精品解析：2025届山东省济南市历下区山东师范大学附属中学高三一模考试数学试题

山东师范大学附属中学2025届高三年级高考模拟考试 数学试题 2025.03 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集定义求解. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：A 2. 已知向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解． 【详解】由题意，， 所以在上的投影向量为， 故选：A． 3. 设正项等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. 31 B. 32 C. 63 D. 65 【答案】C 【解析】 【分析】先求得公比，再由等比数列前项和公式计算． 【详解】数列的公比为，则由，，得， 解得（舍去，因为数列是正项等比数列）， 所以， 故选：C． 4. 已知高为 4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的 4 倍，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助圆台轴截面及内切圆的性质，求出圆台的两底半径及母线长，进而求得表面积. 【详解】依题意，圆台的轴截面截其内切球得球的大圆，且该大圆是圆台轴截面等腰梯形的内切圆， 等腰梯形为圆台轴截面，其内切圆与梯形切于点， 其中分别为上、下底面圆心，如图， 设圆台上底半径为，则下底半径为，， 而等腰梯形的高，因此，解得， 所以该圆台的表面积为. 故选：D 5. 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线，单位圆O分别相切于A，B两点，当最小时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设切点，再求导函数，得出切线方程应用点到直线距离为1得出，最后应用基本不等式计算即可求参. 【详解】令，则， ，，则，切线即， 直线又与单位圆相切，则，即， 则， 当且仅当即，即，时取“. 故选： 6. 若函数的两个零点分别为和，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简，再利用函数零点的意义及正弦函数的性质求得，进而求出，最后利用二倍角的余弦求值. 【详解】函数，其中， 由，得，而， 因此，即，则即， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质用零点表示辅助角是求解问题的关键. 7. 甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分甲乙出牌的张数和甲乙胜负情况结合古典概率和二项分布讨论. 【详解】甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局， 所以平局的概率， 若甲胜，则结果有、、、、、、、、，共9种， 所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为， 各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为； 若平局2次，则最后1次不能是平局， 另外2次甲全胜或乙全胜，概率为， 若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为， 所以. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分类的标准. 8. 已知函数（a，且）在区间上有零点，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】转换主参变量，利用点到直线的距离公式来求得的最小值. 【详解】依题意在区间上有零点， 整理得在上有解， 表示坐标系中，直线（看成参数）上的点， 所以表示原点到直线上的点的距离的平方， 设， 由于，所以当时，取得最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛： 主参变量的转换：将原始代数问题转化为几何问题，利用几何性质进行求解，是解题的关键步骤，确保每一个几何量的合理转换，能够有效简化求解过程. 距离公式的合理运用：通过距离公式来计算直线与原点的最小距离，确保了推导过程的逻辑严密性和计算的准确性. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为 B. 当时，函数在定义域上单调递增 C. 曲线是中心对称图形 D. 若，且的最小值是0 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用对数函数定义域求法可得A正确，由复合型对数函数单调性可判断B正确，利用函数对称性定义代入计算可得，因此C正确，求导可得，再由基本不等式计算可得即可，可判断D错误. 【详解】对于A，由函数解析式可得，解得，因此函数的定义域为，显然A正确； 对于B，当时， 易知函数单调递增，单调递减，所以函数在定义域上单调递增，B正确； 对于C，令，， 因此的图象关于点中心对称， 易知满足， 可得的图象关于点中心对称，可得C正确； 对于D，时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故， 而成立，故，即，所以的最小值为，即D错误. 故选：ABC. 10. 函数的定义域为，若存在满足：对任意的恒成立，则称为上的函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是上的函数，则为上的函数 B. ，是上的函数 C. 是上的函数，则 D. 命题“是上的函数”的一个必要条件为“” 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的定义逐项判断可得结果. 【详解】A.若是上的函数，则有，. 设，则， 由得，， ∴，∴为上的函数，故A正确． B.由题意得，， ∵对，，∴，即， ∴，是上的函数，故B正确． C.若，则恒成立，即是函数，故C错误． D. 由是上的函数， 得在上恒成立， 当时，，时，， 故时，，时，， 根据二次函数的性质可知，是函数的零点， 即，故． 记，， 由得，由得， ∴在上为减函数，在上为增函数， 故，即，故D正确． 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 11. 过点的直线与抛物线交于两点.抛物线在点A处的切线与直线交于点，过点N作交于点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与抛物线有2个公共点 B. 直线恒过定点 C. 