精品解析：江苏省南京师范大学附属实验学校2024-2025学年高二下学期3月份月反馈数学试题

南京师范大学附属实验学校 2024-2025学年度第二学期高二年级3月份月反馈数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上） 1. 若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ） A. 81种 B. 64种 C. 24种 D. 6种 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 24 4. 在平行六面体中，，记向量，，，则向量（ ） A. B. C. D. 5. 若直线l的方向向量，平面的一个法向量，若，则实数（ ） A. 2 B. C. D. 10 6. 已知向量，，，若，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 7. 用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 240 B. 360 C. 480 D. 600 8. 如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上） 9. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 10. 已知空间向量，则（     ） A. B. 可以为空间的一组基底 C. D. 11. 已知向量分别为两个不同的平面的法向量，为直线的方向向量，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上) 12. 已知空间向量，，，，1，，若与垂直，则等于　　 ___________. 13. 有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法有_________种． 14. 如图：长方体中，,，为上一点，且，为的中点，为上动点，当时，_________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 5个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？ （1）甲不在排头，也不在排尾； （2）甲、乙、丙三人必须在一起. 16. （1）已知，求n． （2）． 17. 已知向量. （1）求； （2）求； （3）求向量与的夹角． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面和夹角的余弦值. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，M为的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京师范大学附属实验学校 2024-2025学年度第二学期高二年级3月份月反馈数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上） 1. 若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ） A. 81种 B. 64种 C. 24种 D. 6种 【答案】A 【解析】 【分析】4名学生每人有3种报名方法，结合分步计数原理计数即可得出结果. 【详解】每位学生都有3种选择，则4位学生的报名方式共有种. 故选：A. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】点关于平面的对称点的坐标横纵坐标不变，竖坐标变为相反数. 【详解】点关于平面的对称点坐标为， 故选:C. 3. （ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合排列数和组合数的公式，准确计算，即可求解. 【详解】由排列数和组合数的公式，可得. 故选：C. 4. 在平行六面体中，，记向量，，，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到是的中点，利用空间向量基本定理求出答案. 【详解】因为平行六面体钟，， 所以是的中点， 故. 故选：C 5. 若直线l的方向向量，平面的一个法向量，若，则实数（ ） A. 2 B. C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间位置关系的向量证明，列式求解即得. 【详解】由直线l的方向向量，平面的一个法向量，， 得，则，解得， 所以实数. 故选：A 6. 已知向量，，，若，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据共面定理得，即可代入坐标运算求解. 【详解】因为，，共面，所以存在两个实数、，使得， 即，即，解得. 故选：D 7. 用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 240 B. 360 C. 480 D. 600 【答案】C 【解析】 【分析】先涂区域②③④，再讨论①与④的颜色是否相同，结合计数原理运算求解. 【详解】将区域标号，如下图所示： 因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法， 若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法； 若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法； 所以共有种不同的涂色方法. 故选：C. 8. 如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设，由数量积的坐标表示得到，进而可求解； 【详解】如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设， 其中，，，， ，，， 当，且或时，取最大值4， 当，且时，取最小值2，所以的取值范围为． 故选：C 二、多选题（（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上） 9. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据排列数与组合数的计算公式以及性质即可逐一求解. 【详解】对于A，，故A正确， 对于B，，故，故B错误， 对于C，则或，解得 或，故C错误， 对于D，,故D正确， 故选：AD 10. 已知空间向量，则（     ） A. B. 可以为空间的一组基底 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，利用空间向量模长的坐标计算出A正确；B选项，求出，所以，，共面，B错误；C选项，计算出，C正确；D选项，利用空间向量数量积运算法则得到D错误. 【详解】对于A，，故A项正确； 对于B，设，即，解得，， 即，所以，，共面，不能作为空间的一组基底，B错误； 对于C，，所以，故C项正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC. 11. 已知向量分别为两个不同的平面的法向量，为直线的方向向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据判断选项A，D；根据判断选项B；根据判断选项C. 【详解】因为，所以，所以，A正确，D错误； 因为，且，所以，B正确； 因为，所以或者错误. 故选：AB 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上) 12. 已知空间向量，，，，1，，若与垂直，则等于　　 ___________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用向量垂直关系，与垂直，则，可求得，得到向量 ，进而求模长即可． 【详解】解：，，，，1，， ，，， 与垂直， ， ， 解得，， ，， ． 故答案为：. 13. 有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法有_________种． 【答案】48 【解析】 【分析】根据分步乘法原理，先选一对双胞胎，再从剩下的三对双胞胎中选出两对，从这两对中各选一个人即可. 【详解】先从四对双胞胎中选出一对，有种选择， 然后从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎， 这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有种选择， 根据乘法原理，总共有种选法. 故答案为：. 14. 如图：长方体中，,，为上一点，且，为的中点，为上动点，当时，_________． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，设，利用向量法解出的值即可. 【详解】长方体中以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示空间直角坐标系， 因为，为上一点，且，为的中点，为 上动点， 所以，设， 所以， 又因为，所以，解得， 所以，即,所以. 故答案为：2. 四、解答题（本大题共5小题，共77分请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 5个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？ （1）甲不在排头，也不在排尾； （2）甲、乙、丙三人必须在一起. 【答案】（1）72 （2）36 【解析】 【分析】 （1）排列问题对特殊元素要优先处理；（2）利用捆绑法处理． 【小问1详解】 若甲不在排头，也不在排尾，先从3个位置选一个安排甲，再对剩下的4人全排列，即排列的方法有：=72种； 【小问2详解】 甲、乙、丙三人必须在一起，先对甲乙丙三人全排列，再与剩下两人全排列，即排列的方法有：=36种． 16. （1）已知，求n． （2）． 【答案】（1）6；（2）252 【解析】 【分析】（1）利用组合数性质以及组合数公式和排列数公式，将化简并展开，解方程即可求得答案. （2）法一：利用组合数的性质求解；法二：直接计算，求和. 【详解】（1）由得， 即，即， 解得，或， 又由知，即， 故. （2）法一： . 法二：原式. 17. 已知向量. （1）求； （2）求； （3）求向量与的夹角． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解； （2）根据空间向量的数量积的坐标运算求解； （3）根据空间向量垂直的坐标表示计算即可得解. 【小问1详解】 ∵， ， . 【小问2详解】 ， ， 则. 【小问3详解】 ， ， ， 则， 所以向量与的夹角为. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面和夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）记为中点，连接，易知是平行四边形，则，利用线面平行的判定即可证结论； （2）构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 记为中点，连接，又为棱的中点，， 所以，且，即是平行四边形， 所以，面，面，则面. 【小问2详解】 由平面，平面， 所以，又，所以建立如图所示空间直角坐标系， 由，，得， 则， 显然面的一个法向量为，且， 设平面的法向量为，则，令，则， 所以平面和夹角的余弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，M为的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 设中点为，连接，因为为等边三角形，故， 由题意，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，故， 又，，平面，故平面， 由平面，故， 又M为的中点，为等边三角形，则， 因为，平面，所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）设中点为，连接，由等边三角形、面面垂直的性质得、，再由线面垂直的性质、判定证明结论； （2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，并求出直线与平面的方向向量、法向量，再应用向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，平面，故， 连接，，则， 即四边形为平行四边形，故，所以， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则， 令，则， 设直线与平面所成角为θ，， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $