精品解析：广东省广州市南沙区2024～2025学年九年级上学期数学期末考试试卷

2024-2025学年第一学期九年级期末考试数学 本试卷共6页，25小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 5．考试时不可使用计算器． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A．该图不是中心对称图形，故不符合题意； B．该图是中心对称图形，故符合题意； C．该图不是中心对称图形，故不符合题意； D．该图不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线顶点坐标的求解，解题的关键是掌握抛物线形式的顶点坐标公式．根据抛物线的顶点坐标为，直接代入题目中的解析式求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式即可解答． 【详解】解：∵， ， ∴方程没有实数根． 故选D． 4. 已知是关于的方程的一个根，则为（ ） A. 6 B. C. 15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的定义，解题的关键是将方程的根代入方程求出m的值． 将代入方程求出m值，再计算的值． 【详解】解：把代入得：， 解得， ∴， 故选：C． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 一颗质地均匀的骰子已连续掷了2023次，其中掷出5点的次数最少，则第2024次一定掷出5点 B. 某种彩票中奖的概率是，因此买100张该彩票一定会中奖 C. 天气预报说明天下雨的概率是，所以明天将有一半时间在下雨 D. 任意画一个三角形，其内角和一定是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率的意义，理解概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小是解题的关键． 【详解】解：A. 一颗质地均匀的骰子已连续掷了2023次，其中掷出5点的次数最少，则第2024次不一定掷出5点，原说法错误； B. 某种彩票中奖的概率是，买100张该彩票不一定会中奖，原说法错误； C. 天气预报说明天下雨的概率是，所以明天下雨的几率是，原说法错误； D. 任意画一个三角形，其内角和一定是，说法正确； 故选：D． 6. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为D，E，连接当点A，D，E在同一条直线上时，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质，由旋转得，，，则．由题意得，则，再根据可得答案，熟练掌握旋转的性质、等腰三角形的性质是解答本题的关键． 【详解】解：由旋转得，，， ． 点，，在同一条直线上， ， ， ． 故选：C． 7. 已知在函数上有点，点，则关于，的大小判断正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；先根据二次函数的解析式得出对称轴为直线，开口向上，进而根据二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：∵二次函数对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴当时，随的增大而减小， 又∵二次函数上有点，点，， ， 故选：A． 8. 中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则正六边形铁块的边心距约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了正多边形和圆，首先得出正六边形的边长，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．正确掌握正六边形的性质是解题关键． 【详解】解：如图，点为正六边形外接圆的圆心。接，，作，得到， ， ， 圆内接正六边形周长为， ，则， ． 正六边形的边心距是． 故选：D． 9. 如图，将沿折叠，半径长12，且，恰好经过的中点，则折痕长为（ ） A. B. C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 延长交于点，连接，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出的长． 【详解】解：延长交于点，连接， ， ∴为的中点， ，为的中点， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得：，即 ， 解得， 故选： B． 10. 如图，抛物线与轴交于点，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③；④的面积等于，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，结合函数图象，根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点坐标，与轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线与轴交于点，， 抛物线的对称轴为直线， ， ， ， 故结论①正确，符合题意； 抛物线图象开口向下，与轴的正半轴相交， ，， ， ， ， 故结论②错误，不符合题意； 抛物线与轴交于点， 当时，，即， ， ， ， 故结论③错误，不符合题意； 抛物线与轴交于点，， ， ①②得：， ， ， ， ， ， 故结论④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论有①④，为2个， 故选：B． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 抛物线向上平移2个单位长度得到抛物线_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次图象的图象与几何变换，熟练掌握平移的规律:左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据平移规律即可求出新抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线向上平移2个单位长度得到抛物线为：， 故答案为：． 12. 已知的直径为9，若，则点与的位置关系是__________． 【答案】点在外 【解析】 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．首先求出圆的半径，然后比较与的大小即可得出结论．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【详解】解：的直径为9， 的半径为4.5， 又， ， 点在外． 故答案为：点在外． 13. 数学小组对如图所示的二维码开展数学实验，已知二维码区域的大正方形边长为2，通过计算机随机掷点的大量重复实验，发现掷点落在黑色区域的频率稳定在0.75左右，由此可估计黑色部分的面积约为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率的实际应用，掌握用频率的集中趋势来估计概率是解题的关键．先求出点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.75左右，再用这个结果乘以大正方形的面积即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，则可列方程__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设该快递店揽件日平均增长率为，列方程为， 故答案为：． 15. 已知点和点关于原点对称，且，则的值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的特征，根据“关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”得到，，，然后相加计算即可得解． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 16. 如图，等边三角形的边长为，点D，E分别是边的动点，且，连接交于点．则__________：连接，线段长的最小值为_____． 【答案】 ①. ##60度 ②. 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质是解题的关键． 首先由已知条件证明，得到，通过构造圆，找到线段最小值时，点的所在的位置，进而求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作的外接圆， 连接交于， 交于，则， 根据圆周角定理可得， ， ， ，， ∴，， 当点与重合时，的值最小，最小值， 故答案为： ，． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．） 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 解得，． 18. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）作与关于原点成中心对称的图形； （2）将绕着顺时针方向旋转，求点经过的路径长． 【答案】（1）见解析 （2）作图见解析， 【解析】 【分析】本题考查的是作图—旋转变换和中心变换，以及弧长的计算，准确找出对应顶点的位置是解题的关键． （1）分别作出各点关于原点的对称点，再顺次连接即可； （2）根据图形旋转的性质画出旋转后的图形即可；先求出的长度，然后利用弧长公式计算解题． 【小问1详解】 解：如图，就是所求的三角形. 【小问2详解】 如图，绕着顺时针方向旋转 得到， ，， ∴点经过的路径长为以为圆心，半径长为，且圆心角为的的长， ∵，， ， ， ∴点经过的路径长为． 19. 2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表名录．某次班会上，甲、乙同学准备从“．贴春联”、“．吃饺子”、“．发红包”、“．拜新年”这四个传统习俗中，各选一个进行讲解．班长做了4张背面完全相同的卡片，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回后，由乙再随机抽取一张，两人根据所抽取卡片正面的内容进行讲解． （1）甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到“C．发红包”的概率是 ； （2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人都未抽到“．吃饺子”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键. （1）由题意知，共有种等可能的结果，其中抽到“.发红包”的结果有种，利用概率公式可得答案. （2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人都未抽到“.吃饺子”的结果数，再利用概率公式可得出答案. 【小问1详解】 解：由题意知，共有种等可能的结果，其中抽到“.发红包”的结果有种， ∴甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到“.发红包”的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 共有种等可能的结果，其中甲、乙两人都未抽到“吃饺子”的结果有： ， 共种， ∴甲、乙两人都未抽到“.吃饺子”的概率为． 20. 如图，是直角三角形，． （1）尺规作图：作的平分线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）以为圆心，为半径作圆． ①判断与的位置关系并加以证明； ②若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①与相切，理由见解析 ② 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，掌握角平分线的基本作法和三角形的面积公式是解题的关键． （1）根据作角平分线的基本作图求解； （2）①过作于点，根据角平分线的性质得到，即可得到结论； ②设，根据勾股定理求出长，然后在中，运用勾股定理求出长，再根据三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求； 【小问2详解】 解：①与相切； 证明：过作于点， ∵平分 ， ， ∴与相切； ②设， ∵是直角三角形， ， 在和中， ， ， ∴， ， 在中， 有即：， 解得：， ∴的面积为：． 