精品解析：山东省淄博第七中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

高二3月阶段性检测数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在数列中，，，则（ ） A. B. 1 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由题中条件得，经过递推可得，进而可得结果. 【详解】依题意得，则， 所以（），故. 故选：B. 2. 已知数列的通项公式是，那么这个数列是（ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 常数列 【答案】A 【解析】 【分析】 作差得出和的大小关系，进而可判断出数列的单调性. 【详解】，， ，因此，数列是递增数列. 故选：A. 【点睛】本题考查数列单调性的判断，涉及数列单调性定义的应用，考查推理能力，属于基础题. 3. 已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象，由导数的意义和割线的斜率求解即可. 【详解】因为在上为递增函数， 由导数的意义可知，为曲线在处切线的斜率， 所以， 又由斜率的定义可以，表示割线的斜率， 所以， 故选：A. 4. 已知数列 是等差数列， 是其前 项和， 若 ， 则数列 的公差是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质由求出，再根据等差数列的通项公式列出方程求解即可. 【详解】因为数列 是等差数列， 所以， 解得， 则， 解得. 故选：B 5. 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ） A. 14 B. 12 C. 6 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解. 【详解】解：设等比数列的公比为， 若，则，与题意矛盾， 所以， 则，解得， 所以. 故选：D. 6. 设是等差数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列下标和性质可得，进而求得结果. 【详解】由是等差数列的前项和， . 故选：D. 7. 数列满足，a且，，则该数列的前40项之和为（ ） A. B. 80 C. 60 D. 230 【答案】C 【解析】 【分析】由知，分奇数项和偶数项两种情况考虑，接下来可以相邻奇偶项并项求和，也可以奇数项和偶数项分组求和. 【详解】法一：由，得，， 所以，所以数列的前40项和为． 法二：也可以分奇数项和偶数项分别求和，奇数项成公差为的等差数列，偶数项成公差为1的等差数列，所以前40项中奇数项有20项， 其和为，偶数项有20项，其和为，故前40项和为. 故选： C． 8. 《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺，蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．”请问当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是（ ）（结果精确到0.1．参考数据：，．） A. 2.9天 B. 3.9天 C. 4.9天 D. 5.9天 【答案】C 【解析】 【分析】设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1＝3，公比为，其前n项和为An．莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn．利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出． 【详解】设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1＝3，公比为，其前n项和为An． 莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2， 其前n项和为Bn．则An，Bn， 由题意可得：， 解得2n＝ ，2n＝1（舍去）． ∴n． 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列0，1，0，，0，1，0，，…的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据选项取值验算可得正确答案. 【详解】当时，，故C不正确； 当时，，排除B； 当，时，经验算，AD均正确，由周期性可知AD正确， 故选：AD. 10. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是数列中的最大值 D. 数列无最大值 【答案】AB 【解析】 【分析】根据条件判断，分和两情况讨论得成立与否得出，即可判断A；对于B，利用A的结论和等比数列项的性质即可判定；对于C，D，由前面推得的即可判断. 【详解】对于A，由可得，（*）， 由可得. 当时，因，则，则（*）不成立； 所以，则，（*）成立，故，即A正确； 对于B，因，故B正确； 对于C,D，由上分析，且， 则是数列中的最大值，故C错误，D错误. 故选：AB 【点睛】易错点睛：边界条件的遗漏：在判断数列的公比时，容易忽略公比为正的条件，尤其是当涉及到前项和与前项积的比较时，应特别注意各个条件的限制.最大值的判断：在判断数列是否存在最大值时，容易因数列项的变化规律分析不准确而得出错误结论.对于无穷项的数列，要明确变化的趋向. 11. 1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记为该数列的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为偶数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据递推关系计算出的值可判断选项A；根据数列中项的特点可判断选项B；由可得，再化简可判断选项C；由，化简整理可判断选项D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：由题意知：，，，，，，，，，，， 故选项A正确； 对于B：因为该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，此数列中数字的特点为：奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组，呈奇奇偶的顺序排列，而（组）（个），故为奇数，选项B错误； 对于C：由题意知：，所以 ，故选项C正确； 对于D：， 故选项D正确， 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 某品牌汽车在启动后的行驶路程（单位：米）关于时间（单位：秒）的关系满足：，，则第5秒时汽车的瞬时速度为_______． 【答案】米/秒 【解析】 【分析】根据导数的意义，结合其物理意义求解即可. 【详解】由导数的实际意义可知，唯一关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度， 则为第5秒时汽车的瞬时速度， 因为，所以， 故答案为：米/秒 13. 如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数应该排在从上向下数的第行，是该行中从左向右数的第个数，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图中每一行的最后一个数和每一行的个数，即可总结规律，得到递推关系式，即可求出所在具体位置，求出结果. 【详解】根据图中规律可知，每一行的最后一个数为，且个数为， 则第n行的最后一个数为，个数为，， 因为， 所以排在第行最后一个， 又第行个数为， 所以， 所以. 故答案： 14. 设数列满足，则an＝________． 【答案】 【解析】 【分析】先由题意得时，，再作差得， 验证时也满足． 【详解】① 当时，； 当时，② ①②得，当也成立. 即 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数的导数. （1） （2）； （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】由基本初等函数求导公式，结合四则运算的导数公式化简即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 【小问4详解】 . 16. 已知函数，且． （1）求的值； （2）求函数的图象在点处的切线方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求导即可代入求解， （2）根据导数求解斜率，即可由点斜式求解 【小问1详解】 由，得， 又， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）知，， ∴，即切点为， 又，， ∴切线的斜率为， 故函数的图象在点处的切线方程为：， 即. 17. 已知数列满足，（其中且）. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列前项和. 【答案】（1）；（2） 【解析】 分析】（1）由已知得（，），利用累加法求通项公式； （2）写出，利用裂项相消法求. 【详解】（1）（，） ∴，（）， 当时满足上式， ∴. （2） ∴ . 【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式、裂项相消法求数列的前n项和，属于中档题. 18. 设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列. （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和，求和. 【答案】（1），； （2），. 【解析】 【分析】（1）设出等比数列的公比，利用等差中项列式求解即可. （2）由（1）的结论，利用等比数列前n项和公式及错位相减法求和得解. 【小问1详解】 设的公比为q，则， 由，，成等差数列，得，则有，解得， 所以和的通项公式是，. 【小问2详解】 由（1）知； ， 则， 两式相减得， 所以. 19. 已知数列的前项和为，且 （1）证明：是等比数列； （2）求数列的通项公式 （3）求数列的通项公式，并求出为何值时，取得最小值，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3），理由见解析. 【解析】 【分析】(1)由前项和为与通项的关系，得出的递推公式，即可证明结论； (2)由(1)和等比数列的通项公式即可求出； (3)由(2)求出，通过研究的单调性，即可求解. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 整理得， ， 是以-15为首项，为公比的等比数列； 【小问2详解】 由(1)知，是以-15为首项，为公比的等比数列， 得，所以， 【小问3详解】 由(2)得， ， 当时，， 故， 当时，， 所以当时，，同理当时，； 故时，取得最小值，即为最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二3月阶段性检测数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在数列中，，，则（ ） A B. 1 C. 7 D. 8 2. 已知数列的通项公式是，那么这个数列是（ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 常数列 3. 已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列 是等差数列， 是其前 项和， 若 ， 则数列 的公差是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ） A. 14 B. 12 C. 6 D. 3 6. 设是等差数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 数列满足，a且，，则该数列前40项之和为（ ） A. B. 80 C. 60 D. 230 8. 《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺，蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天一半，莞每天长高前一天的2倍．”请问当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是（ ）（结果精确到0.1．参考数据：，．） A. 2.9天 B. 3.9天 C. 4.9天 D. 5.9天 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列0，1，0，，0，1，0，，…的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 10. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是数列中的最大值 D. 数列无最大值 11. 1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记为该数列的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为偶数 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 某品牌汽车在启动后的行驶路程（单位：米）关于时间（单位：秒）的关系满足：，，则第5秒时汽车的瞬时速度为_______． 13. 如图所示是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数应该排在从上向下数的第行，是该行中从左向右数的第个数，那么的值是______． 14. 设数列满足，则an＝________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数的导数. （1） （2）； （3）； （4） 16. 已知函数，且． （1）求的值； （2）求函数的图象在点处的切线方程． 17. 已知数列满足，（其中且）. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列前项和. 18. 设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列. （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和，求和. 19. 已知数列前项和为，且 （1）证明：是等比数列； （2）求数列的通项公式 （3）求数列的通项公式，并求出为何值时，取得最小值，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$