专题05 一元一次不等式与不等式组56道含参问题专训（7大题型）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（华东师大版2024）

专题05 一元一次不等式（组）56道含参问题专训（7大题型） 【题型目录】 题型一 根据一元一次不等式解的情况求参数 题型二 一元一次不等式中整数解参数问题 题型三 一元一次不等式的最值问题 题型四 根据一元一次不等式组有解的情况求参数 题型五 根据一元一次不等式组无解的情况求参数 题型六 一元一次不等式组中整数解参数问题 题型七 求参数不等式（组）与方程综合求参问题 【经典例题一 根据一元一次不等式解的情况求参数】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知不等式的解集是，求m的取值范围． 2．（安徽省蚌埠市2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试卷）已知，且P的取值范围如下图所示，求m的取值范围． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于的方程的解为负数，求的取值范围． 4．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）关于的两个不等式：①与②． (1)若两个不等式的解集相同，求的值． (2)若不等式①的解都是②的解，求的取值范围． 5．（23-24七年级下·吉林长春·期中）对于两个不相等的有理数a,b，我们规定符号表示a,b中的较大值，如，，请解答下列问题： （1）_______________； （2）如果，求x的取值范围； （3）如果，求x的值 6．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． (1)在不等式：①；②；③中，不等式的“云不等式”是______；（填序号） (2)若关于x的不等式不是的“云不等式”，求的取值范围． 7．（23-24七年级下·福建厦门·阶段练习）若规定m，n两数之间满足一种运算． 记作，若 ，则．我们叫这样的数对称为“一青一对”．例如：因为．所以 (1)根据上述规定要求, 请完成填空： ， ， ； (2)计算（ ）， 并写出计算过程； (3)在正整数指数幕的范围内，若( 只有两个正整数解，求k的取值范围． 8．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读与理解： 若一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式②是一元一次不等式①的“覆盖不等式”，例如：不等式的解都是不等式的解，则是的“覆盖不等式”． 根据以上信息，解决下列问题： (1)__________的“覆盖不等式”；（填“是”或“不是”） (2)若关于的不等式是的“覆盖不等式”，且也是关于的不等式的“覆盖不等式”，求的值； (3)若是关于的不等式的“覆盖不等式”，试求的取值范围． 【经典例题二 一元一次不等式中整数解个数问题】 9．（2024七年级下·全国·专题练习）已知关于的不等式的负整数解只有四个，求的取值范围． 10．（23-24七年级下·四川自贡·阶段练习）已知不等式的最小整数解是方程的解．求m的值． 11．（23-24七年级下·河南新乡·阶段练习）若不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）计算 (1)求不等式的最大整数解； (2)已知关于x的不等式只有3个负整数解，求m的取值范围． 13．（23-24七年级下·四川·期中）已知：和都是关于、的方程的解． （1）求、的值；    （2）若不等式的最大整数解是，求的取值范围． 14．（24-25七年级下·陕西汉中·阶段练习）已知关于x的方程的解是非负数． (1)求m的取值范围； (2)当m取最大整数时，求关于x的不等式：的最小整数解． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知不等式． (1)求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来； (2)求不等式的所有负整数解； (3)若不等式的解集与不等式的解集相同，求a的值； (4)若不等式的最小整数解也是关于不等式的解，求m的取值范围． 16．（2025七年级下·全国·专题练习）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“友好不等式”． (1)不等式______的“友好不等式”（填“是”或“不是”）． (2)若，关于的不等式与不等式互为“友好不等式”，求取值范围． (3)若关于的不等式不是的“友好不等式”，则取值范围是______． 【经典例题三 一元一次不等式的最值问题】 17．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）已知不等式组 的整数解为4， 3， 2，求整数a的最小值 18．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知2x﹣y＝3． （1）用含x的代数式表示y； （2）若2＜y＜3，求x的取值范围； （3）若﹣1≤x≤2，求y的最小值． 19．（23-24七年级下·四川巴中·阶段练习）已知，且． (1)求的取值范围； (2)若，求的最大值． 20．（2025七年级下·全国·专题练习）已知是整数，且满足下列条件：①，2，3，，2006；②；③．求的最小值和最大值． 21．（2024·山西长治·二模）已知两个整式，，其中系数■被污染． (1)若■是，化简； (2)若时，的值为18． ①说明原题中■是几？ ②若再添加一个常数，使的值不为负数，求的最小值． 22．（2025七年级下·全国·专题练习）某校社会实践小组开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）．根据信息，解答下列问题． 信息 1．快餐的成分：蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物； 2．快餐总质量为； 3．脂肪所占的百分比为； 4．所含蛋白质质量是矿物质质量的倍 (1)求这份快餐中所含脂肪质量； (2)若碳水化合物占快餐总质量的，求这份快餐所含蛋白质的质量； (3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于，求其中所含碳水化合物质量的最大值． 23．（23-24七年级下·四川遂宁·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流讨论后，总结如下解答方法：，因为，所以，从而得到代数式的最小值是4．请你根据上述方法解答下列各题． (1)代数式的最小值是____________； (2)代数式有最大值还是最小值？如果有，求出最值； (3)当a，b为任意实数时，比较代数式与的大小． 24．（23-24七年级下·福建漳州·期末）阅读下列材料：已知，且，，试确定的取值范围. 解： ......① 又......② 由①与②组成不等式组，得 解得 将代入得： （依据不等式性质） （依据不等式性质） 即 的取值范围为： （1）请仿照上述方法，完成问题：已知，且，，试确定的取值范围. （2）若设（1）中，，求的最大值与最小值差的平方根. 【经典例题四 根据一元一次不等式组有解的情况求参数】 25．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式组 (1)如果该不等式组有解，求的取值范围； (2)如果该不等式组有个整数解，求的取值范围． 26．（2024七年级下·全国·专题练习）含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 27．（23-24七年级下·河南新乡·期中）关于x的不等式组． (1)当时，解该不等式组； (2)当时，解该不等式组； (3)若该不等式组有解，但无整数解，则m的取值范围是多少？ 28．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）已知关于x、y的方程组, (1)求方程组的解（用含m的代数式表示）； (2)若，试化简：； (3)若，且x有解，求a的取值范围． 29．（2024七年级下·全国·专题练习）从，，0，1，2这5个数中，选一个数，使关于的不等式组有解，且使关于的一元一次方程的解为负数，求的值． 30．（23-24七年级下·四川眉山·期末）已知，关于的不等式组有解． (1)若上不等式的解集与的解集相同，求的值； (2)若上不等式有个整数解 ①若，求的取值范围； ②若，则的取值范围为______． 31．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a#b=a﹣3b+7，等式右边是通常的加减运算．例如：3#5=3﹣3×5+7． （1）求5#x>0解集； （2）若3m<2#x＜7有解，求x的取值范围； （3）在（2）的条件下，若x的解集中恰有3个整数解，求m的取值范围． 32．（23-24七年级下·福建龙岩·阶段练习）若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含． (1)已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程； (2)已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围； (3)关于x的不等式组E：和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为12，求n的取值范围． 【经典例题五 根据一元一次不等式组无解的情况】 33．（2024·河南鹤壁·一模）已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 34．（23-24七年级下·陕西汉中·期中）已知关于x的不等式组； (1)若该不等式组的解集为，求m的值． (2)若该不等式组无解，则m的取值范围为______． (3)若该不等式组只有4个整数解，求m的整数解． 35．（23-24七年级下·全国·单元测试）关于x的不等式组 (1)不等式组有无数个解，的取值范围是多少？ (2)不等式组只有三个整数解，的取值范围是多少？ (3)不等式组无解，的取值范围是多少？ 36．（23-24七年级下·山西晋城·期末）不等式组， (1)当时，求出此时不等式组的解集并表示在数轴上； (2)要使不等式组无解，直接写出m的取值范围． 37．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解满足且． (1)若关于x的不等式组无解，求所有符合条件的整数a的值； (2)若有解，求所有符合条件的整数a的和． 38．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖．特别地，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式被不等式覆盖；不等式组无解，被其他任意不等式（组）覆盖． (1)下列不等式（组）中，能被不等式覆盖的是_______（多选题）． A．     B．     C．    D． (2)若关于x的不等式被覆盖，请求出m的取值范围． (3)若关于x的不等式被覆盖，请求出m的取值范围． 39．（23-24七年级下·四川遂宁·期中）现场学习：我们学习了由两个一元一次不等式组成的不等式组的解法，知道可以借助数轴准确找到不等式组的解集，即两个不等式的解集的公共部分． (1)解决问题：解不等式组，并利用数轴确定它的解集； (2)拓展探究：由三个一元一次不等式组成的不等式组的解集是这三个不等式解集的公共部分． ①直接写出的解集为_________． ②已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是_________． 40．（23-24七年级下·河南周口·期中）阅读下列材料：根据绝对值的定义，表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点P、Q表示的数为x1，x2时，点P与点Q之间的距离为PQ＝． 根据上述材料，解决下列问题：如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是－4，8（A、B两点的距离用AB表示），点M是数轴上一个动点，表示数m． （1）AB＝ 个单位长度； （2）若＝20，求m的值；（写过程） （3）若关于的方程无解，则a的取值范围是 ． 【经典例题六 一元一次不等式中整数解个数问题】 41．（2025七年级下·全国·专题练习）求不等式组的整数解． 42．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组有5个整数解，求a的取值范围． 43．（24-25七年级下·全国·随堂练习）若关于x的不等式的最大整数解为，求a的取值范围． 44．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）解不等式组． (1)把解集表示在数轴上，并求出整数解； (2)若是此不等式组的最大整数解，求的值． 45．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）（1）已知方程组的解为正数，求的取值范围． （2）若关于的不等式的整数解共有4个，求的取值范围． 46．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知关于x的不等式的正整数解恰好是1，2，3，求a的取值范围． （2）已知不等式组只有一个整数解，试确定a的取值范围． 47．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：对于立信不等式：，当时，；当时，． (1)若关于的不等式的解集是，求不等式的解集； (2)若关于的不等式组的解集中有且只有2个整数解，求的取值范围． 48．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）我们规定若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“关联方程”． 问题解决： (1)方程是不等式组的“关联方程”吗？请说明理由． (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的不等式组的所有“关联方程”只有3个不同整数解，试求的取值范围． 【经典例题七 求参数不等式（组）与方程综合求参问题】 49．（23-24七年级下·河南周口·期末）已知关于x、y的方程组中，，，求m的取值范围． 50．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）若关于、y的方程组的解满足，求的取值范围． 51．（23-24七年级下·福建厦门·期末）已知关于、的方程组． (1)求方程组的解(用含的代数式表示)； (2)若方程组的解满足条件，且．求的取值范围． 52．（23-24七年级下·河南商丘·期末）已知关于的方程组且，． (1)求实数的取值范围； (2)化简． 53．（23-24七年级下·河南商丘·期末）已知关于，的方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)关于的不等式的解为时，可以取哪些整数值？ 54．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知关于x、y的方程组的解满足x≤0，y＜0． (1)用含m的代数式分别表示x和y； (2)求m的取值范围； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1？ 55．（23-24八年级·全国·假期作业）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为2＜x＜5．因为2＜3＜5．所以称方程2x﹣6＝0为不等式组的相伴方程． （1）若关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组的相伴方程，求k的取值范围； （2）若方程2x+4＝0，1都是关于x的不等式组的相伴方程，求m的取值范围； （3）若关于x的不等式组的所有相伴方程的解中，有且只有2个整数解，求n的取值范围． 56．（23-24七年级下·山西长治·期末）同学们学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： (1)阅读理解：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得；解不等式组，得 ∴原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上材料，解不等式． (2)已知关于x，y的方程组的解满足不等式组，求满足条件的m的整数值． 57．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）综合与深究 对实数，，我们定义一种新运算：（其中，常数）．例如：，．已知，． (1)___________，___________． (2)已知，为非负整数，求关于，的方程的解． (3)若关于，的方程组的解满足，且为非负整数，求的值． (4)若关于的不等式恰好有3个正整数解，求n的取值范围． 58．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）题目：已知关于x、y的方程组， 求：（1）若，求a值； （2）若，求a值． 问题解决： （1）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，将可得，又因为，则a值为______； （2）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，若将方程组中的①与②直接进行加减，已经不能解决问题，经过思考，王磊将，，得， 再将得：，又因为，…，请根据王磊的思路，求出m、n及a的值； 问题拓展： （3）已知关于x、y的不等式组，若，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元一次不等式（组）56道含参问题专训（7大题型） 【题型目录】 题型一 根据一元一次不等式解的情况求参数 题型二 一元一次不等式中整数解参数问题 题型三 一元一次不等式的最值问题 题型四 根据一元一次不等式组有解的情况求参数 题型五 根据一元一次不等式组无解的情况求参数 题型六 一元一次不等式组中整数解参数问题 题型七 求参数不等式（组）与方程综合求参问题 【经典例题一 根据一元一次不等式解的情况求参数】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知不等式的解集是，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，理解并掌握不等式的基本性质是解题关键．不等式的基本性质：（1）不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；（2）不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．