精品解析：山东省东明县第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

东明一中2025年高二下学期月考数学试题 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知函数的图象在点处的切线为1，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 3. 已知的一个极值点为2，则实数（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”为（ ） A. 1 B. e C. D. 6. 已知上可导函数的图像如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C D. 7. 悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形如图，在工程中（如悬索桥、双曲拱桥、架空电缆）有广泛的应用.当微积分尚未出现时，伽利略猜测这种形状是抛物线，直到1691年莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程其中为参数．当时，我们可构造出双曲余弦函数．下列结论错误的是（ ） A. 是偶函数 B. 值域为 C. 曲线上任意一点切线的斜率均大于0 D. 曲线上任意一点函数值的平方与该点切线斜率的平方之差均为1 8. 已知函数，若当时，恒成立，则a的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（ ） A. 有个极值点 B. 是的极大值点 C. 是的极大值点 D. 在上单调递增 10. 设函数，则（ ） A. 的极大值为0 B. 在上单调递增 C. 当时， D. 的解集为 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 若是的极小值点，则在上单调递减 B. 若是的极大值点，则且 C. 若，且的极小值大于0，则的取值范围为 D. 若，且在上的值域为，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线的斜率为______． 13. 函数是上的单调增函数，则a的取值范围是______. 14. 已知，若仅有3个整数解，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，若曲线在处的切线方程为. （1）求，的值； （2）求函数单调区间和极值； （3）求函数在上最大值、最小值. 16. 已知函数处有极大值. （1）求实数的值； （2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 17. 已知为实数，函数（其中是自然对数的底数）. （1）讨论函数的单调性； （2）若对任意的恒成立，求的最小值. 18. 设函数在区间D上的导函数为，且在D上存在导函数（其中）．定义：若区间D上恒成立，则称函数在区间D上为凸函数． （1）若函数，判断在区间上是否为凸函数，说明理由； （2）若函数． （ⅰ）若在上为“凸函数”，求a的取值范围； （ⅱ）若，判断在区间上的零点个数． 19 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若函数的图象在点处的切线方程为. （i）求的最小值； （ii）若关于x的方程有两个根，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东明一中2025年高二下学期月考数学试题 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用基本初等函数的导数公式可求得. 【详解】，因此，. 故选：D. 2. 如图，已知函数的图象在点处的切线为1，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】数形结合，求出切线斜率和切点坐标，即可计算. 【详解】由图象可得，切线过点和，切线斜率为，， 切线方程为，则切点坐标为，有， 所以. 故选：C. 3. 已知的一个极值点为2，则实数（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】求导，令，利用只有一个极值点，可得，求解即可. 【详解】，令0，得或， 又的一个极值点为2，则，解得，经检验满足题意. 故选：B. 4. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定函数的定义域，再利用导数求函数的单调区间即可. 【详解】函数的定义域为， 因为，所以， 令，即，所以，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 5. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”为（ ） A. 1 B. e C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，令为函数在上的“拉格朗日中值点”，列方程求解即可. 【详解】由可得， 令为函数在上的“拉格朗日中值点”， 则， 解得. 故选：C 6. 已知上可导函数的图像如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据原函数单调性与导函数符号之间的关系，分类讨论，结合一元二次不等式的解法运算求解. 【详解】由的图像可得： x 0 0 对于可得： 当时，则， ∴，解得； 当时，则，故，不合题意，舍去； 当时，则， ∴，解得； 当时，则，故，不合题意，舍去； 当时，则， ∴，解得； 综上所述：不等式的解集为. 故选：D. 7. 悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形如图，在工程中（如悬索桥、双曲拱桥、架空电缆）有广泛的应用.当微积分尚未出现时，伽利略猜测这种形状是抛物线，直到1691年莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程其中为参数．当时，我们可构造出双曲余弦函数．下列结论错误的是（ ） A. 是偶函数 B. 值域为 C. 曲线上任意一点切线的斜率均大于0 D. 曲线上任意一点函数值的平方与该点切线斜率的平方之差均为1 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：根据函数奇偶性的定义分析判断；对于B：求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得值域；对于C：取特值，结合导数的几何意义分析判断；对于D：根据原函数与导函数的解析式分析判断. 【详解】因为的定义域为，且， 所以是偶函数，故A正确； 由题意可知：， 因为与在上单调递增，可知在上单调递增，且， 令，可得；令，可得； 则在上单调递增，在上单调递减， 可得的最小值为， 当趋近于，趋近于， 所以值域为，故B正确； 因为，可知曲线在处切线的斜率为0，故C错误； 因为， 所以曲线上任意一点函数值平方与该点切线斜率的平方之差均为1，故D正确； 故选：C. 8. 已知函数，若当时，恒成立，则a的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得是函数在上的一个极小值点，则，从而可得，代入函数解析式，由恒成立分析可得在时恒成立，进而可得a的取值范围，可得a的最小值． 【详解】， 因为，所以是函数的一个零点， ， 因为当时，恒成立，且， 所以是函数在上的一个极小值点， 则，即，所以， 则， 因为当时，恒成立，恒成立， 所以在时恒成立，即在时恒成立， 令，，在上单调递减， 所以，所以，则a的最小值为 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（ ） A. 有个极值点 B. 是的极大值点 C. 是的极大值点 D. 在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象判断出的符号，由此确定正确答案. 【详解】根据函数的图象可知， 在区间，单调递增； 在区间，单调递减. 所以有个极值点、是的极大值点、在上单调递增， 是的极小值点， 所以ABD选项正确，C选项错误. 故选：ABD 10. 设函数，则（ ） A. 的极大值为0 B. 在上单调递增 C. 当时， D. 的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导函数得出函数的单调性判断B，再根据极值计算判断A，根据函数单调性结合正弦值的范围判断C，根据函数单调性结合特殊值计算判断D. 【详解】因为函数，则， 所以当单调递减；当单调递增；当单调递增； 在上单调递增,在上单调递减,B选项错误； 的极大值为，A选项正确； 当时，则，所以，又因为当单调递减； 所以，C选项正确； 因为函数，所以， 又因为当单调递增；当单调递减； 所以可得或， 解集为，D选项错误. 故选：AC. 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 若是的极小值点，则在上单调递减 B. 若是的极大值点，则且 C. 若，且的极小值大于0，则的取值范围为 D. 若，且在上的值域为，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三次函数的图象性质，结合极值点的定义即可求解A，根据，即可结合极值点定义求解吧，根据即可得方程的一个零点为0，结合极值，即可分类求解C，利用导数，即可求解D. 【详解】,若是的极小值点,则， 故有两个不相等的实数根，因此函数既有极大值也有极小值， 故由三次函数的图象可知，若是的极小值点，则极大值点在的左侧， 在上不单调，A错误. ，若是的极大值点，则， 所以. 若没有极值点.的解为. 因为是极大值点，所以，即B正确. 若，则. 因为的极小值大于0，所以只有一个零点，且的极大值点与极小值点均大于0， 所以方程无实数根，且方程的2个实数根均大于0， 所以解得，C正确. 若，则. 令，若，即单调递增，符合题意. 由，解得或， 此时的2个解为. 当时，，所以在上单调递减， 即当，时，，不符合题意. 当时，， 所以在上的最大值为，且，不符合题意. 综上，若，且在上的值域为，则的取值范围为，D正确， 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线的斜率为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线的斜率. 【详解】由，求导得，则， 所以所求切线的斜率为2. 故答案为：2. 13. 函数是上的单调增函数，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】因为函数在上是递增函数，所以可利用导数恒大于或等于零来研究参数的取值范围. 【详解】由函数求导得：， 因为函数是上的单调增函数， 所以，即， 又由，则，解得， 故答案为：. 14. 已知，若仅有3个整数解，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据解一元二次不等式的方法，结合导数，利用分类讨论和数形结合思想进行求解即可. 【详解】，当时，单调递减， 当时，单调递增，因此，且， 如下图所示： ， 当时，，所以不等式的解集为：或， 因为，所以无整数解，因此，要想仅有3个整数解， 只需； 当时，，不等式化为：，显然成立，有无数多个整数解，不符合题意， 当时，，所以不等式的解集为：或， 显然有无数个整数解， 综上所述：， 故答案为： 【点睛】关键点睛：利用导数判断函数的单调性和最值，结合分类讨论和数形结合思想进行求解是解题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，若曲线在处的切线方程为. （1）求，的值； （2）求函数的单调区间和极值； （3）求函数在上的最大值、最小值. 【答案】（1） （2）答案见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合导数的几何意义可知，列式求解即可； （2）求导利用导数判断原函数的单调区间和极值. （3）利用导数判断原函数的单调区间和极值结合边界函数值判断即可. 小问1详解】 由题意可知：，则 因为曲线在处的切线方程为， 则，即，解得. 【小问2详解】 因为， 当时，；当时，； 可知函数的单调递增区间为和； 函数的单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为. 【小问3详解】 函数在，上单调递增，在上单调递减， 且， 函数在上最大值,最小值. 16. 已知函数在处有极大值. （1）求实数的值； （2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意题干中的函数进行求导，根据极值与导数的关系建立方程，分别检验解得的根，可得答案； （2）由（1）明确函数解析式，利用导数求得其极值与单调性，并作图，根据零点定义，将问题等价转化为函数交点问题，可得答案. 【小问1详解】 由函数，求导可得， 由函数在处取极大值，则，解得或， 当时，可得， 易知当时，；当时，， 则此时函数在处取得极小值，不符合题意，舍去； 当时，可得， 易知当时，；当时，， 则此时函数在处取得极大值，符合题意. 综上所述，. 【小问2详解】 由（1）可得函数，求导可得， 令，解得或，可得下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极大值为，极小值为， 函数存在三个零点，等价于函数图象与直线存在三个交点， 如下图： 由图可得，则. 17. 已知为实数，函数（其中是自然对数的底数）. （1）讨论函数的单调性； （2）若对任意的恒成立，求的最小值. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，得到，再分和两种情况，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解； （2）根据条件，利用（1）中结果得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而求出的最小值，即可求解. 【小问1详解】 易知，因为，所以， 当时，恒成立，此时在上单调递增， 当时，由，得到， 当时，，当时，，即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上，时，在上单调递增， 时，的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 因为当时，时，， 由（1）知，要使对任意的恒成立，则，且恒成立， 即恒成立，得到， 所以， 令，则，由，得到， 当时，，时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，故的最小值为. 18. 设函数在区间D上的导函数为，且在D上存在导函数（其中）．定义：若区间D上恒成立，则称函数在区间D上为凸函数． （1）若函数，判断在区间上是否为凸函数，说明理由； （2）若函数． （ⅰ）若在上为“凸函数”，求a的取值范围； （ⅱ）若，判断在区间上的零点个数． 【答案】（1）为凸函数，理由见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用凸函数的定义即可判断， （2）（ⅰ）利用凸函数的定义将问题转化为在上的恒成立问题， （ⅱ）利用导数先求出函数的二阶导数，得到在区间上先增后减，再根据零点存在定理即可得到零点个数. 【小问1详解】 ∴，， ∴，因为，∴， ∴在区间上为凸函数． 【小问2详解】 （ⅰ）由可得其定义域为R，且， 所以， 若在上为“凸函数”可得在恒成立， 当时，显然符合题意； 当时，需满足，可得， 综上可得a的取值范围为； （ⅱ）若，可得，所以， 令，则； 易知在区间上恒成立， 因此可得在上单调递减； 显然， 根据零点存在定理可得存在使得， 当时，，即在上为单调递减， 当时，，即在上为单调递增； 又，显然在上不存在零点； 而，结合单调性可得在上存在一个零点； 综上可知，在区间上仅有1个零点． 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若函数的图象在点处的切线方程为. （i）求的最小值； （ii）若关于x的方程有两个根，，证明：. 【答案】（1）答案见解析 （2）（i）1；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对求导，利用导数与函数单调性的关系，分类讨论的取值范围即可得解； （2）（i）利用导数的几何意义求得，进而利用隐零点，结合导数求得的最值，从而得解；（ii）根据题意，利用极值点偏移的解决技巧，将问题转化为证恒成立，构造函数，利用导数即可得解. 【小问1详解】 因为，则， 若，则当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，则当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 （i）函数的定义域为， 则，则， 因为函数的图象在的切线方程为， 所以，则， 所以， 因为，所以，令，则， 令，则，， 所以，使，即，则， 又，所以在上单调递增， 当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为. （ii）由题意可知，， 即方程有两个根，， 令，，则，所以， 设，由（1）知，在上单调递增，又， 所以，则， 由，得，， 所以， 要证，需证，即证， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，则，即， 则在上单调递减，所以， 因此成立，故，得证. 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式： 1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3.若函数存在两个零点且，令，求证：； 4.若函数中存在且满足，令，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $