专题07 一元一次不等式60道压轴题型专训（10大题型）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（华东师大版2024）

专题07 一元一次不等式60道压轴题型专训（10大题型） 【题型目录】 题型一 一元一次不等式的解集压轴题型 题型二 一元一次不等式的整数解压轴题型 题型三 一元一次不等式组的解集压轴题型 题型四 一元一次不等式组的整数解压轴题型 题型五 不等式与数轴的问题 题型六 一元一次不等式（组）最值的问题 题型七 解特殊的不等式（组）问题 题型八 一元一次不等式组的实际应用 题型九 一元一次不等式（组）的新定义问题 题型十 用一元一次不等式（组）解决几何问题 【经典例题一 一元一次不等式的解集压轴题型】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）对于任意实数，规定（为常数）．已知． (1)求的值； (2)已知是实数，若，求的取值范围． 2．（24-25七年级下·河南新乡·期中）定义关于的一种运算：，如． (1)若，求的取值范围． (2)若关于的不等式的解和的解相同，求的值． 3．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）已知关于x的一次方程． (1)若该方程的解满足，求m的取值范围； (2)若在（1）的条件下，m是最大整数且满足不等式，求该不等式的解集． 4．（23-24七年级下·全国·期中）规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求、的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最小整数值． 5．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）数学课堂上，李老师设计了“接力游戏”，规则：每个同学只完成解不等式的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出不等式的解集． 接力游戏 老师：． 甲同学：； 乙同学：； 丙同学：； 丁同学：； 戊同学：． 请根据上面的“接力游戏”，解答下列问题． (1)在“接力游戏”中，出现错误的是同学，这一步错误的原因是； (2)在“接力游戏”中，该不等式的正确解集是，并把它的解集在数轴上表示出来． 6．（24-25七年级下·四川内江·期末）阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，，又，，． 又，① 不等式①三者同加2，得．即② 得，． 问题： (1)已知，且，，求的取值范围； (2)一家具生产企业，生产学生用的课桌椅，一张桌子的售价比一把椅子高50元，若一张桌子的售价不低于120元，一把椅子的售价不超过90元，求出售一套桌椅（一张桌子一把椅子）定价的范围（定价用w表示）． 【经典例题二 一元一次不等式的整数解压轴题型】 7．（23-24七年级下·四川内江·期中）若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求式子的值． 8．（2024·河北邢台·三模）计算的结果为P． (1)若，求P的值； (2)若P的值为正数，请你求出一个x的整数值． 9．（2024·河北保定·一模）观察下列式子，定义一种新运算：；；． (1)这种新运算是：_______（用含x，y的代数式表示）； (2)若，求m的最小整数值； (3)若a，b均为整数，试判断是否能被3整除，并说明理由． 10．（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）【探究归纳】 解下列不等式：（1）；（2），总结发现不等式（1）的解都是不等式（2）的解，我们称不等式（1）的解集是不等式（2）的解集的“子集”． 【问题解决】 (1)的解集______解集的“子集”（填“是”或“不是”）； (2)若关于的不等式的解集是的解集的“子集”，且是正整数，求的值． 11．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）对任意的一个正的三位数，如果其各个数位上的数字均不为零，且满足任意两个数位上的数字之和大于余下数位上的数字，那么称这个三位数为“三角形数”．把“三角形数”的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为；把的百位数字、十位数字、个位数字的和记为． 例如： 146，因为，所以146不是“三角形数”； 345，因为，，，所以345是“三角形数”； 所以，． (1)判断123和298是否为“三角形数”，并说明理由； (2)已知“三角形数”满足十位数字比个位数字小3，当能被9整除时，求所有满足条件的的值． 12．（23-24七年级下·安徽六安·期中）利用方程（组）或不等式（组）解决问题：“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥题．已知购买3本《论语》和2本《孟子》共需要170元，购买5本《论语》和3本《孟子》共需要275元．    (1)求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元？ (2)学校为了丰富学生的课余生活，举行“书香阅读”活动，根据需要，学校决定购进《论语》和《孟子》两种书共50本，其中《论语》不少于38本．正逢书店“优惠促销”：《论语》的单价打8折，《孟子》单价优惠4元．如果此次学校买书的总费用不超过1500元，则有几种购买方案？ 【经典例题三 一元一次不等式组的解集压轴题型】 13．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）解不等式组并写出该不等式组的非正整数解． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组 (1)当时，这个不等式组的解集为_______； (2)若这个不等式组恰有两个整数解，求实数a的取值范围． 15．（24-25七年级下·河南鹤壁·期末）八年级数学课外活动小组在探究用类比思想解决实际问题时发现，用表示不大于A的最大整数，如：，，，，……以此类推． (1)______； (2)若，求的取值范围． 16．（23-24七年级下·四川内江·期末）解不等式（组） (1)小英解不等式的过程如下，请指出她解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母得：① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 两边都除以得：⑤ (2)解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 17．（24-25七年级下四川遂宁·阶段练习）阅读材料，解决下列问题． 【阅读材料】 已知，且，求的取值范围． 解：由，得， ，， 解得，的取值范围是． 【问题探究】 (1)已知，且，求的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围； (3)已知，且，，设，直接写出的取值范围． 18．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）阅读理解 定义：若一元一次不等式组解集（不含无解）都在一元一次不等式解集范围内，则称该一元一次不等式组为该不等式的“子集”．如：的解集为，的解为，在的范围内，一元一次不等式组是一元一次不等式的“子集”． 问题解决 （1）不等式组：①，②，③中，是不等式的“子集”的是_________；（填序号） （2）若关于x的不等式组是关于x的不等式的“子集”，求k的取值范围； 问题拓展 （3）若关于x的不等式组的解集不是关于x的不等式的“子集”，直接写出m的取值范围是___________． 【经典例题四 一元一次不等式组的整数解压轴题型】 19．（24-25七年级下·全国·周测）已知关于x的不等式组 (1)若不等式组的最小整数解为，求整数a的值； (2)若不等式组所有整数解的和为14，求a的取值范围． 20．（24-25七年级下·福建厦门·期中）已知为整数，关于，的方程组的解满足不等式组． (1)解关于，的方程组，并用的代数式表示出来； (2)求整数的值． 21．（23-24七年级下·吉林长春·单元测试）（1）解不等式： ，并在数轴上表示出它的解集． （2）解不等式组 ，并求出它的整数解的和． 22．（23-24七年级下·全国·期中）某企业为了改善污水处理条件，决定购买 A，B 两种型号的污水处理设备共8台，其中每台的价格、月处理污水量如下表： A型 B型 价格/（万元/台） 8 6 月处理污水量/（吨/月） 200 180 经预算，企业最多支出 57万元购买污水处理设备，且要求设备月处理污水量不低于1490 吨． (1)企业有哪几种购买方案？ (2)哪种购买方案更省钱？ 23．（2024·陕西汉中·三模）按如图程序进行运算．如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求（结果大于10） (1)当输入的数是10时，请求出输出的结果； (2)当输入的数是x时，经过第二次运算，结果即符合要求，请求出x的最小整数值． 24．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“包含方程”．例如：方程的解为，而不等式组 的解集为，不难发现在的范围内，所以方程 是不等式组 的“包含方程”．请根据约定，解答下列问题． (1)在一元一次方程；；中，不等式组 的“包含方程”是 （填序号）； (2)若关于 x 的方程 是不等式组 的“包含方程”，求k 的取值范围； (3)若关于x 的方程 是关于 x 的不等式组 的“包含方程”，且此时该不等式组恰好有7个整数解，试求 m 的取值范围． 【经典例题五 不等式与数轴的问题】 25．（2025·山西长治·一模）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 26．（24-25七年级下·全国·假期作业）解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： (1)； (2)； (3)； (4)； (5) (6)； (7)； (8)． 27．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1)    (2)    28．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知数，表示的点在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上表示出，的相反数的位置； (2)假设，且，化简． 29．（2024·上海·模拟预测）今有大器五小器一容过三斛，大器一小器五容过二斛，大器容不过1斛，小器容斛不过大器半．请根据上述信息计算出大器，小器容米数量范围（斛），并将大器，小器容米数量范围的解集在数轴上表示． 30．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）下面是航航解不等式的过程： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题 (1)航航的解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出这个不等式的正确解法，并将解集在数轴上表示出来． 【经典例题六 一元一次不等式（组）最值的问题】 31．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知关于x、y的方程组的解都为非负数． (1)求a的取值范围； (2)已知，求的取值范围； (3)已知（m是大于1的常数），且，的最大值是______（用含m的代数式表示） 32．（24-25七年级下·四川巴中·期末）学校组织学生进行一次徒步旅行．校门口到A，B，C三个景点的距离分别为，，，学生从校门口出发，以平均每小时的速度前往景点，在景点游玩时间为t小时，再以平均每小时的速度返回． (1)若学校组织学生前往景点C游玩，且恰好在返回校门口，求t的最大值； (2)若，学生在前返回校门口，则学校可能组织学生去A，B，C中的哪几个景点？ 33．（23-24七年级下·山西晋城·期中）对于两个关于的不等式，若有且仅有一个整数，使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式关于整数“互联”．例如：不等式和不等式关于整数“互联”． (1)不等式和关于整数______“互联”； (2)若关于的不等式和关于整数“互联”， ①直接写出的值为______； ②求的最大值； (3)已知不等式和关于整数“互联”，直接写出的取值范围． 34．（23-24七年级下·全国·单元测试）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过m元后，超出m元的部分按8折收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按a（a为整数）折收费，累计购物超过1000元后，顾客只需支付折扣后价钱的．某顾客发现，累计购物150元，在两个商场实际支付是一样的； (1)请用含a的式子表示m； (2)若顾客累计购物超过1000元，在乙商场花费少，求a的最大值． 35．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如果一个不等式（组）的解集中包含一个方程（组）的解，那么就称这个不等式（组）的解集为这个方程（组）的“青一范围”，例如：不等式的解集是，它包含了方程方程的解，因此是的“青一范围”． (1)判断：①；②；③，中哪个不等式的解集是方程的“青一范围”； (2)已知是方程的解，不等式组的解集是方程的“青一范围”，求的最小值； (3)若不等式组的解集是方程的“青一范围”，求的取值范围． 36．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 【经典例题七 解特殊的不等式（组）问题】 37．（23-24七年级下·河南南阳·期中）已知关于x，y的方程组的解满足不等式组．求：满足条件的m的整数值． 38．（23-24七年级下·安徽六安·期中）已知，若，则称x为a，b的偏小值；若，则称x为a，b的偏大值． (1)已知x为和3的偏小值，且x为整数，求x的值； (2)若m为整数，且在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数，请直接写出所有符合条件的m的值． 39．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式， 解：因为，所以原不等式可化为 由有理数乘法法则“两数相乘，异号得负”，得：①，或②，解不等式组①得，解不等式组②无解，所以原不等式的解集为． (1)用例题的方法解不等式的解集为 　　； (2)解不等式． 40．（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)请判断组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； (2)若关于的组合是“有缘组合”，求的取值范围； (3)若关于的组合是“无缘组合”，求的取值范围． 41．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）自学下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：；等．那么如何求出它们的解集呢？ 根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：若，，则；若，，则；若，，则；若，，则． （1）反之：若，则或；若，则______或_______． （2）根据上述规律，求不等式的解集． （3）直接写出分式不等式的解集___________． 42．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）阅读下列材料： [数学问题]已知x−y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围． [问题解决]∵x−y＝2，∴x＝y+2 又∵x＞1， ∴y+2＞1，∴y＞−1 又∵y＜0， ∴−1＜y＜0① 同理得：1＜x＜2② 由①+②得：−1+1＜x+y＜0+2 即：0＜x+y＜2 (1)[类比探究]在数学问题中的条件下，x＋2y的取值范围是 ． (2)已知x−y＝5，且x＞2，y＜0， ①求y的取值范围． ②求x+2y的取值范围． (3)已知y≥1，x＜−1，若x+y＝a（a＞0），直接写出x−2y的取值范围（用含a的代数式表示）． 【经典例题八 一元一次不等式组的实际应用】 43．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）某班级计划购买运动会奖品，商店A：每件奖品12元，满10件后，从第11件开始每件打5折；商店B：每件15元，打六折． (1)若该班级需购买x件奖品，分别用x表示在商店A，B的费用； (2)若该班级的经费为200元，在商店A最多能买多少件奖品？ (3)在商店A购买的奖品数量在什么范围内时比在商店B更省钱？请说明理由． 44．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲，乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．五一劳动节假期期间两家商场都让利酬宾．甲商场按累计购物金额的收费，乙商场累计购物金额超过200元后，超出200元的部分按收费．设小红在一个商场累计购物金额为元，其中． (1)根据题意，填写表格（单位：元）： 累计购物金额 500 700 甲商场实际花费 400 乙商场实际花费 550 (2)当取何值时，小红在甲，乙两商场的实际花费相同？ (3)五一劳动节假期期间小红应如何选择这两家商场购物更省钱？ 45．（2025七年级下·全国·专题练习）六一儿童节当天，七年级（1）班同学在公园里举行义卖活动，他们制作了一定数量的爆米花、蛋挞进行销售，已知爆米花和蛋挞的成本分别为1.5元/份和2元/份，每份爆米花售价比蛋挞少1元，开始，他们一共售出爆米花20份和蛋挞50份，销售利润为200元． (1)求爆米花和蛋挞的售价． (2)临近中午时，他们的销售利润超过了800元，但由于销售量较多，同学们只记得售出爆米花的份数a满足份，则上午至少售出蛋挞几份？ (3)下午，一部分同学继续出售爆米花和蛋挞，另一部分同学组成团队在现场制作冰淇淋用于义卖，冰淇淋的售价为5元/份，租借冰淇淋制作机需要100元，每制作一份冰淇淋需要材料费2元，到结束时，全班同学制作的三种食品共n份全部销售一空，爆米花与蛋挞的份数之比为，制作销售冰淇淋的团队也有盈利，且三种食品的销售总利润恰好为2019元，求n的最大值． 46．（2025七年级下·全国·专题练习）某校社会实践小组开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）．根据信息，解答下列问题． 信息 1．快餐的成分：蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物； 2．快餐总质量为； 3．脂肪所占的百分比为； 4．所含蛋白质质量是矿物质质量的倍 (1)求这份快餐中所含脂肪质量； (2)若碳水化合物占快餐总质量的，求这份快餐所含蛋白质的质量； (3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于，求其中所含碳水化合物质量的最大值． 47．（2024七年级下·全国·专题练习）问题情境：如图1，互相垂直的马路组成十字路口，长为m米，宽为n米，双向安装红绿灯，红绿灯的作用就是不让双方向的车挤在一起，具体来说就是确保一个方向先过，另一个方向再过，并以此规律循环． 安全条件：一般红灯和绿灯的持续时间是不同的，红灯的时间总比绿灯长，例如当东西方向红灯亮时，南北方向的绿灯要经过若干秒才亮，这样才可以确保十字路口的交通安全． 假设当绿灯亮时的最后一秒（即绿灯读数为0）时，骑车人A马上从等待线出发，能及时穿过路口，不会与另一方向绿灯亮时马上从等待线出发的机动车B相撞，就可保证路口的交通安全，所以必须设置合理的红绿灯时间差，才能保证十字路口的通行安全． 实验数据：测试时，通过此路口的自行车平均时速为，机动车平均时速为． 解决问题： (1)骑车人A需要骑行 米才能通过此十字路口？ (2)当机动车B到达一线时，自行车A已经抵达或越过 一线，才可保证路口的交通安全？ (3)若，，，则此路口红绿灯实际时间差．能保证交通安全吗？ (4)欲保证此十字路口交通安全，请直接写出红绿灯时间差t应满足的条件． 48．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，是某道路停车泊位收费公示牌，现从该收费公示牌中摘录其收费标准，并注解如图表． 一级支路计时 时段/车型 白天时段 夜间时段 小型车 连续停放6小时封顶 连续停放6小时封顶 首小时内（15-60分钟） 首小时后（60分钟后） 20：00至次日8：00 2元/15分钟 2元/15分钟 1元/小时 大型车 2.5元/15分钟 3元/15分钟 1.5元/小时 注解 1、白天时段，车辆进入停车泊位15分钟以内免费，第15分钟开始收费，以小型车为例，记小型车连续停放时间为分钟，当时不收费，当时收费2元，当时收费4元，当时收费6元，当时收费8元，当时收费10元，以此类推． 2、夜间时段，不足1小时按1小时收费． 3、“连续停放6小时封顶”是指当车辆连续停放的时间超过6小时时，只收6小时的停车费． 【初步理解】 （1）夜间时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放8小时，需缴费______元； （2）白天时段，一辆大型车在该道路停车泊位连续停放1小时36分钟，需缴费______元； 【综合应用】 （3）白天时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放一段时间后缴费26元，则该车最多停放了多长时间？（用一元一次不等式解决问题） 【深入探索】 （4）已知一辆小型车与一辆大型车在该道路停车泊位都连续停放5小时，小型车在白天时段停放分钟，大型车在白天时段停放分钟，且．当小型车的停车费高于大型车的停车费是，随的变化而变化，请直接写出的范围及相应的的范围． 【经典例题九 一元一次不等式（组）的新定义问题】 49．（23-24七年级下·河北承德·期末）我们定义一个新运算，规定：，例如：，据此解答下列问题： (1)若，，分别求出和的值； (2)若满足，求的取值范围． 50．（2024七年级下·江苏·专题练习）定义一种新运算“”为：当时，；当时，．例如：，． (1)填空： ； (2)若，求的值； (3)若，求的取值范围． 51．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）对x，y定义一种新运算T，规定：（其中m，n均为非零常数）．例如． (1)已知，． ①求m，n的值； ②若关于P的不等式组恰好有3个整数解，求a的取值范围． (2)当时，对于任何有理数x，y都成立，请直接写出m，n满足的关系式． 52．（23-24七年级下·北京顺义·期末）对于任意的实数，定义一种新运算，规定，其中，是非零常数． 如：． (1)填空：= （用含，的代数式表示）； (2)已知，． ①求，的值； ②若关于的不等式组恰好有三个整数解，求的取值范围． 53．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；反之，当为非负整数时，如果，则例如：，，，， 试解决下列问题： (1)填空： ______ 为圆周率； 如果，则实数的取值范围为______ ． (2)求满足的所有非负实数的值． (3)若关于的不等式组的整数解有个，求的取值范围． 54．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）综合与深究 对实数，，我们定义一种新运算：（其中，常数）．例如：，．已知，． (1)___________，___________． (2)已知，为非负整数，求关于，的方程的解． (3)若关于，的方程组的解满足，且为非负整数，求的值． (4)若关于的不等式恰好有3个正整数解，求n的取值范围． 【经典例题十 用一元一次不等式（组）解决几何问题】 55．（23-24七年级下·北京房山·期中）如图，在数轴上，点A，B分别表示数3，-2x+5． （1）求x的取值范围； （2）数轴上表示数-x+4的点应落在________． ①点A的左边；②线段AB上；③点B的右边． 56．（23-24七年级下·江苏南京·期末）用一张面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一个长宽之比为的长方形纸片（裁剪方式见示意图）该长方形纸片的面积可能是吗？请通过计算说明． 57．（23-24七年级下·天津河北·期中）图1所示，在一个长方形广场的四角都设计一块半径相同的四分之一圆形的花坛．若广场的长为m米，宽为n米，圆形的半径为r米． （1）列式表示广场空地的面积． （2）若广场的长为300米，宽为200米，圆形的半径为30米，求广场空地的面积（计算结果保留π）． （3）如图2所示，在（2）的条件下，若在广场的中间再建一个半径为R的圆形花坛，使广场的空地面积不少于广场总面积的，求R的最大整数值（π取3.1）． 58．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m． (1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m； (2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）； (3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块? 59．（23-24七年级下·吉林·期末）王聪和张明分别要把两块边长都为60cm的正方形薄钢片制作成两个无盖的长方形盒子(不计粘合部分)． （1）王聪首先在薄钢片的四个角截去边长为10cm的四个相同的小正方形(如图①)，然后把四边折合粘在一起，便得到甲种盒子，则甲种盒子的底面边长为 cm． （2）张明截去两角后(如图②)，沿虚线折合粘在一起，便得到乙种盒子(如图③)．