.设直角三角形的短直角边为,一个直角三角形的面积为,小正方形的面积为20，则小正方形的边长为.大正方形的面积为100，则大正方形的边长为10.直角三角形的面积为，解得（负值已舍去），则直角三角形的长直角边为.故,,即. 11. （多选）已知点在第一象限，则在内角 的取值范围是（ ） A. B. C. D. [解析]选.因为点 在第一象限， 所以 即角 位于第一或第三象限，且满足 ， 所以当角 位于第一象限时，，此时 ； 当角 位于第三象限时，，此时 .故选. 12. （多选）如图，，是单位圆上的两个质点，点的坐标为,,质点以 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点以的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（ ） A. 经过后，的弧度数为 B. 经过后，扇形的弧长为 C. 经过后，扇形的面积为 D. 经过后，，在单位圆上第一次相遇 [解析]选.经过 后，质点 运动.质点 运动,此时 的弧度数为，故 正确；经过 后，,故扇形 的弧长为，故 正确；经过 后，,故扇形 的面积为,故 错误；设经过 后，，在单位圆上第一次相遇，则 ,解得,故 正确. 13. 已知且有意义. （1） 试判断角 是第几象限角； 解：依题意可知，因为，所以,所以角 是第三或第四象限角或终边在 轴的负半轴上的角. 由 有意义，可知,所以角 是第一或第四象限角或终边在 轴的非负半轴上的角. 综上所述，角 是第四象限角. （2） 若角 的终边上有一点,且为坐标原点），求实数的值及 的值. [答案] 因为,所以,解得. 又角 是第四象限角，故, 所以，所以. C 素养提升 14. 在一块顶角为 ，腰长为2的等腰三角形厚钢板废料中用电焊切割出一个扇形，如图，现有两种方案，既要充分利用废料，又要使切割时间最短，问哪一种方案最优？ 解：因为 是顶角为 即，腰长为2的等腰三角形，所以，，， 所以方案一中扇形的弧长为；方案二中扇形的弧长为； 方案一中扇形的面积为；方案二中扇形的面积为. 由此可见，两种方案中利用废料割出的扇形面积相等，方案一的切割时间短，因此方案一最优. 学科网（北京）股份有限公司 $$