21. 如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． （1）要使无盖长方体盒子的底面积为，求剪去的正方形的边长． （2）折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有最大值吗？如有求出最大值，如果没有，请说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． （1）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出方程求解即可； （2）设正方形的边长为，盒子的侧面积为，根据可得可得与的函数关系式为 ，化为顶点式进行分析即可． 【小问1详解】 解：设剪去的正方形的边长为，则 即 解得：(不合题意，舍去)，， 答：剪去的正方形的边长为； 【小问2详解】 解：有侧面积更大的情况， 设正方形的边长为，盒子的侧面积为， 则与的函数关系式为， 即， ， 当时， 最大为， 即当剪去的正方形的边长为时，长方体盒子的侧面积最大为． 22. 已知等腰三角形，，． （1）若a，b是关于的一元二次方程的两根，当时，求的值． （2）若等腰三角形的底边长为3，另两边的长是关于的一元二次方程的两根，求等腰三角形的周长． （3）若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于的一元二次方程的两根，求抛物线的顶点坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，求出的值； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，求出另两边的长之和，从而求出等腰三角形△的周长； （3）分两种情况进行讨论即可． 【小问1详解】 解：，是关于的一元二次方程的两根， ， ， ； 【小问2详解】 解：另两边的长是关于的一元二次方程的两根， 另两边的长之和， 周长； 【小问3详解】 解：①当底边为6时，则关于的一元二次方程的两根相等， ， ， ， 顶点坐标为； ②当腰长为6时，则关于的一元二次方程的一根为6， 当时，可得， ， ， 顶点坐标为； 综上所述：顶点坐标为或． 23. 如图，点是正方形中边上的任意一点，以点为中心，把旋转，得到．已知． （1）求的度数． （2）求证：． （3）连接，线段交于点，交于点．试探索，，之间的数量关系并加以说明． 【答案】（1） （2）证明过程见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转可得，再利用正方形的性质即可求解； （2）证明得，利用线段的和差即可求解； （3）根据旋转和正方形的性质可得，通过勾股定理得，证明得，利用线段转换和和差即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， ， ， 由旋转可知：， ， ． 【小问2详解】 解：由旋转可知：，， 由（1）得， ， 在和中， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接． 四边形是正方形， ，， 由旋转可知：， ， ， 中，． 由（1），且由旋转可知，， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，线段之间的关系等，根据题意添加适合的辅助线是解题关键． 24. 在平面直角坐标系中，函数（为常数）． （1）若函数图象经过点时，求的值． （2）在（1）的条件下，求时，函数图象的最高点到直线的距离． （3）当时，若函数（为常数）的图象最高点到直线的距离为1，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题是考查了二次函数的图象与性质，区间最值，以及分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数的性质以及区间最值的求法是解题关键． （1）把点代入函数中，即可求解的值； （2）由（1）可得函数解析式为，根据增减性可知当时， ，此时函数图象的最高点为，从而可求距离； （3）先求出对称轴为直线，开口向下，当时，分为①若和②若两类情况分别讨论即可． 【小问1详解】 解：把点代入函数中， 得， 解得； 【小问2详解】 解：在（1）的条件下，，故函数解析式为， 对称轴为直线，开口向下， 在时， 根据增减性可知当时，，此时函数图象的最高点为， 则到直线的距离为； 【小问3详解】 解：二次函数的对称轴为直线，开口向下， 当时， ①若，即时， 则当时，函数有最大值，即产生最高点， 又∵最高点到直线的距离为， ∴， 解得：或(皆不合题意，都舍去)； ②若，即时，则顶点为最高点，此时顶点值为， 又∵最高点到直线的距离为，故， 解得：或2(舍去)， 或 (舍去)， 综上的值为或． 25. （1）如图①，四边形为的内接四边形，，，且，连接、，若半径长为2，求的长度． （2）如图②，四边形为的内接四边形，，，连接、，若半径长为，求的长度（用含的代数式表示） （3）如图③，在四边形中，，，，以为圆心，为半径画，M为上一个动点，过点作，，连接，已知，探究线段是否存在最小长度?若存在，请求出的最小长度，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，确定圆的条件，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识. 可推出是等边三角形，从而，进而得出，解直角三角形求得结果； （2）作直径，连接，解直角三角形得出结果； （3）连接， 可推出点共圆， 从而得出，当最小时， 最小， 连接， 连接， 交与，当点在处时， 最小， 进一步得出结果. 【详解】解： ， 是等边三角形， ， ， ， ， ∴是的直径， ， ， ； （2）如图， 作直径， 连接， ， ， ， ； （3）如图，连接， ， ， ， ∴点、、、共圆， 由（2）知， ， ∴当最小时，最小， 连接，连接，交与，当点在处时， 最小， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ∴， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期九年级期末考试数学 本试卷共6页，25小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 5．考试时不可使用计算器． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 4. 已知是关于的方程的一个根，则为（ ） A. 6 B. C. 15 D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 一颗质地均匀的骰子已连续掷了2023次，其中掷出5点的次数最少，则第2024次一定掷出5点 B. 某种彩票中奖概率是，因此买100张该彩票一定会中奖 C. 天气预报说明天下雨的概率是，所以明天将有一半时间在下雨 D. 任意画一个三角形，其内角和一定是 6. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为D，E，连接当点A，D，E在同一条直线上时，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 已知在函数上有点，点，则关于，的大小判断正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则正六边形铁块的边心距约为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将沿折叠，半径长12，且，恰好经过的中点，则折痕长为（ ） A. B. C. 12 D. 10. 如图，抛物线与轴交于点，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③；④的面积等于，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 抛物线向上平移2个单位长度得到抛物线_______________． 12. 已知的直径为9，若，则点与的位置关系是__________． 13. 数学小组对如图所示的二维码开展数学实验，已知二维码区域的大正方形边长为2，通过计算机随机掷点的大量重复实验，发现掷点落在黑色区域的频率稳定在0.75左右，由此可估计黑色部分的面积约为__________． 14. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，则可列方程__________． 15. 已知点和点关于原点对称，且，则的值等于__________． 16. 如图，等边三角形的边长为，点D，E分别是边的动点，且，连接交于点．则__________：连接，线段长的最小值为_____． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．） 17. 解方程： 18. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）作与关于原点成中心对称图形； （2）将绕着顺时针方向旋转，求点经过的路径长． 19. 2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表名录．某次班会上，甲、乙同学准备从“．贴春联”、“．吃饺子”、“．发红包”、“．拜新年”这四个传统习俗中，各选一个进行讲解．班长做了4张背面完全相同的卡片，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回后，由乙再随机抽取一张，两人根据所抽取卡片正面的内容进行讲解． （1）甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到“C．发红包”的概率是 ； （2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人都未抽到“．吃饺子”的概率． 20. 如图，直角三角形，． （1）尺规作图：作的平分线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）以为圆心，为半径作圆． ①判断与的位置关系并加以证明； ②若，，求的面积． 21. 如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． （1）要使无盖长方体盒子的底面积为，求剪去的正方形的边长． （2）折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有最大值吗？如有求出最大值，如果没有，请说明理由． 22. 已知等腰三角形，，． （1）若a，b是关于的一元二次方程的两根，当时，求的值． （2）若等腰三角形底边长为3，另两边的长是关于的一元二次方程的两根，求等腰三角形的周长． （3）若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于的一元二次方程的两根，求抛物线的顶点坐标． 23. 如图，点是正方形中边上的任意一点，以点为中心，把旋转，得到．已知． （1）求度数． （2）求证：． （3）连接，线段交于点，交于点．试探索，，之间的数量关系并加以说明． 24. 在平面直角坐标系中，函数（为常数）． （1）若函数图象经过点时，求的值． （2）在（1）的条件下，求时，函数图象的最高点到直线的距离． （3）当时，若函数（为常数）的图象最高点到直线的距离为1，求的值． 25. （1）如图①，四边形为的内接四边形，，，且，连接、，若半径长为2，求的长度． （2）如图②，四边形为的内接四边形，，，连接、，若半径长为，求的长度（用含的代数式表示） （3）如图③，在四边形中，，，，以为圆心，为半径画，M为上一个动点，过点作，，连接，已知，探究线段是否存在最小长度?若存在，请求出的最小长度，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$