已知乙种盒子底面的长AB是宽BC的2倍，求乙种盒子底面的长和宽． （3）现将一定量的水注入甲种盒子，当甲种盒子注水高度至少为多少时，再倒入乙种盒子后可以将乙种盒子注满．    60．（23-24七年级下·湖北鄂州·期末）为了美化校园环境，争创绿色学校，某县教育局委托园林公司对A，B两校进行校园绿化，已知A校有如图的阴影部分空地需铺设草坪，B校有如图的阴影部分空地需铺设草坪，在甲、乙两地分别有同种草皮3500米和2500米出售，且售价一样，若园林公司向甲、乙两地购买草皮，其路程和运费单价表如下： 路程、运费单价表 A校 B校 路程千米 运费单价元 路程千米 运费单价元 甲地 20 10 乙地 15 20 注：运费单价表示每平方米草皮运送1千米所需的人民币 求：分别求出图1、图2的阴影部分面积； 若园林公司将甲地的草皮全部运往A校，请你求出园林公司运送草皮去A、B两校的总运费； 请你给出一种运送方案，使得园林公司支付出送草皮的总运费不超过15000元． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一元一次不等式60道压轴题型专训（10大题型） 【题型目录】 题型一 一元一次不等式的解集压轴题型 题型二 一元一次不等式的整数解压轴题型 题型三 一元一次不等式组的解集压轴题型 题型四 一元一次不等式组的整数解压轴题型 题型五 不等式与数轴的问题 题型六 一元一次不等式（组）最值的问题 题型七 解特殊的不等式（组）问题 题型八 一元一次不等式组的实际应用 题型九 一元一次不等式（组）的新定义问题 题型十 用一元一次不等式（组）解决几何问题 【经典例题一 一元一次不等式的解集压轴题型】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）对于任意实数，规定（为常数）．已知． (1)求的值； (2)已知是实数，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，能根据新运算得出方程组是解此题的关键． （1）根据已知条件得出关于a、b的方程组，求出方程组的解即可； （2）根据已知新运算得出，再解不等式即可． 【详解】（1）解：依题意，得， 解得， 故． （2）解：由（1），得． 依题意，得， 解得． 2．（24-25七年级下·河南新乡·期中）定义关于的一种运算：，如． (1)若，求的取值范围． (2)若关于的不等式的解和的解相同，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据新定义运算列出不等式即可求解； （）分别求出两个不等式的解集，再根据解集相同即可求解； 本题考查了新定义，解一元一次不等式，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴； （2）解：解不等式得，， 由得，， ∴， ∵不等式的解和的解相同， ∴， 解得． 3．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）已知关于x的一次方程． (1)若该方程的解满足，求m的取值范围； (2)若在（1）的条件下，m是最大整数且满足不等式，求该不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程和解一元一次不等式，根据题意得出关于m的不等式是解答此题的关键． （1）先求出方程的解，再根据得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可； （2）先求出m的值，再代入不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：解方程，得． 依题意得， 解得． （2）解：由（1）知， 的最大整数为1． 把代入不等式，得． 解得， 不等式的解集为． 4．（23-24七年级下·全国·期中）规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求、的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最小整数值． 【答案】(1)，； (2)， (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入①求出即可； （2）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入②求出即可； （3）根据新运算得出方程组，再①②得出，根据求出的范围，再求出最小整数解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：； （2）解：由（1），， ∴， ， ， ①②，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； （3）解：，，， ， ①②，得， ， ， ， 的最小整数值是． 5．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）数学课堂上，李老师设计了“接力游戏”，规则：每个同学只完成解不等式的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出不等式的解集． 接力游戏 老师：． 甲同学：； 乙同学：； 丙同学：； 丁同学：； 戊同学：． 请根据上面的“接力游戏”，解答下列问题． (1)在“接力游戏”中，出现错误的是同学，这一步错误的原因是； (2)在“接力游戏”中，该不等式的正确解集是，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)戊；不等式两边同时乘以负数时，不等号方向没有改变； (2)，见解析． 【分析】本题考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是掌握不等式的基本性质，尤其是不等式两边同乘或除以负数时不等号方向要改变． （1）先分析每个同学的变形步骤，找出错误步骤及原因， （2）正确求解不等式并在数轴上表示解集． 【详解】（1）解：戊；不等式两边同时乘以负数时，不等号方向没有改变； （2）解：； 解集在数轴上表示如下 ． 6．（24-25七年级下·四川内江·期末）阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，，又，，． 又，① 不等式①三者同加2，得．即② 得，． 问题： (1)已知，且，，求的取值范围； (2)一家具生产企业，生产学生用的课桌椅，一张桌子的售价比一把椅子高50元，若一张桌子的售价不低于120元，一把椅子的售价不超过90元，求出售一套桌椅（一张桌子一把椅子）定价的范围（定价用w表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法，并能进行推理论证是解决问题的关键． （1）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用方法与步骤解答即可； （2）设每张椅子的价格为x元，则每张桌子的价格为元，由已知可知，再求出的范围即可． 【详解】（1）解：， ．又， ， ． 又， ．① 同理得：② 由得：， ． （2）解：设每张椅子的价格为x元，则每张桌子的价格为元， 由已知可知， 解得， ， ， ， ， 答：出售一套桌椅（一张桌子+一把椅子）定价的范围． 【经典例题二 一元一次不等式的整数解压轴题型】 7．（23-24七年级下·四川内江·期中）若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求式子的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的整数解，代数式的求值，以及一元一次方程的解，找出不等式的最小整数解是解本题的关键．求出不等式的解集，在解集中找出最小的整数解，将最小的整数解代入方程中，得到关于的方程，求出方程的解得到的值，将的值代入所求代数式中计算，即可求出值． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 则不等式最小的整数解为， 又不等式最小整数解是方程的解， 将代入方程得：， 解得：， 则． 8．（2024·河北邢台·三模）计算的结果为P． (1)若，求P的值； (2)若P的值为正数，请你求出一个x的整数值． 【答案】(1) (2)2（答案不唯一） 【分析】（1）把代入中求出结果即可得P的值； （2）由P的值为正数，得，解不等式求出x的取值范围，在取值范围内任意取一个整数值即可． 本题主要考查了已知字母的值求代数式的值，以及求一元一次不等式的整数解．准确的计算是解题的关键． 【详解】（1）若，P的值为 ． （2）由题意，． 解得． x的整数值可以取2．（答案不唯一） 9．（2024·河北保定·一模）观察下列式子，定义一种新运算：；；． (1)这种新运算是：_______（用含x，y的代数式表示）； (2)若，求m的最小整数值； (3)若a，b均为整数，试判断是否能被3整除，并说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)能，理由见解析 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、解一元一次不等式，找到定义中数的关系式，代入得到一元一次不等式求解是解题的关键．判断能不能被3整除，把式子化简成几个整数因式乘积的形式，里面有是3的倍数的数，即可证明能被3整除． （1）根据定义新运算的形式代入即可； （2）根据定义新运算的形式，代入即可列式出关于m的一元一次不等式，解不等式可得答案； （3）根据定义新运算的形式，列出式子化简后，即可判断． 【详解】（1）解∶根据题意，得， 故答案为∶ ； （2）解：根据题意，得， 解得， ∴最小整数m为2； （3）解： ， ∵a，b为整数， ∴能被3整除， ∴能被3整除． 10．（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）【探究归纳】 解下列不等式：（1）；（2），总结发现不等式（1）的解都是不等式（2）的解，我们称不等式（1）的解集是不等式（2）的解集的“子集”． 【问题解决】 (1)的解集______解集的“子集”（填“是”或“不是”）； (2)若关于的不等式的解集是的解集的“子集”，且是正整数，求的值． 【答案】(1)是 (2)a的值为1或2或3 【分析】本题考查解一元一次不等式，理解题中新定义是解答的关键． （1）先求得两个不等式的解集，再根据题中定义判断即可； （2）先求得两个不等式的解集，再根据题中定义得到关于a的不等式，然后解不等式得到a的取值范围，进而可求解． 【详解】（1）解：解不等式得， 解不等式得， ∴的解集是解集的“子集”， 故答案为：是； （2）解：解不等式得， 解不等式得， ∵不等式的解集是的解集的“子集”， ∴，解得， ∵是正整数， ∴a的值为1或2或3． 11．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）对任意的一个正的三位数，如果其各个数位上的数字均不为零，且满足任意两个数位上的数字之和大于余下数位上的数字，那么称这个三位数为“三角形数”．把“三角形数”的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为；把的百位数字、十位数字、个位数字的和记为． 例如： 146，因为，所以146不是“三角形数”； 345，因为，，，所以345是“三角形数”； 所以，． (1)判断123和298是否为“三角形数”，并说明理由； (2)已知“三角形数”满足十位数字比个位数字小3，当能被9整除时，求所有满足条件的的值． 【答案】(1)123不是，298是，理由见解析 (2)满足条件的M的值为414，558，747 【分析】（1）根据题目所给“三角形”数的定义即可进行解答； （2）设“三角形数”M的百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，则，可得，，求出并化简，根据能被9整除这一条件，找出符合条件的数，再根据“三角形数”的定义，排除不是“三角形数”的即可． 【详解】（1）解：∵， ∴123不是“三角形数”； ∵，，， ∴298是“三角形数”． （2）设“三角形数”M的百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c， 则，且 根据题意得，， ， ∴ ； ∵能被9整除， ∴能被9整除． ∵， ∴； ∵，，，且a，b，c为整数， ∴或18； 当时，∴，，；，，； 当时，∴，，；，，； ，，；，，； ∴，414，369，558，747，936； ∵ ∴其中225，369，936不是“三角形数” ∴满足条件的M的值为414，558，747． 【点睛】本题主要考查了新定义，解题的关键是正确理解题意，根据题目中所给的新定义进行解答． 12．（23-24七年级下·安徽六安·期中）利用方程（组）或不等式（组）解决问题：“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥题．已知购买3本《论语》和2本《孟子》共需要170元，购买5本《论语》和3本《孟子》共需要275元．    (1)求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元？ (2)学校为了丰富学生的课余生活，举行“书香阅读”活动，根据需要，学校决定购进《论语》和《孟子》两种书共50本，其中《论语》不少于38本．正逢书店“优惠促销”：《论语》的单价打8折，《孟子》单价优惠4元．如果此次学校买书的总费用不超过1500元，则有几种购买方案？ 【答案】(1)购买《论语》的单价40元，《孟子》的单价是25元； (2)3种 【分析】（1）设购买《论语》的单价是元，则购买《孟子》的单价是元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可得到答案； （2）设购买《论语》本，则购买《孟子》本，根据题意列出不等式，求出整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：设购买《论语》的单价是元，则购买《孟子》的单价是元， 依题意得：， 解得：， 答：购买《论语》的单价40元，《孟子》的单价是25元； （2）解：设购买《论语》本，则购买《孟子》本， 依题意得：， 解得：， ， ， 又为正整数， 的取值可以为38，39，40， 共有3种购买方案． 【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程组和不等式是解题关键． 【经典例题三 一元一次不等式组的解集压轴题型】 13．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）解不等式组并写出该不等式组的非正整数解． 【答案】，非正整数解为， 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，在解集中找出非正整数即可． 【详解】解：， 由①得：； 由②得：， 所以不等式组的解集是：， 则不等式组的非正整数解是：，0． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组 (1)当时，这个不等式组的解集为_______； (2)若这个不等式组恰有两个整数解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）将代入不等式组，求出结果即可 （2）先解不等式组求得，根据不等式组恰有两个整数解知不等式组的整数解为、0，据此得，解之即可． 【详解】（1）解：当时，不等式组为， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 这个不等式组的解集为； （2）解：解不等式，得：， 解不等式得：， 则不等式组的解集为， ∵不等式组恰有两个整数解， ∴不等式组的整数解为、0， 则， 解得． 15．（24-25七年级下·河南鹤壁·期末）八年级数学课外活动小组在探究用类比思想解决实际问题时发现，用表示不大于A的最大整数，如：，，，，……以此类推． (1)______； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确理解新定义和求出每一个不等式解集是解答此题的关键． （1）根据表示不大于A的最大整数即可得； （2）根据新定义知，解之可得． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：根据题意，得：， 解得：， 故答案为：． 16．（23-24七年级下·四川内江·期末）解不等式（组） (1)小英解不等式的过程如下，请指出她解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母得：① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 两边都除以得：⑤ (2)解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)错误的步骤有①②⑤，正确过程见解析 (2)，解集在数轴上表示见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式（组），熟练掌握解一元一次不等式（组）的步骤和依据是解题的关键． （1）根据小英的解题步骤找出错误的步骤；再根据解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1依次计算可得． （2）分别求出每个不等式的解集，再取它们解集的公共部分，在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：错误的步骤有①②⑤， 正确解答过程如下： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 由①得；   由②得； ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为： 17．（24-25七年级下四川遂宁·阶段练习）阅读材料，解决下列问题． 【阅读材料】 已知，且，求的取值范围． 解：由，得， ，， 解得，的取值范围是． 【问题探究】 (1)已知，且，求的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围； (3)已知，且，，设，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是读懂材料中的例子，并掌握不等式的性质． （1）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （2）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （3）仿照例子得到，由不等式的性质求出的取值范围，根据题意可得，结合不等式的性质即可求解． 【详解】（1）解：由，得， ， ， 解得：， 的取值范围是； （2）由，得， ， ， 解得：， 的取值范围是； （3）由可得， ， ， 解得：， ， 的取值范围是， ， ， ． 18．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）阅读理解 定义：若一元一次不等式组解集（不含无解）都在一元一次不等式解集范围内，则称该一元一次不等式组为该不等式的“子集”．如：的解集为，的解为，在的范围内，一元一次不等式组是一元一次不等式的“子集”． 问题解决 （1）不等式组：①，②，③中，是不等式的“子集”的是_________；（填序号） （2）若关于x的不等式组是关于x的不等式的“子集”，求k的取值范围； 问题拓展 （3）若关于x的不等式组的解集不是关于x的不等式的“子集”，直接写出m的取值范围是___________． 【答案】【小问1】③     【小问2】     【小问3】或 【分析】（1）分别求出每一个不等式组的解集，再根据新定义，逐项判断即可求解； （2）先求出不等式组和不等式的解集，再根据不等式组是关于x的不等式的“子集”，得到关于k的不等式，即可求解； （3）分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：不等式的解集为， ①的解集为， ∵不在的范围内， 一元一次不等式组不是一元一次不等式的“子集”． ②的解集为， ∵不在的范围内， ∴一元一次不等式组不是一元一次不等式的“子集”． ③的解集为， ∵在的范围内， ∴一元一次不等式组是一元一次不等式的“子集”． 故答案为：③ （2）解：的解集为， 的解集为， ∵一元一次不等式组是关于x的不等式的“子集”， ∴， 解得：； （3）解：的解集为， 当，即时， 的解集为， ∵关于x的不等式组的解集不是关于x的不等式的“子集”， ∴，解得：， ∴此时； 当，即时， 的解集为， ∵关于x的不等式组的解集不是关于x的不等式的“子集”， ∴，解得：， ∴此时； 综上所述，m的取值范围是或． 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，理解新定义是解题的关键． 【经典例题四 一元一次不等式组的整数解压轴题型】 19．（24-25七年级下·全国·周测）已知关于x的不等式组 (1)若不等式组的最小整数解为，求整数a的值； (2)若不等式组所有整数解的和为14，求a的取值范围． 【答案】(1)1 (2)或 【分析】本题主要考查了解不等式组、一元一次不等式组的整数等知识点，根据题意判断出的取值范围是解题关键． （1）先求出不等式组的解集为，再根据不等式组的最小整数解为，列出关于a的不等式求解即可； （2）根据不等式组的解集为以及所有整数解的和为14可得整数解为，或再列出关于a的不等式组求解即可． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 解不等式②，得． ∴该不等式组的解集为：． ∵不等式组的最小整数解为， ∴，解得：， ∴整数a的值为1． （2）解：∵该不等式组的解集为：，不等式组所有整数解的和为14， ∴整数解为，或 ∴，或 解得或． 20．（24-25七年级下·福建厦门·期中）已知为整数，关于，的方程组的解满足不等式组． (1)解关于，的方程组，并用的代数式表示出来； (2)求整数的值． 【答案】(1)方程组的解为 (2)的整数值为 【分析】本题考查解一元一次不等式组，二元一次方程组等知识，解题的关键是理解题意，用转化的思想思考问题． （1）利用加减消元法解关于，的方程组即可； （2）将（1）中关于，的方程组的解代入不等式组，得到关于的不等式组，解得的取值范围，再求出的整数值即可． 【详解】（1）解：， ，得：， 解得：， 把代入①，得：， ∴方程组的解为； （2）解：将代入不等式组， 得：，即， 解不等式得：； 解不等式得：； 则不等式组的解集为：， ∴的整数值为． 21．（23-24七年级下·吉林长春·单元测试）（1）解不等式： ，并在数轴上表示出它的解集． （2）解不等式组 ，并求出它的整数解的和． 【答案】（1） ，数轴见解析 （2），2 【分析】（1）根据解一元一次不等式的方法即可得出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可． （2）根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，后确定整数解计算即可． 本题考查的是解一元一次不等式组，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，，不等式组的整数解，熟知以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 把不等式的解集在数轴上表示出来： （2）解：∵ ∴解不等式①，得，解不等式,②，得， ∴不等式组的解集为， ∴整数解为， ∴整数解和为． 22．（23-24七年级下·全国·期中）某企业为了改善污水处理条件，决定购买 A，B 两种型号的污水处理设备共8台，其中每台的价格、月处理污水量如下表： A型 B型 价格/（万元/台） 8 6 月处理污水量/（吨/月） 200 180 经预算，企业最多支出 57万元购买污水处理设备，且要求设备月处理污水量不低于1490 吨． (1)企业有哪几种购买方案？ (2)哪种购买方案更省钱？ 【答案】(1)企业有2种购买方案，购买A型设备3台，B型设备5台；购买A型设备4台， B型设备4台 (2)购买A型设备3台， B型设备5台时更省钱 【分析】本题主要考查对于一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． （1）设购买A型设备x台，则B型设备台，根据“企业最多支出 57万元购买污水处理设备，且要求设备月处理污水量不低于1490 吨”列出不等式组进行求解即可； （2）求出当和时所需费用进行比较即可． 【详解】（1）解：设购买A型设备x台，则B型设备台， 由题意得， 解得 ∵，且x为正整数， ∴x可取3和4， 故当购买A型设备3台，则B型设备5台；购买A型设备4台，则B型设备4台． 答：企业有2种购买方案，购买A型设备3台，B型设备5台；购买A型设备4台， B型设备4台． （2）解：当时，（万元） 当时，（万元） ∵， ∴当购买A型设备3台， B型设备5台时更省钱． 23．（2024·陕西汉中·三模）按如图程序进行运算．如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求（结果大于10） (1)当输入的数是10时，请求出输出的结果； (2)当输入的数是x时，经过第二次运算，结果即符合要求，请求出x的最小整数值． 【答案】(1)16 (2)6 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，与程序流程图有关的计算： （1）把10代入计算，若结果大于10则输出，若结果不大于10则计算的结果当做输入的输重新计算直至结果大于10输出即可； （2）根据题意可得第一次输入计算的结果不大于10，把第一次计算的结果作为新输输入，计算的结果大于10，据此列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：输入10时，计算的结果为， ∴输出的结果为16； （2）解：由题意得，， 解得， ∴x的最小整数值是6． 24．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“包含方程”．例如：方程的解为，而不等式组 的解集为，不难发现在的范围内，所以方程 是不等式组 的“包含方程”．请根据约定，解答下列问题． (1)在一元一次方程；；中，不等式组 的“包含方程”是 （填序号）； (2)若关于 x 的方程 是不等式组 的“包含方程”，求k 的取值范围； (3)若关于x 的方程 是关于 x 的不等式组 的“包含方程”，且此时该不等式组恰好有7个整数解，试求 m 的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3)． 【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判定即可； （2）先求出方程的解为，再求出不等式组的解集，根据“包含方程”的定义列出关于的方程组，求解即可； （3）先求出方程的解为，再求出不等式组的解集，根据“包含方程”的定义列出关于的方程组，可求得的一个取值范围；再根据不等式组有7个整数解求得的另一个取值范围，再求取值范围的公共部分即可得到最终的取值范围． 本题考查一元一次不等式组和一元一次方程的解，理解题中的“包含方程”是解题的关键． 【详解】（1）解：解方程①得，；解方程②得，；解方程③得，； 解不等式组得，． 由此可知不等式组的“包含方程”是②③， 故填：②③； （2）解：解方程得，解不等式组得， 由题意可知：， 解得； （3）解方程得， 解不等式组得， 关于的方程是关于的不等式组的“包含方程”， ，解得， 不等式组恰好有7个整数解， ，解得， 综上，的取值范围为． 【经典例题五 不等式与数轴的问题】 25．（2025·山西长治·一模）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析． 【分析】此题考查了解一元一次不等式，根据其步骤：去分母，然后移项、合并同类项，系数化成1，再表示在数轴上即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1得． 在数轴上表示，如图所示： 26．（24-25七年级下·全国·假期作业）解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： (1)； (2)； (3)； (4)； (5) (6)； (7)； (8)． 【答案】(1)；数轴表示见解析 (2)；数轴表示见解析 (3)；数轴表示见解析 (4)；数轴表示见解析 (5)；数轴表示见解析 (6)；数轴表示见解析 (7)；数轴表示见解析 (8)；数轴表示见解析 【分析】题目主要考查解不等式．熟练掌握不等式的解法步骤，在数轴上表示不等式的解集，是解题关键． （1）合并同类项，即得； （2）移项，合并同类项，系数化成1，即得； （3）去分母，移项，合并同类项，即得； （4）移项，合并同类项，系数化成1，即得； （5）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1，即得； （6）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1，即得； （7）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1，即得； （8）移项，合并同类项，系数化成1，即得． 【详解】（1）解：， 解得：；解集在数轴上表示如下： （2）解：， 移项得：， 化简得：， 解得：；解集在数轴上表示如下： （3）解：， 去分母得：， 移项合并同类项解得：；解集在数轴上表示如下： （4）解：， 移项得：， 合并同类项化简得：；解集在数轴上表示如下：    （5）解：， 去分母得：， 移项合并同类项得：， 解得：；解集在数轴上表示如下： （6）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项解得：；解集在数轴上表示如下： （7）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项化简得：；解集在数轴上表示如下： （8）解：， 移项合并同类项得：， 系数化为1解得：．解集在数轴上表示如下： 27．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1)    (2)    【答案】(1)，在数轴上表示见解析 (2)，在数轴上表示见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．熟练掌握解不等式的一般方法，并在数轴上表示不等式的解集，是解决问题的关键． （1）移项，合并同类项，在数轴上表示出来，即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1，在数轴上表示出来，即可． 【详解】（1）解：， 移项得，， 合并同类项得，； 在数轴上表示出来得：      （2）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 两边都除以得，． 在数轴上表示出来得：    28．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知数，表示的点在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上表示出，的相反数的位置； (2)假设，且，化简． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】（1）根据相反数的定义即可得解； （2）先判断、、的正负号，再化简即可． 【详解】（1）解：根据相反数的定义，在数轴上表示出，的相反数的位置如下： （2）解：，，， ，，， ，，， ． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，用数轴上的点表示有理数，不等式的性质，化简绝对值，整式的加减等知识点，确定、、的正负性是解题的关键． 29．（2024·上海·模拟预测）今有大器五小器一容过三斛，大器一小器五容过二斛，大器容不过1斛，小器容斛不过大器半．请根据上述信息计算出大器，小器容米数量范围（斛），并将大器，小器容米数量范围的解集在数轴上表示． 【答案】，；数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据题意正确列出不等式组成为解题的关键． 设大器容x斛，小器容y斛，由题意得则，再根据可得，当，即时可得、，进而完成解答． 【详解】解：设大器容x斛，小器容y斛，由题意得: , 可得：，即：， ∵ ∴， 当，即时，，即，， ∴，； 小器容米数量范围的解集在数轴上表示如下 ： ． 30．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）下面是航航解不等式的过程： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题 (1)航航的解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出这个不等式的正确解法，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)一 (2)，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集： （1）第一步去分母时等式右边的数字3没有乘以6，据此可得答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，航航的解题过程从第一步开始出现错误的，原因是去分母时不等式左边的数字3没有乘以6， 故答案为：一； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 数轴表示如下所示： 【经典例题六 一元一次不等式（组）最值的问题】 31．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知关于x、y的方程组的解都为非负数． (1)求a的取值范围； (2)已知，求的取值范围； (3)已知（m是大于1的常数），且，的最大值是______（用含m的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次不等式组，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． （1）先把当作已知求出、的值，再根据、的取值范围得到关于的一元一次不等式组，求出的取值范围即可； （2）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得、的取值范围，然后再来求的取值范围； （3）根据（1）的解题过程求得、取值范围；结合限制性条件得出结论即可． 【详解】（1）解：因为关于、的方程组的解都为非负数， 解得：， 可得：， 解得：； （2）由， 可得：， 可得：， 解得：， 所以； （3）由题意得： ， 所以， 可得：， 可得：， 同理可得：， ， ， 故最大值为， 故答案为：． 32．（24-25七年级下·四川巴中·期末）学校组织学生进行一次徒步旅行．校门口到A，B，C三个景点的距离分别为，，，学生从校门口出发，以平均每小时的速度前往景点，在景点游玩时间为t小时，再以平均每小时的速度返回． (1)若学校组织学生前往景点C游玩，且恰好在返回校门口，求t的最大值； (2)若，学生在前返回校门口，则学校可能组织学生去A，B，C中的哪几个景点？ 【答案】(1)2 (2)学校可能组织学生去景点A或景点B 【分析】本题考查了不等式的应用，解决本题的关键是熟练掌握通过题目条件找出不等关系并能正确列出不等式， （1）根据题意先计算出时间，再列出不等式求解即可； （2）设景点与校门口的距离为．根据题意得，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ∴， ∴t的最大值为2； （2）解：设景点与校门口的距离为． 根据题意得， 解得． ∴学校可能组织学生去景点A或景点B． 33．（23-24七年级下·山西晋城·期中）对于两个关于的不等式，若有且仅有一个整数，使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式关于整数“互联”．例如：不等式和不等式关于整数“互联”． (1)不等式和关于整数______“互联”； (2)若关于的不等式和关于整数“互联”， ①直接写出的值为______； ②求的最大值； (3)已知不等式和关于整数“互联”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)3 (2)①；② (3) 【分析】本题考查了新定义运算，一元一次不等式组的解法； （1）解不等式得，再根据“互联”的定义即可； （2）①根据定义可得； ②根据题意得，再根据“互联”的定义得； （3）根据题意得，解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 解不等式得， 满足条件的整数有且只有一个：，所以这两个不等式是“互联”的； 故答案为：3． （2）解：①解不等式，得 ∵关于的不等式和关于整数“互联”， ∴， 故答案为：． ②依题意，的整数解为， ∴ 解得： 故的最大值为； （3）解：若不等式和是关于整数 “互联”的， 则满足的整数有且只有一个，为 ∴ 解得： 34．（23-24七年级下·全国·单元测试）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过m元后，超出m元的部分按8折收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按a（a为整数）折收费，累计购物超过1000元后，顾客只需支付折扣后价钱的．某顾客发现，累计购物150元，在两个商场实际支付是一样的； (1)请用含a的式子表示m； (2)若顾客累计购物超过1000元，在乙商场花费少，求a的最大值． 【答案】(1)； (2)a最大值取9 【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用，正确列出代数式和一元一次不等式是解此题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）设累计购物x元，分别表示出在甲、乙商场的实际花费，结合再乙商场花费少得出，分情况讨论解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， 化简整理得：； （2）解：设累计购物x元， 在甲商场实际花费：，    在乙商场实际花费：，   ∵在乙商场花费少 ∴ ∴ ①时，即时，， 又∵ ∴， ， ∵ ∴无解，应舍去 ②时，即时， 又∵ ∴ ， ∴， ∴a最大值取9． 35．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如果一个不等式（组）的解集中包含一个方程（组）的解，那么就称这个不等式（组）的解集为这个方程（组）的“青一范围”，例如：不等式的解集是，它包含了方程方程的解，因此是的“青一范围”． (1)判断：①；②；③，中哪个不等式的解集是方程的“青一范围”； (2)已知是方程的解，不等式组的解集是方程的“青一范围”，求的最小值； (3)若不等式组的解集是方程的“青一范围”，求的取值范围． 【答案】(1)不等式①的解集是方程 的“青一范围” (2)5 (3) 【分析】本题主要考查了方程组及不等式组， （1）分别解不等式和解一元一次方程，再根据“青一范围”的定义即可判断； （2）解不等式组得出，再根据“青一范围”的定义得出，由可知，代入的得，结合的取值可得答案； （3）解不等式组得出，再解一元一次方程得出方程的解，根据不等式组整数解的确定可得答案． 【详解】（1）由题意，方程的解为：， ①不等式的解集为：，②不等式的解集为：，③不等式的解集为：， 不等式①的解集是方程 的“青一范围”． （2）由题意，解不等式组的得：． 是方程的解，不等式组的解集是方程的“青一范围”， ， ， ， ， ， ， ， 当时，有最小值为5． （3）由题意，不等式组， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：． 不等式组的解集为． 又方程的解为， ． ，且． ． ． ． 36．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)，， (2)当或时， (3)当为何值时，有最小值，最小值为 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负数，求出，，再根据中点的性质，即可； （2）根据题意，得到，，，分类讨论：当点在点的左侧时，当点在点的左侧时，解出，即可； （3）综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴线段的中点对应的数为：， 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴， ∵点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒， ∴，，， 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，当或时，． （3）解：由（2）得，点表示数是，点表示数是，点表示的数为，点表示数为； ∵为线段的中点，为线段的中点 ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， ∴ 当点在点的右侧时，， ∴， ∴； ∴； 当点不在点的右侧，且点在点的右侧时， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点不在点的右侧，且点不在点的右侧时 ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 【点睛】本题考查一元一次方程，一元一次不等式，数轴，绝对值等知识，解题的关键是掌握一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，绝对值的非负性的应用，根据题意，列出方程，进行解答，即可． 【经典例题七 解特殊的不等式（组）问题】 37．（23-24七年级下·河南南阳·期中）已知关于x，y的方程组的解满足不等式组．求：满足条件的m的整数值． 【答案】1和2 【分析】方法一：得，，得，，根据不等式组即可求出；方法二：求解二元一次方程组，把方程组的解代入得到关于m的不等式组，即可求解． 【详解】方法一： 解：， 得，， ∵， ∴， 解得：， 得，， ∵， ∴， 解得：， ∴，则满足条件的m的整数值为1和2； 方法二： ， 解得：， 把代入得：， 解得： ∴满足条件的m的整数值为1和2． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤，以及解一元一次不等式组的方法和写出不等式组解集的方法． 38．（23-24七年级下·安徽六安·期中）已知，若，则称x为a，b的偏小值；若，则称x为a，b的偏大值． (1)已知x为和3的偏小值，且x为整数，求x的值； (2)若m为整数，且在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数，请直接写出所有符合条件的m的值． 【答案】(1)0 (2)，，1，2 【分析】题目主要考查新定义的不等式的计算，理解新定义是解题关键． （1）根据题意得出，然后求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，根据题意列出不等式，结合题意求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴； （2）当时，根据题意得：， 当时，即，不成立； ∴，即， ∵在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数， ∴， ∵m为整数， ∴或， ∴或； 当时，根据题意得：， 当时，即，不成立； ∴，即， 当时，，不成立； 当时，，此时，成立； 当时，，此时，成立； 当时，，不成立； 综上可得：或2或或． 39．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式， 解：因为，所以原不等式可化为 由有理数乘法法则“两数相乘，异号得负”，得：①，或②，解不等式组①得，解不等式组②无解，所以原不等式的解集为． (1)用例题的方法解不等式的解集为 　　； (2)解不等式． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）仿照例题的思路，即可解答； （2）由有理数除法法则“两数相除，异号得负”，得：①或②，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）因为， 所以原不等式可化为， 由有理数乘法法则“两数相乘，同号得正”，得： ①或， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 所以原不等式的解集为或， 故答案为：或； （2）由有理数除法法则“两数相除，异号得负”，得： ①或②， 解不等式组①得无解， 解不等式组②得， 所以原不等式的解集为 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，理解例题的思路是解题的关键． 40．（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)请判断组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； (2)若关于的组合是“有缘组合”，求的取值范围； (3)若关于的组合是“无缘组合”，求的取值范围． 【答案】(1)是“无缘组合”，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）分别解方程和不等式，判定是否符合定义； （2）分别解方程和不等式，根据方程的解在不等式的解集范围内确定的取值范围； （3）分别解方程和不等式，根据方程的解不在不等式的解集范围内确定的取值范围. 【详解】（1）解方程，得， 解不等式，得， 不在范围内， 组合是“无缘组合”． （2）解方程，得， 解不等式，得， 关于的组合是“有缘组合， 在范围内， （3）解方程，得， 解不等式，得， 关于的组合是“无缘组合”， ， 解得． 41．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）自学下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：；等．那么如何求出它们的解集呢？ 根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：若，，则；若，，则；若，，则；若，，则． （1）反之：若，则或；若，则______或_______． （2）根据上述规律，求不等式的解集． （3）直接写出分式不等式的解集___________． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或 【分析】（1）根据有理数的运算法则，两数相除，同号得正，异号得负即可解答. （2）根据不等式大于0得到分子分母同号，再分类讨论即可. （3）观察不等式后，发现分子相同且为正数，故只需要比较分母，再对分母的正负性进行分类讨论即可. 【详解】解：(1)若，则分子分母异号，故 或 故答案为： 或 . (2)∵不等式大于0，∴分子分母同号，故有： 或 解不等式组得到：或. 故答案为：或. (3)由题意知，不等式的分子为是个正数，故比较两个分母大小即可. 情况①：时，即时，，解得：. 情况②：时，即时，，解得：. 情况③：时，此时无解. 故答案为：或. 【点睛】本题借助有理数的除法法则考查了不等式的解法，题目比较新颖，需要进行分类讨论，将分式型不等式化成不等式组的形式处理是解决此题的关键；第3问中分子相同且为正数，故对分母的大小及正负性分类讨论. 42．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）阅读下列材料： [数学问题]已知x−y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围． [问题解决]∵x−y＝2，∴x＝y+2 又∵x＞1， ∴y+2＞1，∴y＞−1 又∵y＜0， ∴−1＜y＜0① 同理得：1＜x＜2② 由①+②得：−1+1＜x+y＜0+2 即：0＜x+y＜2 (1)[类比探究]在数学问题中的条件下，x＋2y的取值范围是 ． (2)已知x−y＝5，且x＞2，y＜0， ①求y的取值范围． ②求x+2y的取值范围． (3)已知y≥1，x＜−1，若x+y＝a（a＞0），直接写出x−2y的取值范围（用含a的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①；② (3)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）仿照阅读材料求出的取值范围； （2）①仿照阅读材料求出y的取值范围；②仿照阅读材料求出x的取值范围，再利用不等式的同号可加性，即可求出x+2y的取值范围； （3）仿照阅读材料分情况讨论出x、y的取值范围，再可以利用不等式的同号可加性，即可求出x−2y的取值范围； 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴①， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，②， 由①+②得：， 即：， 故答案为：； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②∵， ∴①， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，②， 由①+②得：， 即：； （3）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵ ∴当时，，则，故①， 当时，，则，故②， 当时，，则，故③， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴当时，，则④， 当时，，则⑤， 当时，，则⑥， ∴当时，①+④得，则，即， 当时，②+⑤得，则，即， 当时，③+⑥得，则，即． 故答案为：当时，；当时，；当时，． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，二元一次方程的解，理解例题的解题思路，和注意不等式的同号可加性，是隐含的限定条件是解题的关键． 【经典例题八 一元一次不等式组的实际应用】 43．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）某班级计划购买运动会奖品，商店A：每件奖品12元，满10件后，从第11件开始每件打5折；商店B：每件15元，打六折． (1)若该班级需购买x件奖品，分别用x表示在商店A，B的费用； (2)若该班级的经费为200元，在商店A最多能买多少件奖品？ (3)在商店A购买的奖品数量在什么范围内时比在商店B更省钱？请说明理由． 【答案】(1)当时，在商店A购买的费用为元，当时，在商店A购买的费用为元，在商店B购买的费用为元 (2)在商店A最多能购买件奖品； (3)在商店A购买的奖品数量大于时，比在商店B更省钱． 【分析】此题考查了一元一次不等式的应用，列代数式等知识． （1）根据的取值范围分别求出在商店A的费用，根据题意直接求出在商店B的费用； （2）根据题意列出不等式，解不等式即可； （3）分和两种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得，当时，在商店A购买的费用为元， 当时，在商店A购买的费用为元， 在商店B购买的费用为（元） （2）由题意可得，， 解得， ∵为整数， ∴在商店A最多能购买件奖品； （3）在商店A购买的奖品数量大于时，比在商店B更省钱．理由如下： 当时，，解得，不合题意； 当时，，解得， 由上可知，在商店A购买的奖品数量大于时，比在商店B更省钱． 44．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲，乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．五一劳动节假期期间两家商场都让利酬宾．甲商场按累计购物金额的收费，乙商场累计购物金额超过200元后，超出200元的部分按收费．设小红在一个商场累计购物金额为元，其中． (1)根据题意，填写表格（单位：元）： 累计购物金额 500 700 甲商场实际花费 400 乙商场实际花费 550 (2)当取何值时，小红在甲，乙两商场的实际花费相同？ (3)五一劳动节假期期间小红应如何选择这两家商场购物更省钱？ 【答案】(1)见解析 (2)当时，小红在甲，乙两商场的实际花费相同 (3)当小红累计购物金额超过600元时，在乙商场购物更省钱；当小红累计购物金额不足600元时，在甲商场购物更省钱；当小红累计购物金额为600元时，在两商场花费相同 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，关键是将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，列出不等式，进行求解． （1）根据两种购买方案即可求解； （2）小红在甲、乙两商场的实际花费相同即可列方程求解； （3）利用（1）所得代数式，分两种情况列不等式求解． 【详解】（1）解：， 在甲商场购买x元的金额时，实际花费是（元）； （元）， 在乙商场购买x元的金额时，实际花费是． 故填表为： 累计购物金额 500 700 甲商场实际花费 400 560 乙商场实际花费 410 550 （2）解：根据题意，得， 解得， 当时，小红在甲，乙两商场的实际花费相同． （3）解：由，得． 由，得， 当小红累计购物金额超过600元时，在乙商场购物更省钱；当小红累计购物金额不足600元时，在甲商场购物更省钱；当小红累计购物金额为600元时，在两商场花费相同． 45．（2025七年级下·全国·专题练习）六一儿童节当天，七年级（1）班同学在公园里举行义卖活动，他们制作了一定数量的爆米花、蛋挞进行销售，已知爆米花和蛋挞的成本分别为1.5元/份和2元/份，每份爆米花售价比蛋挞少1元，开始，他们一共售出爆米花20份和蛋挞50份，销售利润为200元． (1)求爆米花和蛋挞的售价． (2)临近中午时，他们的销售利润超过了800元，但由于销售量较多，同学们只记得售出爆米花的份数a满足份，则上午至少售出蛋挞几份？ (3)下午，一部分同学继续出售爆米花和蛋挞，另一部分同学组成团队在现场制作冰淇淋用于义卖，冰淇淋的售价为5元/份，租借冰淇淋制作机需要100元，每制作一份冰淇淋需要材料费2元，到结束时，全班同学制作的三种食品共n份全部销售一空，爆米花与蛋挞的份数之比为，制作销售冰淇淋的团队也有盈利，且三种食品的销售总利润恰好为2019元，求n的最大值． 【答案】(1)爆米花的售价为4元，蛋挞的售价为5元 (2)167份 (3)739 【分析】本题主要考查一元一次方程与一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设爆米花的售价为元，则蛋挞的售价为元，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）设上午售出蛋挞份，由题意易得，然后根据可得，进而问题可求解； （3）设制作的爆米花为份，蛋挞为份，则冰淇淋为份，由题意易得，且，进而求解即可 【详解】（1）解：设爆米花的售价为元，则蛋挞的售价为元．根据题意，得： ， 解得， 所以． 答：爆米花的售价为4元，蛋挞的售价为5元． （2）解：设上午售出蛋挞份．根据题意，得： ． 又因为，所以． 又因为是正整数，所以的最小值为167． 答：上午至少售出蛋挞的份数为167份． （3）解：设制作的爆米花为份，蛋挞为份，则冰淇淋为份，根据题意，得： ，且， 解得，且． 因为均为正整数，所以当时，取得最大值，． 所以的最大值为739． 46．（2025七年级下·全国·专题练习）某校社会实践小组开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）．根据信息，解答下列问题． 信息 1．快餐的成分：蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物； 2．快餐总质量为； 3．脂肪所占的百分比为； 4．所含蛋白质质量是矿物质质量的倍 (1)求这份快餐中所含脂肪质量； (2)若碳水化合物占快餐总质量的，求这份快餐所含蛋白质的质量； (3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于，求其中所含碳水化合物质量的最大值． 【答案】(1)这份快餐中所含脂肪质量为； (2)这份快餐所含蛋白质的质量为； (3)所含碳水化合物质量的最大值为． 【分析】（）快餐中所含脂肪质量快餐总质量脂肪所占百分比； （）设所含矿物质的质量为，则所含蛋白质的质量为，所含碳水化合物的质量为，根据题意列出一元一次方程，然后求解即可； （）根据这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于，列出不等式求解即可； 此题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，读懂题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：这份快餐中所含脂肪质量为； （2）解：设这份快餐所含矿物质的质量为，根据题意，得， 解得：， ∴， 答：这份快餐所含蛋白质的质量为； （3）解：设所含矿物质的质量为，则所含蛋白质的质量为，所含碳水化合物的质量为， ∴， 解得：， ∴， 答：所含碳水化合物质量的最大值为． 47．（2024七年级下·全国·专题练习）问题情境：如图1，互相垂直的马路组成十字路口，长为m米，宽为n米，双向安装红绿灯，红绿灯的作用就是不让双方向的车挤在一起，具体来说就是确保一个方向先过，另一个方向再过，并以此规律循环． 安全条件：一般红灯和绿灯的持续时间是不同的，红灯的时间总比绿灯长，例如当东西方向红灯亮时，南北方向的绿灯要经过若干秒才亮，这样才可以确保十字路口的交通安全． 假设当绿灯亮时的最后一秒（即绿灯读数为0）时，骑车人A马上从等待线出发，能及时穿过路口，不会与另一方向绿灯亮时马上从等待线出发的机动车B相撞，就可保证路口的交通安全，所以必须设置合理的红绿灯时间差，才能保证十字路口的通行安全． 实验数据：测试时，通过此路口的自行车平均时速为，机动车平均时速为． 解决问题： (1)骑车人A需要骑行 米才能通过此十字路口？ (2)当机动车B到达一线时，自行车A已经抵达或越过 一线，才可保证路口的交通安全？ (3)若，，，则此路口红绿灯实际时间差．能保证交通安全吗？ (4)欲保证此十字路口交通安全，请直接写出红绿灯时间差t应满足的条件． 【答案】(1) (2) (3)能保证安全，见解析 (4) 【分析】本题主要考查代数式和整数的混合运算，有理数的混合运算，解不等式， （1）由十字路口长为m米，宽为n米，得，则； （2）由机动车B到达EF一线时，自行车A要想安全，故应到GF一线． （3）当自行车A到GF一线时，求得距离和对应时间，当机动车B到达EF一线时，求得时间，比较长短即可； （4）由A过GF比B过EF早一点就行，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵十字路口长为m米，宽为n米， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵机动车B到达一线时， ∴自行车A要想安全，故应到一线， 故答案为：． （3）解：当自行车A到一线时， 距离为：米， ∴时间为：秒， 当机动车B到达一线时， 时间为：秒， 而， 故能保证交通安全． （4）解：∵A过比B过早一点就行， ∴， ∴． 48．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，是某道路停车泊位收费公示牌，现从该收费公示牌中摘录其收费标准，并注解如图表． 一级支路计时 时段/车型 白天时段 夜间时段 小型车 连续停放6小时封顶 连续停放6小时封顶 首小时内（15-60分钟） 首小时后（60分钟后） 20：00至次日8：00 2元/15分钟 2元/15分钟 1元/小时 大型车 2.5元/15分钟 3元/15分钟 1.5元/小时 注解 1、白天时段，车辆进入停车泊位15分钟以内免费，第15分钟开始收费，以小型车为例，记小型车连续停放时间为分钟，当时不收费，当时收费2元，当时收费4元，当时收费6元，当时收费8元，当时收费10元，以此类推． 2、夜间时段，不足1小时按1小时收费． 3、“连续停放6小时封顶”是指当车辆连续停放的时间超过6小时时，只收6小时的停车费． 【初步理解】 （1）夜间时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放8小时，需缴费______元； （2）白天时段，一辆大型车在该道路停车泊位连续停放1小时36分钟，需缴费______元； 【综合应用】 （3）白天时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放一段时间后缴费26元，则该车最多停放了多长时间？（用一元一次不等式解决问题） 【深入探索】 （4）已知一辆小型车与一辆大型车在该道路停车泊位都连续停放5小时，小型车在白天时段停放分钟，大型车在白天时段停放分钟，且．当小型车的停车费高于大型车的停车费是，随的变化而变化，请直接写出的范围及相应的的范围． 【答案】（1）6 （2）19 （3）该车最多停放了195 （4）①当时，；①当时，；③当时，；④当时，；⑤当时， 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等关系式． （1）根据夜间时段停车收费标准，列出算式计算即可求解； （2）根据白天时段停车收费标准，列出算式计算即可求解； （3）设该车停放了分钟，根据一辆小型车在该道路停车泊位连续停放一段时间后缴费26元，列出不等式计算即可求解； （4）根据白天时段停车收费标准和的取值不同，可以写出相应的的范围． 【详解】解：（1）（元） 故答案为：6； （2）（元） 故答案为：19； （1）设该车停放了分钟 由题意得：， 解得： 的最大值为：195 答：该车最多停放了195分钟； （4）①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，； ⑤当时，． 【经典例题九 一元一次不等式（组）的新定义问题】 49．（23-24七年级下·河北承德·期末）我们定义一个新运算，规定：，例如：，据此解答下列问题： (1)若，，分别求出和的值； (2)若满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据列方程组解答即可； （2）根据列不等式解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵，， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了新定义，解二元一次方程组，解一元一次不等式，理解新定义运算法则是解题的关键． 50．（2024七年级下·江苏·专题练习）定义一种新运算“”为：当时，；当时，．例如：，． (1)填空： ； (2)若，求的值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据新定义列出方程，解方程即可求解，注意分类讨论； （3）根据新定义列出一元一次不等式，解不等式即可求解，注意要分类讨论． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）当，即时， 则， ， ， 解得：， 当，即时， 则， ， ， 解得：不合题意，舍去， 综上，若，的值为； （3）当，即时， 则， ， ， ， 当，即时， 则， ， ， 舍去，不合题意， 综上，若，的取值范围为． 【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，解一元一次方程，理解新定义，分类讨论是解题的关键． 51．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）对x，y定义一种新运算T，规定：（其中m，n均为非零常数）．例如． (1)已知，． ①求m，n的值； ②若关于P的不等式组恰好有3个整数解，求a的取值范围． (2)当时，对于任何有理数x，y都成立，请直接写出m，n满足的关系式． 【答案】(1)① ；② (2) 【分析】（1）①根据题目的新定义列出方程组求解即可；②根据①所求的结果代入关于P的不等式组中求出不等式组的解集为，然后根据不等式组只有3个整数解进行求解即可； （2）分别先求出，，然后根据即进行求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得：，即， 解得； ②∵， ∴，即， ∴， ∵关于P的不等式组恰好有3个整数解， ∴， ∴； （2）解：由题意得：，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，整式的混合运算等，正确理解题意是解题的关键． 52．（23-24七年级下·北京顺义·期末）对于任意的实数，定义一种新运算，规定，其中，是非零常数． 如：． (1)填空：= （用含，的代数式表示）； (2)已知，． ①求，的值； ②若关于的不等式组恰好有三个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据规定，进行计算即可解答； （2）①根据规定可得，然后利用加减消元法进行计算即可解答；②根据规定可得，然后把，的值代入可得，再按照解一元一次不等式组的步骤进行计算可得，最后根据题意可得，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）①，， ，， ，， 由题意可列：， 解得：； ②， ， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 不等式组恰好有三个整数解， ， ， 的取值范围为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解二元一次方程组，列代数式，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 53．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；反之，当为非负整数时，如果，则例如：，，，， 试解决下列问题： (1)填空： ______ 为圆周率； 如果，则实数的取值范围为______ ． (2)求满足的所有非负实数的值． (3)若关于的不等式组的整数解有个，求的取值范围． 【答案】(1)①3；② (2)或或 (3) 【分析】（1）①根据题目所给新定义，将的十分位进行四舍五入即可；②根据题意可得，再根据不等式的性质求解即可； （2）根据题意可得：，为整数，设，为整数，将原式改写为，根据题目所给新定义可得，求出k的取值范围，即可求出x， （3）求解不等式组得，根据该不等式组有且只有4个整数解，得出，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：， ， ∴，即， ∴； 故答案为：； （2）解：根据题意可得：，为整数， 设，为整数， 则， ， ，， ， ，，， 则，，； （3）解：， 由①可得：， 由②可得：， ∵不等式组有解， ∴， ∵该不等式组有且只有4个整数解， ∴，则， ∴． 【点睛】此题考查的是新定义类问题和解不等式，理解新定义和掌握不等式的解法是解决此题的关键． 54．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）综合与深究 对实数，，我们定义一种新运算：（其中，常数）．例如：，．已知，． (1)___________，___________． (2)已知，为非负整数，求关于，的方程的解． (3)若关于，的方程组的解满足，且为非负整数，求的值． (4)若关于的不等式恰好有3个正整数解，求n的取值范围． 【答案】(1)2，1 (2)或 (3)0，1，2 (4) 【分析】（1）根据题目定义的新运算，结合，即可得出答案； （2）根据（1）中求解的a、b的值，结合，x，y为非负整数即可解出答案； （3）根据得出，将其两式相加，结合即可得到m的取值范围，再结合m为非负整数即可求解； （4）根据求解得到x的取值范围，再根据恰好有3个正整数解即可得到n的范围． 【详解】（1）解：， 解得：， 故答案为：2,1； （2）解：由（1）知，， 则． ∵x，y为非负整数， ∴或． （3）解：依题意， ①＋②化简得． ∵，即 解得． 又∵m为非负整数， ∴m的值为0或1或2． （4）解：依题意得，解得． ∵此不等式有3个正整数解， ∴， 解得． 【点睛】该题主要考查了二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法，理解题意，掌握二元一次方程组和一元一次不等式组解法是解题的关键；还需注意二元一次方程解答时有多个结果；一元一次不等式组整数解问题也是比较容易出错． 【经典例题十 用一元一次不等式（组）解决几何问题】 55．（23-24七年级下·北京房山·期中）如图，在数轴上，点A，B分别表示数3，-2x+5． （1）求x的取值范围； （2）数轴上表示数-x+4的点应落在________． ①点A的左边；②线段AB上；③点B的右边． 【答案】（1）；（2）②． 【分析】（1）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得不等式，解不等式可得答案； （2）根据x的取值范围，利用不等式的性质可得，然后利用作差法求出，即可得出答案． 【详解】解：（1）由数轴得：， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴，即数轴上表示数－x+4的点在A的右边， 又∵， ∴，即数轴上表示数－x+4的点在点B的左边， ∴数轴上表示数－x+4的点应落在线段AB上，选②． 【点睛】本题考查了数轴、解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 56．（23-24七年级下·江苏南京·期末）用一张面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一个长宽之比为的长方形纸片（裁剪方式见示意图）该长方形纸片的面积可能是吗？请通过计算说明． 【答案】不可能，理由见解析 【分析】设出长方形的长和宽，根据长方形的面积列不等式组确定x的取值范围，再确定长方形面积的取值范围即可得出答案． 【详解】设长方形长和宽分别为、， ∵正方形的面积为， ∴正方形边长为， ， 解得， ， 不可能． 【点睛】本题考查矩形面积的计算方法，不等式组的应用，确定长方形边长及面积的取值范围是得出答案的关键． 57．（23-24七年级下·天津河北·期中）图1所示，在一个长方形广场的四角都设计一块半径相同的四分之一圆形的花坛．若广场的长为m米，宽为n米，圆形的半径为r米． （1）列式表示广场空地的面积． （2）若广场的长为300米，宽为200米，圆形的半径为30米，求广场空地的面积（计算结果保留π）． （3）如图2所示，在（2）的条件下，若在广场的中间再建一个半径为R的圆形花坛，使广场的空地面积不少于广场总面积的，求R的最大整数值（π取3.1）． 【答案】（1）mn﹣πr2，（2）（60000﹣90π）平方米．（3）74米． 【分析】（1）长方形的面积减去半径为r的圆的面积即可． （2）把m=300，n=200，r=30代入即可求出空地的面积， （3）根据面积之间的关系列出不等式，求出不等式的整数解即可． 【详解】（1）由题意得，mn﹣πr2， 答：广场空地的面积为（mn﹣πr2）平方米， （2）把m＝300，n＝200，r＝30代入得， 原式＝300×200﹣π×900＝（60000﹣900π）平方米， 答：广场空地的面积大约为（60000﹣90π）平方米． （3）由题意得， 300×200﹣π×302﹣πR2≥300×200×， 解得R≤74.51， R为最大的整数， 所以R＝74米， 答：R的最大整数值为74米． 【点睛】考查列代数式，代数式求值，正确的列出代数式是关键，把数据代入根据代数式规定的运算进行计算是常用的解题方法． 58．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m． (1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m； (2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）； (3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块? 【答案】(1)1.8；3；4.2 (2) (3)至少需要黑色地砖60块 【分析】本题考查的是图形的变化规律，从图形中找出砖块的变化规律是解题的关键． （1）根据上述图形计算即可； （2）根据（1）中的规律，可知：当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时，； （3）由题可知，，求解即可． 【详解】（1）解：图1的长为：； 图2的长为：； 图3的长为：； 故答案为：1.8；3；4.2； （2）解：根据（1）中的规律，可知： 当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时， ， 故答案为：； （3）解：由题可知，， ， （块， 至少需要黑色地砖块60块． 59．（23-24七年级下·吉林·期末）王聪和张明分别要把两块边长都为60cm的正方形薄钢片制作成两个无盖的长方形盒子(不计粘合部分)． （1）王聪首先在薄钢片的四个角截去边长为10cm的四个相同的小正方形(如图①)，然后把四边折合粘在一起，便得到甲种盒子，则甲种盒子的底面边长为 cm． （2）张明截去两角后(如图②)，沿虚线折合粘在一起，便得到乙种盒子(如图③)．已知乙种盒子底面的长AB是宽BC的2倍，求乙种盒子底面的长和宽． （3）现将一定量的水注入甲种盒子，当甲种盒子注水高度至少为多少时，再倒入乙种盒子后可以将乙种盒子注满．    【答案】（1）40；（2）乙种盒子底面的长为20cm，宽为10cm；（3）5cm． 【分析】（1）根据王聪首先在薄钢片的四个角截去边长为10cm的四个相同的小正方形（如图①），可得甲种盒子底面边长是60-20=40（cm）； （2）设乙种盒子底面的宽BC为xcm，则长AB为2xcm，根据原边长是60cm，结合图形得方程2x+2y=60，解方程即可求解； （3）设当甲种盒子注水高度为ycm时倒入乙种盒子，可将乙种盒子注满，列出不等式40×40y≥20×10×40即可求解． 【详解】解：（1）60-20=40（cm）； 故答案为：40； （2）设乙种盒子底面的宽为xcm，则盒子底面的长为2xcm，依题意有 2x+x+2x+x=60， 解得x=10， 则2x=20． 答：乙种盒子底面的长为20cm，宽为10cm； （3）设当甲种盒子注水高度为ycm时倒入乙种盒子，可将乙种盒子注满， 根据题意得40×40y≥20×10×40， 解得y≥5． 答：当甲种盒子的注水高度至少为5cm时，将水倒入乙种盒子后可以把乙种盒子注满水． 【点睛】考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，此题关键是能够结合图形正确发现等量关系，列出方程．熟悉长方体的体积公式：长方体的体积=长×宽×高． 60．（23-24七年级下·湖北鄂州·期末）为了美化校园环境，争创绿色学校，某县教育局委托园林公司对A，B两校进行校园绿化，已知A校有如图的阴影部分空地需铺设草坪，B校有如图的阴影部分空地需铺设草坪，在甲、乙两地分别有同种草皮3500米和2500米出售，且售价一样，若园林公司向甲、乙两地购买草皮，其路程和运费单价表如下： 路程、运费单价表 A校 B校 路程千米 运费单价元 路程千米 运费单价元 甲地 20 10 乙地 15 20 注：运费单价表示每平方米草皮运送1千米所需的人民币 求：分别求出图1、图2的阴影部分面积； 若园林公司将甲地的草皮全部运往A校，请你求出园林公司运送草皮去A、B两校的总运费； 请你给出一种运送方案，使得园林公司支付出送草皮的总运费不超过15000元． 【答案】(1),;(2)20400元；（3）见解析. 【详解】分析：（1）平移图形后，利用平行四边形面积公式计算即可．     （2）总费用=园林公司将甲地3500m2的草皮全部运往A校的费用+园林公司将乙地100m2的草皮全部运往A校的费用+园林公司将乙地2400m2的草皮全部运往B校的费用．     （3）设甲地草皮运送x m2去A校，有（3500﹣x）m2运往B校，乙地草皮（3600﹣x）m2运往A校，（x﹣1100）m2草皮运往B校．根据题意列出不等式即可解决问题． 详解：（1）图1阴影面积=90×40=3600m2，图2阴影面积=40×60=2400m2．     （2）总运费=3500×20×0.15+100×15×0.2+2400×20×0.2=20400元．     （3）设甲地草皮运送x m2去A校，有（3500﹣x）m2运往B校，乙地草皮（3600﹣x）m2运往A校，（x﹣1100）m2草皮运往B校．依题意得：     　20×0.15x+（3500﹣x）×10×0.15+（3600﹣x）×15×0.20+（x﹣1100）×20×0.20≤1500，且x﹣1100≥0，     解得：1100≤x≤1340．     只要所设计的方案中运往A校的草皮在1100m2～1340m2之间都可．如甲地的草皮运往A校1100m2，运往B校2400m2，乙地草皮运往A校2500m2，总运费14400元．      点睛：本题考查了一元一次不等式的应用，平行四边形的面积公式、运输费用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建不等式解决实际问题，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司 $$