专题03 一元一次不等式与不等式组的应用重难点题型专训（10大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（华东师大版2024）

专题03 一元一次不等式与不等式组的应用重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 用一元一次不等式解决实际问题 题型二 用一元一次不等式解决几何问题 题型三 不等式组的行程问题 题型四 不等式组的工程问题 题型五 不等式组的经济问题 题型六 不等式组的分配问题 题型七 不等式组的方案选择问题 题型八 不等式组的阶梯收费问题 题型九 一元一次不等式组的其他应用 题型十 一元一次不等式组的新定义综合应用 知识点01 盈不足与行程问题 1.盈不足问题 2.行程问题，常用等量关系：路程=速度×时间 知识点02 经济与方案问题 一．经济问题： 常见等量关系： 利润=售价-成本. 利润率=（售价-成本）/成本 X100%. 售价=成本X（1+利润率） 【经典例题一 用一元一次不等式解决实际问题】 【例1】（23-24七年级下·全国·单元测试）北京烤鸭被誉为世界珍味．在某烤鸭公司成立周年庆上，对烤鸭与烤鸭包推出两种优惠方式： 方式一：买1只烤鸭送笼烤鸭包； 方式二：购买烤鸭的数量超过只时，超过的烤鸭与全部烤鸭包打八折． 已知小鑫选择方式一购买只烤鸭和笼烤鸭包，共花费了元；小杰选择方式二购买只烤鸭和笼烤鸭包，共花费了元． (1)求烤鸭与烤鸭包的原价； (2)若小杰准备购买只烤鸭，并为每只烤鸭搭配（）笼烤鸭包，则选择哪种购买方式会更划算？ 1．（23-24七年级下·四川内江·期末）“稻花香里说丰年，听取蛙声一片”桓仁稻花香大米粒似珍珠，晶莹剔透，米饭闻之清香扑鼻，口感柔软劲道，是餐桌上的佳品．某超市决定采购甲、乙两种稻花香大米，已知购买甲种稻花香大米2千克和乙种稻花香大米1千克共需56元；购买甲种稻花香大米1千克和乙种稻花香大米2千克共需要52元． (1)求甲、乙两种稻花香大米每千克采购价分别是多少元？ (2)若该超市准备采购甲、乙两种稻花香大米共1000千克，并且采购费用不多于18000元，则超市最多采购甲种稻花香大米多少千克？ 2．（23-24七年级下·河南新乡·假期作业）如表中有两种手机通话计费方式： 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元分钟） 被叫 方式一 50 150 0.20 免费 方式二 80 350 0.25 免费 （月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费） (1)若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需___________元，按方式二计费需___________元；王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为___________分钟； (2)是否存在某个主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一比选择方式二省钱． 3．（23-24七年级下·天津·期末）某游泳馆今年夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证140元，本人凭证游泳每次再付费18元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费25元，累计超过10次后，超过的部分每次游泳付费打八折．设小明计划今年夏季游泳次数为x（x为大于10的正整数） (1)用含x的式子表示： 游泳次数/次 11 12 … x 方式一付费金额/元 … 方式二付费金额/元 … (2)当x取何值时，小明选择方式一与方式二付费的总金额相等？ (3)当x在什么范围内取值时，选择方式一付费比较省钱？（直接写出结果，不必说明理由） 【经典例题二 用一元一次不等式解决几何问题】 【例2】（23-24七年级下·河南南阳·期末）看图回答问题： (1)内角和为，小明为什么说不可能？ (2)小华求的是几边形的内角和？ (3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？ 1．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 2．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中． (1)若，则的取值范围是 ； (2)当为何值时，； (3)是否存在某一时刻，使．若存在，请求出的值；若不存在请说明理由． 3．（23-24七年级下·福建漳州·期中）如图，这是某大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，若第x个所贴“○”的个数为y． (1)填写下表： x 1 2 3 4 5 … x y 5 8 ______ … ______（用含x的式子表示） (2)若第x个所贴“○”的个数为，求x的值； (3)若第x个所贴的“○”的个数大于，求x的取值范围． 【经典例题三 不等式组的行程问题】 【例3】（23-24七年级下·全国·课后作业）A，B，C，D四座小山的山脚到学校的路程分别是．学校准备组织一次八年级学生登山活动，计划在上午8时出发，以平均每小时的速度前进，登山和在山顶活动的时间为1小时，下山的时间为30分钟，再以平均每小时的速度返回，在下午4时30分前赶回学校．你认为学校可计划登哪几座山?请说明理由． 1．（23-24七年级下·广西桂林·期末）“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”，每年6，7月份是荔枝销售旺季，为了保持荔枝的新鲜度，种植大户李大爷需要合理安排荔枝的采摘整理，装卸搬运和车辆运送事宜．已知从李大爷的种植基地到水果集散中心要走两段道路，一段是三级路，一段是二级路．其中三级路比二级路短，两段路总长为． (1)从种植基地到水果集散中心的路程中，三级路和二级路的路程各是多少？ (2)荔枝采摘整理后要及时送往水果集散中心冷库保鲜，因此装卸搬运和运送时间不能超过6小时．运送过程中，车辆在三级路的行驶速度为30km/h，在二级路的行驶速度为70km/h，那么装卸搬运最多能用多少小时？ 2．（23-24七年级下·山西长治·阶段练习）嘉淇连续记录了他家私家车6天中每天行驶的路程（如下表），以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 路程（km） 10 (1)求这六天一共行驶多少千米？ (2)已知行驶100km需用汽油8升，该私家车24升汽油在上述连续行驶6天后，第七天最多还能行驶多少千米？ 3．（23-24七年级下·吉林长春·期末）春节期间，某同学计划租车去旅行，在看过租车公司的方案后，认为有以下两种方案比较适合（注：两种车型的油耗相同）： 日租金 （单位：元） 免费行驶里程 （单位：千米） 超出部分费用 （单位：元/千米） A型 1200 100 1.5 B型 1500 200 1.2 解决下列问题： (1)如果此次旅行的总行程为1800千米，请通过计算说明租用哪种型号的车划算； (2)设本次旅行行程为x千米，请通过计算说明什么时候选A型车，什么时候选B型车？． 【经典例题4 不等式组的工程问题】 【例4】（23-24七年级下·河南焦作·期末）为了实施“百里画廊”乡村振兴战略工程，我县需要从外地调回一批花卉苗．现有、两种车型，种型的载重量比种车型的载重量多吨，辆种车型与辆种车型的总载重量为吨． (1)求、两种车型的载重量分别是多少吨？ (2)现有花卉苗总重吨，计划用、两种车型共辆将这批花卉苗一次运回，那么至少安排种车型多少辆？ 1．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）某工程队承包了某项工程的管道铺设任务．已知该工程队平均每天铺设管道，在铺设了天后，为了缩短工期，余下的管道铺设任务要在天内含天完成，求该工程队在余下的管道铺设中平均每天至少需要铺设多少米？ 2．（23-24七年级下·重庆彭水·期末）为了促进乡村特色产品的销售，某村政府准备在辖区内新建一条长600米的公路，计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程． (1)求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？ (2)已知甲工程队每天的施工费用为万元，当甲、乙两个工程队同时共同施工10天后甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，若甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元，则乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？ 3．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）我市在创建省级卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治，现有一段长390米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治18米，乙工程队每天整治24米，共用时20天，求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小明同学：设整治任务完成后单工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得； ②小华同学：设整治任务完成后，m表示____，n表示___； 则可列方程组为，请你补全小明、小华两位同学的解题思路； (2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程； (3)若要使工程总时间少于20天，应怎样分配甲乙两队的工程量？                                                     【经典例题五 不等式组的经济问题】 【例5】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）某厂生产一种产品，每件产品的生产成本价始终不变．该厂今年3月份将产品的出厂价定为50元/件，结果销售了3600件；4月份将产品的出厂价定为54元/件，结果销售了3000．已知该厂3月份与4月份销售该产品所获的利润相同．备注：销售利润＝（每件产品的出厂价﹣每件产的成本价）×销售数量． (1)求每件产品的生产成本价； (2)若在生产过程中，平均每生产1件产品产生的污水，为达到环保要求，工厂设计了如表所示的两种污水处理方案并准备实施． 方案 费用 1：排到污水处理厂处理 每处理污水需付12元排污费 2：本厂净化处理后排放 每月排污设备损耗费10000元，且每处理污水需付2元排污费 单纯从经济效益角度考虑，你认为该工厂应如何选择污水处理方案？ 1．（23-24七年级下·上海闵行·阶段练习）某工厂今年生产了一批新产品，现有两种销售方案． 方案一：生产后立即出售该批产品，可获利10000元，然后将该批产品的成本（生产该批产品支出的总费用）和已获利的10000元进行再投资，到年底时再投资又可获利4.8%； 方案二：在年底时售出该批产品，可获利12000元，但要付成本的0.2%作保管费． (1)设该批产品的成本为x元，方案一的获利为元，方案二的获利为元，分别求出、与x的函数关系式； (2)就成本元讨论方案一好，还是方案二好？ 2．（23-24八年级·浙江宁波·期中）象山有着“中国柑橘之乡”的美誉，经营户老张近期主要销售“红美人”和“象山青”两个柑橘品种． 红美人 象山青 进价（元斤） 20 5 售价（元斤） 35 10 (1)上周的“红美人”和“象山青”的进价和售价如下表所示，老张用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，上周售完后一共能赚多少钱？ (2)本周保持进价不变，老张仍用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，但在运输过程中“红美人”损坏了，而“象山青”没有损坏仍按原价销售．要想本周售完后的利润不低于上周的利润，“红美人”的售价最低定为多少？（精确到0.1元） 3．（2025·山东临沂·一模）某纪念品商店购进若干龙年吉祥物钥匙扣和玩偶．已知钥匙扣的进价为 6 元/个，玩偶的进价为 20 元/个，下表是近两天的销售情况： 销售时段 钥匙扣（个） 玩偶（个） 销售收入（元） 第一天 7 4 190 第二天 3 5 180 (1)请尝试求出钥匙扣和玩偶的销售单价． (2)若该商店准备用不超过 685 元再采购钥匙扣和玩偶共 50 个，则该商店至少采购钥匙扣多少个？ 【经典例题六 不等式组的分配问题】 【例6】（2024·贵州黔南·模拟预测）黔南州历史悠久、人文毓秀，每年都吸引无数游客前来游玩．某经销商抓住商机，计划购进当地名产−−我国十大名茶之一的都匀毛尖供游客选购．经调研：春茶毛尖1盒和夏茶毛尖2盒共需要200元；春茶毛尖2盒和夏茶毛尖5盒共需要450元． (1)求春茶毛尖和夏茶毛尖的单价． (2)若该经销商想购进这两种茶叶共100盒，且投入资金不少于7020元，怎样分配两种茶叶的数量才能使投入资金最少？并求出最少资金． 1．（2024·宁夏固原·一模）某加工车间名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉个或螺母个，一个螺钉要配两个螺母， (1)为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少工人生产螺母？ (2)若每一个螺钉的销售利润是元，每一个螺母的销售利润是元，工厂给车间规定每月的销售利润不少于万元，那么名工人每月至少加工多少天才能完成车间任务？ 2．（2024·河南商丘·二模）某校准备利用劳动课开展植树活动，绿化校园.现需要一批铁锹和运土的藤筐，据市场调查，购买把铁锹和个藤筐需花费 元；购买把铁锹和个藤筐需花费 元 (1)求铁锹和藤筐的单价. (2)学校准备购买铁锹和藤筐共件，根据挖土和运土学生的分配，购买铁锹的数量不能超过，而且要求购买铁锹的数量不少于藤筐数量的 则该学校有几种购买方案 3．（2024·山东济南·一模）自发生新冠疫情以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“保民生、促经济”政策，某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年2月份的工资情况信息： 职工 甲 乙 月销售件数（件） 200 180 月工资（元） 6800 6600 (1)试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？ (2)若职工丙今年3月份的工资不低于7000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？ 【经典例题七 不等式组的方案选择问题】 【例7】（23-24七年级下·宁夏银川·期末）某公司40名员工到一景点集体参观，票价为每张10元，该景点规定满40人可以购买团体票，票价打八折．这天恰逢妇女节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠．请你帮助他们选择购票方案． 1．（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）某市某中学要印刷本校高中招生录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务． 甲厂的优惠条件是：按每份定价1.5元的八折收费，另收900元制版费； 乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变，而制版费900元六折优惠． 且甲、乙两厂都规定：一次印刷至少是500份． (1)设印刷数量为份（），则甲厂费用为______元；乙厂的费用______元． (2)如何根据印刷的数量选择比较合算的方案？ (3)如果这个中学要印制2000份录取通知书，那么应选哪个厂？需要多少费用 2．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）锦州市工会号召广大市民积极开展了“献爱心捐款”活动，该市拟用这笔捐款购买，两种物品．经过市场调查发现，今年每套型物品的价格6万元，每套型物品的价格万元，该市准备购买型物品50套，型物品若干套（超过200套）． 某供应商给出以下两种优惠方案： 方案一：“买一送一”，即购买一套型物品，赠送一套型物品； 方案二：“打折销售”，即购买型物品200套以上，超出200套的部分按原价打八折，型物品不打折． (1)设购买型物品套， 选择方案一所需费用为万元，则与的关系式为______． 选择方案二所需费用为万元，则与的关系式为______． (2)选择哪种方案更划算？请说明理由． 3．（23-24七年级下·山东临沂·期末）在“生命，幸“盔”，有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高，某电动自行车店计划分别购进30个安全头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了批发商，他们之间的对话如下： (1)电行动自车店计划购买30个安全头盔和100副手套，若选择方案二共需花费 元． (2)电动自行车店计划购买30个安全头盔和副手套． 若选择方案一购买，需要花费 元（用含的代数式表示）； 若选择方案二购买，需要花费 元（用含的代数式表示）． (3)经理想购买30个安全头盔和副手套，应该如何选择购买方案能更省钱？ 【经典例题八 不等式组的阶梯收费问题】 【例8】（23-24七年级下·四川眉山·期末）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从年月日起执行居民生活用电“阶梯电价”收费标准，具体收费标准见下表．若年月份，该市一户居民用电千瓦时，交电费元， 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时） 不超过千瓦时 超过千瓦时但不超过千瓦时的部分 超过千瓦时的部分 (1)若一户居民用电千瓦时，交电费______元； (2)若一户居民某月用电量超过千瓦时，设用电量为千瓦时，请你用含的代数式表示这户居民应交的电费； (3)试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民一月用电多少千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元？ 1．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下表中有两种移动电话计费方式： 月使用费/元 主叫限定时间/ 主叫超时费/（元/） 方式一 58 200 a 方式二 88 400 0.25 其中，月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费． (1)如果某月主叫时间，按方式二计费应交费______元； (2)如果某月的主叫时间为时，两种方式收费相同，求a的值； (3)在（2）的条件下，如果每月主叫时间超过，请你说明如何选择更省钱？ 2．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）根据以下素材，探索并完成任务． 水费、用水量是多少? 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段引导市民节约用水． 素材2 每户每月用水量不超过15立方米时，水费按a元/立方米收费； 每户每月用水量超过15立方米时，未超过的部分按a元/立方米收费，超过的部分按b元/立方米收费． 素材3 某用户今年4、5月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量/立方米 水费/元 4 16 50 5 20 70 问题解决 任务1 确定用水单价 求a、b的值． 任务2 确定用水量 某用户预算6月份缴水费不超过80元，那么该用户这个月的用水量最多是多少立方米? 3．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，是某道路停车泊位收费公示牌，现从该收费公示牌中摘录其收费标准，并注解如图表． 一级支路计时 时段/车型 白天时段 夜间时段 小型车 连续停放6小时封顶 连续停放6小时封顶 首小时内（15-60分钟） 首小时后（60分钟后） 20：00至次日8：00 2元/15分钟 2元/15分钟 1元/小时 大型车 2.5元/15分钟 3元/15分钟 1.5元/小时 注解 1、白天时段，车辆进入停车泊位15分钟以内免费，第15分钟开始收费，以小型车为例，记小型车连续停放时间为分钟，当时不收费，当时收费2元，当时收费4元，当时收费6元，当时收费8元，当时收费10元，以此类推． 2、夜间时段，不足1小时按1小时收费． 3、“连续停放6小时封顶”是指当车辆连续停放的时间超过6小时时，只收6小时的停车费． 【初步理解】 （1）夜间时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放8小时，需缴费______元； （2）白天时段，一辆大型车在该道路停车泊位连续停放1小时36分钟，需缴费______元； 【综合应用】 （3）白天时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放一段时间后缴费26元，则该车最多停放了多长时间？（用一元一次不等式解决问题） 【深入探索】 （4）已知一辆小型车与一辆大型车在该道路停车泊位都连续停放5小时，小型车在白天时段停放分钟，大型车在白天时段停放分钟，且．当小型车的停车费高于大型车的停车费是，随的变化而变化，请直接写出的范围及相应的的范围． 【经典例题九 一元一次不等式组的其他应用】 【例9】（23-24七年级下·山西运城·期末）综合与实践：某学校计划购进一些足球和篮球，采购员第一次购进了足球个，篮球个，共花费元；第二次购进时，足球每个涨价，篮球每个优惠，采购员又购进了个足球和个篮球，共花费元． (1)求第一次购进的足球和篮球的单价． (2)如果第三次采购是以第一次的价格进行采购，采购员花了元购进若干篮球和足球，问在第三次购进的足球数量不低于个且不多于个的情况下，采购员有哪几种购买方案？ 1．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）今年的巴黎奥运会引发全民乒乓球热．某体育用品店准备购进甲，乙品牌乒乓球两种，若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元． (1)求购进甲，乙两种乒乓球每个各需多少元； (2)若该体育用品店刚好用了购进这两种乒乓球共100个，考虑顾客需求，要求购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的三分之一，且甲种乒乓球数量不多于28个，那么该文具店共有哪几种进货方案？ 2．（2024·山东日照·模拟预测）某汽车销售公司经销某品牌A，B两款汽车，今年一、二月份销售情况如表所示：（A，B两款汽车的销售单价保持不变） 销售数量（辆） 销售额（万元） A款 一月份  30 二月份  10 B款 10 30 350 330 (1)求A，B两款汽车每辆售价分别多少万元？ (2)若A款汽车每辆进价为万元，B款汽车每辆进价为万元，公司预计用不多于129万元且不少于123万元的资金购进这两款汽车共20辆，有哪几种进货方案？ (3)为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，请确定a的取值，并说明理由． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）根据下表素材，探索完成任务； 背景 某校为了丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”． 素材1 每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵20元，买5套甲种和10套乙种共用1300元． 素材2 某校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共150套，总费用不超过12640元． 素材3 购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的4倍． 问题解决 任务1 求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少？ 任务2 请问有哪几种购买方案？ 【经典例题十 一元一次不等式组的新定义综合应用】 【例10】（23-24七年级下·福建泉州·期末）定义：对于任何有理数m，符号表示不大于m的最大整数．例如：，，． (1)填空：_______，________． (2)求方程的整数解； (3)如果，求满足条件的x的取值范围． 1．（2024·浙江宁波·一模）请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题． （1）若x⊕y=1，x⊕2y=﹣2，分别求出x和y的值； （2）若x满足x⊕2≤0，且3x⊕（﹣8）＞0，求x的取值范围． 2．（23-24七年级下·福建漳州·期中）新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n－≤x＜n＋，则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n－≤x＜n＋．例如：＜0.1＞＝＜0.49＞＝0，＜1.51＞＝＜2.48＞＝2，＜3＞＝3， ＜4.5＞＝＜5.25＞＝5，… 试解决下列问题： (1)＜π＋2.4＞＝　 （π为圆周率）； (2)如果＜x﹣1＞＝4，求数x的取值范围； (3)求出满足＜x＞＝x﹣1的x的取值范围． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）阅读理解： 材料一，对于任意实数a，我们规定表示不大于a的最大整数．例如：，，． 材料二：对于任意实数，我们定义一种新运算，等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中叫做线性数的一个数对． (1)_______， _______； (2)如果，求满足条件的所有整数x； (3)若线性数的值为1，求x的值． 1．（23-24七年级下·全国·期中）市内某小区正在紧张建设中，现有大量的沙石需要运输，“不凡”车队分别有载重为8 吨的卡车5辆、10吨的卡车7辆，该工程需要一次运输沙石超过165吨，为了完成任务，车队准备再购买这两种卡车共6辆（可以购买两种，也可以购买一种），则购买方案有（　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．（23-24七年级下·浙江湖州·阶段练习）某学校食堂窗口销售烤肠、汉堡、可乐和盒饭四个品种的食品，每个品种的单价均为整数，其中，汉堡的单价比烤肠的单价多3元，可乐的单价比烤肠的单价高，盒饭的单价是汉堡单价的4倍与可乐单价的差．某日，烤肠和汉堡一共销售了120份，且烤肠的销售大于40份，盒饭与烤肠的销售量之和不超过400份，而可乐的销售量为60份．当日这四种食物的平均售价是汉堡单价的倍，则四种食物当日销售总量的最大值为（    ） A．504 B．506 C．534 D．536 3．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） A类 50 25 B类 200 20 C类 400 15 例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于40~50次之间，则最省钱的方式为(   ) A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡 C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡 4．（2024·山东·模拟预测）根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为； ②1班学生的最低身高小于； ③2班学生的最高身高大于或等于． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）小杰到学校食堂买饭，看到，两窗口前面排队的人一样多（设为人，，且为偶数），就站在窗口队伍的后面，过了分钟，他发现窗口每分钟有人买了饭离开队伍，窗口每分钟有人买了饭离开队伍，且窗口队伍后面每分钟增加人．若小杰迅速从窗口队伍转移到窗口队伍后面重新排队，且到达窗口所花的时间比继续在窗口排队到达窗口所花的时间少，若不考虑其他因素，则的最小整数是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）某种商品每件的进价为120元，标价为180元，为扩大营销，某网店准备打折销售，若要保证利润率不低于20%，商店最多打 折． 7．（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图，周日下午八年级某班小明想到A站乘公交车返校上学，发现他与公交车的距离为．假设公交车的速度是小明速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为 m． 8．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）嘉兴某玩具城计划购进A、、三种玩具，其进价和售价．如下表： 玩具名称 进价（元/件） 售价（元/件） A 现在元购买件玩具，若销售完这些玩具获得的最大利润是元，则A玩具最多购进 件． 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如表： 月用电量 电费价格／［元／ 0.48 0.52 0.78 七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过元，则李叔家七月份最多可用电_______． 10．（23-24七年级下·江西新余·阶段练习）习总书记说：“绿水青山就是金山银山”．为响应习总书记号召，重庆市政府启动了长江流域综合治理工程，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队速度是乙队速度的．已知甲队每月施工费用为万元，比乙队多万元，按要求该工程总费用不超过万元，工程必须在一年内竣工包括个月为了确保经费和工期，采取甲队做个月，乙队做个月、均为整数分工合作的方式施工，则的值为 ． 11．（23-24七年级下·全国·课后作业）为了解决雨季时城市内涝的难题，某市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了．按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务． (1)实际施工时，每天改造地下管网的长度是多少？ (2)施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么之后每天至少需要改造地下管网多少米？ 12．（23-24七年级下·江苏·周测）如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．    13．（23-24七年级下·湖北随州·期末）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下： 型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元） 型 27000 型 12000 已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%． (1)求，两种型号的机器人的进价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？ 14．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 15．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）根据以下素材，探索完成任务， 如何确定木板分配方案？ 素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算推销自己的手工制品，他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，． 素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 无盖收纳盒20元/个； 有盖收纳盒30元/个． 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 在任务2的条件下，为了提高利润，小明打算把图1裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张图1余料可以制成4块茶杯垫，以5元/块的价格出售，请确定木板分配方案，并求出销售后获得的最大利润． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元一次不等式与不等式组的应用重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 用一元一次不等式解决实际问题 题型二 用一元一次不等式解决几何问题 题型三 不等式组的行程问题 题型四 不等式组的工程问题 题型五 不等式组的经济问题 题型六 不等式组的分配问题 题型七 不等式组的方案选择问题 题型八 不等式组的阶梯收费问题 题型九 一元一次不等式组的其他应用 题型十 一元一次不等式组的新定义综合应用 知识点01 盈不足与行程问题 1.盈不足问题 2.行程问题，常用等量关系：路程=速度×时间 知识点02 经济与方案问题 一．经济问题： 常见等量关系： 利润=售价-成本. 利润率=（售价-成本）/成本 X100%. 售价=成本X（1+利润率） 【经典例题一 用一元一次不等式解决实际问题】 【例1】（23-24七年级下·全国·单元测试）北京烤鸭被誉为世界珍味．在某烤鸭公司成立周年庆上，对烤鸭与烤鸭包推出两种优惠方式： 方式一：买1只烤鸭送笼烤鸭包； 方式二：购买烤鸭的数量超过只时，超过的烤鸭与全部烤鸭包打八折． 已知小鑫选择方式一购买只烤鸭和笼烤鸭包，共花费了元；小杰选择方式二购买只烤鸭和笼烤鸭包，共花费了元． (1)求烤鸭与烤鸭包的原价； (2)若小杰准备购买只烤鸭，并为每只烤鸭搭配（）笼烤鸭包，则选择哪种购买方式会更划算？ 【答案】(1)烤鸭的原价为元/只，烤鸭包的原价为元/笼； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、方案选择、一元一次不等式的应用．解决本题的关键是根据不同的购买方式列不等式． 设烤鸭的原价为元/只，烤鸭包的原价为元/笼，根据小鑫和小杰的购买方式和费用列二元一次方程组，解方程组求出烤鸭和烤鸭包的单价； 分别用含的代数式表示出两种购买方式所需的费用，如果按照方式一购买划算，可得不等式；如果按照方式二购买划算，可得不等式；如果两种购买方式所需费用相同，则可得方程，解不等式可以确定当购买不同数量的烤鸭时选用哪种方式更划算． 【详解】（1）解：设烤鸭的原价为元/只，烤鸭包的原价为元/笼， 根据题意得：， 解得：， 答：烤鸭的原价为元/只，烤鸭包的原价为元/笼； （2）解：方式一的费用为元， 方式二的费用为元． 当，解得．选择方式一的购买方式更划算； 当，解得时，选择方式二的购买方式更划算； 当，解得时，两种购买方式一样划算． 答：当为每只烤鸭搭配烤鸭包数量为笼时，两种购买方式一样划算； 当为每只烤鸭搭配的烤鸭包数量小于笼时，选择方式一更划算； 当为每只烤鸭搭配的烤鸭包数量大于笼时，选择方式二更划算． 1．（23-24七年级下·四川内江·期末）“稻花香里说丰年，听取蛙声一片”桓仁稻花香大米粒似珍珠，晶莹剔透，米饭闻之清香扑鼻，口感柔软劲道，是餐桌上的佳品．某超市决定采购甲、乙两种稻花香大米，已知购买甲种稻花香大米2千克和乙种稻花香大米1千克共需56元；购买甲种稻花香大米1千克和乙种稻花香大米2千克共需要52元． (1)求甲、乙两种稻花香大米每千克采购价分别是多少元？ (2)若该超市准备采购甲、乙两种稻花香大米共1000千克，并且采购费用不多于18000元，则超市最多采购甲种稻花香大米多少千克？ 【答案】(1)甲种类型稻花香大米采购价每千克20元，乙种类型稻花香大米采购价每千克16元 (2)500千克 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组和不等式． （1）设甲种类型稻花香大米采购价每千克x元，乙种类型稻花香大米采购价每千克y元，根据“购买甲种稻花香大米2千克和乙种稻花香大米1千克共需56元；购买甲种稻花香大米1千克和乙种稻花香大米2千克共需要52元”即可列出方程组，求解即可； （2）设超市采购甲种稻花香大米m千克，根据“采购费用不多于18000元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲种类型稻花香大米采购价每千克x元，乙种类型稻花香大米采购价每千克y元， 依题意得：， 解得：． 答：甲种类型稻花香大米采购价每千克20元，乙种类型稻花香大米采购价每千克16元． （2）解：设超市采购甲种稻花香大米m千克， 依题意得：， 解得：． 答：超市最多采购甲种稻花香大米500千克． 2．（23-24七年级下·河南新乡·假期作业）如表中有两种手机通话计费方式： 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元分钟） 被叫 方式一 50 150 0.20 免费 方式二 80 350 0.25 免费 （月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费） (1)若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需___________元，按方式二计费需___________元；王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为___________分钟； (2)是否存在某个主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一比选择方式二省钱． 【答案】(1)60，80，430 (2)存在，或 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程、一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程和不等式，再求解． （1）根据“方式一”“方式二”的计费方式，分别求得李明不同通话时间对应的费用即可；设按 “方式二”计费时主叫通话时间为分钟，根据按“方式二”计费列出方程，解方程即可； （2）根据题中所给出的条件，分、、三种情况列一元一次方程并求解； （3）根据题中所给出的条件，分、、三种情况列一元一次不等式并求解即可得到答案． 【详解】（1）李明按方式一计费元， 李明按方式二计费元， 设王华该月主叫通话时间为分钟， ∵王华某月按方式二计费需100元 ∴ ∴ 故答案为：60，80，430； （2）结合题意，分、、三种情况， 当时，方式一计费方式二计费，不符合题意； 当时， ∵方式一和方式二的计费相等 ∴， ∴； 当时， ∵方式一和方式二的计费相等 ∴， ∴； ∴或时，按方式一和方式二的计费相等 （3）当时，方式一计费方式二计费，符合题意； 当时， ∵方式一计费方式二计费 ∴， ∴； 当时， ∵方式一计费方式二计费 ∴， ∴； ∴或时，选择方式一比选择方式二省钱． 3．（23-24七年级下·天津·期末）某游泳馆今年夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证140元，本人凭证游泳每次再付费18元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费25元，累计超过10次后，超过的部分每次游泳付费打八折．设小明计划今年夏季游泳次数为x（x为大于10的正整数） (1)用含x的式子表示： 游泳次数/次 11 12 … x 方式一付费金额/元 … 方式二付费金额/元 … (2)当x取何值时，小明选择方式一与方式二付费的总金额相等？ (3)当x在什么范围内取值时，选择方式一付费比较省钱？（直接写出结果，不必说明理由） 【答案】(1)； (2)当时，小明选择方式一与方式二付费的总金额相等 (3)当时，选择方式一付费比较省钱 【分析】本题主要考查了用代数式表示式，一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用． （1）根据题意分别用x分别表示出方式一付费金额和方式二付费金额． （2）令，解一元一次方程即可得出答案． （3）根据题意列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：当游泳次数为x时， 方式一付费金额为：， 方式二付费金额为： （2）解： 即， 解得：， 故当时，小明选择方式一与方式二付费的总金额相等． （3）解：根据题意， 解得：， 当时，选择方式一付费比较省钱 【经典例题二 用一元一次不等式解决几何问题】 【例2】（23-24七年级下·河南南阳·期末）看图回答问题： (1)内角和为，小明为什么说不可能？ (2)小华求的是几边形的内角和？ (3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)13边形的内角和 (3)能，这个外角为 【分析】本题主要考查了多边形内角和，一元一次不等式的应用．解决本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式．n边形的内角和是． （1）n边形的内角和是，因而内角和一定是180度的倍数，据此可进行解答； （2）设这个多边形的边数为n，根据已知可得，进行求解即可，注意n为正整数； （3）根据上面的结果求出这个多边形的内角和，再用减去求出的结果，计算即可． 【详解】（1）∵不是的整数倍， ∴小明说不可能． （2）设这个多边形的边数为n， 由题意，得． 解得． ∵n为整数， ∴． ∴小华求的是13边形的内角和． （3）∵当时，， ， ∴这个外角为． 1．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)，， (2)当或时， (3)当为何值时，有最小值，最小值为 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负数，求出，，再根据中点的性质，即可； （2）根据题意，得到，，，分类讨论：当点在点的左侧时，当点在点的左侧时，解出，即可； （3）综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴线段的中点对应的数为：， 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴， ∵点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒， ∴，，， 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，当或时，． （3）解：由（2）得，点表示数是，点表示数是，点表示的数为，点表示数为； ∵为线段的中点，为线段的中点 ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， ∴ 当点在点的右侧时，， ∴， ∴； ∴； 当点不在点的右侧，且点在点的右侧时， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点不在点的右侧，且点不在点的右侧时 ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 【点睛】本题考查一元一次方程，一元一次不等式，数轴，绝对值等知识，解题的关键是掌握一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，绝对值的非负性的应用，根据题意，列出方程，进行解答，即可． 2．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中． (1)若，则的取值范围是 ； (2)当为何值时，； (3)是否存在某一时刻，使．若存在，请求出的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）由可得出，然后根据点的速度和运动时间列出不等式，解之即可得出结论； （2）分别表示出和的长度，由即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由结合可得出 点在线段上，根据平行线的性质可得出和的高相等，进而可得出，即，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 解得：， 当时，， 故答案为：； （2）由题意得：，， 或， ， 或， 解得：或， 即或时，； （3）， 点在线段上， ， 和的高相等， ， 即， 解得：， 即当秒时，． 3．（23-24七年级下·福建漳州·期中）如图，这是某大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，若第x个所贴“○”的个数为y． (1)填写下表： x 1 2 3 4 5 … x y 5 8 ______ … ______（用含x的式子表示） (2)若第x个所贴“○”的个数为，求x的值； (3)若第x个所贴的“○”的个数大于，求x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据图形规律可得，；，，，，进而得出答案； （2）根据（1）中得出的规律列出方程，求解即可； （3）根据（1）中的结论列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：，； ，； ，； ，； ∴； 故答案为：，； （2）根据题意可得：， 解得：； （3）根据题意可得：， 解得：． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，得出图形的变化规律是解本题的关键． 【经典例题三 不等式组的行程问题】 【例3】（23-24七年级下·全国·课后作业）A，B，C，D四座小山的山脚到学校的路程分别是．学校准备组织一次八年级学生登山活动，计划在上午8时出发，以平均每小时的速度前进，登山和在山顶活动的时间为1小时，下山的时间为30分钟，再以平均每小时的速度返回，在下午4时30分前赶回学校．你认为学校可计划登哪几座山?请说明理由． 【答案】、两座小山符合计划． 【分析】设路程为千米，根据在下午4时30分前赶回学校，得出不等式求出的取值范围，继而可作出判断． 【详解】解：设路程为千米， 出发时间为，回家时间，总共花费时间8.5小时，活动时间加登山下山时间为1.5小时， ， 解得：， 、两座小山符合计划． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是设出未知数，求出路程的范围． 1．（23-24七年级下·广西桂林·期末）“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”，每年6，7月份是荔枝销售旺季，为了保持荔枝的新鲜度，种植大户李大爷需要合理安排荔枝的采摘整理，装卸搬运和车辆运送事宜．已知从李大爷的种植基地到水果集散中心要走两段道路，一段是三级路，一段是二级路．其中三级路比二级路短，两段路总长为． (1)从种植基地到水果集散中心的路程中，三级路和二级路的路程各是多少？ (2)荔枝采摘整理后要及时送往水果集散中心冷库保鲜，因此装卸搬运和运送时间不能超过6小时．运送过程中，车辆在三级路的行驶速度为30km/h，在二级路的行驶速度为70km/h，那么装卸搬运最多能用多少小时？ 【答案】(1)三级路的路程是，二级路的路程是 (2)小时 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程和不等式成为解题的关键． （1）设从种植基地到水果集散中心的路程中，三级路的路程是，则二级路的路程是，然后根据等量关系“两段路总长为”列一元一次方程求解即可； （2）设装卸搬运的时间是y小时，然后根据不等式关系“装卸搬运和运送时间不能超过6小时”列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设从种植基地到水果集散中心的路程中，三级路的路程是，则二级路的路程是， 根据题意得：，解得：， ∴． 答：从种植基地到水果集散中心的路程中，三级路的路程是，二级路的路程是． （2）解：设装卸搬运的时间是y小时， 根据题意得：，解得：， ∴y的最大值为． 答：装卸搬运最多能用小时． 2．（23-24七年级下·山西长治·阶段练习）嘉淇连续记录了他家私家车6天中每天行驶的路程（如下表），以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 路程（km） 10 (1)求这六天一共行驶多少千米？ (2)已知行驶100km需用汽油8升，该私家车24升汽油在上述连续行驶6天后，第七天最多还能行驶多少千米？ 【答案】(1)这六天一共行驶282千米 (2)第七天最多还能行驶18千米 【分析】本题考查有理数的应用，一元一次不等式的应用： （1）根据有理数的加法，可得超出或不足部分的路程数，再加上即可得答案； （2）设第七天能行驶千米，依题意得，，解不等式即可得答案． 【详解】（1）解： （千米）， 答：这六天一共行驶282千米； （2）设第七天能行驶千米，依题意得， ， 解之得， 答：第七天最多还能行驶18千米． 3．（23-24七年级下·吉林长春·期末）春节期间，某同学计划租车去旅行，在看过租车公司的方案后，认为有以下两种方案比较适合（注：两种车型的油耗相同）： 日租金 （单位：元） 免费行驶里程 （单位：千米） 超出部分费用 （单位：元/千米） A型 1200 100 1.5 B型 1500 200 1.2 解决下列问题： (1)如果此次旅行的总行程为1800千米，请通过计算说明租用哪种型号的车划算； (2)设本次旅行行程为x千米，请通过计算说明什么时候选A型车，什么时候选B型车？． 【答案】(1)租用B型号车划算； (2)时，租用A型车和B型车同样划算，时，租用B型车比较划算，时，租用A型车比较划算． 【分析】（1）租用A型车所需费用为，租用B型车，所需费用为，根据，得到选择B型号车划算； （2）租用A型车所需费用为，租用B型车所需费用为，当时，得到，租用A型车和B型车费用相同，当时，得到，此时租用B型车比较划算，当时，得到，此时用A型车比较划算． 【详解】（1）若租用A型车，所需费用为：， 若租用B型车，所需费用为：， ∵ ∴租用B型号车划算； （2）若租用A型车，所需费用为：， 若租用B型车，所需费用为：， 当，即时，租用A型车和B型车费用相同， 当，即时，租用B型车比较划算， 当，即时，租用A型车比较划算． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程与一元一次不等式的应用，解决问题的关键是熟悉题意，熟练掌握总费用与日租金和超出免费路程部分的费用之间的关系，列式建立方程或不等式． 【经典例题4 不等式组的工程问题】 【例4】（23-24七年级下·河南焦作·期末）为了实施“百里画廊”乡村振兴战略工程，我县需要从外地调回一批花卉苗．现有、两种车型，种型的载重量比种车型的载重量多吨，辆种车型与辆种车型的总载重量为吨． (1)求、两种车型的载重量分别是多少吨？ (2)现有花卉苗总重吨，计划用、两种车型共辆将这批花卉苗一次运回，那么至少安排种车型多少辆？ 【答案】(1)种车型的载重量是吨，种车型的载重量是吨 (2)辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是根据题意正确找出等量关系． （1）设种车型的载重量是吨，种车型的载重量是吨，根据题意列出二元一次方程组，即可求解； （2）设这批花卉苗一次运回安排种车型辆，则安排种车型辆，根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：设种车型的载重量是吨，种车型的载重量是吨， 依题意得：， 解得：， 答：A种车型的载重量是吨，B种车型的载重量是吨； （2）设这批花卉苗一次运回安排种车型辆，则安排种车型辆， 依题意得：， 解得：． 又为整数， 的最小值为． 答：一次性来回至少安排辆种车型． 1．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）某工程队承包了某项工程的管道铺设任务．已知该工程队平均每天铺设管道，在铺设了天后，为了缩短工期，余下的管道铺设任务要在天内含天完成，求该工程队在余下的管道铺设中平均每天至少需要铺设多少米？ 【答案】该工程队余下的管道该工程队平均每天至少需要铺设米． 【分析】本题主要考查了不等式的应用，设该工程队余下的管道该工程队平均每天需要铺设米，根据不等关系，列出不等式，解不等式即可，熟练掌握不等式的应用是解题的关键． 【详解】解：设该工程队余下的管道该工程队平均每天需要铺设米， 根据题意得， 解得：， 答：该工程队余下的管道该工程队平均每天至少需要铺设米． 2．（23-24七年级下·重庆彭水·期末）为了促进乡村特色产品的销售，某村政府准备在辖区内新建一条长600米的公路，计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程． (1)求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？ (2)已知甲工程队每天的施工费用为万元，当甲、乙两个工程队同时共同施工10天后甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，若甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元，则乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？ 【答案】(1)甲、乙两个工程队每天各施工30米，20米 (2)乙工程队每天的施工费用最多是万元 【分析】（1）设甲、乙两个工程队每天各施工x米，y米，根据甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程列出方程组求解即可； （2）设乙工程队每天的施工费用为m万元，根据总费用不超过12万元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两个工程队每天各施工x米，y米， 由题意得，， 解得， 答：甲、乙两个工程队每天各施工30米，20米； （2）解：设乙工程队每大的施工费用为m万元， 由题意得，， 解得， ∴m的最大值为， ∴乙工程队每天的施工费用最多是万元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程组，找到不等关系建立不等式是解题的关键． 3．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）我市在创建省级卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治，现有一段长390米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治18米，乙工程队每天整治24米，共用时20天，求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小明同学：设整治任务完成后单工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得； ②小华同学：设整治任务完成后，m表示____，n表示___； 则可列方程组为，请你补全小明、小华两位同学的解题思路； (2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程； (3)若要使工程总时间少于20天，应怎样分配甲乙两队的工程量？ 【答案】(1)①；②  甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数； (2)见解析 (3)甲工程队整治河道少于米，或乙工程队整治河道大于米 【分析】（1）①小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．根据甲、乙两队共完成米的整治河道任务且共同时天，即可得出关于，的二元一次方程组； ②小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出，表示的意义； （2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论． （3）根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）①         故答案为：；             ② 表示甲工程队工作的天数；表示乙工程队工作的天数 故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数； （2）选择① 解：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．则 解得                  经检验，符合题意 答：甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 选择② 解：设甲工程队工作的天数是天，乙工程队工作的天数是天． 则                            解得                   经检验，符合题意 甲整治的河道长度：米 ；乙整治的河道长度：米 答：甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． （3）解：设甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米，根据题意得出， 解得：， ∴甲工程队整治河道少于米，或乙工程队整治河道大于米 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键． 【经典例题五 不等式组的经济问题】 【例5】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）某厂生产一种产品，每件产品的生产成本价始终不变．该厂今年3月份将产品的出厂价定为50元/件，结果销售了3600件；4月份将产品的出厂价定为54元/件，结果销售了3000．已知该厂3月份与4月份销售该产品所获的利润相同．备注：销售利润＝（每件产品的出厂价﹣每件产的成本价）×销售数量． (1)求每件产品的生产成本价； (2)若在生产过程中，平均每生产1件产品产生的污水，为达到环保要求，工厂设计了如表所示的两种污水处理方案并准备实施． 方案 费用 1：排到污水处理厂处理 每处理污水需付12元排污费 2：本厂净化处理后排放 每月排污设备损耗费10000元，且每处理污水需付2元排污费 单纯从经济效益角度考虑，你认为该工厂应如何选择污水处理方案？ 【答案】(1)每件产品的生产成本价为30元 (2)当该工厂月生产量少于5000件时，选择污水处理方案1省钱；当该工厂月生产量等于5000件时，选择两种污水处理方案费用相同；当该工厂月生产量大于5000件时，选择污水处理方案2省钱 【分析】本题主要考查一元一次方程，一元一次不等式的运用，理解数量关系，正确列出方程，不等式是解题的关键． （1）设每件产品的生产成本价为x元，根据该厂3月份与4月份销售该产品所获的利润相同列一元一次方程求解即可； （2）设该工厂每个月生产y件产品，则每个月产生的污水，根据题意，运用不等式比较方案1与方案2的费用，由此即可求解． 【详解】（1）解：设每件产品的生产成本价为x元， 依题意，得：， 解得：． 答：每件产品的生产成本价为30元． （2）解：设该工厂每个月生产y件产品，则每个月产生的污水， 当选择方案1费用低时，， 解得：； 当选择两种方案费用相同时，， 解得：； 当选择方案2费用低时，， 解得：． ∴当该工厂月生产量少于5000件时，选择污水处理方案1省钱；当该工厂月生产量等于5000件时，选择两种污水处理方案费用相同；当该工厂月生产量大于5000件时，选择污水处理方案2省钱． 1．（23-24七年级下·上海闵行·阶段练习）某工厂今年生产了一批新产品，现有两种销售方案． 方案一：生产后立即出售该批产品，可获利10000元，然后将该批产品的成本（生产该批产品支出的总费用）和已获利的10000元进行再投资，到年底时再投资又可获利4.8%； 方案二：在年底时售出该批产品，可获利12000元，但要付成本的0.2%作保管费． (1)设该批产品的成本为x元，方案一的获利为元，方案二的获利为元，分别求出、与x的函数关系式； (2)就成本元讨论方案一好，还是方案二好？ 【答案】(1)， (2)成本等于30400元时，方案一、方案二一样；成本大于30400元时，方案一好；当成本小于30400元时，方案二好． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，理解所获利润等于投资成本×利润率，根据题意正确列出等量关系和不等关系是本题的关键． （1）通过所获利润等于投资成本×利润率，可直接写出与x的关系式． （2）令得关于x的一元一次方程，解方程求出x，方案一、方案二一样，当，方案一好；当，方案二好． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）解：当时，即， 解得， 当时，即， 解得， 当时，即， 解得， 所以成本等于30400元时，方案一、方案二一样；成本大于30400元时，方案一好；当成本小于30400元时，方案二好． 2．（23-24八年级·浙江宁波·期中）象山有着“中国柑橘之乡”的美誉，经营户老张近期主要销售“红美人”和“象山青”两个柑橘品种． 红美人 象山青 进价（元斤） 20 5 售价（元斤） 35 10 (1)上周的“红美人”和“象山青”的进价和售价如下表所示，老张用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，上周售完后一共能赚多少钱？ (2)本周保持进价不变，老张仍用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，但在运输过程中“红美人”损坏了，而“象山青”没有损坏仍按原价销售．要想本周售完后的利润不低于上周的利润，“红美人”的售价最低定为多少？（精确到0.1元） 【答案】(1)2500元 (2)36.7元斤 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式解决问题． （1）设上周购进“红美人”斤，则利润为元，根据用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤得：，解出的值可得答案； （2）设“红美人”的售价为元斤，根据本周售完后的利润不低于上周的利润得：，解出的范围，即可得到答案． 【详解】（1）解：设上周购进“红美人”斤，则购进“象山青”斤，利润为元， 根据题意得：， 解得， ， 上周售完后一共能赚2500元； （2）解：设“红美人”的售价为元斤， 根据题意得：， 解得， “红美人”的售价最低定为36.7元斤，本周售完后的利润不低于上周的利润． 3．（2025·山东临沂·一模）某纪念品商店购进若干龙年吉祥物钥匙扣和玩偶．已知钥匙扣的进价为 6 元/个，玩偶的进价为 20 元/个，下表是近两天的销售情况： 销售时段 钥匙扣（个） 玩偶（个） 销售收入（元） 第一天 7 4 190 第二天 3 5 180 (1)请尝试求出钥匙扣和玩偶的销售单价． (2)若该商店准备用不超过 685 元再采购钥匙扣和玩偶共 50 个，则该商店至少采购钥匙扣多少个？ 【答案】(1)钥匙扣销售单价为 10 元，玩偶的销售单价为 30 元 (2)该商店至少采购钥匙扣23个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设钥匙扣的销售单价为 x 元，玩偶的销售单价为y 元，利用总价=单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该商店采购钥匙扣a个，则采购玩偶个，利用总价=单价×数量，结合总价不超过685元，可列出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设钥匙扣的销售单价为 x 元，玩偶的销售单价为y 元．根据题意, ， 解得， 答：钥匙扣销售单价为 10 元，玩偶的销售单价为 30 元； （2）解：设该商店采购钥匙扣a个，则采购玩偶个． 根据题意，得   解得 ∵a为正整数， ∴ ∴该商店至少采购钥匙扣23个． 【经典例题六 不等式组的分配问题】 【例6】（2024·贵州黔南·模拟预测）黔南州历史悠久、人文毓秀，每年都吸引无数游客前来游玩．某经销商抓住商机，计划购进当地名产−−我国十大名茶之一的都匀毛尖供游客选购．经调研：春茶毛尖1盒和夏茶毛尖2盒共需要200元；春茶毛尖2盒和夏茶毛尖5盒共需要450元． (1)求春茶毛尖和夏茶毛尖的单价． (2)若该经销商想购进这两种茶叶共100盒，且投入资金不少于7020元，怎样分配两种茶叶的数量才能使投入资金最少？并求出最少资金． 【答案】(1)春茶毛尖的单价为100元/盒，夏茶毛尖的单价为50元/盒 (2)该经销商购进春茶毛尖41盒、夏茶毛尖59盒时，投入的资金最少，最少资金为7050元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键． （1）设春茶毛尖的单价为元/盒，夏茶毛尖的单价为元/盒，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设该经销商购进春茶毛尖盒，则购进夏茶毛尖盒，根据题意建立不等式组，解不等式组可得的取值范围，再结合为正整数，然后根据（1）的结果计算总费用，即可求出总费用最少的购买方案． 【详解】（1）解：设春茶毛尖的单价为元/盒，夏茶毛尖的单价为元/盒． 根据题意，得 解得 答：春茶毛尖的单价为100元/盒，夏茶毛尖的单价为50元/盒． （2）解：设该经销商购进春茶毛尖盒，则购进夏茶毛尖盒． 根据题意，得， 解得． 为整数，且春茶毛尖购进的数量越少，投入资金越少， 最小可取41， 购进夏茶毛尖为（盒）， 最少投入资金为（元）． 答：该经销商购进春茶毛尖41盒、夏茶毛尖59盒时，投入的资金最少，最少资金为7050元． 1．（2024·宁夏固原·一模）某加工车间名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉个或螺母个，一个螺钉要配两个螺母， (1)为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少工人生产螺母？ (2)若每一个螺钉的销售利润是元，每一个螺母的销售利润是元，工厂给车间规定每月的销售利润不少于万元，那么名工人每月至少加工多少天才能完成车间任务？ 【答案】(1)应该分配名工人生产螺钉，名工人生产螺母； (2)天 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，找出题中等量关系是解题的关键． （1）设应分配名工人生产螺母，列出方程求解即可； （2）设名工人每月加工天才能完成车间任务，则，求解即可． 【详解】（1）解：设应分配名工人生产螺母，则 解得： ∴生产螺母的工人数为：（人） （2）解：设名工人每月加工天才能完成车间任务，则 a取整数，（天） ∴至少22天加工才能完成车间任务． 2．（2024·河南商丘·二模）某校准备利用劳动课开展植树活动，绿化校园.现需要一批铁锹和运土的藤筐，据市场调查，购买把铁锹和个藤筐需花费 元；购买把铁锹和个藤筐需花费 元 (1)求铁锹和藤筐的单价. (2)学校准备购买铁锹和藤筐共件，根据挖土和运土学生的分配，购买铁锹的数量不能超过，而且要求购买铁锹的数量不少于藤筐数量的 则该学校有几种购买方案 【答案】(1)铁锹的单价为30元，藤筐的单价为20元． (2)三种方案 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用； （1）设铁锹的单价为 元，藤筐的单价为 元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设购买铁锹把，则购买藤筐个，根据题意列出一元一次不等式，解不等式求正整数解即可求解． 【详解】（1）解：设铁锹的单价为 元，藤筐的单价为 元． 根据题意，得 解得 答：铁锹的单价为元，藤筐的单价为 元． （2）设购买铁锹把，则购买藤筐个． 根据题意，得 ，解得 ． 又， ． 为正整数， 可以取 ，， ∴该学校有3种购买方案 3．（2024·山东济南·一模）自发生新冠疫情以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“保民生、促经济”政策，某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年2月份的工资情况信息： 职工 甲 乙 月销售件数（件） 200 180 月工资（元） 6800 6600 (1)试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？ (2)若职工丙今年3月份的工资不低于7000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？ 【答案】(1)工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各4800元，10元； (2)丙该月至少应销售220件产品． 【分析】（1）设工资分配方案调整后职工的月基本保障工资为x元，销售每件产品的奖励金额y元，根据表格列出关于x与y的方程组，求出方程组的解即可得到结果； （2）设丙该月应销售z件，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可得到结果． 【详解】（1）解：设工资分配方案调整后职工的月基本保障工资为x元，销售每件产品的奖励金额y元， 根据题意得：， 解得：， 则工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各4800元，10元； （2）设丙该月应销售z件， 根据题意得：， 解得：， 则丙该月至少应销售220件产品． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系列方程组与列不等式是解本题的关键． 【经典例题七 不等式组的方案选择问题】 【例7】（23-24七年级下·宁夏银川·期末）某公司40名员工到一景点集体参观，票价为每张10元，该景点规定满40人可以购买团体票，票价打八折．这天恰逢妇女节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠．请你帮助他们选择购票方案． 【答案】当女士恰好是16人时，两种方案所需费用相同；当女士人数少于16人时，购买团体票合算；当女士人数多于16人不超过40人时，购买女士五折票合算 【分析】 此题考查一次函数应用问题的方案问题，利用建立一元一次不等式和一元一次方程，找到方案选择的临界数值是解题的关键．设该公司参观者中有女士人，选择购买女士五折票时所需费用为元，选择购买团体票时所需费用为元，根据题意求得、的函数关系式，分三种情况求得相应的的取值范围：，，． 【详解】 解：设该公司参观者中有女士人，选择购买女士五折票时所需费用为元，选择购买团体票时所需费用为元，根据题意得： ， 整理得， ， 由，得，解得； 由，得，解得； 由，得，解得． ∴当女士恰好是16人时，两种方案所需费用相同；当女士人数少于16人时，购买团体票合算；当女士人数多于16人不超过40人时，购买女士五折票合算． 1．（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）某市某中学要印刷本校高中招生录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务． 甲厂的优惠条件是：按每份定价1.5元的八折收费，另收900元制版费； 乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变，而制版费900元六折优惠． 且甲、乙两厂都规定：一次印刷至少是500份． (1)设印刷数量为份（），则甲厂费用为______元；乙厂的费用______元． (2)如何根据印刷的数量选择比较合算的方案？ (3)如果这个中学要印制2000份录取通知书，那么应选哪个厂？需要多少费用 【答案】(1)， (2)印刷数量为份时，甲、乙两厂费用相等；印刷数量份时, 甲厂的费用比乙高；印刷数量大于份时，乙厂费用比甲高； (3)甲厂印刷费用会低，费用为元 【分析】本题考查解方程或不等式得应用． （1）根据题意列代数式即可解题； （2）利用方程或不等式求出取值范围，确定比较合算的方案； （3）根据的取值确定选择合算的方案，并代入计算即可． 【详解】（1）解：设印刷数量为份， 则甲厂的费用为元， 乙厂的印刷费用为元， 故答案为：，； （2）解：当甲、乙两厂费用相等时， ， 解得； 所以印刷数量为份时，甲、乙两厂费用相等； 当甲的费用比乙高时， ， 解得 所以印刷数量份时， 甲厂的费用比乙高； 当乙的费用比甲高时， ， 解得 所以印刷数量大于份时，乙厂费用比甲高； （3）解：中学要印刷份录取通知书， ， 所以此时选甲厂印刷费用会低，费用为：(元)， 答：选择甲厂印刷费用会低，费用为元． 2．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）锦州市工会号召广大市民积极开展了“献爱心捐款”活动，该市拟用这笔捐款购买，两种物品．经过市场调查发现，今年每套型物品的价格6万元，每套型物品的价格万元，该市准备购买型物品50套，型物品若干套（超过200套）． 某供应商给出以下两种优惠方案： 方案一：“买一送一”，即购买一套型物品，赠送一套型物品； 方案二：“打折销售”，即购买型物品200套以上，超出200套的部分按原价打八折，型物品不打折． (1)设购买型物品套， 选择方案一所需费用为万元，则与的关系式为______． 选择方案二所需费用为万元，则与的关系式为______． (2)选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，选择方案一更划算；当时，选择方案一、方案二费用相同；当时，选择方案二更划算 【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式（或一元一次方程）是解题的关键． （1）根据题意，分别求出与的关系式为和与的关系式； （2）分，及三种情况，可分别求出x的取值范围（或x的值），此题得解． 【详解】（1）解：设购买B型物品套，则选择方案一所需费用与的关系式为； 选择方案二所需费用与的关系式为． 故答案为：； （2）解：当时， 解得：， 又∵， ∴； 当时， 解得：； 当时， 解得：． 答：当时，选择方案一更划算；当时，选择方案一、方案二费用相同；当时，选择方案二更划算． 3．（23-24七年级下·山东临沂·期末）在“生命，幸“盔”，有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高，某电动自行车店计划分别购进30个安全头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了批发商，他们之间的对话如下： (1)电行动自车店计划购买30个安全头盔和100副手套，若选择方案二共需花费 元． (2)电动自行车店计划购买30个安全头盔和副手套． 若选择方案一购买，需要花费 元（用含的代数式表示）； 若选择方案二购买，需要花费 元（用含的代数式表示）． (3)经理想购买30个安全头盔和副手套，应该如何选择购买方案能更省钱？ 【答案】(1)5550 (2)， (3)当时，方案一和方案二花费一样；当时，方案一省钱；当时，方案二省钱 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、列代数式、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据方案二的购买方式列式计算即可得解； （2）根据方案一、方案二的购买方式列出代数式即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：（元）； （2）解：由题意可得：若选择方案一购买，需要花费元； 若选择方案二购买，需要花费元； （3）解：当时，解得，故当时，方案一和方案二花费一样， 当时，且，解得，方案二省钱， 当时，且，解得，方案一省钱． 【经典例题八 不等式组的阶梯收费问题】 【例8】（23-24七年级下·四川眉山·期末）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从年月日起执行居民生活用电“阶梯电价”收费标准，具体收费标准见下表．若年月份，该市一户居民用电千瓦时，交电费元， 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时） 不超过千瓦时 超过千瓦时但不超过千瓦时的部分 超过千瓦时的部分 (1)若一户居民用电千瓦时，交电费______元； (2)若一户居民某月用电量超过千瓦时，设用电量为千瓦时，请你用含的代数式表示这户居民应交的电费； (3)试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民一月用电多少千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元？ 【答案】(1) (2)元 (3)不超过千瓦时 【分析】（）根据用电量不超过千瓦时的电费价格为元/千瓦列式计算即可； （）据题意列出方程求出的值，再列代数式表示即可； （）设居民一月用电千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元，根据电费的阶梯价格列不等式求解即可． 【详解】（1）解：， ∴交电费元， 故答案为； （2）解：由题意得，， 解得， 即超过千瓦时候不超过千瓦时的电费价格为元/千瓦时， ∴当一户居民某月用电量超过千瓦时，这户居民应交的电费为元； （3）解：设居民一月用电千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元， 当时，由题意可知，其当月的平均电价每千瓦时均不超过元； 当时，由题意得，， 解得， ∴居民一月用电不超过千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元． 【点睛】本题考查了有理数乘法的应用，一元一次方程的应用，列代数式，一元一次不等式的应用，根据题意正确列式是解题的关键． 1．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下表中有两种移动电话计费方式： 月使用费/元 主叫限定时间/ 主叫超时费/（元/） 方式一 58 200 a 方式二 88 400 0.25 其中，月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费． (1)如果某月主叫时间，按方式二计费应交费______元； (2)如果某月的主叫时间为时，两种方式收费相同，求a的值； (3)在（2）的条件下，如果每月主叫时间超过，请你说明如何选择更省钱？ 【答案】(1)113 (2)0.2 (3)见详解 【分析】（1）根据方式二计费的计费方式即可求解； （2）根据主叫时间为时两种移动电话计费方式收费相同，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）先由（2）得出主叫时间为，两种方式收费相同， 结合时，，此时方式二更省钱，然后找出当时，两种计费方式所收费用，即可得出关于的一元一次方程或一元一次不等式，解之即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：按方式二计费应交费（元． 故答案为：113； （2）解：由题意得，， 解得：， 的值为0.2； （3）解：依题意，由（2）得出主叫时间为，两种方式收费相同， ∴时，，此时方式二更省钱； 当时，按方式二计费应交费（元）． 按方式一计费应交费（元． 当， 解得：， 当， 解得：， 当， 解得：， 当时，选择计费方式一更省钱 当或，两种收费一样省钱 当时，选择计费方式二更省钱； 当时，选择计费方式二省钱； 当时，选择计费方式一省钱． 2．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）根据以下素材，探索并完成任务． 水费、用水量是多少? 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段引导市民节约用水． 素材2 每户每月用水量不超过15立方米时，水费按a元/立方米收费； 每户每月用水量超过15立方米时，未超过的部分按a元/立方米收费，超过的部分按b元/立方米收费． 素材3 某用户今年4、5月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量/立方米 水费/元 4 16 50 5 20 70 问题解决 任务1 确定用水单价 求a、b的值． 任务2 确定用水量 某用户预算6月份缴水费不超过80元，那么该用户这个月的用水量最多是多少立方米? 【答案】任务1：；任务2：6月份用水量最多为22立方米 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组和不等式是解答的关键． 任务1：根据题意和表格数据列方程组求解即可； 任务2：设6月份用水量x立方米，根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：任务1：根据题意，得， 解得； 任务2：设6月份用水量x立方米， ∵当时，， ∴当时，缴水费不超过80元； 当时，由解得， ∴当时，缴水费不超过80元， 故6月份用水量最多为22立方米． 3．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，是某道路停车泊位收费公示牌，现从该收费公示牌中摘录其收费标准，并注解如图表． 一级支路计时 时段/车型 白天时段 夜间时段 小型车 连续停放6小时封顶 连续停放6小时封顶 首小时内（15-60分钟） 首小时后（60分钟后） 20：00至次日8：00 2元/15分钟 2元/15分钟 1元/小时 大型车 2.5元/15分钟 3元/15分钟 1.5元/小时 注解 1、白天时段，车辆进入停车泊位15分钟以内免费，第15分钟开始收费，以小型车为例，记小型车连续停放时间为分钟，当时不收费，当时收费2元，当时收费4元，当时收费6元，当时收费8元，当时收费10元，以此类推． 2、夜间时段，不足1小时按1小时收费． 3、“连续停放6小时封顶”是指当车辆连续停放的时间超过6小时时，只收6小时的停车费． 【初步理解】 （1）夜间时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放8小时，需缴费______元； （2）白天时段，一辆大型车在该道路停车泊位连续停放1小时36分钟，需缴费______元； 【综合应用】 （3）白天时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放一段时间后缴费26元，则该车最多停放了多长时间？（用一元一次不等式解决问题） 【深入探索】 （4）已知一辆小型车与一辆大型车在该道路停车泊位都连续停放5小时，小型车在白天时段停放分钟，大型车在白天时段停放分钟，且．当小型车的停车费高于大型车的停车费是，随的变化而变化，请直接写出的范围及相应的的范围． 【答案】（1）6 （2）19 （3）该车最多停放了195 （4）①当时，；①当时，；③当时，；④当时，；⑤当时， 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等关系式． （1）根据夜间时段停车收费标准，列出算式计算即可求解； （2）根据白天时段停车收费标准，列出算式计算即可求解； （3）设该车停放了分钟，根据一辆小型车在该道路停车泊位连续停放一段时间后缴费26元，列出不等式计算即可求解； （4）根据白天时段停车收费标准和的取值不同，可以写出相应的的范围． 【详解】解：（1）（元） 故答案为：6； （2）（元） 故答案为：19； （1）设该车停放了分钟 由题意得：， 解得： 的最大值为：195 答：该车最多停放了195分钟； （4）①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，； ⑤当时，． 【经典例题九 一元一次不等式组的其他应用】 【例9】（23-24七年级下·山西运城·期末）综合与实践：某学校计划购进一些足球和篮球，采购员第一次购进了足球个，篮球个，共花费元；第二次购进时，足球每个涨价，篮球每个优惠，采购员又购进了个足球和个篮球，共花费元． (1)求第一次购进的足球和篮球的单价． (2)如果第三次采购是以第一次的价格进行采购，采购员花了元购进若干篮球和足球，问在第三次购进的足球数量不低于个且不多于个的情况下，采购员有哪几种购买方案？ 【答案】(1)第一次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元 (2)购买个篮球，个足球；购买个篮球，个足球 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用；找到等量关系与不等关系列出方程组与不等式组是解题的关键． （1）设第一次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元，则第二次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元， 依题意列出方程组，解方程组，然后作答即可． （2）设第三次采购个篮球，则采购了个足球，依题意得，，解不等式，进而实际问题，篮球与足球数量均为正整数，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：设第一次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元，则第二次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元， 依题意得，， 解得，， ∴第一次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元． （2）解：设第三次采购个篮球，则采购了个足球， 依题意得：， 解得：； ∵为正整数，为正整数， ∴或15； ∴购买方案为：购买个篮球，个足球；购买个篮球，个足球． 1．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）今年的巴黎奥运会引发全民乒乓球热．某体育用品店准备购进甲，乙品牌乒乓球两种，若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元． (1)求购进甲，乙两种乒乓球每个各需多少元； (2)若该体育用品店刚好用了购进这两种乒乓球共100个，考虑顾客需求，要求购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的三分之一，且甲种乒乓球数量不多于28个，那么该文具店共有哪几种进货方案？ 【答案】(1)甲球：5元，每个乙球：10元 (2)该文具店共有4种进货方案，方案1：购进25个甲种乒乓球，75个乙种乒乓球；方案2：购进26个甲种乒乓球，74个乙种乒乓球；方案3：购进27个甲种乒乓球，73个乙种乒乓球；方案4：购进28个甲种乒乓球，72个乙种乒乓球 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设购进每个甲种乒乓球需要元，购进每个乙种乒乓球需要元，根据“若购进甲种乒乓球个，乙种乒乓球个，需要元，若购进甲种乒乓球个，乙种乒乓球个，需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该文具店购进个乙种乒乓球，则购进个甲种乒乓球，根据题意，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出各进货方案； 【详解】（1）解：设购进每个甲种乒乓球需要x元，购进每个乙种乒乓球需要y元， 依题意，得：，解得：． 答：购进每个甲种乒乓球需要5元，每个乙种乒乓球需要10元． （2）解：设该文具店购进个甲种乒乓球，则购进个乙种乒乓球， 依题意，得：， 解得：， 又∵为正整数， ∴可以取25，26，27，； 该文具店共有4种进货方案，方案1：购进个甲种乒乓球，个乙种乒乓球；方案：购进个甲种乒乓球，个乙种乒乓球；方案：购进个甲种乒乓球，个乙种乒乓球；方案:购进个甲种乒乓球，个乙种乒乓球． 2．（2024·山东日照·模拟预测）某汽车销售公司经销某品牌A，B两款汽车，今年一、二月份销售情况如表所示：（A，B两款汽车的销售单价保持不变） 销售数量（辆） 销售额（万元） A款 一月份  30 二月份  10 B款 10 30 350 330 (1)求A，B两款汽车每辆售价分别多少万元？ (2)若A款汽车每辆进价为万元，B款汽车每辆进价为万元，公司预计用不多于129万元且不少于123万元的资金购进这两款汽车共20辆，有哪几种进货方案？ (3)为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，请确定a的取值，并说明理由． 【答案】(1)每辆款汽车的售价为9万元，每辆款汽车的售价为8万元 (2)方案1：购进7辆款汽车，13辆款汽车；方案2：购进8辆款汽车，12辆款汽车；方案3：购进9辆款汽车，11辆款汽车 (3)；理由见解析 【分析】（1）设每辆款汽车的售价为万元，每辆款汽车的售价为万元，利用销售金额销售单价销售数量，结合一、二月份的销售数量及销售金额，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进辆款汽车，则购进辆款汽车，利用进货总价进货单价进货数量，结合进货总价不多于129万元且不少于123万元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出各进货方案； （3）根据各种方案利润相同，列出关于a的方程，然后解方程，得出a的值，再进行验证即可． 【详解】（1）解：设每辆款汽车的售价为万元，每辆款汽车的售价为万元， 依题意得：， 解得：， 答：每辆款汽车的售价为9万元，每辆款汽车的售价为8万元． （2）解：设购进辆款汽车，则购进辆款汽车， 依题意得：， 解得：， 又为整数， 可以为7，8，9， 该公司共有3种进货方案， 方案1：购进7辆款汽车，13辆款汽车； 方案2：购进8辆款汽车，12辆款汽车； 方案3：购进9辆款汽车，11辆款汽车． （3）解：；理由如下： 根据题意得：， 解得：， ∵当时，每辆B款汽车获利为：（万元）， 又∵每辆A款汽车获利为：（万元）， ∴当时，两款汽车每辆获利相同， ∴每种方案获利多少与汽车总辆数有关，而与两种汽车各自的辆数无关， ∴三种方案获利相同． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）根据下表素材，探索完成任务； 背景 某校为了丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”． 素材1 每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵20元，买5套甲种和10套乙种共用1300元． 素材2 某校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共150套，总费用不超过12640元． 素材3 购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的4倍． 问题解决 任务1 求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少？ 任务2 请问有哪几种购买方案？ 【答案】任务1：每套甲种“文房四宝”的价格是100元，每套乙种“文房四宝”的价格是80元； 任务2：共有3种购买方案，分别是： 方案1：购进30套甲种“文房四宝”，120套乙种“文房四宝”； 方案2：购进31套甲种“文房四宝”，119套乙种“文房四宝”； 方案3：购进32套甲种“文房四宝”，118套乙种“文房四宝” 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程组求解． 任务1：设每套甲种“文房四宝”的价格是元，每套乙种“文房四宝”的价格是元，根据题意列出方程组求解即可； 任务2：设购进套甲种“文房四宝”，则购进套乙种“文房四宝”，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：任务1：设每套甲种“文房四宝”的价格是元，每套乙种“文房四宝”的价格是元， 根据题意，得 解得 答：每套甲种“文房四宝”的价格是100元，每套乙种“文房四宝”的价格是80元； 任务2：设购进套甲种“文房四宝”，则购进套乙种“文房四宝”， 根据题意，得， 解得， 又为正整数， 可以为， 共有3种购买方案， 方案1：购进30套甲种“文房四宝”，120套乙种“文房四宝”； 方案2：购进31套甲种“文房四宝”，119套乙种“文房四宝”； 方案3：购进32套甲种“文房四宝”，118套乙种“文房四宝”． 答：共有3种购买方案． 【经典例题十 一元一次不等式组的新定义综合应用】 【例10】（23-24七年级下·福建泉州·期末）定义：对于任何有理数m，符号表示不大于m的最大整数．例如：，，． (1)填空：_______，________． (2)求方程的整数解； (3)如果，求满足条件的x的取值范围． 【答案】(1)3，2； (2)x＝−5； (3)7＜x≤． 【分析】（1）根据新定义表示的意义求解； （2）整理方程得【x】＝，根据定义得出x−1＜≤x，解不等式组求得x的取值范围，由【x】是整数，设4x＋5＝3n（n是整数）得到x＝，则−8＜≤−5，解得−9＜n≤−5，即可求得当n＝−5，方程的整数解为x＝−5； （3）根据新定义得出关于x的不等式组，进而可求出x的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：【π】＝3，【−2.1】＋【5.1】＝−3＋5＝2， 故答案为：3，2； （2）∵4x−3【x】＋5＝0， ∴【x】＝， ∴x−1＜≤x， 解得：−8＜x≤−5， ∵【x】是整数， 设4x＋5＝3n（n是整数）， ∴x＝， ∴−8＜≤−5， 解得：−9＜n≤−5， ∵n是整数， ∴n为−8，−7，−6，−5， ∴当n＝−5，方程的整数解为x＝−5； （3）根据题意得：−4≤＜−3， 解得：7＜x≤， 则满足条件的x的取值范围为：7＜x≤． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题目所给的信息进行解答． 1．（2024·浙江宁波·一模）请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题． （1）若x⊕y=1，x⊕2y=﹣2，分别求出x和y的值； （2）若x满足x⊕2≤0，且3x⊕（﹣8）＞0，求x的取值范围． 【答案】（1） ；（2）x的取值范围是﹣2＜x≤ 【分析】（1）根据定义新运算得到二元一次方程组，再解方程组即可求解； （2）根据定义新运算得到一元一次不等式组，再解不等式组即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：，解得：； （2）根据题意得：，解得：﹣2＜x≤． 故x的取值范围是﹣2＜x≤． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组，熟练掌握解一元一次不等式组，二元一次方程组的方法是解答本题的关键． 2．（23-24七年级下·福建漳州·期中）新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n－≤x＜n＋，则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n－≤x＜n＋．例如：＜0.1＞＝＜0.49＞＝0，＜1.51＞＝＜2.48＞＝2，＜3＞＝3， ＜4.5＞＝＜5.25＞＝5，… 试解决下列问题： (1)＜π＋2.4＞＝　 （π为圆周率）； (2)如果＜x﹣1＞＝4，求数x的取值范围； (3)求出满足＜x＞＝x﹣1的x的取值范围． 【答案】(1)6 (2)4.5≤x＜5.5 (3)x=，，4，， 【分析】（1）利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出＜π+2.4＞的值； （2）利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出x的取值范围； （3）利用＜x＞，设，k为整数，得出关于k的不等关系求出即可． 【详解】（1）解：由题意可得：＜π+2.4＞＝6； 故答案为：6， （2）解：∵＜x﹣1＞＝4， ∴3.5≤x﹣1＜4.5， ∴4.5≤x＜5.5； ∴x的取值范围为：4.5≤x＜5.5； （3）解：∵x≥0，x﹣1为整数，设x＝k，k为整数，则x=k， ∴<k＞＝k﹣1， ∴， ∴<k≤， ∴k＝3，4，5，6，7， 则x=，，4，，． 【点睛】此题主要考查一元一次不等式组的应用，根据题意正确理解＜x＞的意义是解题关键． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）阅读理解： 材料一，对于任意实数a，我们规定表示不大于a的最大整数．例如：，，． 材料二：对于任意实数，我们定义一种新运算，等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中叫做线性数的一个数对． (1)_______， _______； (2)如果，求满足条件的所有整数x； (3)若线性数的值为1，求x的值． 【答案】(1)3， (2)，， (3) 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，不等式组的应用，理解题意是解题的关键 （1）由题意知，，，计算求解即可； （2）由，可得，计算求解，然后作答即可； （3）由题意知，，即，由表示不大于a的最大整数，可得，则，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 故答案为：3，； （2）解：∵， ∴， 解得，， ∴满足条件的所有整数x为，，； （3）解：由题意知，， ∴， ∴， 由题意知，表示不大于a的最大整数， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴． 1．（23-24七年级下·全国·期中）市内某小区正在紧张建设中，现有大量的沙石需要运输，“不凡”车队分别有载重为8 吨的卡车5辆、10吨的卡车7辆，该工程需要一次运输沙石超过165吨，为了完成任务，车队准备再购买这两种卡车共6辆（可以购买两种，也可以购买一种），则购买方案有（　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的应用，设购买甲种卡车x辆，则购买乙种卡车辆，根据车队需要一次运输沙石165吨以上列不等式求解即可． 【详解】解：设购买甲种卡车x辆，则购买乙种卡车辆． 依题意得：， 解得． 根据题意，x为非负整数，所以，，． 所以车队有3种购买方案： 方案一：不购买甲种卡车，购买乙种卡车6辆； 方案二：购买甲种卡车1辆，购买乙种卡车5辆； 方案三：甲种卡车2辆，购买乙种卡车4辆． 故选：C． 2．（23-24七年级下·浙江湖州·阶段练习）某学校食堂窗口销售烤肠、汉堡、可乐和盒饭四个品种的食品，每个品种的单价均为整数，其中，汉堡的单价比烤肠的单价多3元，可乐的单价比烤肠的单价高，盒饭的单价是汉堡单价的4倍与可乐单价的差．某日，烤肠和汉堡一共销售了120份，且烤肠的销售大于40份，盒饭与烤肠的销售量之和不超过400份，而可乐的销售量为60份．当日这四种食物的平均售价是汉堡单价的倍，则四种食物当日销售总量的最大值为（    ） A．504 B．506 C．534 D．536 【答案】D 【分析】本题考查了不等式组的应用，设烤肠单价为元，则汉堡单价为元，可乐为元，盒饭为元，从而得出日这四种食物的平均售价为元，设总销售量为份，其中烤肠份，从而表示出，再由得出，即，推出，再代入值进行计算即可，正确列出不等式进行计算是解此题的关键． 【详解】解：设烤肠单价为元，则汉堡单价为元，可乐为元，盒饭为元， 当日这四种食物的平均售价是汉堡单价的倍， 当日这四种食物的平均售价为元， 设总销售量为份，其中烤肠份， 由题意可得： ， 整理得：， ，可知，当不变时，随的增大而增大， ， ， ，即， ∵， ∴, ，，为整数，且是的倍数， 当时，，，此时， 当时，，，此时， 综上所述，销售量最大为， 故选：D． 3．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） A类 50 25 B类 200 20 C类 400 15 例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于40~50次之间，则最省钱的方式为(   ) A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡 C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意是解题的关键，设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据各类会员卡的收费标准列出式子，再由确定y的范围即可得出答案． 【详解】解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元， 根据题意得， 不够买会员卡时，， 购买A类会员年卡，， 购买B类会员年卡，， 购买C类会员年卡，， 当时， ， ， ， ， 当购买C类会员年卡时，消费最低， 最省钱的方式为购买C类会员年卡， 故选：C． 4．（2024·山东·模拟预测）根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为； ②1班学生的最低身高小于； ③2班学生的最高身高大于或等于． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程、不等式的应用，设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为，根据1班班长的对话，得，，然后利用不等式性质可求出，即可判断①，③；根据2班班长的对话，得，，然后利用不等式性质可求出，即可判断②． 