点的轨迹方程是 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出直线直线的方程，联立抛物线只有一解可判断A，求出直线MN方程由直线系过定点判断B，由选项B可判断选项C，求出，利用导数求出最小值判断D. 【详解】设直线的方程为， 联立，消去得， 则， 对于A：抛物线在点A处的切线为， 当时得，即， 所以直线的方程为，整理得， 联立，消去的，解得， 即直线与抛物线相切，A错误； 对于B：直线的方程为，整理得， 此时直线恒过定点，B正确； 对于C：由选项B可得点在以线段为直径的圆上，点除外， 故点的轨迹方程是，C正确； 对于D：， ， 则，令， 则，设， 则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先通过复数的运算法则将给定的复数化简，再根据纯虚数的定义来确定参数的值. 【详解】因为为纯虚数， 所以且，解得. 故答案为： 13. 已知球的半径等于4，，是球的某内接圆柱的上下底面圆心，，是球的直径（点在上，点在上），为的中点，若四边形是圆的内接矩形，，是圆柱的母线，且平面平面，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据球的截面图可得，，设利用空间向量法，求出平面和平面的法向量分别为令，，，根据平面平面，得，进而得，再结合，可得，进而可得. 【详解】 如图为过球、圆柱的上下底面圆心、与的截面， 因球的半径等于4，，故， 故圆柱底面半径为, 因为的中点，故，， 如图，以为坐标原点，以平行于,的线为轴，以为轴建立空间直角坐标系， 设，则， 由题意，则，故， ， 设平面和平面的法向量分别为， 则， 令，得，故， 令，得，故， 因平面平面，故，得， 又，故，故 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据圆柱和球的位置关系，得到的位置和圆柱底面的半径，设后，在圆柱中利用空间直角坐标系，根据平面平面，可得，即得. 14. 已知实数满足，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】确定动点的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得. 【详解】显然点在圆及内部，直线，直线， 由，得直线与圆相离，且， 由，解得或，即直线与圆交于点， ①当时，即点在直线与圆所围成的小弓形及内部， ， 目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系， 画出直线，平移直线分别到直线， 当过点时，取得最大值，最小， 当过点时，取得最小值，最大， 因此，，从而； ②当时，即点在直线与圆所围成的大弓形及内部（不含直线上的点）， ， 目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系， 画出直线，显直线，平移直线分别到直线，直线与圆分别相切于点， 当过点时，取得最大值，最小，因此， 当过点时，取得最小值，最大，因此， 从而， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数的单调性； （2）分离参数得，构造，利用导数求最大值即得. 【小问1详解】 当时，函数的定义域是，， 令，得，解得，故的单调递减区间是， 令，得，解得，故的单调递增区间是， 综上，的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问2详解】 由任意，知恒成立. 因，故，在上恒成立. 设，则， 令，得，（舍去）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故当时，取得极大值，也是最大值，且， 所以若在上恒成立，则， 故实数的取值范围是. 16. 在锐角中，角的对边分别为，已知 （1）求角； （2）若，求面积取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，结合三角恒等计算； （2）运用正弦定理，结合三角函数计算值域即可. 【小问1详解】 由正弦定理得：， 即， ， ， ，又； 【小问2详解】 由正弦定理得：, , ， 在锐角中：，解得：， ， ,， 则. 17. 如图，四棱锥中，四边形是菱形，平面，，，，分别是线段和上的动点，且，. （1）若，求的值； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若直线与线段交于点，于点，当的长度最小时，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据几何关系，建立空间直角坐标系，根据向量的平行关系，即可求解； （2）首先求向量和平面的法向量，代入线面角的向量公式，即可求解； （3）设，利用空间向量基本定理以及三点共线的充要条件得出，利用向量模长公式以及导数判断函数的单调性，计算最值即可. 【小问1详解】 由于四边形是菱形，且，取中点，则，即， 又平面，故可以以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 由，， 可知，， ∴， 易知，因为，所以， 得到，得到. 【小问2详解】 由（1）知 ， 设平面的一个法向量为，则 令，则，，， 设直线与平面所成角为， 则 【小问3详解】 设，， 则， 由于，，共线，不妨设，易知， 又，则有， 所以，则， 则， 即， 记，则， 令，得到， 在上，在上， 可知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在处取到极小值，此时的长度最小，此时. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是关于为关于的函数，再一个关键是根据平面向量基本定理，得到. 18. 某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛的结果相互独立． （1）若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为．求甲乙决出冠军时比赛局数X的分布列与数学期望； （2）若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．已知甲乙进行了n局比赛且甲胜了13局，试给出n的估计值（X表示n局比赛中甲胜的局数，以使得最大的n的值作为n的估计值）． （3）若每局比赛甲获胜的概率为，规定在场比赛中甲超过一半场次获胜就获得冠军，记其概率为，试说明的单调性并给出证明． 【答案】（1）分布列见解析， （2）21 （3）单调增，证明见解析 【解析】 【分析】（1）讨论极端情况，若刚开始连胜，则局结束，若一直没有连胜，则最多比赛局，再具体讨论每种情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可解决； （2）每场比赛是相互独立的，则服从二项分布 ，求出，再求最值即可； （3）该模型符合马尔科夫链，得出和之间的递推关系即可判断. 【小问1详解】 （1）由比赛规则可知，1局比赛后，甲乙双方共获得4分，若比赛进行了4局还未结束， 则双方共计16分，此时双方均为8分，则第5局比赛后必定有一人积分可达到11分， 故比赛次数不会超过5； 由比赛规则可知，若比赛共进行了n局，（）， 即随机事件“第i局比赛中甲获胜”， ， ， ， ． 于是X的分布列为： X 2 3 4 5 P 故； 【小问2详解】 （2）易得，，， 记，则， 由，得，即，；，， 故时，最大，所以n的估计值为21． 【小问3详解】 在场比赛中甲获胜概率为，则在场比赛中甲获胜概率为，记乙在每场比赛是获胜概率为，则 由已知，所以单调增 19. 已知双曲线 的离心率为 ，其虚轴的两个端点与右顶点所构成的三角形的面积为 2 . （1）求双曲线 的方程； （2）设 ，若点 在双曲线 上， 在点 处的切线 与两条渐近线分别交于 两点， 是坐标原点，且 . （i）证明数列 是等差数列，并求通项公式 ; （ii）设数列的前 项和为 .求证: 对 . (其中 表示不超过 的最大整数，例如 ) 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题可得，然后由虚轴的两个端点与右顶点所构成的三角形的面积为 2可得答案； （2）（i）由（1）可得，，然后由导数知识可得切线斜率，即可得切线方程，与渐近线方程联立后可得坐标，最后结合可完成证明，并得到通项公式；（ii）由，可证明；由题可得，然后构造函数证明即可证明. 【小问1详解】 由题可得，又， 则，又其虚轴的两个端点与右顶点所构成的三角形的面积为 2， 则，则，故双曲线方程为：； 【小问2详解】 （i）因在双曲线上， 则. 因，则在第一象限， 则此时点P满足方程：， 则，故点P对应切线斜率为： . 则切线方程为：. 与渐近线联立，可得，同理可得. 则， 又， 则， 又，则， 故数列 是以1为首项，公差为1的等差数列，则； （ii）由（1）可得，则. 则， 注意到 ， 又，则； 另一方面，. 注意到时，，则 则 ，又， 则. 下面证明：， 注意到， 则要证，即证， 注意到， 则证明. 令，因，则，则对于函数. 有， 令，则， 则， 故在上单调递增，在上单调递减， 又注意到，则当时，. 则. 最后由不等式同向可加性可得： 又注意到，则， 则. 则 . 综上可知，. 【点睛】关键点睛：对于圆锥曲线的切线，可利用导数，从而简化运算；对于数列不等式，多利用放缩法，或将需证不等式两边化为代数式相加的形式，再利用作差法，构造函数，数学归纳法证明多项式的大小关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东师范大学附属中学2025届高三年级高考模拟考试 数学试题 2025.03 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量满足，则在上的投影向量为（ ） A B. C. D. 3. 设正项等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. 31 B. 32 C. 63 D. 65 4. 已知高为 4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的 4 倍，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线，单位圆O分别相切于A，B两点，当最小时，（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的两个零点分别为和，则（   ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（a，且）在区间上有零点，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为 B. 当时，函数在定义域上单调递增 C. 曲线是中心对称图形 D. 若，且的最小值是0 10. 函数的定义域为，若存在满足：对任意的恒成立，则称为上的函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是上的函数，则为上的函数 B. ，是上的函数 C. 是上的函数，则 D. 命题“是上的函数”的一个必要条件为“” 11. 过点直线与抛物线交于两点.抛物线在点A处的切线与直线交于点，过点N作交于点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与抛物线有2个公共点 B. 直线恒过定点 C. 点的轨迹方程是 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则__________. 13. 已知球的半径等于4，，是球的某内接圆柱的上下底面圆心，，是球的直径（点在上，点在上），为的中点，若四边形是圆的内接矩形，，是圆柱的母线，且平面平面，则______. 14. 已知实数满足，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 16. 在锐角中，角的对边分别为，已知 （1）求角； （2）若，求面积的取值范围. 17. 如图，四棱锥中，四边形是菱形，平面，，，，分别是线段和上的动点，且，. （1）若，求的值； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若直线与线段交于点，于点，当的长度最小时，求的值. 18. 某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛的结果相互独立． （1）若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为．求甲乙决出冠军时比赛局数X的分布列与数学期望； （2）若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．已知甲乙进行了n局比赛且甲胜了13局，试给出n的估计值（X表示n局比赛中甲胜的局数，以使得最大的n的值作为n的估计值）． （3）若每局比赛甲获胜的概率为，规定在场比赛中甲超过一半场次获胜就获得冠军，记其概率为，试说明的单调性并给出证明． 19. 已知双曲线 的离心率为 ，其虚轴的两个端点与右顶点所构成的三角形的面积为 2 . （1）求双曲线 的方程； （2）设 ，若点 在双曲线 上， 在点 处的切线 与两条渐近线分别交于 两点， 是坐标原点，且 . （i）证明数列 是等差数列，并求通项公式 ; （ii）设数列的前 项和为 .求证: 对 . 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