据此求解即可． 【详解】解：解不等式， 不等式的两边同时减去，得． ∵它的解集是， ， ． 2．（安徽省蚌埠市2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试卷）已知，且P的取值范围如下图所示，求m的取值范围． 【答案】． 【分析】本题考查了一元一次不等式的求解以及数轴表示数的取值范围，解题的关键是先根据数轴得出的取值范围，再通过对的表达式进行变形求解的取值范围． 先从数轴上确定的取值范围，然后将的表达式化简，最后根据的取值范围列出关于的不等式并求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故m的取值范围是． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于的方程的解为负数，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，先按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤得到方程的解为，再根据方程的解为负数列出不等式求解即可． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的方程的解为负数， ∴， 解得． 4．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）关于的两个不等式：①与②． (1)若两个不等式的解集相同，求的值． (2)若不等式①的解都是②的解，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，一元一次方程的解法，理解题意是解本题的关键； （1）先分别解两个不等式，再根据两个不等式的解集相同，可得，再解方程即可； （2）由不等式①的解都是②的解，可得，再解不等式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． ∵两个不等式的解集相同， ∴， 解得． （2）∵不等式①的解都是②的解， ∴， ∴， ∴， 解得． 5．（23-24七年级下·吉林长春·期中）对于两个不相等的有理数a,b，我们规定符号表示a,b中的较大值，如，，请解答下列问题： （1）_______________； （2）如果，求x的取值范围； （3）如果，求x的值 【答案】（1）-1（2）x＞1（3）x=7或x=-5 【详解】分析： （1）根据题意结合有理数的大小比较进行分析解答即可； （2）由题意可得不等式：x>2-x，解此不等式即可求得x的取值范围； （3）根据题意分①x>2-x；②x<2-x两种情况结合绝对值的意义进行分析解答即可. 详解： （1）∵， ∴max{}=； （2）∵max{}=， ∴由题意可得：， 解得：； （3）由题意可得：，根据题意分以下两种情况讨论： ①当，即时，max{}=，， ∵max{}=， ∴，解得：； ②当，即时，，， ∵， ∴，解得； 综上所述，或. 点睛：理解“对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值”这句话的含义，并结合已知条件由题目中所给的式子得到相应的方程或不等式是解答本题的关键. 6．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． (1)在不等式：①；②；③中，不等式的“云不等式”是______；（填序号） (2)若关于x的不等式不是的“云不等式”，求的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式（组）， （1）分别解三个不等式，根据云不等式的定义即可求解； （2）解不等式可得，解不等式得，再根据题意可得，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：①，解得：；②；③，解得：， ∴的“云不等式”是②③ 故答案为：②③； （2）解不等式，可得， 解不等式，得， 关于的不等式不是的“云不等式”， ， 解得， 故的取值范围是． 7．（23-24七年级下·福建厦门·阶段练习）若规定m，n两数之间满足一种运算． 记作，若 ，则．我们叫这样的数对称为“一青一对”．例如：因为．所以 (1)根据上述规定要求, 请完成填空： ， ， ； (2)计算（ ）， 并写出计算过程； (3)在正整数指数幕的范围内，若( 只有两个正整数解，求k的取值范围． 【答案】(1)3；4； 2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，根据不等式的解集情况求参数： （1）根据新定义进行求解即可； （2）根据同底数幂的乘法的法则，结合定义计算. （3）设，，则，，进而求出，则，根据，得到，则，再由只有两个正整数解，得到，即。 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵. ∴； 故答案为3；4；2； （2）解：设，， ∴， ∵ ∴ 故答案为：。 （3）解：设，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵只有两个正整数解， ∴， ∴。 8．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读与理解： 若一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式②是一元一次不等式①的“覆盖不等式”，例如：不等式的解都是不等式的解，则是的“覆盖不等式”． 根据以上信息，解决下列问题： (1)__________的“覆盖不等式”；（填“是”或“不是”） (2)若关于的不等式是的“覆盖不等式”，且也是关于的不等式的“覆盖不等式”，求的值； (3)若是关于的不等式的“覆盖不等式”，试求的取值范围． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式： （1）根据“覆盖不等式”的定义进行求解即可； （2）先解两个不等式，求出两个不等式的解集，再根据两个不等式互为“覆盖不等式”列出关于a的不等式，解之即可得到答案； （3）先解不等式，再根据是关于的不等式的“覆盖不等式”列出关于m的不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵不等式的解都是不等式的解， ∴是的“覆盖不等式”， 故答案为：是； （2）解：解不等式得，解不等式得， ∵关于的不等式是的“覆盖不等式”， ∴， ∴； 又∵也是关于的不等式的“覆盖不等式”， ∴， ∴， ∴； （3）解：解不等式得， ∵是关于的不等式的“覆盖不等式”， ∴， ∴． 【经典例题二 一元一次不等式中整数解个数问题】 9．（2024七年级下·全国·专题练习）已知关于的不等式的负整数解只有四个，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式的解集情况求参数，解不等式组，先按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集为，再根据不等式的负整数解只有四个得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 不等式的负整数解只有四个， 解得． 10．（23-24七年级下·四川自贡·阶段练习）已知不等式的最小整数解是方程的解．求m的值． 【答案】 【分析】此题考查的是一元一次不等式的解，将x的值解出再代入方程即可得出a的值．先将不等式化简求出x的取值，然后取x的最小整数解代入方程，化为关于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值． 【详解】解：由得，， 所以最小整数解为， 将代入中， 解得． 11．（23-24七年级下·河南新乡·阶段练习）若不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值． 【答案】4 【分析】先求出不等式的解集为，得出最小整数解为，把代入求出m的值；把代入求出代数式的值即可． 【详解】解：不等式的解集为：， ∴不等式的最小整数解为， 把代入得：， 解得：， 把代入得： ． 【点睛】本题主要考查了解不等式，解一元一次方程，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤，准确计算． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）计算 (1)求不等式的最大整数解； (2)已知关于x的不等式只有3个负整数解，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式（组），解一元一次不等式（组）是解题的关键． （1）解出不等式的解集即可求解； （2）先根据题干表达出关于m的一元一次不等式组，然后计算即可． 【详解】（1）解：原式去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化成1，得， 不等式的最大整数解为． （2）解：原式去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得． 关于x的不等式只有3个负整数解， ，解得． 13．（23-24七年级下·四川·期中）已知：和都是关于、的方程的解． （1）求、的值；    （2）若不等式的最大整数解是，求的取值范围． 【答案】（1）k的值是2，b的值是﹣1；（2）0≤m＜1． 【分析】（1）把和代入，得到方程组，解方程组可得答案； （2）首先根据一元一次不等式的解法，可得x＜3-m，然后根据不等式3+2x＞m+3x的最大整数解是k，可得2＜3-m≤3，据此求出m的取值范围即可． 【详解】解：（1）∵和都是关于x、y的方程y＝kx+b的解， ∴， ①-②得： 把代入①得： 所以方程组的解是：． ∴k的值是2，b的值是﹣1． （2）∵3+2x＞m+3x， ∴x＜3﹣m， ∵不等式3+2x＞m+3x的最大整数解是，， ∴2＜3﹣m≤3， ∴m的取值范围是：0≤m＜1． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式，解题的关键是掌握解二元一次方程组的能力，并根据不等式的整数解情况列出关于m的不等式组． 14．（24-25七年级下·陕西汉中·阶段练习）已知关于x的方程的解是非负数． (1)求m的取值范围； (2)当m取最大整数时，求关于x的不等式：的最小整数解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，熟练掌握方程和不等式的解法是解题关键． （1）先解一元一次方程求出方程的解，再根据建立不等式，解不等式即可得； （2）先根据（1）的结果求出的值，再代入解一元一次不等式即可得． 【详解】（1）解：， ， 解得， 关于的方程的解是非负数， ，即， 解得． （2）解：，且取最大整数， ， 代入得：， ， ， ， 解得， ∴不等式：的最小整数解为． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知不等式． (1)求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来； (2)求不等式的所有负整数解； (3)若不等式的解集与不等式的解集相同，求a的值； (4)若不等式的最小整数解也是关于不等式的解，求m的取值范围． 【答案】(1)，数轴见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式以及一元一次不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键． （1）解不等式将解集在数轴上表示出来即可； （2）根据解集写出所有负整数即可； （3）解不等式，得，由题意，得，即可得到答案； （4）解不等式，得，根据题意得到，即可得到答案； 【详解】（1）解：解不等式，得，解集在数轴上如图所示； （2）解：不等式的所有负整数解为； （3）解：解不等式，得， 由题意，得， 解得； （4）解：解不等式，得， 不等式的最小整数解为， 解不等式， 得， 根据题意，得， 解得． 16．（2025七年级下·全国·专题练习）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“友好不等式”． (1)不等式______的“友好不等式”（填“是”或“不是”）． (2)若，关于的不等式与不等式互为“友好不等式”，求取值范围． (3)若关于的不等式不是的“友好不等式”，则取值范围是______． 【答案】(1)是 (2)或 (3) 【详解】（1）是 （2）解：因为，所以．因为，所以．当，即时，．因为关于的不等式与不等式互为“友好不等式”，所以，所以．因为，所以．当，即时，．因为，所以，所以当时，不等式与不等式始终有公共整数解，即这两个不等式始终互为“友好不等式”．综上所述，的取值范围为或． （3）  提示：因为，所以．因为，所以．因为关于的不等式不是的“友好不等式”，所以． 【经典例题三 一元一次不等式的最值问题】 17．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）已知不等式组 的整数解为4， 3， 2，求整数a的最小值 【答案】33 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组得到不等式组的解集，再根据不等式组的整数解的情况建立关于a的不等式组，解之即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的整数解为4， 3， 2， ∴， 解得且， ∴， ∴整数a的最小值为33． 18．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知2x﹣y＝3． （1）用含x的代数式表示y； （2）若2＜y＜3，求x的取值范围； （3）若﹣1≤x≤2，求y的最小值． 【答案】（1）y＝2x﹣3；（2）2.5＜x＜3；（3）﹣5 【分析】（1）移项即可得出答案； （2）由2＜y＜3得出关于x的不等式组，分别求解即可； （3）由-1≤x≤2得-2≤2x≤4，可得-5≤2x-3≤1，据此知-5≤y≤1，继而得出答案． 【详解】解：（1）由2x﹣y＝3可得y＝2x﹣3； （2）由2＜y＜3得2＜2x﹣3＜3， 解2x﹣3＞2，得：x＞2.5， 解2x﹣3＜3，得：x＜3， ∴2.5＜x＜3； （3）由﹣1≤x≤2得-2≤2x≤4，则﹣5≤2x﹣3≤1， ∴﹣5≤y≤1， ∴y的最小值为﹣5． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19．（23-24七年级下·四川巴中·阶段练习）已知，且． (1)求的取值范围； (2)若，求的最大值． 【答案】(1)x≥1； (2)m的最大值为7． 【分析】（1）由2x+y=3知y=-2x+3，依据x≥y得x≥-2x+3，解之可得； （2）将y=-2x+3代入m=3x+4y得m=-5x+12，结合x≥1可得答案． 【详解】（1）解：∵2x+y=3， ∴y=-2x+3 ∵x≥y， ∴x≥-2x+3， 解得：x≥1， 故答案为：x≥1； （2）解：∵y=-2x+3， ∴m=3x+4y =3x+4（-2x+3） =3x-8x+12 =-5x+12， ∵x≥1， ∴-5x≤-5， 则-5x+12≤7， 即m的最大值为7． 【点睛】本题主要考查不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 20．（2025七年级下·全国·专题练习）已知是整数，且满足下列条件：①，2，3，，2006；②；③．求的最小值和最大值． 【答案】的最小值为200，最大值为2402 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，熟练掌握解不等式组的一般方法，准确计算．设值为有a个，0有b个，1有c个，2有d个，根据题意得出，解方程组组得出，根据得出，根据求出d的取值范围，得出答案即可． 【详解】解：由①，知的取值范围为，0，1，2四个．设值为有a个，0有b个，1有c个，2有d个． 根据题意，得， 由①③，可知， 进一步可解得， 根据题意，得：． 该式只比②的左侧大， 所以， 因为， 所以， 因为d为整数， 所以， 即的最小值为200，最大值为2402． 21．（2024·山西长治·二模）已知两个整式，，其中系数■被污染． (1)若■是，化简； (2)若时，的值为18． ①说明原题中■是几？ ②若再添加一个常数，使的值不为负数，求的最小值． 【答案】(1)； (2)①4；②-18 【分析】（1）把■=代入B，然后按整式加法法则计算即可； （2）①设，建立关于m的方程，求解即可； ②根据题意建立关于a的不等式，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： = ； （2）解：①设， 依题意得，， 解得； ②∵， ∴的值不为负数时，有． 即，解得， ∴的最小值为． 【点睛】本师考查整式的加法运算，解一元一次方程和解一元一次不等式，熟练掌握整式加法法则是解题的关键． 22．（2025七年级下·全国·专题练习）某校社会实践小组开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）．根据信息，解答下列问题． 信息 1．快餐的成分：蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物； 2．快餐总质量为； 3．脂肪所占的百分比为； 4．所含蛋白质质量是矿物质质量的倍 (1)求这份快餐中所含脂肪质量； (2)若碳水化合物占快餐总质量的，求这份快餐所含蛋白质的质量； (3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于，求其中所含碳水化合物质量的最大值． 【答案】(1)这份快餐中所含脂肪质量为； (2)这份快餐所含蛋白质的质量为； (3)所含碳水化合物质量的最大值为． 【分析】（）快餐中所含脂肪质量快餐总质量脂肪所占百分比； （）设所含矿物质的质量为，则所含蛋白质的质量为，所含碳水化合物的质量为，根据题意列出一元一次方程，然后求解即可； （）根据这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于，列出不等式求解即可； 此题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，读懂题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：这份快餐中所含脂肪质量为； （2）解：设这份快餐所含矿物质的质量为，根据题意，得， 解得：， ∴， 答：这份快餐所含蛋白质的质量为； （3）解：设所含矿物质的质量为，则所含蛋白质的质量为，所含碳水化合物的质量为， ∴， 解得：， ∴， 答：所含碳水化合物质量的最大值为． 23．（23-24七年级下·四川遂宁·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流讨论后，总结如下解答方法：，因为，所以，从而得到代数式的最小值是4．请你根据上述方法解答下列各题． (1)代数式的最小值是____________； (2)代数式有最大值还是最小值？如果有，求出最值； (3)当a，b为任意实数时，比较代数式与的大小． 【答案】(1) (2)代数式有最大值为 (3) 【分析】本题主要考查了不等式的性质，利用完全平方公式进行运算，作差法比较大小，解题的关键在于能够准确读懂题意和熟练掌握完全平方公式． （1）利用配方法将变换为，再得到即可解题； （2）利用配方法将变换为，再得到即可解题； （3）利用作差法结合完全平方公式将，整理为，再得到，即可解题． 【详解】（1）解：， ， ， 代数式的最小值是， 故答案为：． （2）解：代数式有最大值， ， ， ， ， 代数式有最大值为； （3）解：， ， ， ，， ， 当a，b为任意实数时，． 24．（23-24七年级下·福建漳州·期末）阅读下列材料：已知，且，，试确定的取值范围. 解： ......① 又......② 由①与②组成不等式组，得 解得 将代入得： （依据不等式性质） （依据不等式性质） 即 的取值范围为： （1）请仿照上述方法，完成问题：已知，且，，试确定的取值范围. （2）若设（1）中，，求的最大值与最小值差的平方根. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可； （2）由（1）得，，得到n=2m-2,在进行分析即可得出的最大值与最小值，再求差的平方根即可. 【详解】解: (1) ① ② 由①和②组成不等式组得 解得 将代入得 , 即 的取值范围为: (2) 的最大值为, 最小值为 的最大值与最小值差的平方根为 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程，难度一般． 【经典例题四 根据一元一次不等式组有解的情况求参数】 25．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式组 (1)如果该不等式组有解，求的取值范围； (2)如果该不等式组有个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式组有解得出，解关于a的不等式即可； （2）不等式组有个整数解得出，解关于a的不等式组即可． 【详解】（1）解：∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：， 即此时的取值范围是． （2）解：关于的不等式组的解集为：， ∵该不等式组有个整数解， ∴四个整数解为，4，5，6， ∴， 解得：， 即此时的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，解题的关键是根据不等式组解的情况列出关于a的不等式或不等式组． 26．（2024七年级下·全国·专题练习）含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了不等式组有无解集的问题， 对于（1），根据不等式组有解集，即两个不等式有交集； 对于（2），（3），根据不等式组中的两个不等式没有交集解答. 【详解】（1）解：关于的不等式组有解， 即的取值范围是； （2）解：关于的不等式组无解， ， 解得， 即的取值范围是； （3）解： 解不等式①，得，解不等式②，得． 关于的不等式组无解， ， 即的取值范围是． 27．（23-24七年级下·河南新乡·期中）关于x的不等式组． (1)当时，解该不等式组； (2)当时，解该不等式组； (3)若该不等式组有解，但无整数解，则m的取值范围是多少？ 【答案】(1) (2)不等式组无解 (3) 【分析】（1）先求出两个不等式的解集，再代入m的值利用夹逼原则求解即可； （2）同（1）求解即可； （3）同（1）求出两个不等式的解集，再根据该不等式组有解，但无整数解，列出关于m的不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 当时，， ∴不等式组的解集为； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 当时，， ∴不等式组无解； （3）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式有解，但没有整数解， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集，然后利用夹逼原则求出不等式组的解集是解题的关键． 28．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）已知关于x、y的方程组, (1)求方程组的解（用含m的代数式表示）； (2)若，试化简：； (3)若，且x有解，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）根据（1）中结果和题设条件得到关于m的一元一次不等式组，再根据绝对值的意义化简绝对值即可求解； （3）先用含x的式子表示y，再根据x有解列关于a的不等式，进而可得a的取值范围． 【详解】（1）解：解方程组， ，得，则， 将代入①中，得，则， ∴方程组的解为； （2）解：∵， ∴，即， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∵x有解， ∴，则． 【点睛】本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式（组）和不等式组的解、化简绝对值，理解题意，（1）中关键是正确求得二元一次方程的解；（2）中关键正确化简绝对值；（3）中关键是正确得到关于a的不等式． 29．（2024七年级下·全国·专题练习）从，，0，1，2这5个数中，选一个数，使关于的不等式组有解，且使关于的一元一次方程的解为负数，求的值． 【答案】或0或1 【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组有解确定出的范围，再表示出方程的解，由方程的解为负数确定出的范围，找出的具体范围，进而确定出的值即可． 【详解】解：不等式组整理得：， 要使不等式组有解，可得， 解得：， 不符合题意，舍去； 此时不等式组的解集为， 方程去分母得：， 解得：， 方程的解为负数， ， 解得：， 不符合题意，舍去， 的范围是， 的值可以为或0或1． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组和一元一次方程相结合的问题，正确根据不等式组的解集情况和一元一次方程解的情况求出的取值范围是解题的关键． 30．（23-24七年级下·四川眉山·期末）已知，关于的不等式组有解． (1)若上不等式的解集与的解集相同，求的值； (2)若上不等式有个整数解 ①若，求的取值范围； ②若，则的取值范围为______． 【答案】（1）1；（2）①；②≤m＜ 【分析】（1）先求出不等式组的解集，再根据两个不等式组同解得出关于、的方程，即可求解； （2）①由得出不等式组的解集为，根据不等式组恰好只有4个整数解，得到，即可求出的取值范围； ②由，得出不等式组的解集为，求出，根据不等式组恰好只有4个整数解，得到1＜m＜3，即可求出的取值范围． 【详解】解：（1）解不等式组，得， 解不等式，得， 解不等式，得， 由题意得，， 解得，， ∴m+n=1； （2）①时，关于的不等式组的解集为， 不等式组恰好只有4个整数解， 个整数解是，0，1，2， ， ； ②时，关于的不等式组的解集为， ， 不等式组恰好只有4个整数解， 3＜m+2＜5， 解得1＜m＜3， ∴0＜m-1＜2，3＜2m+1＜7， 当0＜m-1＜1时，1＜m＜2， 必须满足，4≤2m+1＜5， ∴≤m＜2． 当1≤m-1＜2时，即2≤m＜3时， 必须满足，5≤2m+1＜6， ∴2≤m＜， 综上所述，≤m＜． 故答案为：≤m＜． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的解法与不等式的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 31．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a#b=a﹣3b+7，等式右边是通常的加减运算．例如：3#5=3﹣3×5+7． （1）求5#x>0解集； （2）若3m<2#x＜7有解，求x的取值范围； （3）在（2）的条件下，若x的解集中恰有3个整数解，求m的取值范围． 【答案】（1）x＜4；（2）；（3）-1≤m＜0 【分析】（1）根据新定义得出关于x的不等式，解之即可； （2）根据新定义列出关于x的不等式组，再分别求解即可得出其解集； （3）由不等式组整数解的个数得出关于m的不等式组，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）由题意得5-3x+7＞0， 解得x＜4； （2）由题意，得：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：x＜3-m， 则不等式组的解集为； （3）∵该不等式组有3个整数解， ∴3＜3-m≤4， 解得-1≤m＜0． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 32．（23-24七年级下·福建龙岩·阶段练习）若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含． (1)已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程； (2)已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围； (3)关于x的不等式组E：和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为12，求n的取值范围． 【答案】(1)不等式B对于不等式组A中点包含，判断过程见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解新定义，正确解不等式组是解题关键． （1）先解不等式组A，进而得出A的解集中点值，再根据“中点包含”的定义判断即可； （2）先解不等式组C和不等式组D，根据不等式组有解，得出，求出C的解集中点值，再根据“中点包含”的定义求解即可； （3）先解不等式组E和不等式组F，求出E的解集中点值，再根据“中点包含”的定义求得，然后根据整数m之和为12，得到的可能取值，进而得出n的取值范围即可． 【详解】（1）解：不等式B对于不等式组A中点包含，判断过程如下： 解不等式组A：，得：， ∴A的解集中点值为， ∵在不等式B：范围内， ∴不等式B对于不等式组A中点包含； （2）解：解不等式组C：，得：， 解不等式组D：，得：， ∵不等式组D对于不等式组C中点包含， ∴不等式组C和不等式组D有解， ∴，解得：， ∴当时，不等式组C的解集为，不等式组D的解集为， ∵C的中点值为，且D对于不等式组C中点包含， ∴， 解得：， 又∵， ∴． 先解不等式组C和不等式组D，根据不等式组有解，得出，再求出 （3）解：解不等式组E：，得：， 解不等式组F：，得：， ∴E的中点值为， ∵不等式组F对于不等式组E中点包含， ∴，解得：， ∵所有符合要求的整数m之和为12， ∴整数m可取3、4、5，或、、0、1、2、3、4、5． ∴或． 【经典例题五 根据一元一次不等式组无解的情况】 33．（2024·河南鹤壁·一模）已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】 【分析】先分别求出两个不等式得解集，再根据不等式组无解得到关于a的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解得： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组无解， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了不等式组无解的问题，正确求出两个不等式得解集是解题的关键． 34．（23-24七年级下·陕西汉中·期中）已知关于x的不等式组； (1)若该不等式组的解集为，求m的值． (2)若该不等式组无解，则m的取值范围为______． (3)若该不等式组只有4个整数解，求m的整数解． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题考查根据一元一次不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解，（1）先分别解一元一次不等式，再根据不等式组的解集可得，最后求解即可； （2）由（1）可得，，再根据不等式组无解可得，再求解即可； （3）由（1）可得，，根据该不等式组只有4个整数解，可得，再解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：， 由①得，， 由②， ∵该不等式组的解集为， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得，， ∵该不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：； （3）解：由（1）可得，， ∵该不等式组只有4个整数解， ∴， 解得， ∴m的整数解是0． 35．（23-24七年级下·全国·单元测试）关于x的不等式组 (1)不等式组有无数个解，的取值范围是多少？ (2)不等式组只有三个整数解，的取值范围是多少？ (3)不等式组无解，的取值范围是多少？ 【答案】(1)k的取值范围是：k＜5；(2)k的取值范围是：2≤k<3；(3)k的取值范围是：k≥5. 【分析】（1）根据大小小大中间找和不等式组有无数个解即可解答；（2）根据不等式组的整数解的个数即可解答；(3)根据大大小小无解即可解答. 【详解】解：（1）∵关于x的不等式组 ，有无数个解， ∴的取值范围是：k<5； (2) ∵不等式组只有三个整数解，由题意得，这三个整数解是：5、4、3，当3<x≤5时，只有5、4两个整数，当2<x≤5时，满足题意. ∴的取值范围是：2≤k<3； (3)∵不等式组无解， ∴的取值范围是：k≥5. 【点睛】本题考查解不等式组、不等式组的整数解，解题关键是准确运用同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到. 36．（23-24七年级下·山西晋城·期末）不等式组， (1)当时，求出此时不等式组的解集并表示在数轴上； (2)要使不等式组无解，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，数轴见解析 (2) 【分析】此题考查了一元一次不等式组的解法及无解问题，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）求出每个不等式的解集并表示在数轴上，即可得到不等式组的解集； （2）求出每个不等式的解集，根据不等式组无解即可得到m的取值范围． 【详解】（1）解：当时，不等式组为， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 把解集表示在数轴上如下： ∴不等式组的解集为； （2）解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵使不等式组无解， ∴， 解得， 即m的取值范围是． 37．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解满足且． (1)若关于x的不等式组无解，求所有符合条件的整数a的值； (2)若有解，求所有符合条件的整数a的和． 【答案】(1)所有符合条件的整数a的值有1，2，3，4 (2)所有符合条件的整数a的和为15 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出a的取值范围是解此题的关键． （1）先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围，最后得出答案即可； （2）先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围得出所有符合条件的整数a，最后得出答案即可． 【详解】（1）解：解方程组得：， 关于x、y的二元一次方程组的解满足且， ， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 关于x的不等式组无解， ， 解得：， 即， ∴所有符合条件的整数a的值有1，2，3，4； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ， 即， 所有符合条件的整数a有：1，2，3，4，5， ， 所有符合条件的整数a的和为15． 38．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖．特别地，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式被不等式覆盖；不等式组无解，被其他任意不等式（组）覆盖． (1)下列不等式（组）中，能被不等式覆盖的是_______（多选题）． A．     B．     C．    D． (2)若关于x的不等式被覆盖，请求出m的取值范围． (3)若关于x的不等式被覆盖，请求出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组及其应用．本题是阅读型题目，准确理解新定义并正确计算是解题的关键． （1）求出每一个不等式及不等式组的解集，利用题干的新定义判断即可； （2）求出关于x的不等式的解集，根据题干的新定义列出关于m的不等式即可求解； （3）根据题干的新定义，分两种情形列出关于m的不等式即可求解． 【详解】（1）解：解不等式得：，故不能被不等式覆盖； 解不等式得：，故不能被不等式覆盖； 解不等式组得：，故能被不等式覆盖； 不等式组无解，故被不等式覆盖； 故答案为：； （2）解不等式得：， ∵关于x的不等式被覆盖， ∴， 解得：， 故答案为：； （3）解：， ∵关于x的不等式被覆盖， ∴当不等式有解时，， 解得：； 当不等式无解时，可得， 解得：； ∴或， 故答案为：或． 39．（23-24七年级下·四川遂宁·期中）现场学习：我们学习了由两个一元一次不等式组成的不等式组的解法，知道可以借助数轴准确找到不等式组的解集，即两个不等式的解集的公共部分． (1)解决问题：解不等式组，并利用数轴确定它的解集； (2)拓展探究：由三个一元一次不等式组成的不等式组的解集是这三个不等式解集的公共部分． ①直接写出的解集为_________． ②已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是_________． 【答案】(1)见解析，； (2)①−2＜x＜3；②a≥2． 【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，然后将不等式的解集在数轴上表示出来，即可得到不等式组的解集； （2）①借助数轴可得不等式组的解集；②根据确定不等式组解集的口诀即可得出答案． 【详解】（1）解：， 解不等式①得：x≥， 解不等式②得：x＜3， 将不等式的解集表示在数轴上如下： ∴不等式组的解集为：； （2）（2）①如图： 由数轴知的解集为：−2＜x＜3； 故答案为：−2＜x＜3； ②∵关于x的不等式组无解， ∴a≥2， 故答案为：a≥2． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 40．（23-24七年级下·河南周口·期中）阅读下列材料：根据绝对值的定义，表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点P、Q表示的数为x1，x2时，点P与点Q之间的距离为PQ＝． 根据上述材料，解决下列问题：如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是－4，8（A、B两点的距离用AB表示），点M是数轴上一个动点，表示数m． （1）AB＝ 个单位长度； （2）若＝20，求m的值；（写过程） （3）若关于的方程无解，则a的取值范围是 ． 【答案】（1）12；（2）m＝－8或12；（3） 【分析】（1）根据题中所给数轴上两点距离公式可直接进行求解； （2）由题意可分当，，三种情况进行分类求解即可； （3）由题意可分当，，，四种情况进行分类求解，然后根据方程无解可得出a的取值范围． 【详解】解：（1）由题意得：； 故答案为12； （2）由题意得：①当时，则有：，解得：； ②当时，则有，方程无解； ③当时，则有，解得：， 综上所述：m＝－8或12； （3）由题意得：①当时，则有，解得：， ∵方程无解， ∴，解得：； ②当时，则有，解得：， ∵方程无解， ∴或，解得：或； ③当时，则有，解得：， ∵方程无解， ∴或，解得：或； ④当时，则有，解得：， ∵方程无解， ∴，解得：； 综上所述：当关于的方程无解，则a的取值范围是； 故答案为． 【点睛】本题主要考查数轴上两点距离、一元一次不等式的解法及一元一次方程的解法，熟练掌握数轴上两点距离、一元一次不等式的解法及一元一次方程的解法是解题的关键． 【经典例题六 一元一次不等式中整数解个数问题】 41．（2025七年级下·全国·专题练习）求不等式组的整数解． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．先求出不等式组的解集，然后从中找出整数即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 则不等式组的解集为， 所以不等式组的整数解为． 42．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组有5个整数解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解：已知解集（整数解）求字母的取值．解题思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解不等式即可得到答案． 【详解】解； 去分母：， 去括号：， 合并同类项：， ∴， 去括号：， 合并同类项：， ∵不等式组有5个整数解， ∴不等式组的解集为，且5个整数解为：2，1，0，，， ∴， ∴． 43．（24-25七年级下·全国·随堂练习）若关于x的不等式的最大整数解为，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式与一元一次不等式组，正确求解不等式是解题的关键；解不等式，根据最大整数解为得关于a的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：解不等式，得． 不等式的最大整数解为， 解得， a的取值范围为． 44．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）解不等式组． (1)把解集表示在数轴上，并求出整数解； (2)若是此不等式组的最大整数解，求的值． 【答案】(1)不等式组的解集为：，整数解为； (2)0 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用． （1）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集； （2）求出最大整数解，代入求出即可． 【详解】（1）解：， 由不等式，得， 由不等式，得， 所以不等式组的解集为：， 整数解为； （2）解：∵m是此不等式组的最大整数解， 由（1）解集中最大的整数解为：， 则， ∴ ． 45．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）（1）已知方程组的解为正数，求的取值范围． （2）若关于的不等式的整数解共有4个，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题解二元一次方程组、解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”的原则是解答此题的关键． （1）解二元一次方程组得到解，再由方程组的解为正数，得到，解不等式组即可得到答案； （2）先由不等式组的解集求法，结合不等式组有整数解得情况列出关于的不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解： 由①②得， 将代入①得， ∵方程组的解为正数 ∴， 解得， 即的取值范围：； （2）解： 解①得， 解②得， 关于的不等式的整数解共有4个， ∴不等式组的解集是，则不等式组的整数解为3、4、5、6， ∴． 46．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知关于x的不等式的正整数解恰好是1，2，3，求a的取值范围． （2）已知不等式组只有一个整数解，试确定a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题属于含有字母的不等式问题，主要考查了一元一次不等式（组）的整数解，首先用含字母的代数式表示不等式（组）的解集，再根据列出关于此字母的不等式组，解之即得． （1）首先求得不等式的解，再根据不等式的正整数解即可得到一个关于a的不等式组，即可求得a的范围； （2）首先求出两个不等式的解集，确定出不等式组的解集，再根据不等式整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解：（1）原不等式的解集为． 关于x的不等式的正整数解恰好是1，2，3， 所以， 所以a的取值范围是． （2）解不等式， 得， 所以． 解不等式， 得， 所以． 所以只有当时，原不等式组才有解，且解集为． 因为原不等式组只有一个整数解， 所以由条件，得， 所以a的取值范围是． 47．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：对于立信不等式：，当时，；当时，． (1)若关于的不等式的解集是，求不等式的解集； (2)若关于的不等式组的解集中有且只有2个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式组等． （1）根据新定义整理不等式并求出其解集，进而得，解方程可得m的值，根据新定义整理所求不等式，再将m的值代入并解不等式即可． （2）先根据新定义整理不等式组得，解不等式组，再根据其解集中有且只有2个整数解，得到关于n的不等式组，解不等式组即可得的取值范围． 【详解】（1）解：，， ， 解得：， 又关于的不等式的解集是， ， 解得：， ， ， 把代入得， 解得：； （2）解：关于的不等式组可变为， 解得：， 关于的不等式组的解集中有且只有2个整数解， ∴， 解得：． 48．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）我们规定若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“关联方程”． 问题解决： (1)方程是不等式组的“关联方程”吗？请说明理由． (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的不等式组的所有“关联方程”只有3个不同整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)不是，见解析 (2) (3) 【分析】本题考查解不等式组和一元一次方程以及新定义的运算，掌握“关联方程”的定义是解题的关键． （1）分别求解一元一次方程和不等式组，根据定义判断即可； （2）分别求解一元一次方程和不等式组，根据定义“一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内”可得方程组，求解即可； （3）解不等式组可得，根据题意可得，求得m的取值范围，可得，，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：不是，理由如下： ， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 不是“关联方程”； （2）由，得， 由，得， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， ， 解得． 即的取值范围是． （3）的解集为：， 不等式组的所有“关联方程”只有3个不同整数解， ， 解得， ，， 当时，必须满足，m无解； 当时，必须满足，解得； 综上所述，． 【经典例题七 求参数不等式（组）与方程综合求参问题】 49．（23-24七年级下·河南周口·期末）已知关于x、y的方程组中，，，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查加减法解二元一次方程组，解一元一次不等式的综合．运用加减消元法解二元一次方程组，用含的式子表示的值，再根据，，得到一元一次不等式组，进一步计算即可求解． 【详解】解：， 得，， 把代入得，， ∴原方程组的解为， 依题意得：， 解得：． 50．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）若关于、y的方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题是二元一次方程组与一元一次不等式组的综合．解方程组求得x与y的值，根据，即可求得a的取值范围． 【详解】解：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， 即的取值范围为． 51．（23-24七年级下·福建厦门·期末）已知关于、的方程组． (1)求方程组的解(用含的代数式表示)； (2)若方程组的解满足条件，且．求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）根据题意列出不等式组，解之即可． 【详解】（1）解：， ①×3＋②，得：， 解得：， 把代入②，得：， 解得：， 则方程组的解是． （2）根据题意，得， 解得：． ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组和二元一次方程组．正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 52．（23-24七年级下·河南商丘·期末）已知关于的方程组且，． (1)求实数的取值范围； (2)化简． 【答案】(1)； (2)8或 【分析】（1）通过解方程组知，再由x，y均为正数即可求解m的取值范围． （2）根据（1）m的取值范围代入求解即可． 【详解】（1）解：解方程组得， 因为，， 所以， 所以； （2）解：由（1）， 所以，， 所以． 【点睛】本题的主要考查二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法，熟练掌握运算规律是解答的关键． 53．（23-24七年级下·河南商丘·期末）已知关于，的方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)关于的不等式的解为时，可以取哪些整数值？ 【答案】(1)； (2)和0． 【分析】本题考查的是方程组与不等式组的综合问题，不等式的性质； （1）先解方程组，可得，再建立不等式组即可得到答案； （2）由不等式的解为可得，再进一步解答即可； 【详解】（1）解：解方程组，得， 根据题意，得， 解得：； （2）解：∵， ∴， 而的解为知：， 解得. 结合（1）得，的取值范围是， 不等式的解为时，可以取整数值和0. 54．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知关于x、y的方程组的解满足x≤0，y＜0． (1)用含m的代数式分别表示x和y； (2)求m的取值范围； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可得； （2）结合（1）的结论，根据建立不等式组，解不等式组即可得； （3）根据不等式的解集可得，则，再结合（2）的结论，以及为整数即可得． 【详解】（1）解：， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 即用含的代数式分别表示和为，． （2）解：，，， ， 解得． （3）解：不等式可化为， 这个不等式的解集为， ， 解得， 由（2）已得：， ， 又为整数， ， 即在的取值范围内，当时，不等式的解集为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组、一元一次不等式组的应用，熟练掌握方程组和不等式组的解法是解题关键． 55．（23-24八年级·全国·假期作业）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为2＜x＜5．因为2＜3＜5．所以称方程2x﹣6＝0为不等式组的相伴方程． （1）若关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组的相伴方程，求k的取值范围； （2）若方程2x+4＝0，1都是关于x的不等式组的相伴方程，求m的取值范围； （3）若关于x的不等式组的所有相伴方程的解中，有且只有2个整数解，求n的取值范围． 【答案】（1）3＜k≤4；（2）2＜m≤3；（3）4≤n＜6． 【分析】（1）首先求出方程2x﹣k＝2的解和不等式组的解集，然后根据“相伴方程”的概念列出关于k的不等式组求解即可； （2）首先求出方程2x+4＝0，1的解，然后分m＜2和m＞2两种情况讨论，根据“相伴方程”的概念即可求出m的取值范围； （3）首先表示出不等式组的解集，然后根据题意列出关于n的不等式组求解即可． 【详解】解：（1）∵不等式组为，解得， ∵方程为2x﹣k＝2，解得x， ∴根据题意可得，， ∴解得：3＜k≤4， 故k取值范围为：3＜k≤4． （2）∵方程为2x+4＝0，， 解得：x＝﹣2，x＝﹣1； ∵不等式组为， 当m＜2时，不等式组为， 此时不等式组解集为x＞1，不符合题意，应舍去； ∴当m＞2时不等式组解集为m﹣5≤x＜1， ∴根据题意可得，，解得2＜m≤3； 故m取值范围为：2＜m≤3． （3）∵不等式组为，解得1＜x， 根据题意可得，3，解得4≤n＜6， 故n取值范围为4≤n＜6． 【点睛】此题考查了新定义问题，一元一次方程和一元一次不等式组含参数问题，解题的关键是正确分析新定义的“相伴方程”概念，并列出方程求解． 56．（23-24七年级下·山西长治·期末）同学们学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： (1)阅读理解：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得；解不等式组，得 ∴原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上材料，解不等式． (2)已知关于x，y的方程组的解满足不等式组，求满足条件的m的整数值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据阅读材料可得：当和异号时不等式成立，据此即可转化为不等式问题求解即可； （2）根据题意求出方程组的解，然后代入不等式组求解即可． 【详解】（1）解：根据两数相乘，异号得负，原不等式可以转化为：或． 解不等式组，不等式组无解； 解不等式 ，解得． 所以原不等式的解集为：． （2）解： 得：，解得， 将代入①得，， ∴方程组的解为， ∵， ∴， 解不等式组得：， ∴可取的整数值为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法及二元一次方程组的解法，熟练掌握求不等式组的解集及二元一次方程组的解的方法是解题关键． 57．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）综合与深究 对实数，，我们定义一种新运算：（其中，常数）．例如：，．已知，． (1)___________，___________． (2)已知，为非负整数，求关于，的方程的解． (3)若关于，的方程组的解满足，且为非负整数，求的值． (4)若关于的不等式恰好有3个正整数解，求n的取值范围． 【答案】(1)2，1 (2)或 (3)0，1，2 (4) 【分析】（1）根据题目定义的新运算，结合，即可得出答案； （2）根据（1）中求解的a、b的值，结合，x，y为非负整数即可解出答案； （3）根据得出，将其两式相加，结合即可得到m的取值范围，再结合m为非负整数即可求解； （4）根据求解得到x的取值范围，再根据恰好有3个正整数解即可得到n的范围． 【详解】（1）解：， 解得：， 故答案为：2,1； （2）解：由（1）知，， 则． ∵x，y为非负整数， ∴或． （3）解：依题意， ①＋②化简得． ∵，即 解得． 又∵m为非负整数， ∴m的值为0或1或2． （4）解：依题意得，解得． ∵此不等式有3个正整数解， ∴， 解得． 【点睛】该题主要考查了二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法，理解题意，掌握二元一次方程组和一元一次不等式组解法是解题的关键；还需注意二元一次方程解答时有多个结果；一元一次不等式组整数解问题也是比较容易出错． 58．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）题目：已知关于x、y的方程组， 求：（1）若，求a值； （2）若，求a值． 问题解决： （1）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，将可得，又因为，则a值为______； （2）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，若将方程组中的①与②直接进行加减，已经不能解决问题，经过思考，王磊将，，得， 再将得：，又因为，…，请根据王磊的思路，求出m、n及a的值； 问题拓展： （3）已知关于x、y的不等式组，若，求a的取值范围． 【答案】（1）5；（2），，；（3） 【分析】本题考查含参数的二元一次方程组、含参数的一元一次不等式组，（1）由王磊解决的思路可得，把整体代入求解即可； （2）由王磊解决的思路可得，先利用加减消元法求得，，再代入求a得值即可； （3）由，得，，再由得，，把代入不等式求解即可． 【详解】解：（1）， 将可得，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：5； （2）， 将，，得， 由得：， ∵， ∴， 由得，， 解得， 把代入⑤得，， 解得， 把，代入⑦得，， 解得； （3）， 由，得，， 由得，， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$