7.1 第2课时 分类计数原理与分步计数原理的综合应用课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦分类与分步计数原理的综合应用，通过回顾两原理基础，结合“组数、分配、涂色”等实际问题，搭建从单一原理到综合应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以“数学思维”为核心，通过例2直接法与间接法的逻辑推理、例3涂色问题的分类讨论，培养学生有条理的推理能力。题型分类清晰，规律方法总结到位，如“特殊优先”策略，帮助学生用数学语言表达计数过程，提升解决实际问题能力，也为教师提供系统教学资源。

7.1 两个基本计数原理 第2课时 分类计数原理与分步计数原理的综合应用 1 【课标要求】 1.进一步理解分类计数原理和分步计数原理的联系与区别. 2.会综合应用这两个基本计数原理解决实际问题. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点.两个基本计数原理的联系与区别 1.联系 分类计数原理和分步计数原理解决的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的 问题. 4 2.区别 类型 分类计数原理 分步计数原理 区别一 完成一件事共有 类方案,关 键词是“分类” 完成一件事共有 个步骤,关键词是“分步” 区别二 每类方案中的每种方法都能 独立地完成这件事,每种方法 得到的都是最后结果 除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一 步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成 这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事 区别三 各类方案之间是互斥的、并 列的、独立的 各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独 立”确保不重复 5 名师点睛 处理具体问题时,要注意两点:一是合理分类,准确分步.分类时,要不重不漏;分步时, 要合理设计步骤、顺序,使各步互不干扰.对于一些较复杂的题目,往往既要分类又要分 步.二是特殊优先,一般在后.解含有特殊元素、特殊位置的计数问题时,应优先安排特殊 元素,优先确定特殊位置,再考虑其他元素与其他位置. 6 题型分析·能力素养提升 7 【题型一】组数问题 例1 用0,1,2,3,4五个数字, （1）可以组成多少个三位数字的号码? 解 三位数字的号码,首位上的数字可以是0,数字也可以重复,每个位置上的数字都有5 种取法,可以组成 （个）三位数字的号码. （2）可以组成多少个三位数? 解 三位数的百位上的数字不能为0,但可以有重复数字,首先考虑百位上的数字的取法, 除0外共有4种取法,个位、十位上的数字可以取0,因此,可以组成 （个） 三位数. 8 （3）可以组成多少个能被2整除的无重复数字的三位数? 解 被2整除的数即偶数,个位数字可取0,2,4,因此,可以分两类.第一类是个位数字是0,可 以组成 （个）三位数;第二类是个位数字不是0,则个位上的数字有2种取法, 即2或4,再考虑百位上的数字,因为0不能是百位上的数字,所以有3种取法,十位上的数字 有3种取法,因此有（个）三位数.因而共有 （个）三位数. 故可以组成30个能被2整除的无重复数字的三位数. 规律方法 组数问题应掌握的原则 （1）明确特殊位置或特殊元素,是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊 位置（或特殊元素）分类,分类中再按特殊位置（或特殊元素）优先的策略分步完成; 如果正面分类较多,那么可采用间接法求解. （2）要注意数字“0”不能排在两位数或两位以上数的最高位. 9 跟踪训练1 我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如, ）,则首位 为3的“六合数”共有( ) C A.18个 B.12个 C.10个 D.7个 [解析] 若首位为3的“六合数”的其他3个数字为0,1,2,则这样的首位为3的“六合数”共有 （个）; 若首位为3的“六合数”的其他3个数字为1,1,1,则这样的首位为3的“六合数”共有1个; 若首位为3的“六合数”的其他3个数字为0,0,3,则这样的首位为3的“六合数”共有3个. 综上,首位为3的“六合数”共有 （个）.故选C. 10 【题型二】抽取（分配）问题 例2 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,且每个班级只能去 一个工厂,其中甲工厂必须有班级去,每班去哪个工厂可自由选择,则不同的分配方案有 ( ) C A.16种 B.18种 C.37种 D.48种 11 [解析] （方法一 直接法） 以甲工厂分配班级情况进行分类,共分为三类. 第1类,三个班级都去甲工厂,此时分配方案只有1种; 第2类,有两个班级去甲工厂,剩下的班级去另外三个工厂中的一个,其分配方案有 （种）; 第3类,有一个班级去甲工厂,另外两个班级可以在其他三个工厂中选择,其分配方案有 （种）. 综上所述,不同的分配方案共有 （种）. （方法二 间接法） 先计算三个班自由选择去哪个工厂的总数,再扣除甲工厂无人去的情况,即有 （种）不同的分配方案. 12 规律方法 解决抽取（分配）问题的方法 （1）当涉及对象的数目不大时,一般选用列举法、树状图法或图表法. （2）当涉及对象的数目很大时,一般有两种方法:①直接法.直接使用分类计数原 理或分步计数原理.一般地,若抽取是有顺序的,则按分步进行;若是按对象特征抽取的, 则按分类进行.②间接法.去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条 件的抽取方法数. 13 跟踪训练2 （多选题）现安排高二年级,, 三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进 行社会实践,每名同学只能选择一个工厂,且允许多人选择同一个工厂,则下列说法正确 的是( ) BCD A.所有可能的方法有 种 B.若, 两名同学必须在同一个工厂,则不同的安排方法有16种 C.若同学 必须去工厂甲,则不同的安排方法有16种 D.若三名同学所选工厂各不相同,则不同的安排方法有24种 14 [解析] 对于A,依次让3名同学分别选择工厂,每一个同学都有4种方法,所以共有 （种）方法,故A错； 对于B,将A,B两名同学看作一个整体,和C分别选择工厂,共有 （种）方法,故 B对； 对于C,只需安排B,C两人,共有 （种）方法,故C对； 对于D,由分步计数原理知,共有 （种）,故D对. 15 【题型三】涂色问题 例3 将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内,每格涂一 种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法? 1 2 3 4 解 第1个小方格可以从五种颜色中任取一种颜色涂上,有5种不同的涂法. ①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时,有 （种）不同的涂法,第4个小方格 有3种不同的涂法,由分步计数原理可知有 （种）不同的涂法. ②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时,有4种涂法,由于相邻两格不同色,因此,第4个小 方格也有4种不同的涂法,由分步计数原理可知有 （种）不同的涂法. 由分类计数原理可得，共有 （种）不同的涂法. 16 变式探究 本例中的区域改为如图所示,其他条件均不变,则不同的涂法共有多少种? ① ② ④ ③ 解 依题意,可分四步完成这件事情. 第1步，涂①,从5种颜色中任选一种,有5种涂法; 第2步，涂②,从余下的4种颜色中任选一种,有4种涂法; 第3步，涂③,从余下的3种颜色中任选一种,有3种涂法; 第4步，涂④,从与②③颜色不同的其他3种颜色中任选一种,有3种涂法. 由分步计数原理知,不同的涂法有 （种）. 17 规律方法 解决涂色（种植）问题的一般思路 （1）涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解,有几种常用方法: ①按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步计数原理分析. ②以颜色为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”等问题,用分类计数原理分析. ③将空间问题平面化,转化为平面区域的涂色问题. （2）种植问题按种植的顺序分步进行,用分步计数原理计数;或按种植品种恰当选 取情况分类,用分类计数原理计数. 18 跟踪训练3 现用5种颜色给图中的5个区域涂色,要求相邻的区域不能涂同一种颜色,则 不同的涂色方法共有_____种. 420 [解析] 如图,按照 的顺序进行涂色, 其中与 的颜色可以相同也可以不相同, 所以不同的涂色方法共有 （种）. 19 $