【详解】解：设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为， 根据1班班长的对话，得，， ∴ ∴， 解得， 故①错误，③正确； 根据2班班长的对话，得，， ∴， ∴， ∴， 故②正确， 故选：C． 5．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）小杰到学校食堂买饭，看到，两窗口前面排队的人一样多（设为人，，且为偶数），就站在窗口队伍的后面，过了分钟，他发现窗口每分钟有人买了饭离开队伍，窗口每分钟有人买了饭离开队伍，且窗口队伍后面每分钟增加人．若小杰迅速从窗口队伍转移到窗口队伍后面重新排队，且到达窗口所花的时间比继续在窗口排队到达窗口所花的时间少，若不考虑其他因素，则的最小整数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，利用排队时间排队的人数每分钟买了饭离开队伍的人数，结合“小杰从窗口队伍转移到窗口队伍后面重新排队，且到达窗口所花的时间比继续在窗口排队到达窗口所花的时间少”，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最小偶数值，即可得出结论，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 又∵为偶数， ∴的最小值为， 故选：． 6．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）某种商品每件的进价为120元，标价为180元，为扩大营销，某网店准备打折销售，若要保证利润率不低于20%，商店最多打 折． 【答案】八/8 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，解题关键是读懂题意，找到符合题意的不等量关系式，同时要注意掌握利润率的计算方法．打折销售后要保证打折后利率为，因而可以得到不等关系为：利润大于等于进价乘以，设可以打x折，根据不等关系列出不等式求解即可． 【详解】解：设应打x折， 则根据题意得：， 解得：． 故商店最多打八折． 故答案为：八． 7．（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图，周日下午八年级某班小明想到A站乘公交车返校上学，发现他与公交车的距离为．假设公交车的速度是小明速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为 m． 【答案】120 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设小明到站之间的距离为，小明的速度为，则公交车到站之间的距离为，公交车的速度为，利用时间路程速度，结合小明不会错过这辆公交车，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】解：设小明到站之间的距离为，小明的速度为，则公交车到站之间的距离为，公交车的速度为， 根据题意得：， 即， 解得：， 小明到站之间的距离最大为． 故答案为：． 8．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）嘉兴某玩具城计划购进A、、三种玩具，其进价和售价．如下表： 玩具名称 进价（元/件） 售价（元/件） A 现在元购买件玩具，若销售完这些玩具获得的最大利润是元，则A玩具最多购进 件． 【答案】 【分析】设A玩具购进x件，B玩具购进y件，则C玩具购进件，根据元购买件玩具，得出，再根据销售完这些玩具获得的最大利润是元，列出不等式，再解不等式可得答案． 【详解】解：设A玩具购进x件，B玩具购进y件，则C玩具购进件， ∴ ∴ ∴ ∵销售完这些玩具获得的最大利润是3000元， ∴ ∴ ∴ ∴A玩具最多购进件 故答案为： 【点睛】此题主要考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出不等关系是解题关键． 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如表： 月用电量 电费价格／［元／ 0.48 0.52 0.78 七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过元，则李叔家七月份最多可用电_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 先判断出电费是否超过度，然后根据不等关系：七月份电费支出不超过元，列不等式计算即可． 【详解】解：（元）， 李叔家七月份用电量不超过， 设李叔家七月份最用电， 依据题意可得， ， 解得，， 故李叔家七月份最多可用电， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·江西新余·阶段练习）习总书记说：“绿水青山就是金山银山”．为响应习总书记号召，重庆市政府启动了长江流域综合治理工程，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队速度是乙队速度的．已知甲队每月施工费用为万元，比乙队多万元，按要求该工程总费用不超过万元，工程必须在一年内竣工包括个月为了确保经费和工期，采取甲队做个月，乙队做个月、均为整数分工合作的方式施工，则的值为 ． 【答案】2或4 【分析】根据甲乙完成该项工程，列出二元一次方程，找到a、b之间的关系，根据费用不超过141万元列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵由甲、乙两建筑队合做，个月可以完成， ∴甲乙合作的工作速度为， ∵由甲、乙两队独做，甲队速度是乙队速度的， ∴甲的速度：，乙的速度为：， ∴，解得， ∴ 解得， ∵，、均为整数，且，， ∴a=2，或a=4， 故答案为：2或4 【点睛】本题考查了二元一次方程及一元一次不等式的应用，解题时，可把总工程量看作“1”，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 11．（23-24七年级下·全国·课后作业）为了解决雨季时城市内涝的难题，某市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了．按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务． (1)实际施工时，每天改造地下管网的长度是多少？ (2)施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么之后每天至少需要改造地下管网多少米？ 【答案】(1)实际施工时，每天改造地下管网的长度是 (2)之后每天至少需要改造地下管网 【分析】本题主要考查一元一次方程和一元一次不等式解实际应用，理解题意是解题的关键． （1）设原计划每天改造地下管网，则实际施工时每天改造地下管网，根据题意列出方程进行计算即可得到答案； （2）设之后每天改造地下管网．根据题意列出不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设原计划每天改造地下管网，则实际施工时每天改造地下管网． 由题意，得， 解得． ． 故实际施工时，每天改造地下管网的长度是； （2）解：设之后每天改造地下管网． 由题意，得， 解得． 故之后每天至少需要改造地下管网． 12．（23-24七年级下·江苏·周测）如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．    【答案】能，或 【分析】分两段考虑：①点P在上，②点P在上，分别用含t的式子表示出的面积，再由建立不等式，解出t的取值范围即可． 【详解】解：分两种情况： ①当点P在上时，如图1所示：    假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则 解得： 又∵P在上运动，， ∴； ②当点P在上时，    假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则 解得： 又∵P在上运动，， ∴； 综上，存在这样的t，使得的面积满足条件，此时或． 【点睛】此题考查了三角形面积的计算、不等式的解法，注意结合动点问题，分情况讨论解题是关键． 13．（23-24七年级下·湖北随州·期末）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下： 型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元） 型 27000 型 12000 已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%． (1)求，两种型号的机器人的进价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？ 【答案】(1)型机器人的进价为4500元；型机器人的进价为3000元； (2)商场应购买型机器人3台，型机器人2台，总费用为19500元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组并求解是解题的关键． （1）设型机器人的进价为元，则型机器人进价为元，设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据题意列出方程组，解方程即可． （2）设再次购买型机器人台，则购买型机器人台，根据题意列出不等式组，解不等式即可． 【详解】（1）解：设B型机器人进价为元，购进B型机器人台，则型机器人进价为元，购进型机器人台， 根据题意，可列方程， 解得， 即B型机器人进价为3000元，型机器人进价为元． （2）解：设再次购买型机器人a台，则购买型机器人台， 根据题意，得， 解得， 由于为整数，所以， 总费用为元， 故商场应购买型机器人3台，B型机器人2台，总费用为19500元． 14．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 【答案】任务1：共有2种租车方案，如下： 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；方案2：租用A型车3辆，B型车5辆 任务2：花费最少的是方案1，比预算节省了200元 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用——方案问题，熟练掌握并利用一元一次不等式解决实际问题是解题的关键； 任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，根据总载客量不少于305人且总租金不超过2900元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出租车方案； 任务2：求出选择每种租车方案所需总租金，比较后，用2900元减去花费最少的总租金，即可得出结论． 【详解】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆， 根据题意得， 解得， 又因为a为正整数， 所以a可以为或， 当时，， 当时，， 所以共有2种租车方案， 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆； 方案2：租用A型车3辆，B型车5辆； 任务2：选择方案1所需总租金为（元）； 选择方案2所需总租金为（元）． （元）， 花费最少的是方案1，比预算节省了200元． 15．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）根据以下素材，探索完成任务， 如何确定木板分配方案？ 素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算推销自己的手工制品，他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，． 素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 无盖收纳盒20元/个； 有盖收纳盒30元/个． 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 在任务2的条件下，为了提高利润，小明打算把图1裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张图1余料可以制成4块茶杯垫，以5元/块的价格出售，请确定木板分配方案，并求出销售后获得的最大利润． 【答案】任务1：长方体的高度为；任务2：共有3种方案：①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒；②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒；③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒；任务3：方案③利润最大，图1需要85张，图2需要15张，最大利润为2350元 【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式组的应用，找出相等关系或不等关系是解题的关键． 任务1：根据“底面长与宽之比为”列方程求解； 任务2：根据“按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数”列不等式组求解； 任务3：根据题意列出函数表达式，再根据函数的性质求解． 【详解】解：任务1：设长方体的高度为， 则：， 解得：， 答：长方体的高度为； 任务2：设图1方式需要裁剪x张木板，图2方式需要裁剪张木板， ∴， ∴， ∴x的整数解有：83，84，85， ∴共有3种方案：①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒； ②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒； ③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒； 任务3：由题意，根据任务2中的三种方案可得， ①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒，则销售额（元）； ②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒，则销售额（元）； ③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒，则销售额（元）． ∴方案③利润最大，图1需要85张，图2需要15张，最大利润为（元）． 学科网（北京）股份有限公司 $$