精品解析：江苏省扬州市扬州大学附属中学东部分校2024-2025学年高二下学期第一次模块学习效果调查数学试卷

扬大附中东部分校2024-2025学年第二学期 第一次模块学习效果调查 高二年级数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线：，：，若，则 （ ） A. －1 B. 3 C. D. 2. 已知椭圆:，则椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A. B. -1 C. D. 5. 设数列是等比数列，且，，则（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 6. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 7. 函数，已知在处取得极值，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 1.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 点到直线的距离为 B. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8 D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 10. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则（ ） A. 函数有极大值 B. 函数有极小值 C. 函数有极大值 D. 函数有极小值 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上） 12. 函数在点处的切线方程是______． 13. 从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为______cm3． 14. 设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式的解集为___________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知圆：. （1）过点作圆的切线，求切线的方程； （2）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 16. 已知函数. （1）若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值； （2）若，求函数在上的最大值和最小值. 17. 在①；②，且成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题. 记等差数列的公差为，前项和为，已知__________. （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 18. 已知函数的导函数为． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在两个不同的零点，，求实数的取值范围； （3）在（2）的条件下，证明：． 19. 已知函数（其中）． （1）当时，求的单调区间； （2）对任意，都有成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬大附中东部分校2024-2025学年第二学期 第一次模块学习效果调查 高二年级数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线：，：，若，则 （ ） A. －1 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线垂直得到，即可求得结果. 【详解】因为直线，且， 故，解得. 故选：D. 2. 已知椭圆:，则椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定焦点位置是在轴还是在轴，再由标准方程求得即可求得焦点坐标. 【详解】因为椭圆方程是，所以， 所以，即，又因为椭圆焦点在轴上，所以焦点坐标为. 故选：B. 3. 函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均变化率和瞬时变化率的计算公式求解可得. 【详解】函数在区间上的平均变化率为， 在时的瞬时变化率为， 所以． 故选：C 4. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A. B. -1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，代入，求出. 【详解】，令得，解得. 故选：B 5. 设数列是等比数列，且，，则（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列通项列式，求出公比的平方即可求解作答. 【详解】设等比数列的公比，因为，， 则，解得， 所以. 故选：A 6. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为恒成立问题，从而得解. 【详解】因为，所以， 因为在区间上单调递减， 所以，即，则在上恒成立， 因为在上单调递减，所以，故. 故选：A. 7. 函数，已知在处取得极值，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】求导后令可得. 【详解】， 因为在处取得极值，所以. 经检验符合题意， 故选：C 8. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 1.5 【答案】A 【解析】 【分析】设切点分别为、，根据导数几何意义及公切线列方程求参数值即可. 【详解】若，则，且， 若，则，且， 又是、的公切线， 设切点分别为、，则， ，则，即. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 点到直线的距离为 B. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8 D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据点到直线的距离公式计算可判断； 对于B，任意一条直线都有倾斜角，但垂直于x轴的直线无斜率，故B正确； 对于C，将直线令和令求得，再根据三角形的面积公式计算可判断； 对于D，分直线过原点和直线不过原点时，分别设直线的方程，代入已知点求解即可. 【详解】对于A，点到直线的距离为，故A错误； 对于B，任意一条直线都有倾斜角，但垂直于x轴的直线无斜率，故B正确； 对于C，直线，令得，令得，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故C不正确； 对于D，经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线， 当直线过原点时，设直线的方程为，代入点得，此时直线的方程为， 当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点得，此时方程为，故D不正确； 故选：ACD. 10. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导数的运算法则及简单复合函数求导法则计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：BC 11. 设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则（ ） A. 函数有极大值 B. 函数有极小值 C. 函数有极大值 D. 函数有极小值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合图象求出函数的零点，再求出大于0、小于0的x取值区间即可判断作答. 【详解】依题意，三次函数的导函数为是二次函数，观察图象知，是函数的两个零点， 当或时，，当时，， 所以函数有极小值，有极大值，AD正确，BC错误. 故选：AD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上） 12. 函数在点处的切线方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用导数几何意义得到切线斜率，进而求出切线方程. 【详解】时，， ， 当时，， 所以在点处的切线方程为，即. 故答案为： 13. 从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为______cm3． 【答案】144 【解析】 【分析】设小正方形的边长为，可表示出盒子的容积，利用导数求得其最大值 【详解】设小正方形的边长为 则盒子的容积 当时，，当时， 时，取得极大值，也是最大值， 故答案为 【点睛】本题主要考查了导数在解决实际问题中的应用，考查了学生的阅读理解能力和利用数学知识解决问题的能力，属于基础题目． 14. 设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】结合题意构造函数，判断其单调性，将化为，利用函数的单调性，即可求得答案. 【详解】设，则， 由于，故， 即，则在R上单调递减， 又，即为， 即，故， 则不等式的解集为， 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知圆：. （1）过点作圆的切线，求切线的方程； （2）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用点在圆上，结合切线的性质，即可求解切线方程； （2）首先设直线方程，再结合弦长公式，即可求解直线方程. 【小问1详解】 圆C:圆心，半径； 点在圆上，设切线斜率为，， 故切线方程为 ； 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线满足条件； 当直线斜率存在时，设， 则圆心到直线距离 所以， 综上，直线的方程为或. 16. 已知函数. （1）若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值； （2）若，求函数在上的最大值和最小值. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，再根据极值的定义求解即可； （2）利用导数求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 若，， ， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极小值为，无极大值； 【小问2详解】 若，， ， 所以函数在上单调递增， 所以. 17. 在①；②，且成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题. 记等差数列的公差为，前项和为，已知__________. （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1）选条件①：；选条件②：；选条件③： （2）选条件①：；选条件②：；选条件③： 【解析】 【分析】（1）若选条件①，即可得到关于、的方程组，从而求出、，即可得解； 若选条件②，依题意可得，即可求出，即可得解； 若选条件③，根据，作差计算可得； （2）由（1）得到的通项公式，再利用裂项相消法计算可得. 【小问1详解】 解：若选条件①，（1）由题意得，解得， 得，所以数列的通项公式为. 若选条件②，依题意，由，得，解得， 又因为，所以， 所以数列的通项公式为. 若选条件③，当时，； 当时，. 因为满足上式，所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：选条件①②， 由（1）知， 则， 所以数列的前项和.. 若选条件③，由（1）知， 则， 所以数列的前项和 18. 已知函数的导函数为． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在两个不同的零点，，求实数的取值范围； （3）在（2）的条件下，证明：． 【答案】（1） （2） （3） 由题意及（2）知， 存在不同的， 使得， 不妨设， 则，. 设，则， 当时，，在上恒成立， 当时，单调递减，， 即. ， 在上单调递增，， 即. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率即可得解； （2）利用导数求出函数的最小值，由题意只需最小值小于0即可得出的取值范围； （3）构造函数，利用导数得出单调性可得，即可由及的单调性得证. 【小问1详解】 若， ，又， 曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 ， 设，则. 令， 得， 在上，， 在上，， 在上单调递减， 在上单调递增， . 又当或时，， 要使有两个零点， 只需， 解得， 的取值范围为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：在证明第三问中，根据题意构造函数，利用单调性得出，再由的单调性即可得证. 19. 已知函数（其中）． （1）当时，求的单调区间； （2）对任意，都有成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） 的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）. 【解析】 【分析】（1）应用导数研究函数的单调区间即可； （2）问题化为在上恒成立，应用导数研究右侧的最小值，即可得参数范围. 【小问1详解】 将代入函数中，，由，所以， 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，，所以函数在上单调递减； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 任意都有成立， 即，即， 令，则， 令，， 在上恒成立，即在上单调递增． 又，，故在内有零点，设零点为， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 且，则，所以， 设，，，所以在单调递增， 所以，，，即，所以， 所以最小值，所以，即实数a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $