（总集篇）第四单元长方体（二）·总集篇·六种综合性问题【六大考点】-2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版+答案版）北师大版

篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第四单元长方体（二）·总集篇·六种综合性问题【六大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元长方体（二）·总集篇·六种综合性问题 专题内容 本专题以长方体和正方体的六种综合性问题为主，包括长方体和正方体的切拼问题、剪角折叠求体积问题、等积变形问题、排水法求不规则物体的体积问题、含长方体正方体的不规则或组合立体图形的表面积与体积问题、长方体正方体中的注水运动问题等内容。 总体评价 讲解建议 本专题考点遍布各种题型，考题综合性强，难度大，其中多数内容以思维拓展题型为主，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分内容。 考点数量 六个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】问题一：长方体和正方体的切拼问题 3 【考点二】问题二：剪角折叠求体积问题 6 【考点三】问题三：等积变形问题 8 【考点四】问题四：排水法求不规则物体的体积问题 11 【考点五】问题五：不规则或组合立体图形的表面积与体积问题 13 【考点六】问题六：长方体和正方体中的注水运动问题 15 【第三篇】典型例题篇 【考点一】问题一：长方体和正方体的切拼问题。 【方法点拨】 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 【典型例题1】切割问题。 把一个大正方体切成三个完全相同的小长方体后，小长方体的表面积之和比原大正方体的表面积增加了144cm2。 （1）画出示意图并标注条件中的数据。 （2）小长方体的长、宽、高分别是多少cm？ （3）原大正方体的体积是多少cm3？ 【对应练习】 一个长方体按以下三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？ 【典型例题2】拼接问题。 用3个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是160厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【对应练习】 两个完全相同的长方体，长是12厘米，宽是7厘米，高是4厘米，现在把它们拼成一个表面积最大的长方体后，则表面积比原来减少了多少平方厘米？。 【典型例题3】高的变化问题。 一个长方体，如果高减少3厘米就变成了一个正方体，表面积就减少了96平方厘米，现在这个正方体的体积与原来长方体的体积相差多少立方厘米？ 【对应练习】 一个长方体，如果高减少5厘米，就成了一个正方体，这时表面积会比原来少120平方厘米，原来长方体的体积是多少？ 【典型例题4】最大的正方体。 从一块长12cm、宽9cm、高6cm的长方体陶泥上切下一个最大的正方体，剩下部分的表面积与原长方体的表面积相比，会怎样变化？列出你想到的所有情况。 【对应练习】 一个长方体长20厘米、宽16厘米、高10厘米，现在从长方体中切下一个最大的正方体，再从剩下的部分中切下一个最大的正方体，最后又从第二次剩下的部分中切下一个最大的正方体，剩下的体积是多少立方厘米？ 【考点二】问题二：剪角折叠求体积问题。 【方法点拨】 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 【典型例题】 壮壮有48个棱长为5厘米的正方体小积木，他想要制作一个盒子将他的积木正好装完（无凸出，无空余），他准备用下图长50厘米、宽40厘米的长方形硬纸板剪掉四个角折成一个无盖的长方体纸盒。 （1）请你帮助壮壮设计一个方案，在下图中动手画一画，表示出你是怎样剪的（需要剪掉的部分用笔涂一涂，并标注相关长度）。 （2）请列式说明做出来的盒子空间正好能够按要求容纳壮壮的所有积木。 【对应练习1】 先从一张长40厘米，宽35厘米的长方形铁皮的四个角各剪去一个边长是5厘米的正方形，然后做成一个无盖的长方体盒子。 （1）这个盒子用了多少平方厘米铁皮？ （2）这个铁皮盒子的容积是多少立方厘米？ 【对应练习2】 一块长方形铁皮，从四个角各切掉一个边长为8厘米的正方形（如图），然后做成一个无盖盒子。 （1）这个铁盒至少用多少铁皮？ （2）这个铁盒的容积是多少？ 【对应练习3】 一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为x厘米的正方形，焊接成一个无盖盒子。    （1）当x＝5时，焊接无盖盒子用了多少铁皮？ （2）当x＝5时，这个盒子的占地面积是多少？ （3）当x＝5时，这个盒子的容积是多少？ （4）x可取的数值很多，在这些数值中，x＝5时的盒子容积是最小的吗？请回答并写出过程。 【考点三】问题三：等积变形问题。 【方法点拨】 长方体、正方体的等积变形问题是较常考察的题型之一，总体来说，难度不大，关键是掌握体积不变这一思路，再根据体积不变去解决问题。 1. 等积变形问题。 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 【典型例题】 1．把一块棱长是20厘米的正方体钢坯锻成长是25厘米、宽是16厘米的长方体钢材。锻成的长方体钢材的高是多少厘米？ 2．有一个长方体容器（图1），长30厘米，宽20厘米，高10厘米，里面的水深6厘米。为了节约占地面积，把这个容器盖紧，再朝左竖起来（图2），里面的水深应该是多少？ 3．有甲、乙两个长方体容器，从甲容器内部量得长、宽、高分别为40厘米、10厘米、10厘米。将甲容器的右面作为底面，直立起来就是乙容器，已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。 （1）甲容器中水的体积是多少？ （2）现在把甲、乙两个容器放在同一桌面上，将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么乙容器中需要倒入多少毫升水？ 【对应练习1】 把一个棱长为8分米的正方体铁块熔化，铸成一个底面积为32平方分米的长方体铁块。这个长方体铁块的高是多少分米？ 【对应练习2】 一个密封的长方体容器（如下图），长30厘米，宽10厘米，高15厘米，水深8厘米。如果把这个容器的右侧朝下放在桌面上，这时水深应该是多少厘米？（容器的厚度忽略不计） 【对应练习3】 有一个装水的长方体容器A和一个空的长方体容器B（如图）。 （1）若容器A中的水全部倒入容器B中，容器B中水深多少厘米？   （2）现将容器A中的一部分水倒入容器B，使得此时两个容器内的水面高度相同。你知道这时容器A中水深多少厘米吗？ 【考点四】问题四：排水法求不规则物体的体积问题。 【方法点拨】 1. 排水法求不规则物体的体积。 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤。 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 【典型例题】 实验小学为普及生态文明教育，打算在教学楼入口处饲养一些鱼类，需要准备3个同样大小的无盖玻璃鱼缸，尺寸如图所示。 （1）做这些鱼缸需要多大的玻璃？（损耗忽略不计） （2）将其中一个鱼缸装满水后，把一根长为1米，横截面积为20平方厘米的长方体铁棒竖直插入水中，插到底后竖直取出。这时水面的高度是多少厘米？ 【对应练习1】 如下图，一个长、宽、高分别为30厘米、16厘米、21厘米的长方体容器中水位高度是10厘米，如果将另一个长方体（长、宽、高分别为16厘米、10厘米、36厘米的铁块竖直）放入左边的容器中（贴底面齐平），那么这个容器中的水会溢出吗？如果不溢出，那么容器中水位将上升至多少高度？如果溢出，那会溢出多少立方厘米的水量？ 【对应练习2】 如图一个长方体的玻璃鱼缸，长9分米，宽7分米，高4分米，水深3.8分米。如果投入一块棱长为5分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？    【对应练习3】 一个长方体玻璃鱼缸（无盖），量得它的长是8分米，宽是5分米，高是6分米，水深5.2分米。（玻璃厚度忽略不计） （1）做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）如果在这个鱼缸里投入一个棱长是3分米的正方体铁块，鱼缸里的水会不会溢出？请你通过计算说明。 （3）如果会溢出，鱼缸里会溢出多少升水？如果不会溢出，现在水深是多少分米？ 【考点五】问题五：不规则或组合立体图形的表面积与体积问题。 【方法点拨】 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 【典型例题】 从一个长方体中锯掉一个正方体后，成了下图所示的形状。求现在这个物体的表面积和体积。（单位：厘米） 【对应练习1】 一块正方体木料，棱长是6厘米，在6个面的中央各挖走一个棱长是2厘米的正方体洞孔。这时它的表面积、体积各是多少？ 【对应练习2】 如图所示，有一个棱长为40厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同、棱长为2厘米的小正方体后。请问：挖后的表面积是多少平方厘米? 【对应练习3】 如图是一个棱长4厘米的正方体，在正方体上面正中向下挖一个棱长是2厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是1厘米正方体小洞，最后得到的立方体图形的表面积是多少平方厘米？ 【考点六】问题六：长方体和正方体中的注水运动问题。 【方法点拨】 注水运动问题常使用实验的方式考察长方体和正方体的体积在实际生活中的综合应用，审题过程中，关键在于读懂图形给到的信息，需要很巧妙地把给到的注水“实验”过程图形（高度与时间的关系）与实际注水过程节点关联起来，比较考验学生的数学“实验”逻辑思考能力，其在独立招生考试或是在小升初入学分层考试中较为常见。 【典型例题】 如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面分成了相等的2部分。现在同时往左右两边注水，已知左边注水速度为每分钟2升。注水3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平。又经过1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平。 （1）水槽的容积是多少？ （2）注满水槽共需几分钟？ 【对应练习1】 有一个无水的长方体玻璃水缸，尺寸如左下图所示，一个水龙头从上午9：00开始向玻璃缸内注水，水的流量是8立方分米/分，到9：03关闭水龙头停止注水。接着马上在缸内放入一个高为8厘米的长方体铁块，使之全部浸没水中，玻璃缸的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如下图所示。 （1）图中点( )的位置表示停止注水。（从A、B、C中选择） （2）9：03时玻璃缸水面高度为多少厘米？ （3）求出长方体铁块的底面积。 【对应练习2】 我市游泳健身中心的室内泳池长50米，宽25米。最浅处水深1.2米，最深处水深1.6米。 （1）“泳池的容积是多少立方米？”对这一数学问题以下两位同学展开了过论。请根据他们的思考过程解决问题。 ①小朱同学：“它不是一个长方体，但可以通过割或补的方法（如下图），就可以变成长方体了，所以它的容积大小范围就在( )立方米和( )立方米之间。” ②小锋同学：“两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体（如下图）。这样就能计算出它的容积啦。” 请根据小锋的方法计算该泳池的容积。 （2）如果在空的泳池内以均匀的注水速度（140立方米/小时）往池内灌水，选一选，下面哪幅图能表示出泳池最深处水位的变化情况？( ) （3）根据以上信息综合思考。第（2）题图中的a表示的数是( )小时。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第四单元长方体（二）·总集篇·六种综合性问题【六大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元长方体（二）·总集篇·六种综合性问题 专题内容 本专题以长方体和正方体的六种综合性问题为主，包括长方体和正方体的切拼问题、剪角折叠求体积问题、等积变形问题、排水法求不规则物体的体积问题、含长方体正方体的不规则或组合立体图形的表面积与体积问题、长方体正方体中的注水运动问题等内容。 总体评价 讲解建议 本专题考点遍布各种题型，考题综合性强，难度大，其中多数内容以思维拓展题型为主，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分内容。 考点数量 六个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】问题一：长方体和正方体的切拼问题 3 【考点二】问题二：剪角折叠求体积问题 10 【考点三】问题三：等积变形问题 16 【考点四】问题四：排水法求不规则物体的体积问题 22 【考点五】问题五：不规则或组合立体图形的表面积与体积问题 27 【考点六】问题六：长方体和正方体中的注水运动问题 30 【第三篇】典型例题篇 【考点一】问题一：长方体和正方体的切拼问题。 【方法点拨】 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 【典型例题1】切割问题。 把一个大正方体切成三个完全相同的小长方体后，小长方体的表面积之和比原大正方体的表面积增加了144cm2。 （1）画出示意图并标注条件中的数据。 （2）小长方体的长、宽、高分别是多少cm？ （3）原大正方体的体积是多少cm3？ 【答案】（1）见详解 （2）长2cm，宽6cm，高6cm （3）216cm3 【分析】（1）画出把一个大正方体切成三个完全相同的小长方体的示意图，并标注数据；（答案不唯一） （2）根据题意，把一个大正方体切成三个小长方体，要切2次；切一次增加2个截面；切2次增加4个截面，表面积增加4个截面的面积；先用增加的表面积除以4，求出一个截面的面积；这个截面是正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出正方体的棱长；用正方体的棱长除以3，就是小长方体的长；小长方体的宽和高都等于正方体的棱长； （3）根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可。 【详解】（1）如图： （答案不唯一） （2）144÷4＝36（cm2） 36＝6×6 所以大正方体的棱长是6cm。 小长方体的长是：6÷3＝2（cm） 小长方体的宽和高都是6cm。 答：小长方体的长是2cm、宽是6cm、高是6cm。 （3）6×6×6 ＝36×6 ＝216（cm3） 答：原大正方体的体积是216cm3。 【点睛】掌握正方体切割的特点，明确增加的表面积是哪些面的面积，熟记正方体的体积公式是解题的关键。 【对应练习】 一个长方体按以下三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？ 【答案】94平方厘米；60立方厘米 【分析】表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米，增加的面积和就是原来长方体的面积；根据长×高×2＝40，长×宽×2＝30，宽×高×2＝24，由此求出长方体的体积。 【详解】40＋30＋24 ＝70＋24 ＝94（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是94平方厘米。 长×高×2＝40，即长×高＝20＝5×4， 长×宽×2＝30，即长×宽＝15＝5×3， 宽×高×2＝24，即宽×高＝12＝4×3， 即长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米。 5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方厘米） 答：体积是60立方厘米。 【点睛】考查了立体图形的切拼，解题的关键是根据分解质因数求出长、宽、高。 【典型例题2】拼接问题。 用3个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是160厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】896平方厘米 【分析】通过观察图形可知，拼成的长方体的棱长总和比原来3个正方体的棱长总和减少了正方体的16条棱的长度，据此可以求出正方体的棱长；这个长方体的表面积比3个正方体的表面积之和减少了正方体的4个面的面积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答。 【详解】160÷（12×3﹣16） ＝160÷（36﹣16） ＝160÷20 ＝8（厘米） 8×8×6×3﹣8×8×4 ＝64×6×3﹣64×4 ＝384×3﹣256 ＝1152﹣256 ＝896（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是896平方厘米。 【点睛】此题主要考查长方体、正方体的棱长总和公式、表面积公式的灵活运用，求出正方体的棱长是解题的关键。 【对应练习】 两个完全相同的长方体，长是12厘米，宽是7厘米，高是4厘米，现在把它们拼成一个表面积最大的长方体后，则表面积比原来减少了多少平方厘米？。 【答案】56平方厘米 【分析】将两个完全的长方体拼成一个大长方体，要使大长方体面积最大，则拼接的一面为小长方体面积最小的一面，根据题意可得面积最小的一面是宽和高所对应的面。此时，大长方体表面积比原来减少了2个这样的面，据此可得出答案。 【详解】拼接后要使大长方体表面积最大，则拼接面为面积最小的一面。故表面积比原来减少： 7×4×2 ＝28×2 ＝56（平方厘米）。 答：表面积比原来减少了56平方厘米。 【点睛】本题主要考查的是长方体表面积及拼接，解题的关键是根据题意中得出拼接的面为面积最小的面，进而得出答案。 【典型例题3】高的变化问题。 一个长方体，如果高减少3厘米就变成了一个正方体，表面积就减少了96平方厘米，现在这个正方体的体积与原来长方体的体积相差多少立方厘米？ 【答案】192立方厘米 【分析】根据题意，长方体的高减少3厘米变成了一个正方体，说明长方体的长和宽都等于正方体的棱长；正方体比原来长方体减少的表面积是4个长为正方体的棱长，宽为3厘米的长方形的面积；先用减少的表面积除以4，求出一个长方形的面积，再除以3，即可求出正方体的棱长，也是长方体的长和宽；那么正方体与原来长方体相差的体积是一个长、宽等于正方体的棱长，高为3厘米的小长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【详解】96÷4＝24（平方厘米） 24÷3＝8（厘米） 8×8×3 ＝64×3 ＝192（立方厘米） 答：现在这个正方体的体积与原来长方体的体积相差192立方厘米。 【点睛】本题考查立体图形的切拼以及长方体体积公式的应用，明确表面积减少的是哪些面的面积，以此为突破口，求出正方体的棱长是解题的关键。 【对应练习】 一个长方体，如果高减少5厘米，就成了一个正方体，这时表面积会比原来少120平方厘米，原来长方体的体积是多少？ 【答案】396立方厘米 【分析】根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等。由题意可知：高减少5厘米，这时表面积比原来减少了120平方厘米。表面积减少的是高为5厘米的长方体的4个侧面的面积。先求出减少部分的1个侧面的面积，120÷4＝30（平方厘米）；根据长方形的面积公式S＝ab，求出原来长方体的底面边长就是6厘米。原来的高是6＋5＝11（厘米），再根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【详解】原来长方体的底面边长是： 120÷4÷5 ＝30÷5 ＝6（厘米） 高是：6＋5＝11（厘米） 原来长方体的体积是： 6×6×11 ＝36×11 ＝396（立方厘米） 答：原来长方体的体积是396立方厘米。 【点睛】此题解答关键是求出原来长方体的底面边长，进而求出高，再根据长方体的体积公式解答即可。 【典型例题4】最大的正方体。 从一块长12cm、宽9cm、高6cm的长方体陶泥上切下一个最大的正方体，剩下部分的表面积与原长方体的表面积相比，会怎样变化？列出你想到的所有情况。 【答案】①以长方体的一个顶点为正方体的一个顶点切：表面积减小72平方厘米； ②不挨顶点，沿棱切：表面积不变。 ③从长方体里边切，不挨顶点和棱：表面积增加72平方厘米 【分析】，如图，从一块长12cm、宽9cm、高6cm的长方体陶泥上切下一个最大的正方体，正方体的棱长是6厘米，①以长方体的一个顶点为正方体的一个顶点切，表面积减少了两个正方体的面；②不挨顶点，沿棱切：表面积不变；③从长方体里边切，不挨顶点和棱，表面积增加两个正方体的面，据此分析。 【详解】①以长方体的一个顶点为正方体的一个顶点切：表面积减小，6×6×2＝72（平方厘米）。 ②不挨顶点，沿棱切：表面积不变。 ③从长方体里边切，不挨顶点和棱：表面积增加，6×6×2＝72（平方厘米） 【点睛】本题考查了立体图形的切拼，可以画画示意图，做做辅助线。 【对应练习】 一个长方体长20厘米、宽16厘米、高10厘米，现在从长方体中切下一个最大的正方体，再从剩下的部分中切下一个最大的正方体，最后又从第二次剩下的部分中切下一个最大的正方体，剩下的体积是多少立方厘米？ 【答案】984立方厘米 【分析】根据题意可知，长方体的长是高的2倍，由此可知，长方体可以切去两个棱长是10厘米的正方体，即第一次切下一个最大的正方体，正方体的棱长等于长方体的高，即正方体的棱长是10厘米；第二次剩下部分的还可以切下的棱长是10厘米的正方体，最后再把剩下部分的切去一个最大的正方体，正方体的棱长是6厘米；求剩下的体积，就用原来长方体的体积减去棱长是10厘米的正方体的体积，减去棱长10厘米的正方体体积，减去棱长是6厘米的正方体的体积；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，即可解答。 【详解】第一个正方体的棱长是10厘米；第二个正方体的棱长是10厘米 第三个正方体的棱长是：16－10＝6（厘米） 20×16×10－10×10×10×2－6×6×6 ＝320×10－100×10×2－36×6 ＝3200－1000×2－218 ＝3200－2000－218 ＝1200－218 ＝984（立方厘米） 答：剩下的体积是984立方厘米。 【点睛】解答本题的关键是第二次切去最大的正方体的棱长和第一次切去正方体的棱长相等，第三次切去正方体的棱长等于原长方体的宽与切去最大正方体的棱长差。 【考点二】问题二：剪角折叠求体积问题。 【方法点拨】 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 【典型例题】 壮壮有48个棱长为5厘米的正方体小积木，他想要制作一个盒子将他的积木正好装完（无凸出，无空余），他准备用下图长50厘米、宽40厘米的长方形硬纸板剪掉四个角折成一个无盖的长方体纸盒。 （1）请你帮助壮壮设计一个方案，在下图中动手画一画，表示出你是怎样剪的（需要剪掉的部分用笔涂一涂，并标注相关长度）。 （2）请列式说明做出来的盒子空间正好能够按要求容纳壮壮的所有积木。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）由于要把这个小正方体积木正好装完，那么剪掉的部分的小正方形的变成应该等于小正方体积木的棱长，或者是剪掉部分的边长是小正方体积木棱长的倍数，即可以剪掉5厘米或者10厘米的小正方形，据此即可画图；（答案不唯一） （2）当剪掉边长为5厘米的小正方形的时候，这个盒子的长是50－2×5＝40厘米，宽是40－2×5＝30厘米，高是5厘米，用40除以5看一行能放几个小正方体积木，再用30除以5看能放几行，由于高是5厘米，就只能放一层，最后用每行的个数×放的行数×层数即可表示出是否能放下所有积木。 【详解】 （1）如下图所示：（答案不唯一） （2）剪掉的边长是5厘米的时候。 50－5×2 ＝50－10 ＝40（厘米） 40－5×2 ＝40－10 ＝30（厘米） （40÷5）×（30÷5）×（5÷5） ＝8×6×1 ＝48（个） 答：用（40÷5）×（30÷5）×（5÷5）正好能够按要求容纳壮壮的所有积木。 【对应练习1】 先从一张长40厘米，宽35厘米的长方形铁皮的四个角各剪去一个边长是5厘米的正方形，然后做成一个无盖的长方体盒子。 （1）这个盒子用了多少平方厘米铁皮？ （2）这个铁皮盒子的容积是多少立方厘米？ 【答案】（1）1300平方厘米 （2）3750立方厘米 【分析】（1）观察图形可知，折成的长方体的长为40－5×2＝30厘米，宽为35－5×2＝25厘米，高是5厘米，铁皮的面积就是长方体的五个面的面积，长方体的五个面的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，据此计算即可； （2）根据长方体的容积公式：V＝abh，据此代入数值进行计算即可。 【详解】（1）40－5×2 ＝40－10 ＝30（厘米） 35－5×2 ＝35－10 ＝25（厘米） 30×25＋（30×5＋25×5）×2 ＝750＋（150＋125）×2 ＝750＋275×2 ＝750＋550 ＝1300（平方厘米） 答：这个盒子用了1300平方厘米铁皮。 （2）30×25×5 ＝750×5 ＝3750（立方厘米） 答：这个铁皮盒子的容积是3750立方厘米。 【点睛】本题考查长方体的表面积和容积，熟记公式是解题的关键。 【对应练习2】 一块长方形铁皮，从四个角各切掉一个边长为8厘米的正方形（如图），然后做成一个无盖盒子。 （1）这个铁盒至少用多少铁皮？ （2）这个铁盒的容积是多少？ 【答案】（1）944平方厘米 （2）2688立方厘米 【分析】（1）根据题意，从长方形铁皮的四个角各切掉一个边长为8厘米的正方形，做成一个无盖的盒子，那么这个铁盒用的铁皮的面积＝长方形的面积－4个正方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，代入数据求解。 （2）做成的无盖的盒子是一个长方体，长为（40－8×2）厘米，宽为（30－8×2）厘米，高为8厘米，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，代入数据求解。 【详解】（1）40×30－8×8×4 ＝1200－256 ＝944（平方厘米） 答：这个铁盒至少用944平方厘米的铁皮。 （2）长： 40－8×2 ＝40－16 ＝24（厘米） 宽： 30－8×2 ＝30－16 ＝14（厘米） 高：8厘米 24×14×8 ＝336×8 ＝2688（立方厘米） 答：这个铁盒的容积是2688立方厘米。 【点睛】（1）明确求长方体盒子所需铁皮的面积，也就是求组合图形的面积，分析组合图形的面积是由哪些图形面积相减得到，再运用图形的面积公式求解。 （2）关键是找出无盖长方体盒子的长、宽、高，再运用长方体的体积（容积）公式解答。 【对应练习3】 一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为x厘米的正方形，焊接成一个无盖盒子。    （1）当x＝5时，焊接无盖盒子用了多少铁皮？ （2）当x＝5时，这个盒子的占地面积是多少？ （3）当x＝5时，这个盒子的容积是多少？ （4）x可取的数值很多，在这些数值中，x＝5时的盒子容积是最小的吗？请回答并写出过程。 【答案】（1）775平方厘米；（2）375平方厘米；（3）1875立方厘米；（4）不是；见详解 【分析】（1）当x＝5时，焊接无盖盒子所用的铁皮面积等于一个长为35厘米，宽为25厘米的长方形面积减去4个边长为5厘米的正方形的面积，利用长方形和正方形的面积公式即可得解。 （2）当x＝5时，这个盒子的占地面积是一个长为（35－2×5）厘米，宽为（25－2×5）厘米的长方形，利用长方形的面积公式即可得解。 （3）根据长方体的容积公式：V＝Sh，代入数据即可求出这个盒子的容积。 （4）可假设x＝1和x＝2时，先分别求出长方体的长、宽、高，再利用长方体的容积公式，分别求出这两种情况下长方体的容积，再与x＝5时所求的长方体盒子的容积比较大小，即可得解。 【详解】（1）当x＝5时，焊接无盖盒子所用的面积为： S＝35×25－4×52 ＝875－4×25 ＝875－100 ＝775 （平方厘米） 答：焊接无盖盒子用了775平方厘米的铁皮。 （2）当x ＝5时，这个盒子占地为长方形， 该长方形的长为： 35－2x ＝35－2×5 ＝35－10 ＝25（厘米） 该长方形的长为： 25－2x ＝25－2×5 ＝25－10 ＝15（厘米） 25×15＝375（平方厘米） 答：这个盒子的占地面积是375平方厘米。 （3）当x＝5时，这个盒子的容积为占地面积乘盒高。 375×5＝1875（立方厘米） 答：这个盒子的容积是1875立方厘米。 （4）x可取的数值很多，在这些数值中，x＝5时的盒子容积不是最小的。 理由如下： 当x＝1时， V＝（35－2）×（25－2）×1 ＝33×23×1 ＝759（立方厘米） 当x＝2时， V＝（35－4）×（25－4）×2 ＝31×21×2 ＝1302（立方厘米） 759立方厘米＜1875立方厘米，1302立方厘米＜1875立方厘米 答：在这些数值中，x＝5时的盒子容积不是最小的。 【点睛】此题主要考查长方体的特征、长方体的表面积以及长方体的容积的计算方法。 【考点三】问题三：等积变形问题。 【方法点拨】 长方体、正方体的等积变形问题是较常考察的题型之一，总体来说，难度不大，关键是掌握体积不变这一思路，再根据体积不变去解决问题。 1. 等积变形问题。 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 【典型例题】 1．把一块棱长是20厘米的正方体钢坯锻成长是25厘米、宽是16厘米的长方体钢材。锻成的长方体钢材的高是多少厘米？ 【答案】20厘米 【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出钢坯体积，再根据长方体的高＝体积÷底面积，列式解答即可。 【详解】20×20×20÷（25×16） ＝8000÷400 ＝20（厘米） 答：锻成的长方体钢材的高是20厘米。 2．有一个长方体容器（图1），长30厘米，宽20厘米，高10厘米，里面的水深6厘米。为了节约占地面积，把这个容器盖紧，再朝左竖起来（图2），里面的水深应该是多少？ 【答案】18厘米 【分析】首先要明确无论容器怎么放，里面的水的体积不变，先根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出容器中水的体积。把容器朝左竖起来时，左侧面成为长方体的底面，根据“长方体的体积＝底面积×高”，用水的体积除以左侧面面积（宽×高）即可求出这时的水深，如果让长10厘米、宽20厘米的面朝下，则这个面成为底面，同样用水的体积除以这个面的面积，即可求出这时水的深度。 【详解】30×20×6 ＝600×6 ＝3600（立方厘米） 3600÷（10×20） ＝3600÷200 ＝18（厘米） 答：里面的水深应该是18厘米。 3．有甲、乙两个长方体容器，从甲容器内部量得长、宽、高分别为40厘米、10厘米、10厘米。将甲容器的右面作为底面，直立起来就是乙容器，已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。 （1）甲容器中水的体积是多少？ （2）现在把甲、乙两个容器放在同一桌面上，将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么乙容器中需要倒入多少毫升水？ 【答案】（1）2000立方厘米 （2）400毫升 【分析】（1）从图中可以看出，甲容器装水的体积等于甲容器体积的一半，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 （2）从图中可知，甲容器的底面积是（40×10）平方厘米；将甲容器的右面作为底面，直立起来就是乙容器，则乙容器的底面积是（10×10）平方厘米； 将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使得甲、乙容器中的水面一样高，则水的体积不变，水的高度一样，那么可以把甲、乙两个容器看作一个底面积为甲、乙两个底面积之和的容器； 根据长方体的高h＝V÷S，代入数据计算求出容器中水的高度；再根据长方体的体积公式V＝abh，求出乙容器中水的体积。注意单位的换算：1立方厘米＝1毫升。 【详解】（1）40×10×10÷2 ＝400×10÷2 ＝4000÷2 ＝2000（立方厘米） 答：甲容器中水的体积是2000立方厘米。 （2）2000÷（40×10＋10×10） ＝2000÷（400＋100） ＝2000÷500 ＝4（厘米） 10×10×4 ＝100×4 ＝400（立方厘米） 400立方厘米＝400毫升 答：乙容器中需要倒入400毫升水。 【对应练习1】 把一个棱长为8分米的正方体铁块熔化，铸成一个底面积为32平方分米的长方体铁块。这个长方体铁块的高是多少分米？ 【答案】16分米 【分析】正方体熔铸成长方体，体积不变，即正方体的体积和长方体的体积相等。先根据公式：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体的体积即长方体的体积；再根据高＝长方体的体积÷底面积，代入数据计算，即可求出这个长方体铁块的高，据此解答。 【详解】8×8×8÷32＝16（分米） 答：这个长方体铁块的高是16分米。 【对应练习2】 一个密封的长方体容器（如下图），长30厘米，宽10厘米，高15厘米，水深8厘米。如果把这个容器的右侧朝下放在桌面上，这时水深应该是多少厘米？（容器的厚度忽略不计） 【答案】16厘米 【分析】根据题意，一个长方体容器长30厘米，宽10厘米，水深8厘米，根据长方体的体积公式V＝abh，求出水的体积； 水的体积不变，如果把这个容器的右侧朝下放在桌面上，则容器的底面积变成（15×10）平方厘米，根据长方体的高h＝V÷S，求出这时水的深度。 【详解】水的体积： 30×10×8 ＝30×8 ＝2400（立方厘米） 水的深度： 2400÷（15×10） ＝2400÷150 ＝16（厘米） 答：这时水深应该是16厘米。 【对应练习3】 有一个装水的长方体容器A和一个空的长方体容器B（如图）。 （1）若容器A中的水全部倒入容器B中，容器B中水深多少厘米？   （2）现将容器A中的一部分水倒入容器B，使得此时两个容器内的水面高度相同。你知道这时容器A中水深多少厘米吗？ 【答案】（1）12厘米 （2）8厘米 【分析】（1）根据题意，将容器A中的水全部倒入容器B中，因为容器A和容器B的底面积不同，所以两个容器内水的深度不同，但水的体积是不变的；先根据长方体的体积公式V＝abh，求出水的体积；再根据长方体的高h＝V÷S，求出容器B中水的深度。 （2）根据题意可知，水的总体积不变，容器A中水的体积＋容器B中水的体积＝水的总体积，根据长方体的体积公式V＝abh，据此列出方程，并求解。 【详解】（1）水的体积： 30×20×24 ＝600×24 ＝14400（立方厘米） 容器B中水的深度： 14400÷（40×30） ＝14400÷1200 ＝12（厘米） 答：容器B中水深12厘米。 （2）解：设这时容器A中水深厘米。 30×20×＋40×30×＝14400 600＋1200＝14400\ 1800＝14400 ＝14400÷1800 ＝8 答：这时容器A中水深8厘米。 【考点四】问题四：排水法求不规则物体的体积问题。 【方法点拨】 1. 排水法求不规则物体的体积。 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤。 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 【典型例题】 实验小学为普及生态文明教育，打算在教学楼入口处饲养一些鱼类，需要准备3个同样大小的无盖玻璃鱼缸，尺寸如图所示。 （1）做这些鱼缸需要多大的玻璃？（损耗忽略不计） （2）将其中一个鱼缸装满水后，把一根长为1米，横截面积为20平方厘米的长方体铁棒竖直插入水中，插到底后竖直取出。这时水面的高度是多少厘米？ 【答案】（1）315平方分米；（2）34.75厘米 【分析】（1）根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab＋2ah＋2bh，把数据代入公式求出做一个鱼缸需要和玻璃的面积，然后再乘3即可。 （2）根据题意可知，把这根铁棒从鱼缸中取出后，水面下降的体积等于铁棒被水淹没的体积，说明下降的高等于铁棒被水淹没的体积除以鱼缸的底面积，然后用鱼缸的高减去水面下降的高即可。 【详解】（1）7×4＋7×3.5×2＋3.5×4×2 ＝28＋49＋28 ＝105（平方分米） 105×3＝315（平方分米） 答：做这些鱼缸需要315平方分米的玻璃。 （2）4×7＝28（平方分米） 28平方分米＝2800平方厘米 3.5分米＝35厘米 35×20＝700（立方厘米） 700÷2800＝0.25（厘米） 35－0.25＝34.75（厘米） 答：这时水面的高度是34.75厘米。 【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【对应练习1】 如下图，一个长、宽、高分别为30厘米、16厘米、21厘米的长方体容器中水位高度是10厘米，如果将另一个长方体（长、宽、高分别为16厘米、10厘米、36厘米的铁块竖直）放入左边的容器中（贴底面齐平），那么这个容器中的水会溢出吗？如果不溢出，那么容器中水位将上升至多少高度？如果溢出，那会溢出多少立方厘米的水量？ 【答案】不会溢出；15厘米 【分析】根据题意可知，长方体容器中水是一个长30厘米、宽16厘米、高10厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积； 放入铁块后，水面会上升，底面积由（30×16）平方厘米变成了（30×16－16×10）平方厘米，水的体积不变，根据长方体的高＝体积÷底面积，求出此时容器内水的高度； 用此时容器内水的高度与长方体容器的高度进行比较，如果小于或等于容器的高度，则水不会溢出；反之，水的高度大于容器的高度，水会溢出，进而求出溢出水的体积。 【详解】容器内水的体积： 30×16×10 ＝480×10 ＝4800（立方厘米） 放入铁块后水深： 4800÷（30×16－16×10） ＝4800÷（480－160） ＝4800÷320 ＝15（厘米） 15＜21 答：这个容器中的水不会溢出，容器中水位将上升至15厘米。 【点睛】本题考查长方体体积公式的灵活运用，抓住水的体积不变是解题的关键，掌握放入的物体没有完全浸没时，水上升高度的求法。 【对应练习2】 如图一个长方体的玻璃鱼缸，长9分米，宽7分米，高4分米，水深3.8分米。如果投入一块棱长为5分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？    【答案】87.4升 【分析】根据题意可知，把铁块放入玻璃缸中，溢出水的体积等于浸入水中铁块的体积减去玻璃缸内无水部分的体积，但正方体铁块的高为5分米，不会全部浸入水中，所以浸入水中铁块的体积实际是一个长和宽都为5分米，高为4分米的长方体，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【详解】5×5×4－9×7×（4－3.8） ＝100－63×0.2 ＝100－12.6 ＝87.4（立方分米） 87.4立方分米＝87.4升 答：缸里的水溢出87.4升。 【点睛】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是明确正方体不会全部浸入到水中，其次因为原来长方体玻璃缸有一部分空余的空间，所以溢出水的体积不完全等于浸入的正方体铁块的体积。 【对应练习3】 一个长方体玻璃鱼缸（无盖），量得它的长是8分米，宽是5分米，高是6分米，水深5.2分米。（玻璃厚度忽略不计） （1）做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）如果在这个鱼缸里投入一个棱长是3分米的正方体铁块，鱼缸里的水会不会溢出？请你通过计算说明。 （3）如果会溢出，鱼缸里会溢出多少升水？如果不会溢出，现在水深是多少分米？ 【答案】（1）196平方分米 （2）不会溢出 （3）5.875分米 【分析】（1）根据题意，长方体玻璃鱼缸（无盖）缺少上面（长和宽组成的长方形），所以玻璃的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2； （2）先求出水的体积与正方体铁块的体积之和，再计算鱼缸体积，如果水和铁块的体积比鱼缸体积大就会溢出，如果比鱼缸体积小则不会溢出，根据公式：长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长； （3）根据（2）中计算可知水不会溢出，水深＝水与铁块的体积÷鱼缸底面积；据此解答。 【详解】（1）8×5＋（8×6＋5×6）×2 ＝40＋78×2 ＝40＋156 ＝196（平方分米） 答：做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃196平方分米。 （2）8×5×5.2＋3×3×3 ＝40×5.2＋27 ＝208＋27 ＝235（立方分米） 8×5×6 ＝40×6 ＝240（立方分米） 240＞235 答：鱼缸里的水不会溢出。 （3）235÷（5×8） ＝235÷40 ＝5.875（分米） 答：现在水深是5.875分米。 【点睛】此题考查了长方体的表面积、体积计算，关键灵活运用公式解答。 【考点五】问题五：不规则或组合立体图形的表面积与体积问题。 【方法点拨】 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 【典型例题】 从一个长方体中锯掉一个正方体后，成了下图所示的形状。求现在这个物体的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】352平方厘米；320立方厘米 【分析】观察图形可知，在长方体木块上锯掉一个正方体，减少了正方体的3个面，同时又露出了正方体的3个面，所以剩下部分的表面积和原来长方体的表面积一样大，它的表面积没有发生变化，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求解； 在长方体木块上锯掉一个正方体，那么体积就减少这个正方体的体积，所以现在这个物体的体积＝长方体的体积－锯掉的正方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求解。 【详解】表面积： （12×4＋12×8＋4×8）×2 ＝（48＋96＋32）×2 ＝176×2 ＝352（平方厘米） 体积： 12×4×8－4×4×4 ＝384－64 ＝320（立方厘米） 答：现在这个物体的表面积是352平方厘米，体积是320立方厘米。 【点睛】本题考查正方体、长方体表面积、体积公式的运用，在计算有缺口的立体图形的表面积时，要注意缺口的位置，原来这个位置有几个面，挖掉后露出了几个面，与原来的面相比较，是否一样，还是多或少了，进而得出结论。 【对应练习1】 一块正方体木料，棱长是6厘米，在6个面的中央各挖走一个棱长是2厘米的正方体洞孔。这时它的表面积、体积各是多少？ 【答案】312平方厘米；168立方厘米 【分析】观察图形可知，在正方体木料的6个面中央各挖走一个棱长2厘米的正方体洞孔，则每个面都减少了1个（2×2）的面，同时又露出了5个（2×2）的面，所以每个面比原来增加了4个（2×2）的面，那么表面积比原来增加了6个（2×2×4）的面积；先根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出棱长为6厘米的正方体木料的表面积，再加上6个（2×2×4）的面积，即是此时立体图形的表面积。 此时立体图形的体积＝正方体木料的体积－6个小正方体洞孔的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求解。 【详解】表面积： 6×6×6＋2×2×4×6 ＝216＋96 ＝312（平方厘米） 体积： 6×6×6－2×2×2×6 ＝216－48 ＝168（立方厘米） 答：这时它的表面积是312平方厘米，体积是168立方厘米。 【点睛】本题考查正方体的表面积、体积公式的运用，在求有缺口的立体图形的表面积时，要注意缺口的位置，原来这个位置有几个面，挖掉后露出了几个面，与原来的面相比较，是否一样，还是多了或少了，进而根据公式列式计算。 【对应练习2】 如图所示，有一个棱长为40厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同、棱长为2厘米的小正方体后。请问：挖后的表面积是多少平方厘米? 【答案】9624平方厘米 【分析】在角上挖掉一个小正方体，表面积没有变化；在棱上挖掉一个小正方体，表面积会增加左右2个面；在面上挖掉一个小正方体，表面积会增加上下左右4个面。分别求出原来正方体的表面积和增加的面积，便可求出挖后的表面积。 【详解】40×40×6＋2×2×6 ＝9600＋24 ＝9624（平方厘米） 答：挖后的表面积是9624平方厘米 【点睛】分别确定在角上、棱上、面上各挖掉一个小正方体后表面积的变化情况是解答此题的关键。 【对应练习3】 如图是一个棱长4厘米的正方体，在正方体上面正中向下挖一个棱长是2厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是1厘米正方体小洞，最后得到的立方体图形的表面积是多少平方厘米？ 【答案】116平方厘米 【分析】把棱长是2厘米的正方体的底面向上平移，把棱长是1厘米的正方体底面向上平移，则容易看出：求最后得到的立方体图形的表面积，即棱长为4厘米的正方体的表面积与棱长为2厘米的正方体四个侧面和棱长为1厘米的正方体四个侧面的面积之和；根据“正方体的表面积＝棱长2×6”求出棱长为4厘米的正方体的表面积，根据“正方体的侧面积＝棱长2×4”分别求出棱长为2厘米的正方体四个侧面和棱长为1厘米的正方体四个侧面的面积，然后相加即可。 【详解】42×6＋22×4＋12×4 ＝96＋16＋4 ＝116（平方厘米） 答：最后得到的立方体图形的表面积是116平方厘米。 【点睛】解答此题的关键是明确：两个小正方体，每个正方体中向上的一个面，经过平移能够填补完整大正方体上面的一个面。 【考点六】问题六：长方体和正方体中的注水运动问题。 【方法点拨】 注水运动问题常使用实验的方式考察长方体和正方体的体积在实际生活中的综合应用，审题过程中，关键在于读懂图形给到的信息，需要很巧妙地把给到的注水“实验”过程图形（高度与时间的关系）与实际注水过程节点关联起来，比较考验学生的数学“实验”逻辑思考能力，其在独立招生考试或是在小升初入学分层考试中较为常见。 【典型例题】 如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面分成了相等的2部分。现在同时往左右两边注水，已知左边注水速度为每分钟2升。注水3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平。又经过1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平。 （1）水槽的容积是多少？ （2）注满水槽共需几分钟？ 【答案】（1）60升 （2）7.5分钟 【分析】（1）设右边每分钟注水x升，根据有隔板的左右两部分体积相等，当3分钟之后，右边的水会流到左边，那么3分钟之后经过的1.5分钟左边的水的注入量是右边和左边一起注入的，据此列方程解出右边每分钟注水多少。再根据长方体的体积公式变形a＝V÷b÷h，求出水槽左边（或右边）的长，进而求出整个水槽的长，然后把数据代入体积公式解答。 （2）用整个水槽的容积除以左右两个水管每分钟共注水的体积即可解答。 【详解】（1）解：设右边每分钟注水x升。 3×2＋1.5×（2＋x）＝3x 6＋1.5×2＋1.5x＝3x 6＋3＋1.5x＝3x 9＝3x－1.5x 1.5x＝9 x＝9÷1.5 x＝6 3×6＝18（升） 18升＝18000立方厘米 18000÷6÷40 ＝3000÷40 ＝75（厘米） 75×2＝150（厘米） 150×40×10 ＝6000×10 ＝60000（立方厘米） 60000立方厘米＝60升 答：水槽的容积是60升。 （2）60÷（2＋6） ＝60÷8 ＝7.5（分钟） 答：注满水槽共需7.5分钟。 【点睛】此题考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用及列方程解决问题的方法。 【对应练习1】 有一个无水的长方体玻璃水缸，尺寸如左下图所示，一个水龙头从上午9：00开始向玻璃缸内注水，水的流量是8立方分米/分，到9：03关闭水龙头停止注水。接着马上在缸内放入一个高为8厘米的长方体铁块，使之全部浸没水中，玻璃缸的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如下图所示。 （1）图中点( )的位置表示停止注水。（从A、B、C中选择） （2）9：03时玻璃缸水面高度为多少厘米？ （3）求出长方体铁块的底面积。 【答案】（1）B； （2）30厘米； （3）200平方厘米 【分析】（1）由图可知，横轴表示时间，纵轴表示水面高度，9：03关闭水龙头停止注水，9：03对应点B的位置； （2）从上午9：00开始到9：03关闭水龙头经过3分钟，根据每分钟的水流量计算出3分钟的水流量，水面高度＝3分钟的水流量÷玻璃水缸的底面积； （3）铁块的体积等于放入铁块后上升部分水的体积，则铁块的体积＝容器的底面积×上升部分水的高度，最后利用“底面积＝长方体的体积÷高”求出长方体铁块的底面积。 【详解】（1）图中点B的位置表示停止注水。 （2）从上午9：00到9：03经过了3分钟。 3×8×1000 ＝24×1000 ＝24000（立方厘米） 24000÷（50×16） ＝24000÷800 ＝30（厘米） 答：9：03时玻璃缸水面高度为30厘米。 （3）上升部分水的体积：50×16×（32－30） ＝50×16×2 ＝800×2 ＝1600（立方厘米） 铁块的底面积：1600÷8＝200（平方厘米） 答：长方体铁块的底面积是200平方厘米。 【点睛】分析折线统计图提取需要的解题信息，并掌握长方体的体积计算公式是解答题目的关键。 【对应练习2】 我市游泳健身中心的室内泳池长50米，宽25米。最浅处水深1.2米，最深处水深1.6米。 （1）“泳池的容积是多少立方米？”对这一数学问题以下两位同学展开了过论。请根据他们的思考过程解决问题。 ①小朱同学：“它不是一个长方体，但可以通过割或补的方法（如下图），就可以变成长方体了，所以它的容积大小范围就在( )立方米和( )立方米之间。” ②小锋同学：“两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体（如下图）。这样就能计算出它的容积啦。” 请根据小锋的方法计算该泳池的容积。 （2）如果在空的泳池内以均匀的注水速度（140立方米/小时）往池内灌水，选一选，下面哪幅图能表示出泳池最深处水位的变化情况？( ) （3）根据以上信息综合思考。第（2）题图中的a表示的数是( )小时。 【答案】（1）①1500；2000；②1750立方米；（2）C；（3）12.5 【分析】（1）①割去一部分是指使该泳池变成高为泳池最浅处水深1.2米的长方体，底面积不变； 则该长方体体积为50×25×1.2＝1500（立方米） 补上一部分是指使该泳池变成高为泳池最深处水深1.6米的长方体，底面积不变； 则该长方体体积为50×25×1.6＝2000（立方米） 泳池体积最小为：被割去一部分之后的体积，最大为：被补上一部分之后的体积，所以它的容积大小范围就在1500立方米和2000立方米之间。 ②两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体，则该长方体的高为1.6＋1.2＝2.8米，底面积不变；则该长方体体积为50×25×2.8＝3500（立方米），可求出泳池体积为3500÷2＝1750（立方米）。 （2）在空的泳池内以均匀的注水速度往池内注水，则首先填满⑴①中割去部分，则填满该部分时恰好达到1.6－1.2＝0.4米水深，填满该部分前，随着水位上升，其水所占体积的高度和底面积随着时间增长都增大，该部分水的体积变化呈逐渐增大的趋势，又因为选项C填满该部分的过程即高度达到0.4米前呈逐渐增大的趋势，且深度变化不断放缓，所以答案应该是选项C。 （3）由⑴②得泳池体积为1750立方米，填满冰池需要1750÷140＝12.5（小时），所以a表示的数是12.5小时。 【详解】（1）①50×25×1.2＝1500（立方米） 50×25×1.6＝2000（立方米） 所以容积大小范围就在1500立方米和2000立方米之间。 ②50×25×（1.6＋1.2）÷2 ＝1250×2.8÷2 ＝3500÷2 ＝1750（立方米） 答：泳池的容积是1750立方米。 （2）根据分析得，下面图C能表示泳池最深处水位的变化情况。 （3）1750÷140＝12.5（小时） 所以图中的a表示的数是12.5小时。 【点睛】本题考查了长方体的体积（容积）公式的实际运用，学会通过统计图获取并分析数据，解决实际的问题。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 17 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 17 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第四单元长方体（二）·总集篇·六种综合性问题【六大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元长方体（二）·总集篇·六种综合性问题 专题内容 本专题以长方体和正方体的六种综合性问题为主，包括长方 体和正方体的切拼问题、剪角折叠求体积问题、等积变形问 题、排水法求不规则物体的体积问题、含长方体正方体的不 规则或组合立体图形的表面积与体积问题、长方体正方体中 的注水运动问题等内容。 总体评价 讲解建议 本专题考点遍布各种题型，考题综合性强，难度大，其中多 数内容以思维拓展题型为主，建议根据学生实际掌握情况和 总体水平，选择性讲解部分内容。 考点数量 六个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】问题一：长方体和正方体的切拼问题 .............................................................3 【考点二】问题二：剪角折叠求体积问题 ........................................................................ 6 【考点三】问题三：等积变形问题 ................................................................................... 8 【考点四】问题四：排水法求不规则物体的体积问题 ................................................... 10 【考点五】问题五：不规则或组合立体图形的表面积与体积问题 ................................13 【考点六】问题六：长方体和正方体中的注水运动问题 ............................................... 14 第 3 页 共 17 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】问题一：长方体和正方体的切拼问题。 【方法点拨】 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题， 表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会 增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面 积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段， 需切（ n－1）刀，每刀增加 2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体 的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的 正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 第 4 页 共 17 页 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面 面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排 除被遮挡的面。 【典型例题 1】切割问题。 把一个大正方体切成三个完全相同的小长方体后，小长方体的表面积之和比原大 正方体的表面积增加了 144cm2。 （1）画出示意图并标注条件中的数据。 （2）小长方体的长、宽、高分别是多少 cm？ （3）原大正方体的体积是多少 cm3？ 【对应练习】 一个长方体按以下三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了 40平方厘 米、30平方厘米、24平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米，体积是 多少立方厘米？ 【典型例题 2】拼接问题。 用 3个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是 160厘米， 第 5 页 共 17 页 这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【对应练习】 两个完全相同的长方体，长是 12厘米，宽是 7厘米，高是 4厘米，现在把它们 拼成一个表面积最大的长方体后，则表面积比原来减少了多少平方厘米？。 【典型例题 3】高的变化问题。 一个长方体，如果高减少 3厘米就变成了一个正方体，表面积就减少了 96平方 厘米，现在这个正方体的体积与原来长方体的体积相差多少立方厘米？ 【对应练习】 一个长方体，如果高减少 5厘米，就成了一个正方体，这时表面积会比原来少 120平方厘米，原来长方体的体积是多少？ 【典型例题 4】最大的正方体。 从一块长 12cm、宽 9cm、高 6cm的长方体陶泥上切下一个最大的正方体，剩下 部分的表面积与原长方体的表面积相比，会怎样变化？列出你想到的所有情况。 【对应练习】 一个长方体长 20厘米、宽 16厘米、高 10厘米，现在从长方体中切下一个最大 第 6 页 共 17 页 的正方体，再从剩下的部分中切下一个最大的正方体，最后又从第二次剩下的部 分中切下一个最大的正方体，剩下的体积是多少立方厘米？ 【考点二】问题二：剪角折叠求体积问题。 【方法点拨】 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积 公式计算。 设剪去的正方形边长为 a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长 a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 【典型例题】 壮壮有 48个棱长为 5厘米的正方体小积木，他想要制作一个盒子将他的积木正 好装完（无凸出，无空余），他准备用下图长 50厘米、宽 40厘米的长方形硬纸 板剪掉四个角折成一个无盖的长方体纸盒。 （1）请你帮助壮壮设计一个方案，在下图中动手画一画，表示出你是怎样剪的 （需要剪掉的部分用笔涂一涂，并标注相关长度）。 （2）请列式说明做出来的盒子空间正好能够按要求容纳壮壮的所有积木。 【对应练习 1】 先从一张长 40厘米，宽 35厘米的长方形铁皮的四个角各剪去一个边长是 5厘米 第 7 页 共 17 页 的正方形，然后做成一个无盖的长方体盒子。 （1）这个盒子用了多少平方厘米铁皮？ （2）这个铁皮盒子的容积是多少立方厘米？ 【对应练习 2】 一块长方形铁皮，从四个角各切掉一个边长为 8厘米的正方形（如图），然后做 成一个无盖盒子。 （1）这个铁盒至少用多少铁皮？ （2）这个铁盒的容积是多少？ 【对应练习 3】 一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为 x厘米的正方形，焊接成一 第 8 页 共 17 页 个无盖盒子。 （1）当 x＝5时，焊接无盖盒子用了多少铁皮？ （2）当 x＝5时，这个盒子的占地面积是多少？ （3）当 x＝5时，这个盒子的容积是多少？ （4）x可取的数值很多，在这些数值中，x＝5时的盒子容积是最小的吗？请回 答并写出过程。 【考点三】问题三：等积变形问题。 【方法点拨】 长方体、正方体的等积变形问题是较常考察的题型之一，总体来说，难度不 大，关键是掌握体积不变这一思路，再根据体积不变去解决问题。 1. 等积变形问题。 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、 浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状 立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 【典型例题】 1．把一块棱长是 20厘米的正方体钢坯锻成长是 25厘米、宽是 16厘米的长方体 第 9 页 共 17 页 钢材。锻成的长方体钢材的高是多少厘米？ 2．有一个长方体容器（图 1），长 30厘米，宽 20厘米，高 10厘米，里面的水 深 6厘米。为了节约占地面积，把这个容器盖紧，再朝左竖起来（图 2），里面 的水深应该是多少？ 3．有甲、乙两个长方体容器，从甲容器内部量得长、宽、高分别为 40厘米、10 厘米、10厘米。将甲容器的右面作为底面，直立起来就是乙容器，已知甲容器 中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。 （1）甲容器中水的体积是多少？ （2）现在把甲、乙两个容器放在同一桌面上，将甲容器中的水倒一部分到乙容 器中，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么乙容器中需要倒入多少毫升水？ 【对应练习 1】 把一个棱长为 8分米的正方体铁块熔化，铸成一个底面积为 32平方分米的长方 第 10 页 共 17 页 体铁块。这个长方体铁块的高是多少分米？ 【对应练习 2】 一个密封的长方体容器（如下图），长 30厘米，宽 10厘米，高 15厘米，水深 8厘米。如果把这个容器的右侧朝下放在桌面上，这时水深应该是多少厘米？（容 器的厚度忽略不计） 【对应练习 3】 有一个装水的长方体容器 A和一个空的长方体容器 B（如图）。 （1）若容器 A中的水全部倒入容器 B中，容器 B中水深多少厘米？ （2）现将容器 A中的一部分水倒入容器 B，使得此时两个容器内的水面高度相 同。你知道这时容器 A中水深多少厘米吗？ 【考点四】问题四：排水法求不规则物体的体积问题。 【方法点拨】 第 11 页 共 17 页 1. 排水法求不规则物体的体积。 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体 体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤。 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V 物体=V 现在－V 原来； ②V 物体=S×(h 现在－h 原来)； ③V 物体=S×h 升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 【典型例题】 实验小学为普及生态文明教育，打算在教学楼入口处饲养一些鱼类，需要准备 3 个同样大小的无盖玻璃鱼缸，尺寸如图所示。 （1）做这些鱼缸需要多大的玻璃？（损耗忽略不计） （2）将其中一个鱼缸装满水后，把一根长为 1米，横截面积为 20平方厘米的长 方体铁棒竖直插入水中，插到底后竖直取出。这时水面的高度是多少厘米？ 【对应练习 1】 如下图，一个长、宽、高分别为 30厘米、16厘米、21厘米的长方体容器中水位 高度是 10厘米，如果将另一个长方体（长、宽、高分别为 16厘米、10厘米、 第 12 页 共 17 页 36厘米的铁块竖直）放入左边的容器中（贴底面齐平），那么这个容器中的水 会溢出吗？如果不溢出，那么容器中水位将上升至多少高度？如果溢出，那会溢 出多少立方厘米的水量？ 【对应练习 2】 如图一个长方体的玻璃鱼缸，长 9分米，宽 7分米，高 4分米，水深 3.8分米。 如果投入一块棱长为 5分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 【对应练习 3】 一个长方体玻璃鱼缸（无盖），量得它的长是 8分米，宽是 5分米，高是 6分米， 水深 5.2分米。（玻璃厚度忽略不计） （1）做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）如果在这个鱼缸里投入一个棱长是 3分米的正方体铁块，鱼缸里的水会不 会溢出？请你通过计算说明。 第 13 页 共 17 页 （3）如果会溢出，鱼缸里会溢出多少升水？如果不会溢出，现在水深是多少分 米？ 【考点五】问题五：不规则或组合立体图形的表面积与体积问题。 【方法点拨】 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些 面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各 部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 【典型例题】 从一个长方体中锯掉一个正方体后，成了下图所示的形状。求现在这个物体的表 面积和体积。（单位：厘米） 【对应练习 1】 一块正方体木料，棱长是 6厘米，在 6个面的中央各挖走一个棱长是 2厘米的正 方体洞孔。这时它的表面积、体积各是多少？ 第 14 页 共 17 页 【对应练习 2】 如图所示，有一个棱长为 40厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各 挖掉一个大小相同、棱长为 2厘米的小正方体后。请问：挖后的表面积是多少平 方厘米? 【对应练习 3】 如图是一个棱长 4厘米的正方体，在正方体上面正中向下挖一个棱长是 2厘米的 正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是 1厘米正方体小洞，最 后得到的立方体图形的表面积是多少平方厘米？ 【考点六】问题六：长方体和正方体中的注水运动问题。 【方法点拨】 注水运动问题常使用实验的方式考察长方体和正方体的体积在实际生活中的综 第 15 页 共 17 页 合应用，审题过程中，关键在于读懂图形给到的信息，需要很巧妙地把给到的注 水“实验”过程图形（高度与时间的关系）与实际注水过程节点关联起来，比较考 验学生的数学“实验”逻辑思考能力，其在独立招生考试或是在小升初入学分层考 试中较为常见。 【典型例题】 如图：一个长方体水槽宽 40厘米，高 10厘米，水槽正中间有一块高 6厘米的隔 板，将水槽下面分成了相等的 2部分。现在同时往左右两边注水，已知左边注水 速度为每分钟 2升。注水 3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平。又经过 1.5分 钟，左边水面高度也与隔板齐平。 （1）水槽的容积是多少？ （2）注满水槽共需几分钟？ 【对应练习 1】 有一个无水的长方体玻璃水缸，尺寸如左下图所示，一个水龙头从上午 9：00 开始向玻璃缸内注水，水的流量是 8立方分米/分，到 9：03关闭水龙头停止注 水。接着马上在缸内放入一个高为 8厘米的长方体铁块，使之全部浸没水中，玻 璃缸的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如下图所示。 （1）图中点( )的位置表示停止注水。（从 A、B、C中选择） （2）9：03时玻璃缸水面高度为多少厘米？ （3）求出长方体铁块的底面积。 第 16 页 共 17 页 【对应练习 2】 我市游泳健身中心的室内泳池长 50米，宽 25米。最浅处水深 1.2米，最深处水 深 1.6米。 （1）“泳池的容积是多少立方米？”对这一数学问题以下两位同学展开了过论。 请根据他们的思考过程解决问题。 ①小朱同学：“它不是一个长方体，但可以通过割或补的方法（如下图），就可 以变成长方体了，所以它的容积大小范围就在( )立方米和( )立 方米之间。” ②小锋同学：“两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体（如下图）。这样就 能计算出它的容积啦。” 请根据小锋的方法计算该泳池的容积。 （2）如果在空的泳池内以均匀的注水速度（140立方米/小时）往池内灌水，选 一选，下面哪幅图能表示出泳池最深处水位的变化情况？( ) 第 17 页 共 17 页 （3）根据以上信息综合思考。第（2）题图中的 a表示的数是( )小时。 第 1 页 共 27 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 27 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第四单元长方体（二）·总集篇·六种综合性问题【六大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元长方体（二）·总集篇·六种综合性问题 专题内容 本专题以长方体和正方体的六种综合性问题为主，包括长方 体和正方体的切拼问题、剪角折叠求体积问题、等积变形问 题、排水法求不规则物体的体积问题、含长方体正方体的不 规则或组合立体图形的表面积与体积问题、长方体正方体中 的注水运动问题等内容。 总体评价 讲解建议 本专题考点遍布各种题型，考题综合性强，难度大，其中多 数内容以思维拓展题型为主，建议根据学生实际掌握情况和 总体水平，选择性讲解部分内容。 考点数量 六个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】问题一：长方体和正方体的切拼问题 .............................................................3 【考点二】问题二：剪角折叠求体积问题 ........................................................................ 8 【考点三】问题三：等积变形问题 ..................................................................................13 【考点四】问题四：排水法求不规则物体的体积问题 ................................................... 17 【考点五】问题五：不规则或组合立体图形的表面积与体积问题 ................................20 【考点六】问题六：长方体和正方体中的注水运动问题 ............................................... 23 第 3 页 共 27 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】问题一：长方体和正方体的切拼问题。 【方法点拨】 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题， 表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会 增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面 积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段， 需切（ n－1）刀，每刀增加 2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体 的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的 正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 第 4 页 共 27 页 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面 面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排 除被遮挡的面。 【典型例题 1】切割问题。 把一个大正方体切成三个完全相同的小长方体后，小长方体的表面积之和比原大 正方体的表面积增加了 144cm2。 （1）画出示意图并标注条件中的数据。 （2）小长方体的长、宽、高分别是多少 cm？ （3）原大正方体的体积是多少 cm3？ 【答案】 （1）如图： （答案不唯一） （2）144÷4＝36（cm2） 36＝6×6 所以大正方体的棱长是 6cm。 小长方体的长是：6÷3＝2（cm） 小长方体的宽和高都是 6cm。 答：小长方体的长是 2cm、宽是 6cm、高是 6cm。 （3）6×6×6 第 5 页 共 27 页 ＝36×6 ＝216（cm3） 答：原大正方体的体积是 216cm3。 【点睛】掌握正方体切割的特点，明确增加的表面积是哪些面的面积，熟记正方 体的体积公式是解题的关键。 【对应练习】 一个长方体按以下三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了 40平方厘 米、30平方厘米、24平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米，体积是 多少立方厘米？ 【答案】 40＋30＋24 ＝70＋24 ＝94（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是 94平方厘米。 长×高×2＝40，即长×高＝20＝5×4， 长×宽×2＝30，即长×宽＝15＝5×3， 宽×高×2＝24，即宽×高＝12＝4×3， 即长、宽、高分别是 5厘米、4厘米、3厘米。 5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方厘米） 答：体积是 60立方厘米。 【典型例题 2】拼接问题。 用 3个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是 160厘米， 这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 第 6 页 共 27 页 【答案】 160÷（12×3﹣16） ＝160÷（36﹣16） ＝160÷20 ＝8（厘米） 8×8×6×3﹣8×8×4 ＝64×6×3﹣64×4 ＝384×3﹣256 ＝1152﹣256 ＝896（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是 896平方厘米。 【对应练习】 两个完全相同的长方体，长是 12厘米，宽是 7厘米，高是 4厘米，现在把它们 拼成一个表面积最大的长方体后，则表面积比原来减少了多少平方厘米？。 【答案】 拼接后要使大长方体表面积最大，则拼接面为面积最小的一面。故表面积比原来 减少： 7×4×2 ＝28×2 ＝56（平方厘米）。 答：表面积比原来减少了 56平方厘米。 【典型例题 3】高的变化问题。 一个长方体，如果高减少 3厘米就变成了一个正方体，表面积就减少了 96平方 厘米，现在这个正方体的体积与原来长方体的体积相差多少立方厘米？ 【答案】 96÷4＝24（平方厘米） 24÷3＝8（厘米） 8×8×3 ＝64×3 第 7 页 共 27 页 ＝192（立方厘米） 答：现在这个正方体的体积与原来长方体的体积相差 192立方厘米。 【对应练习】 一个长方体，如果高减少 5厘米，就成了一个正方体，这时表面积会比原来少 120平方厘米，原来长方体的体积是多少？ 【答案】 原来长方体的底面边长是： 120÷4÷5 ＝30÷5 ＝6（厘米） 高是：6＋5＝11（厘米） 原来长方体的体积是： 6×6×11 ＝36×11 ＝396（立方厘米） 答：原来长方体的体积是 396立方厘米。 【典型例题 4】最大的正方体。 从一块长 12cm、宽 9cm、高 6cm的长方体陶泥上切下一个最大的正方体，剩下 部分的表面积与原长方体的表面积相比，会怎样变化？列出你想到的所有情况。 【答案】 ①以长方体的一个顶点为正方体的一个顶点切：表面积减小，6×6×2＝72（平方 厘米）。 ②不挨顶点，沿棱切：表面积不变。 ③从长方体里边切，不挨顶点和棱：表面积增加，6×6×2＝72（平方厘米） 【对应练习】 一个长方体长 20厘米、宽 16厘米、高 10厘米，现在从长方体中切下一个最大 的正方体，再从剩下的部分中切下一个最大的正方体，最后又从第二次剩下的部 分中切下一个最大的正方体，剩下的体积是多少立方厘米？ 【答案】 第 8 页 共 27 页 第一个正方体的棱长是 10厘米；第二个正方体的棱长是 10厘米 第三个正方体的棱长是：16－10＝6（厘米） 20×16×10－10×10×10×2－6×6×6 ＝320×10－100×10×2－36×6 ＝3200－1000×2－218 ＝3200－2000－218 ＝1200－218 ＝984（立方厘米） 答：剩下的体积是 984立方厘米。 【考点二】问题二：剪角折叠求体积问题。 【方法点拨】 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积 公式计算。 设剪去的正方形边长为 a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长 a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 【典型例题】 壮壮有 48个棱长为 5厘米的正方体小积木，他想要制作一个盒子将他的积木正 好装完（无凸出，无空余），他准备用下图长 50厘米、宽 40厘米的长方形硬纸 板剪掉四个角折成一个无盖的长方体纸盒。 （1）请你帮助壮壮设计一个方案，在下图中动手画一画，表示出你是怎样剪的 （需要剪掉的部分用笔涂一涂，并标注相关长度）。 第 9 页 共 27 页 （2）请列式说明做出来的盒子空间正好能够按要求容纳壮壮的所有积木。 【答案】 （1）如下图所示： （答案不唯一） （2）剪掉的边长是 5厘米的时候。 50－5×2 ＝50－10 ＝40（厘米） 40－5×2 ＝40－10 ＝30（厘米） （40÷5）×（30÷5）×（5÷5） ＝8×6×1 ＝48（个） 答：用（40÷5）×（30÷5）×（5÷5）正好能够按要求容纳壮壮的所有积木。 【对应练习 1】 先从一张长 40厘米，宽 35厘米的长方形铁皮的四个角各剪去一个边长是 5厘米 的正方形，然后做成一个无盖的长方体盒子。 （1）这个盒子用了多少平方厘米铁皮？ 第 10 页 共 27 页 （2）这个铁皮盒子的容积是多少立方厘米？ 【答案】 （1）40－5×2 ＝40－10 ＝30（厘米） 35－5×2 ＝35－10 ＝25（厘米） 30×25＋（30×5＋25×5）×2 ＝750＋（150＋125）×2 ＝750＋275×2 ＝750＋550 ＝1300（平方厘米） 答：这个盒子用了 1300平方厘米铁皮。 （2）30×25×5 ＝750×5 ＝3750（立方厘米） 答：这个铁皮盒子的容积是 3750立方厘米。 【对应练习 2】 一块长方形铁皮，从四个角各切掉一个边长为 8厘米的正方形（如图），然后做 成一个无盖盒子。 （1）这个铁盒至少用多少铁皮？ （2）这个铁盒的容积是多少？ 第 11 页 共 27 页 【答案】 （1）40×30－8×8×4 ＝1200－256 ＝944（平方厘米） 答：这个铁盒至少用 944平方厘米的铁皮。 （2）长： 40－8×2 ＝40－16 ＝24（厘米） 宽： 30－8×2 ＝30－16 ＝14（厘米） 高：8厘米 24×14×8 ＝336×8 ＝2688（立方厘米） 答：这个铁盒的容积是 2688立方厘米。 【对应练习 3】 一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为 x厘米的正方形，焊接成一 个无盖盒子。 （1）当 x＝5时，焊接无盖盒子用了多少铁皮？ （2）当 x＝5时，这个盒子的占地面积是多少？ （3）当 x＝5时，这个盒子的容积是多少？ （4）x可取的数值很多，在这些数值中，x＝5时的盒子容积是最小的吗？请回 答并写出过程。 第 12 页 共 27 页 【答案】 （1）当 x＝5时，焊接无盖盒子所用的面积为： S＝35×25－4×52 ＝875－4×25 ＝875－100 ＝775 （平方厘米） 答：焊接无盖盒子用了 775平方厘米的铁皮。 （2）当 x ＝5时，这个盒子占地为长方形， 该长方形的长为： 35－2x ＝35－2×5 ＝35－10 ＝25（厘米） 该长方形的长为： 25－2x ＝25－2×5 ＝25－10 ＝15（厘米） 25×15＝375（平方厘米） 答：这个盒子的占地面积是 375平方厘米。 （3）当 x＝5时，这个盒子的容积为占地面积乘盒高。 375×5＝1875（立方厘米） 答：这个盒子的容积是 1875立方厘米。 （4）x可取的数值很多，在这些数值中，x＝5时的盒子容积不是最小的。 理由如下： 当 x＝1时， V＝（35－2）×（25－2）×1 ＝33×23×1 ＝759（立方厘米） 第 13 页 共 27 页 当 x＝2时， V＝（35－4）×（25－4）×2 ＝31×21×2 ＝1302（立方厘米） 759立方厘米＜1875立方厘米，1302立方厘米＜1875立方厘米 答：在这些数值中，x＝5时的盒子容积不是最小的。 【考点三】问题三：等积变形问题。 【方法点拨】 长方体、正方体的等积变形问题是较常考察的题型之一，总体来说，难度不 大，关键是掌握体积不变这一思路，再根据体积不变去解决问题。 1. 等积变形问题。 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、 浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状 立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 【典型例题】 1．把一块棱长是 20厘米的正方体钢坯锻成长是 25厘米、宽是 16厘米的长方体 钢材。锻成的长方体钢材的高是多少厘米？ 【答案】 20×20×20÷（25×16） ＝8000÷400 ＝20（厘米） 答：锻成的长方体钢材的高是 20厘米。 2．有一个长方体容器（图 1），长 30厘米，宽 20厘米，高 10厘米，里面的水 深 6厘米。为了节约占地面积，把这个容器盖紧，再朝左竖起来（图 2），里面 的水深应该是多少？ 第 14 页 共 27 页 【答案】 30×20×6 ＝600×6 ＝3600（立方厘米） 3600÷（10×20） ＝3600÷200 ＝18（厘米） 答：里面的水深应该是 18厘米。 3．有甲、乙两个长方体容器，从甲容器内部量得长、宽、高分别为 40厘米、10 厘米、10厘米。将甲容器的右面作为底面，直立起来就是乙容器，已知甲容器 中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。 （1）甲容器中水的体积是多少？ （2）现在把甲、乙两个容器放在同一桌面上，将甲容器中的水倒一部分到乙容 器中，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么乙容器中需要倒入多少毫升水？ 【答案】 （1）40×10×10÷2 ＝400×10÷2 ＝4000÷2 ＝2000（立方厘米） 第 15 页 共 27 页 答：甲容器中水的体积是 2000立方厘米。 （2）2000÷（40×10＋10×10） ＝2000÷（400＋100） ＝2000÷500 ＝4（厘米） 10×10×4 ＝100×4 ＝400（立方厘米） 400立方厘米＝400毫升 答：乙容器中需要倒入 400毫升水。 【对应练习 1】 把一个棱长为 8分米的正方体铁块熔化，铸成一个底面积为 32平方分米的长方 体铁块。这个长方体铁块的高是多少分米？ 【答案】 8×8×8÷32＝16（分米） 答：这个长方体铁块的高是 16分米。 【对应练习 2】 一个密封的长方体容器（如下图），长 30厘米，宽 10厘米，高 15厘米，水深 8厘米。如果把这个容器的右侧朝下放在桌面上，这时水深应该是多少厘米？（容 器的厚度忽略不计） 【答案】 水的体积： 30×10×8 ＝30×8 ＝2400（立方厘米） 水的深度： 第 16 页 共 27 页 2400÷（15×10） ＝2400÷150 ＝16（厘米） 答：这时水深应该是 16厘米。 【对应练习 3】 有一个装水的长方体容器 A和一个空的长方体容器 B（如图）。 （1）若容器 A中的水全部倒入容器 B中，容器 B中水深多少厘米？ （2）现将容器 A中的一部分水倒入容器 B，使得此时两个容器内的水面高度相 同。你知道这时容器 A中水深多少厘米吗？ 【答案】 （1）水的体积： 30×20×24 ＝600×24 ＝14400（立方厘米） 容器 B中水的深度： 14400÷（40×30） ＝14400÷1200 ＝12（厘米） 答：容器 B中水深 12厘米。 （2）解：设这时容器 A中水深 x厘米。 30×20× x＋40×30× x＝14400 600 x＋1200 x＝14400\ 1800 x＝14400 第 17 页 共 27 页 x＝14400÷1800 x＝8 答：这时容器 A中水深 8厘米。 【考点四】问题四：排水法求不规则物体的体积问题。 【方法点拨】 1. 排水法求不规则物体的体积。 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体 体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤。 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V 物体=V 现在－V 原来； ②V 物体=S×(h 现在－h 原来)； ③V 物体=S×h 升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 【典型例题】 实验小学为普及生态文明教育，打算在教学楼入口处饲养一些鱼类，需要准备 3 个同样大小的无盖玻璃鱼缸，尺寸如图所示。 （1）做这些鱼缸需要多大的玻璃？（损耗忽略不计） 第 18 页 共 27 页 （2）将其中一个鱼缸装满水后，把一根长为 1米，横截面积为 20平方厘米的长 方体铁棒竖直插入水中，插到底后竖直取出。这时水面的高度是多少厘米？ 【答案】 （1）7×4＋7×3.5×2＋3.5×4×2 ＝28＋49＋28 ＝105（平方分米） 105×3＝315（平方分米） 答：做这些鱼缸需要 315平方分米的玻璃。 （2）4×7＝28（平方分米） 28平方分米＝2800平方厘米 3.5分米＝35厘米 35×20＝700（立方厘米） 700÷2800＝0.25（厘米） 35－0.25＝34.75（厘米） 答：这时水面的高度是 34.75厘米。 【对应练习 1】 如下图，一个长、宽、高分别为 30厘米、16厘米、21厘米的长方体容器中水位 高度是 10厘米，如果将另一个长方体（长、宽、高分别为 16厘米、10厘米、 36厘米的铁块竖直）放入左边的容器中（贴底面齐平），那么这个容器中的水 会溢出吗？如果不溢出，那么容器中水位将上升至多少高度？如果溢出，那会溢 出多少立方厘米的水量？ 【答案】 容器内水的体积： 30×16×10 第 19 页 共 27 页 ＝480×10 ＝4800（立方厘米） 放入铁块后水深： 4800÷（30×16－16×10） ＝4800÷（480－160） ＝4800÷320 ＝15（厘米） 15＜21 答：这个容器中的水不会溢出，容器中水位将上升至 15厘米。 【对应练习 2】 如图一个长方体的玻璃鱼缸，长 9分米，宽 7分米，高 4分米，水深 3.8分米。 如果投入一块棱长为 5分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 【答案】 5×5×4－9×7×（4－3.8） ＝100－63×0.2 ＝100－12.6 ＝87.4（立方分米） 87.4立方分米＝87.4升 答：缸里的水溢出 87.4升。 【对应练习 3】 一个长方体玻璃鱼缸（无盖），量得它的长是 8分米，宽是 5分米，高是 6分米， 水深 5.2分米。（玻璃厚度忽略不计） 第 20 页 共 27 页 （1）做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）如果在这个鱼缸里投入一个棱长是 3分米的正方体铁块，鱼缸里的水会不 会溢出？请你通过计算说明。 （3）如果会溢出，鱼缸里会溢出多少升水？如果不会溢出，现在水深是多少分 米？ 【答案】 （1）8×5＋（8×6＋5×6）×2 ＝40＋78×2 ＝40＋156 ＝196（平方分米） 答：做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃 196平方分米。 （2）8×5×5.2＋3×3×3 ＝40×5.2＋27 ＝208＋27 ＝235（立方分米） 8×5×6 ＝40×6 ＝240（立方分米） 240＞235 答：鱼缸里的水不会溢出。 （3）235÷（5×8） ＝235÷40 ＝5.875（分米） 答：现在水深是 5.875分米。 【考点五】问题五：不规则或组合立体图形的表面积与体积问题。 【方法点拨】 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些 面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各 第 21 页 共 27 页 部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 【典型例题】 从一个长方体中锯掉一个正方体后，成了下图所示的形状。求现在这个物体的表 面积和体积。（单位：厘米） 【答案】 表面积： （12×4＋12×8＋4×8）×2 ＝（48＋96＋32）×2 ＝176×2 ＝352（平方厘米） 体积： 12×4×8－4×4×4 ＝384－64 ＝320（立方厘米） 答：现在这个物体的表面积是 352平方厘米，体积是 320立方厘米。 【对应练习 1】 一块正方体木料，棱长是 6厘米，在 6个面的中央各挖走一个棱长是 2厘米的正 方体洞孔。这时它的表面积、体积各是多少？ 【答案】 表面积： 第 22 页 共 27 页 6×6×6＋2×2×4×6 ＝216＋96 ＝312（平方厘米） 体积： 6×6×6－2×2×2×6 ＝216－48 ＝168（立方厘米） 答：这时它的表面积是 312平方厘米，体积是 168立方厘米。 【对应练习 2】 如图所示，有一个棱长为 40厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各 挖掉一个大小相同、棱长为 2厘米的小正方体后。请问：挖后的表面积是多少平 方厘米? 【答案】 40×40×6＋2×2×6 ＝9600＋24 ＝9624（平方厘米） 答：挖后的表面积是 9624平方厘米 【对应练习 3】 如图是一个棱长 4厘米的正方体，在正方体上面正中向下挖一个棱长是 2厘米的 正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是 1厘米正方体小洞，最 后得到的立方体图形的表面积是多少平方厘米？ 第 23 页 共 27 页 【答案】 42×6＋22×4＋12×4 ＝96＋16＋4 ＝116（平方厘米） 答：最后得到的立方体图形的表面积是 116平方厘米。 【考点六】问题六：长方体和正方体中的注水运动问题。 【方法点拨】 注水运动问题常使用实验的方式考察长方体和正方体的体积在实际生活中的综 合应用，审题过程中，关键在于读懂图形给到的信息，需要很巧妙地把给到的注 水“实验”过程图形（高度与时间的关系）与实际注水过程节点关联起来，比较考 验学生的数学“实验”逻辑思考能力，其在独立招生考试或是在小升初入学分层考 试中较为常见。 【典型例题】 如图：一个长方体水槽宽 40厘米，高 10厘米，水槽正中间有一块高 6厘米的隔 板，将水槽下面分成了相等的 2部分。现在同时往左右两边注水，已知左边注水 速度为每分钟 2升。注水 3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平。又经过 1.5分 钟，左边水面高度也与隔板齐平。 （1）水槽的容积是多少？ （2）注满水槽共需几分钟？ 【答案】 （1）解：设右边每分钟注水 x升。 3×2＋1.5×（2＋x）＝3x 6＋1.5×2＋1.5x＝3x 6＋3＋1.5x＝3x 9＝3x－1.5x 第 24 页 共 27 页 1.5x＝9 x＝9÷1.5 x＝6 3×6＝18（升） 18升＝18000立方厘米 18000÷6÷40 ＝3000÷40 ＝75（厘米） 75×2＝150（厘米） 150×40×10 ＝6000×10 ＝60000（立方厘米） 60000立方厘米＝60升 答：水槽的容积是 60升。 （2）60÷（2＋6） ＝60÷8 ＝7.5（分钟） 答：注满水槽共需 7.5分钟。 【对应练习 1】 有一个无水的长方体玻璃水缸，尺寸如左下图所示，一个水龙头从上午 9：00 开始向玻璃缸内注水，水的流量是 8立方分米/分，到 9：03关闭水龙头停止注 水。接着马上在缸内放入一个高为 8厘米的长方体铁块，使之全部浸没水中，玻 璃缸的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如下图所示。 （1）图中点( )的位置表示停止注水。（从 A、B、C中选择） （2）9：03时玻璃缸水面高度为多少厘米？ 第 25 页 共 27 页 （3）求出长方体铁块的底面积。 【答案】 （1）图中点 B的位置表示停止注水。 （2）从上午 9：00到 9：03经过了 3分钟。 3×8×1000 ＝24×1000 ＝24000（立方厘米） 24000÷（50×16） ＝24000÷800 ＝30（厘米） 答：9：03时玻璃缸水面高度为 30厘米。 （3）上升部分水的体积：50×16×（32－30） ＝50×16×2 ＝800×2 ＝1600（立方厘米） 铁块的底面积：1600÷8＝200（平方厘米） 答：长方体铁块的底面积是 200平方厘米。 【对应练习 2】 我市游泳健身中心的室内泳池长 50米，宽 25米。最浅处水深 1.2米，最深处水 深 1.6米。 （1）“泳池的容积是多少立方米？”对这一数学问题以下两位同学展开了过论。 请根据他们的思考过程解决问题。 ①小朱同学：“它不是一个长方体，但可以通过割或补的方法（如下图），就可 以变成长方体了，所以它的容积大小范围就在( )立方米和( )立 方米之间。” 第 26 页 共 27 页 ②小锋同学：“两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体（如下图）。这样就 能计算出它的容积啦。” 请根据小锋的方法计算该泳池的容积。 （2）如果在空的泳池内以均匀的注水速度（140立方米/小时）往池内灌水，选 一选，下面哪幅图能表示出泳池最深处水位的变化情况？( ) （3）根据以上信息综合思考。第（2）题图中的 a表示的数是( )小时。 【答案】 （1）①50×25×1.2＝1500（立方米） 50×25×1.6＝2000（立方米） 所以容积大小范围就在 1500立方米和 2000立方米之间。 ②50×25×（1.6＋1.2）÷2 ＝1250×2.8÷2 ＝3500÷2 ＝1750（立方米） 答：泳池的容积是 1750立方米。 第 27 页 共 27 页 （2）根据分析得，下面图 C能表示泳池最深处水位的变化情况。 （3）1750÷140＝12.5（小时） 所以图中的 a表示的数是 12.5小时。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第四单元长方体（二）·总集篇·六种综合性问题【六大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元长方体（二）·总集篇·六种综合性问题 专题内容 本专题以长方体和正方体的六种综合性问题为主，包括长方体和正方体的切拼问题、剪角折叠求体积问题、等积变形问题、排水法求不规则物体的体积问题、含长方体正方体的不规则或组合立体图形的表面积与体积问题、长方体正方体中的注水运动问题等内容。 总体评价 讲解建议 本专题考点遍布各种题型，考题综合性强，难度大，其中多数内容以思维拓展题型为主，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分内容。 考点数量 六个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】问题一：长方体和正方体的切拼问题 3 【考点二】问题二：剪角折叠求体积问题 8 【考点三】问题三：等积变形问题 13 【考点四】问题四：排水法求不规则物体的体积问题 17 【考点五】问题五：不规则或组合立体图形的表面积与体积问题 21 【考点六】问题六：长方体和正方体中的注水运动问题 23 【第三篇】典型例题篇 【考点一】问题一：长方体和正方体的切拼问题。 【方法点拨】 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 【典型例题1】切割问题。 把一个大正方体切成三个完全相同的小长方体后，小长方体的表面积之和比原大正方体的表面积增加了144cm2。 （1）画出示意图并标注条件中的数据。 （2）小长方体的长、宽、高分别是多少cm？ （3）原大正方体的体积是多少cm3？ 【答案】 （1）如图： （答案不唯一） （2）144÷4＝36（cm2） 36＝6×6 所以大正方体的棱长是6cm。 小长方体的长是：6÷3＝2（cm） 小长方体的宽和高都是6cm。 答：小长方体的长是2cm、宽是6cm、高是6cm。 （3）6×6×6 ＝36×6 ＝216（cm3） 答：原大正方体的体积是216cm3。 【点睛】掌握正方体切割的特点，明确增加的表面积是哪些面的面积，熟记正方体的体积公式是解题的关键。 【对应练习】 一个长方体按以下三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？ 【答案】 40＋30＋24 ＝70＋24 ＝94（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是94平方厘米。 长×高×2＝40，即长×高＝20＝5×4， 长×宽×2＝30，即长×宽＝15＝5×3， 宽×高×2＝24，即宽×高＝12＝4×3， 即长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米。 5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方厘米） 答：体积是60立方厘米。 【典型例题2】拼接问题。 用3个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是160厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】 160÷（12×3﹣16） ＝160÷（36﹣16） ＝160÷20 ＝8（厘米） 8×8×6×3﹣8×8×4 ＝64×6×3﹣64×4 ＝384×3﹣256 ＝1152﹣256 ＝896（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是896平方厘米。 【对应练习】 两个完全相同的长方体，长是12厘米，宽是7厘米，高是4厘米，现在把它们拼成一个表面积最大的长方体后，则表面积比原来减少了多少平方厘米？。 【答案】 拼接后要使大长方体表面积最大，则拼接面为面积最小的一面。故表面积比原来减少： 7×4×2 ＝28×2 ＝56（平方厘米）。 答：表面积比原来减少了56平方厘米。 【典型例题3】高的变化问题。 一个长方体，如果高减少3厘米就变成了一个正方体，表面积就减少了96平方厘米，现在这个正方体的体积与原来长方体的体积相差多少立方厘米？ 【答案】 96÷4＝24（平方厘米） 24÷3＝8（厘米） 8×8×3 ＝64×3 ＝192（立方厘米） 答：现在这个正方体的体积与原来长方体的体积相差192立方厘米。 【对应练习】 一个长方体，如果高减少5厘米，就成了一个正方体，这时表面积会比原来少120平方厘米，原来长方体的体积是多少？ 【答案】 原来长方体的底面边长是： 120÷4÷5 ＝30÷5 ＝6（厘米） 高是：6＋5＝11（厘米） 原来长方体的体积是： 6×6×11 ＝36×11 ＝396（立方厘米） 答：原来长方体的体积是396立方厘米。 【典型例题4】最大的正方体。 从一块长12cm、宽9cm、高6cm的长方体陶泥上切下一个最大的正方体，剩下部分的表面积与原长方体的表面积相比，会怎样变化？列出你想到的所有情况。 【答案】 ①以长方体的一个顶点为正方体的一个顶点切：表面积减小，6×6×2＝72（平方厘米）。 ②不挨顶点，沿棱切：表面积不变。 ③从长方体里边切，不挨顶点和棱：表面积增加，6×6×2＝72（平方厘米） 【对应练习】 一个长方体长20厘米、宽16厘米、高10厘米，现在从长方体中切下一个最大的正方体，再从剩下的部分中切下一个最大的正方体，最后又从第二次剩下的部分中切下一个最大的正方体，剩下的体积是多少立方厘米？ 【答案】 第一个正方体的棱长是10厘米；第二个正方体的棱长是10厘米 第三个正方体的棱长是：16－10＝6（厘米） 20×16×10－10×10×10×2－6×6×6 ＝320×10－100×10×2－36×6 ＝3200－1000×2－218 ＝3200－2000－218 ＝1200－218 ＝984（立方厘米） 答：剩下的体积是984立方厘米。 【考点二】问题二：剪角折叠求体积问题。 【方法点拨】 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 【典型例题】 壮壮有48个棱长为5厘米的正方体小积木，他想要制作一个盒子将他的积木正好装完（无凸出，无空余），他准备用下图长50厘米、宽40厘米的长方形硬纸板剪掉四个角折成一个无盖的长方体纸盒。 （1）请你帮助壮壮设计一个方案，在下图中动手画一画，表示出你是怎样剪的（需要剪掉的部分用笔涂一涂，并标注相关长度）。 （2）请列式说明做出来的盒子空间正好能够按要求容纳壮壮的所有积木。 【答案】 （1）如下图所示：（答案不唯一） （2）剪掉的边长是5厘米的时候。 50－5×2 ＝50－10 ＝40（厘米） 40－5×2 ＝40－10 ＝30（厘米） （40÷5）×（30÷5）×（5÷5） ＝8×6×1 ＝48（个） 答：用（40÷5）×（30÷5）×（5÷5）正好能够按要求容纳壮壮的所有积木。 【对应练习1】 先从一张长40厘米，宽35厘米的长方形铁皮的四个角各剪去一个边长是5厘米的正方形，然后做成一个无盖的长方体盒子。 （1）这个盒子用了多少平方厘米铁皮？ （2）这个铁皮盒子的容积是多少立方厘米？ 【答案】 （1）40－5×2 ＝40－10 ＝30（厘米） 35－5×2 ＝35－10 ＝25（厘米） 30×25＋（30×5＋25×5）×2 ＝750＋（150＋125）×2 ＝750＋275×2 ＝750＋550 ＝1300（平方厘米） 答：这个盒子用了1300平方厘米铁皮。 （2）30×25×5 ＝750×5 ＝3750（立方厘米） 答：这个铁皮盒子的容积是3750立方厘米。 【对应练习2】 一块长方形铁皮，从四个角各切掉一个边长为8厘米的正方形（如图），然后做成一个无盖盒子。 （1）这个铁盒至少用多少铁皮？ （2）这个铁盒的容积是多少？ 【答案】 （1）40×30－8×8×4 ＝1200－256 ＝944（平方厘米） 答：这个铁盒至少用944平方厘米的铁皮。 （2）长： 40－8×2 ＝40－16 ＝24（厘米） 宽： 30－8×2 ＝30－16 ＝14（厘米） 高：8厘米 24×14×8 ＝336×8 ＝2688（立方厘米） 答：这个铁盒的容积是2688立方厘米。 【对应练习3】 一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为x厘米的正方形，焊接成一个无盖盒子。    （1）当x＝5时，焊接无盖盒子用了多少铁皮？ （2）当x＝5时，这个盒子的占地面积是多少？ （3）当x＝5时，这个盒子的容积是多少？ （4）x可取的数值很多，在这些数值中，x＝5时的盒子容积是最小的吗？请回答并写出过程。 【答案】 （1）当x＝5时，焊接无盖盒子所用的面积为： S＝35×25－4×52 ＝875－4×25 ＝875－100 ＝775 （平方厘米） 答：焊接无盖盒子用了775平方厘米的铁皮。 （2）当x ＝5时，这个盒子占地为长方形， 该长方形的长为： 35－2x ＝35－2×5 ＝35－10 ＝25（厘米） 该长方形的长为： 25－2x ＝25－2×5 ＝25－10 ＝15（厘米） 25×15＝375（平方厘米） 答：这个盒子的占地面积是375平方厘米。 （3）当x＝5时，这个盒子的容积为占地面积乘盒高。 375×5＝1875（立方厘米） 答：这个盒子的容积是1875立方厘米。 （4）x可取的数值很多，在这些数值中，x＝5时的盒子容积不是最小的。 理由如下： 当x＝1时， V＝（35－2）×（25－2）×1 ＝33×23×1 ＝759（立方厘米） 当x＝2时， V＝（35－4）×（25－4）×2 ＝31×21×2 ＝1302（立方厘米） 759立方厘米＜1875立方厘米，1302立方厘米＜1875立方厘米 答：在这些数值中，x＝5时的盒子容积不是最小的。 【考点三】问题三：等积变形问题。 【方法点拨】 长方体、正方体的等积变形问题是较常考察的题型之一，总体来说，难度不大，关键是掌握体积不变这一思路，再根据体积不变去解决问题。 1. 等积变形问题。 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 【典型例题】 1．把一块棱长是20厘米的正方体钢坯锻成长是25厘米、宽是16厘米的长方体钢材。锻成的长方体钢材的高是多少厘米？ 【答案】 20×20×20÷（25×16） ＝8000÷400 ＝20（厘米） 答：锻成的长方体钢材的高是20厘米。 2．有一个长方体容器（图1），长30厘米，宽20厘米，高10厘米，里面的水深6厘米。为了节约占地面积，把这个容器盖紧，再朝左竖起来（图2），里面的水深应该是多少？ 【答案】 30×20×6 ＝600×6 ＝3600（立方厘米） 3600÷（10×20） ＝3600÷200 ＝18（厘米） 答：里面的水深应该是18厘米。 3．有甲、乙两个长方体容器，从甲容器内部量得长、宽、高分别为40厘米、10厘米、10厘米。将甲容器的右面作为底面，直立起来就是乙容器，已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。 （1）甲容器中水的体积是多少？ （2）现在把甲、乙两个容器放在同一桌面上，将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么乙容器中需要倒入多少毫升水？ 【答案】 （1）40×10×10÷2 ＝400×10÷2 ＝4000÷2 ＝2000（立方厘米） 答：甲容器中水的体积是2000立方厘米。 （2）2000÷（40×10＋10×10） ＝2000÷（400＋100） ＝2000÷500 ＝4（厘米） 10×10×4 ＝100×4 ＝400（立方厘米） 400立方厘米＝400毫升 答：乙容器中需要倒入400毫升水。 【对应练习1】 把一个棱长为8分米的正方体铁块熔化，铸成一个底面积为32平方分米的长方体铁块。这个长方体铁块的高是多少分米？ 【答案】 8×8×8÷32＝16（分米） 答：这个长方体铁块的高是16分米。 【对应练习2】 一个密封的长方体容器（如下图），长30厘米，宽10厘米，高15厘米，水深8厘米。如果把这个容器的右侧朝下放在桌面上，这时水深应该是多少厘米？（容器的厚度忽略不计） 【答案】 水的体积： 30×10×8 ＝30×8 ＝2400（立方厘米） 水的深度： 2400÷（15×10） ＝2400÷150 ＝16（厘米） 答：这时水深应该是16厘米。 【对应练习3】 有一个装水的长方体容器A和一个空的长方体容器B（如图）。 （1）若容器A中的水全部倒入容器B中，容器B中水深多少厘米？   （2）现将容器A中的一部分水倒入容器B，使得此时两个容器内的水面高度相同。你知道这时容器A中水深多少厘米吗？ 【答案】 （1）水的体积： 30×20×24 ＝600×24 ＝14400（立方厘米） 容器B中水的深度： 14400÷（40×30） ＝14400÷1200 ＝12（厘米） 答：容器B中水深12厘米。 （2）解：设这时容器A中水深厘米。 30×20×＋40×30×＝14400 600＋1200＝14400\ 1800＝14400 ＝14400÷1800 ＝8 答：这时容器A中水深8厘米。 【考点四】问题四：排水法求不规则物体的体积问题。 【方法点拨】 1. 排水法求不规则物体的体积。 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤。 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 【典型例题】 实验小学为普及生态文明教育，打算在教学楼入口处饲养一些鱼类，需要准备3个同样大小的无盖玻璃鱼缸，尺寸如图所示。 （1）做这些鱼缸需要多大的玻璃？（损耗忽略不计） （2）将其中一个鱼缸装满水后，把一根长为1米，横截面积为20平方厘米的长方体铁棒竖直插入水中，插到底后竖直取出。这时水面的高度是多少厘米？ 【答案】 （1）7×4＋7×3.5×2＋3.5×4×2 ＝28＋49＋28 ＝105（平方分米） 105×3＝315（平方分米） 答：做这些鱼缸需要315平方分米的玻璃。 （2）4×7＝28（平方分米） 28平方分米＝2800平方厘米 3.5分米＝35厘米 35×20＝700（立方厘米） 700÷2800＝0.25（厘米） 35－0.25＝34.75（厘米） 答：这时水面的高度是34.75厘米。 【对应练习1】 如下图，一个长、宽、高分别为30厘米、16厘米、21厘米的长方体容器中水位高度是10厘米，如果将另一个长方体（长、宽、高分别为16厘米、10厘米、36厘米的铁块竖直）放入左边的容器中（贴底面齐平），那么这个容器中的水会溢出吗？如果不溢出，那么容器中水位将上升至多少高度？如果溢出，那会溢出多少立方厘米的水量？ 【答案】 容器内水的体积： 30×16×10 ＝480×10 ＝4800（立方厘米） 放入铁块后水深： 4800÷（30×16－16×10） ＝4800÷（480－160） ＝4800÷320 ＝15（厘米） 15＜21 答：这个容器中的水不会溢出，容器中水位将上升至15厘米。 【对应练习2】 如图一个长方体的玻璃鱼缸，长9分米，宽7分米，高4分米，水深3.8分米。如果投入一块棱长为5分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？    【答案】 5×5×4－9×7×（4－3.8） ＝100－63×0.2 ＝100－12.6 ＝87.4（立方分米） 87.4立方分米＝87.4升 答：缸里的水溢出87.4升。 【对应练习3】 一个长方体玻璃鱼缸（无盖），量得它的长是8分米，宽是5分米，高是6分米，水深5.2分米。（玻璃厚度忽略不计） （1）做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）如果在这个鱼缸里投入一个棱长是3分米的正方体铁块，鱼缸里的水会不会溢出？请你通过计算说明。 （3）如果会溢出，鱼缸里会溢出多少升水？如果不会溢出，现在水深是多少分米？ 【答案】 （1）8×5＋（8×6＋5×6）×2 ＝40＋78×2 ＝40＋156 ＝196（平方分米） 答：做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃196平方分米。 （2）8×5×5.2＋3×3×3 ＝40×5.2＋27 ＝208＋27 ＝235（立方分米） 8×5×6 ＝40×6 ＝240（立方分米） 240＞235 答：鱼缸里的水不会溢出。 （3）235÷（5×8） ＝235÷40 ＝5.875（分米） 答：现在水深是5.875分米。 【考点五】问题五：不规则或组合立体图形的表面积与体积问题。 【方法点拨】 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 【典型例题】 从一个长方体中锯掉一个正方体后，成了下图所示的形状。求现在这个物体的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】 表面积： （12×4＋12×8＋4×8）×2 ＝（48＋96＋32）×2 ＝176×2 ＝352（平方厘米） 体积： 12×4×8－4×4×4 ＝384－64 ＝320（立方厘米） 答：现在这个物体的表面积是352平方厘米，体积是320立方厘米。 【对应练习1】 一块正方体木料，棱长是6厘米，在6个面的中央各挖走一个棱长是2厘米的正方体洞孔。这时它的表面积、体积各是多少？ 【答案】 表面积： 6×6×6＋2×2×4×6 ＝216＋96 ＝312（平方厘米） 体积： 6×6×6－2×2×2×6 ＝216－48 ＝168（立方厘米） 答：这时它的表面积是312平方厘米，体积是168立方厘米。 【对应练习2】 如图所示，有一个棱长为40厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同、棱长为2厘米的小正方体后。请问：挖后的表面积是多少平方厘米? 【答案】 40×40×6＋2×2×6 ＝9600＋24 ＝9624（平方厘米） 答：挖后的表面积是9624平方厘米 【对应练习3】 如图是一个棱长4厘米的正方体，在正方体上面正中向下挖一个棱长是2厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是1厘米正方体小洞，最后得到的立方体图形的表面积是多少平方厘米？ 【答案】 42×6＋22×4＋12×4 ＝96＋16＋4 ＝116（平方厘米） 答：最后得到的立方体图形的表面积是116平方厘米。 【考点六】问题六：长方体和正方体中的注水运动问题。 【方法点拨】 注水运动问题常使用实验的方式考察长方体和正方体的体积在实际生活中的综合应用，审题过程中，关键在于读懂图形给到的信息，需要很巧妙地把给到的注水“实验”过程图形（高度与时间的关系）与实际注水过程节点关联起来，比较考验学生的数学“实验”逻辑思考能力，其在独立招生考试或是在小升初入学分层考试中较为常见。 【典型例题】 如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面分成了相等的2部分。现在同时往左右两边注水，已知左边注水速度为每分钟2升。注水3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平。又经过1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平。 （1）水槽的容积是多少？ （2）注满水槽共需几分钟？ 【答案】 （1）解：设右边每分钟注水x升。 3×2＋1.5×（2＋x）＝3x 6＋1.5×2＋1.5x＝3x 6＋3＋1.5x＝3x 9＝3x－1.5x 1.5x＝9 x＝9÷1.5 x＝6 3×6＝18（升） 18升＝18000立方厘米 18000÷6÷40 ＝3000÷40 ＝75（厘米） 75×2＝150（厘米） 150×40×10 ＝6000×10 ＝60000（立方厘米） 60000立方厘米＝60升 答：水槽的容积是60升。 （2）60÷（2＋6） ＝60÷8 ＝7.5（分钟） 答：注满水槽共需7.5分钟。 【对应练习1】 有一个无水的长方体玻璃水缸，尺寸如左下图所示，一个水龙头从上午9：00开始向玻璃缸内注水，水的流量是8立方分米/分，到9：03关闭水龙头停止注水。接着马上在缸内放入一个高为8厘米的长方体铁块，使之全部浸没水中，玻璃缸的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如下图所示。 （1）图中点( )的位置表示停止注水。（从A、B、C中选择） （2）9：03时玻璃缸水面高度为多少厘米？ （3）求出长方体铁块的底面积。 【答案】 （1）图中点B的位置表示停止注水。 （2）从上午9：00到9：03经过了3分钟。 3×8×1000 ＝24×1000 ＝24000（立方厘米） 24000÷（50×16） ＝24000÷800 ＝30（厘米） 答：9：03时玻璃缸水面高度为30厘米。 （3）上升部分水的体积：50×16×（32－30） ＝50×16×2 ＝800×2 ＝1600（立方厘米） 铁块的底面积：1600÷8＝200（平方厘米） 答：长方体铁块的底面积是200平方厘米。 【对应练习2】 我市游泳健身中心的室内泳池长50米，宽25米。最浅处水深1.2米，最深处水深1.6米。 （1）“泳池的容积是多少立方米？”对这一数学问题以下两位同学展开了过论。请根据他们的思考过程解决问题。 ①小朱同学：“它不是一个长方体，但可以通过割或补的方法（如下图），就可以变成长方体了，所以它的容积大小范围就在( )立方米和( )立方米之间。” ②小锋同学：“两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体（如下图）。这样就能计算出它的容积啦。” 请根据小锋的方法计算该泳池的容积。 （2）如果在空的泳池内以均匀的注水速度（140立方米/小时）往池内灌水，选一选，下面哪幅图能表示出泳池最深处水位的变化情况？( ) （3）根据以上信息综合思考。第（2）题图中的a表示的数是( )小时。 【答案】 （1）①50×25×1.2＝1500（立方米） 50×25×1.6＝2000（立方米） 所以容积大小范围就在1500立方米和2000立方米之间。 ②50×25×（1.6＋1.2）÷2 ＝1250×2.8÷2 ＝3500÷2 ＝1750（立方米） 答：泳池的容积是1750立方米。 （2）根据分析得，下面图C能表示泳池最深处水位的变化情况。 （3）1750÷140＝12.5（小时） 所以图中的a表示的数是12.5小时。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 35 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 35 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第四单元长方体（二）·总集篇·六种综合性问题【六大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元长方体（二）·总集篇·六种综合性问题 专题内容 本专题以长方体和正方体的六种综合性问题为主，包括长方 体和正方体的切拼问题、剪角折叠求体积问题、等积变形问 题、排水法求不规则物体的体积问题、含长方体正方体的不 规则或组合立体图形的表面积与体积问题、长方体正方体中 的注水运动问题等内容。 总体评价 讲解建议 本专题考点遍布各种题型，考题综合性强，难度大，其中多 数内容以思维拓展题型为主，建议根据学生实际掌握情况和 总体水平，选择性讲解部分内容。 考点数量 六个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】问题一：长方体和正方体的切拼问题 .............................................................3 【考点二】问题二：剪角折叠求体积问题 ...................................................................... 10 【考点三】问题三：等积变形问题 ..................................................................................16 【考点四】问题四：排水法求不规则物体的体积问题 ................................................... 22 【考点五】问题五：不规则或组合立体图形的表面积与体积问题 ................................27 【考点六】问题六：长方体和正方体中的注水运动问题 ............................................... 30 第 3 页 共 35 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】问题一：长方体和正方体的切拼问题。 【方法点拨】 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题， 表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会 增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面 积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段， 需切（ n－1）刀，每刀增加 2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体 的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的 正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 第 4 页 共 35 页 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面 面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排 除被遮挡的面。 【典型例题 1】切割问题。 把一个大正方体切成三个完全相同的小长方体后，小长方体的表面积之和比原大 正方体的表面积增加了 144cm2。 （1）画出示意图并标注条件中的数据。 （2）小长方体的长、宽、高分别是多少 cm？ （3）原大正方体的体积是多少 cm3？ 【答案】（1）见详解 （2）长 2cm，宽 6cm，高 6cm （3）216cm3 【分析】（1）画出把一个大正方体切成三个完全相同的小长方体的示意图，并 标注数据；（答案不唯一） （2）根据题意，把一个大正方体切成三个小长方体，要切 2次；切一次增加 2 个截面；切 2次增加 4个截面，表面积增加 4个截面的面积；先用增加的表面积 除以 4，求出一个截面的面积；这个截面是正方形，根据正方形的面积＝边长× 边长，求出正方体的棱长；用正方体的棱长除以 3，就是小长方体的长；小长方 体的宽和高都等于正方体的棱长； （3）根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可。 【详解】（1）如图： 第 5 页 共 35 页 （答案不唯一） （2）144÷4＝36（cm2） 36＝6×6 所以大正方体的棱长是 6cm。 小长方体的长是：6÷3＝2（cm） 小长方体的宽和高都是 6cm。 答：小长方体的长是 2cm、宽是 6cm、高是 6cm。 （3）6×6×6 ＝36×6 ＝216（cm3） 答：原大正方体的体积是 216cm3。 【点睛】掌握正方体切割的特点，明确增加的表面积是哪些面的面积，熟记正方 体的体积公式是解题的关键。 【对应练习】 一个长方体按以下三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了 40平方厘 米、30平方厘米、24平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米，体积是 多少立方厘米？ 【答案】94平方厘米；60立方厘米 【分析】表面积分别增加了 40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米，增加的面 积和就是原来长方体的面积；根据长×高×2＝40，长×宽×2＝30，宽×高×2＝24， 由此求出长方体的体积。 第 6 页 共 35 页 【详解】40＋30＋24 ＝70＋24 ＝94（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是 94平方厘米。 长×高×2＝40，即长×高＝20＝5×4， 长×宽×2＝30，即长×宽＝15＝5×3， 宽×高×2＝24，即宽×高＝12＝4×3， 即长、宽、高分别是 5厘米、4厘米、3厘米。 5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方厘米） 答：体积是 60立方厘米。 【点睛】考查了立体图形的切拼，解题的关键是根据分解质因数求出长、宽、高。 【典型例题 2】拼接问题。 用 3个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是 160厘米， 这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】896平方厘米 【分析】通过观察图形可知，拼成的长方体的棱长总和比原来 3个正方体的棱长 总和减少了正方体的 16条棱的长度，据此可以求出正方体的棱长；这个长方体 的表面积比 3个正方体的表面积之和减少了正方体的 4个面的面积，根据正方体 的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答。 【详解】160÷（12×3﹣16） ＝160÷（36﹣16） ＝160÷20 ＝8（厘米） 8×8×6×3﹣8×8×4 ＝64×6×3﹣64×4 第 7 页 共 35 页 ＝384×3﹣256 ＝1152﹣256 ＝896（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是 896平方厘米。 【点睛】此题主要考查长方体、正方体的棱长总和公式、表面积公式的灵活运用， 求出正方体的棱长是解题的关键。 【对应练习】 两个完全相同的长方体，长是 12厘米，宽是 7厘米，高是 4厘米，现在把它们 拼成一个表面积最大的长方体后，则表面积比原来减少了多少平方厘米？。 【答案】56平方厘米 【分析】将两个完全的长方体拼成一个大长方体，要使大长方体面积最大，则拼 接的一面为小长方体面积最小的一面，根据题意可得面积最小的一面是宽和高所 对应的面。此时，大长方体表面积比原来减少了 2个这样的面，据此可得出答案。 【详解】拼接后要使大长方体表面积最大，则拼接面为面积最小的一面。故表面 积比原来减少： 7×4×2 ＝28×2 ＝56（平方厘米）。 答：表面积比原来减少了 56平方厘米。 【点睛】本题主要考查的是长方体表面积及拼接，解题的关键是根据题意中得出 拼接的面为面积最小的面，进而得出答案。 【典型例题 3】高的变化问题。 一个长方体，如果高减少 3厘米就变成了一个正方体，表面积就减少了 96平方 厘米，现在这个正方体的体积与原来长方体的体积相差多少立方厘米？ 【答案】192立方厘米 【分析】根据题意，长方体的高减少 3厘米变成了一个正方体，说明长方体的长 和宽都等于正方体的棱长；正方体比原来长方体减少的表面积是 4个长为正方体 的棱长，宽为 3厘米的长方形的面积；先用减少的表面积除以 4，求出一个长方 形的面积，再除以 3，即可求出正方体的棱长，也是长方体的长和宽；那么正方 第 8 页 共 35 页 体与原来长方体相差的体积是一个长、宽等于正方体的棱长，高为 3厘米的小长 方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【详解】96÷4＝24（平方厘米） 24÷3＝8（厘米） 8×8×3 ＝64×3 ＝192（立方厘米） 答：现在这个正方体的体积与原来长方体的体积相差 192立方厘米。 【点睛】本题考查立体图形的切拼以及长方体体积公式的应用，明确表面积减少 的是哪些面的面积，以此为突破口，求出正方体的棱长是解题的关键。 【对应练习】 一个长方体，如果高减少 5厘米，就成了一个正方体，这时表面积会比原来少 120平方厘米，原来长方体的体积是多少？ 【答案】396立方厘米 【分析】根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正 方形），相对的面的面积相等。由题意可知：高减少 5厘米，这时表面积比原来 减少了 120平方厘米。表面积减少的是高为 5厘米的长方体的 4个侧面的面积。 先求出减少部分的 1个侧面的面积，120÷4＝30（平方厘米）；根据长方形的面 积公式 S＝ab，求出原来长方体的底面边长就是 6厘米。原来的高是 6＋5＝11 （厘米），再根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【详解】原来长方体的底面边长是： 120÷4÷5 ＝30÷5 ＝6（厘米） 高是：6＋5＝11（厘米） 原来长方体的体积是： 6×6×11 ＝36×11 ＝396（立方厘米） 第 9 页 共 35 页 答：原来长方体的体积是 396立方厘米。 【点睛】此题解答关键是求出原来长方体的底面边长，进而求出高，再根据长方 体的体积公式解答即可。 【典型例题 4】最大的正方体。 从一块长 12cm、宽 9cm、高 6cm的长方体陶泥上切下一个最大的正方体，剩下 部分的表面积与原长方体的表面积相比，会怎样变化？列出你想到的所有情况。 【答案】①以长方体的一个顶点为正方体的一个顶点切：表面积减小 72平方厘 米； ②不挨顶点，沿棱切：表面积不变。 ③从长方体里边切，不挨顶点和棱：表面积增加 72平方厘米 【分析】 ，如图，从一块长 12cm、宽 9cm、高 6cm 的长方体陶泥上切下一个最大的正方体，正方体的棱长是 6厘米，①以长方体的 一个顶点为正方体的一个顶点切，表面积减少了两个正方体的面；②不挨顶点， 沿棱切：表面积不变；③从长方体里边切，不挨顶点和棱，表面积增加两个正方 体的面，据此分析。 【详解】①以长方体的一个顶点为正方体的一个顶点切：表面积减小，6×6×2＝ 72（平方厘米）。 ②不挨顶点，沿棱切：表面积不变。 ③从长方体里边切，不挨顶点和棱：表面积增加，6×6×2＝72（平方厘米） 【点睛】本题考查了立体图形的切拼，可以画画示意图，做做辅助线。 【对应练习】 一个长方体长 20厘米、宽 16厘米、高 10厘米，现在从长方体中切下一个最大 的正方体，再从剩下的部分中切下一个最大的正方体，最后又从第二次剩下的部 分中切下一个最大的正方体，剩下的体积是多少立方厘米？ 【答案】984立方厘米 【分析】根据题意可知，长方体的长是高的 2倍，由此可知，长方体可以切去两 第 10 页 共 35 页 个棱长是 10厘米的正方体，即第一次切下一个最大的正方体，正方体的棱长等 于长方体的高，即正方体的棱长是 10厘米；第二次剩下部分的还可以切下的棱 长是 10厘米的正方体，最后再把剩下部分的切去一个最大的正方体，正方体的 棱长是 6厘米；求剩下的体积，就用原来长方体的体积减去棱长是 10厘米的正 方体的体积，减去棱长 10厘米的正方体体积，减去棱长是 6厘米的正方体的体 积；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；正方体的体积公式：体积＝棱长× 棱长×棱长，代入数据，即可解答。 【详解】第一个正方体的棱长是 10厘米；第二个正方体的棱长是 10厘米 第三个正方体的棱长是：16－10＝6（厘米） 20×16×10－10×10×10×2－6×6×6 ＝320×10－100×10×2－36×6 ＝3200－1000×2－218 ＝3200－2000－218 ＝1200－218 ＝984（立方厘米） 答：剩下的体积是 984立方厘米。 【点睛】解答本题的关键是第二次切去最大的正方体的棱长和第一次切去正方体 的棱长相等，第三次切去正方体的棱长等于原长方体的宽与切去最大正方体的棱 长差。 【考点二】问题二：剪角折叠求体积问题。 【方法点拨】 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积 公式计算。 设剪去的正方形边长为 a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长 a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 【典型例题】 第 11 页 共 35 页 壮壮有 48个棱长为 5厘米的正方体小积木，他想要制作一个盒子将他的积木正 好装完（无凸出，无空余），他准备用下图长 50厘米、宽 40厘米的长方形硬纸 板剪掉四个角折成一个无盖的长方体纸盒。 （1）请你帮助壮壮设计一个方案，在下图中动手画一画，表示出你是怎样剪的 （需要剪掉的部分用笔涂一涂，并标注相关长度）。 （2）请列式说明做出来的盒子空间正好能够按要求容纳壮壮的所有积木。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）由于要把这个小正方体积木正好装完，那么剪掉的部分的小正方 形的变成应该等于小正方体积木的棱长，或者是剪掉部分的边长是小正方体积木 棱长的倍数，即可以剪掉 5厘米或者 10厘米的小正方形，据此即可画图；（答 案不唯一） （2）当剪掉边长为 5厘米的小正方形的时候，这个盒子的长是 50－2×5＝40厘 米，宽是 40－2×5＝30厘米，高是 5厘米，用 40除以 5看一行能放几个小正方 体积木，再用 30除以 5看能放几行，由于高是 5厘米，就只能放一层，最后用 每行的个数×放的行数×层数即可表示出是否能放下所有积木。 【详解】 （1）如下图所示： （答案不唯一） （2）剪掉的边长是 5厘米的时候。 50－5×2 第 12 页 共 35 页 ＝50－10 ＝40（厘米） 40－5×2 ＝40－10 ＝30（厘米） （40÷5）×（30÷5）×（5÷5） ＝8×6×1 ＝48（个） 答：用（40÷5）×（30÷5）×（5÷5）正好能够按要求容纳壮壮的所有积木。 【对应练习 1】 先从一张长 40厘米，宽 35厘米的长方形铁皮的四个角各剪去一个边长是 5厘米 的正方形，然后做成一个无盖的长方体盒子。 （1）这个盒子用了多少平方厘米铁皮？ （2）这个铁皮盒子的容积是多少立方厘米？ 【答案】（1）1300平方厘米 （2）3750立方厘米 【分析】（1）观察图形可知，折成的长方体的长为 40－5×2＝30厘米，宽为 35 －5×2＝25厘米，高是 5厘米，铁皮的面积就是长方体的五个面的面积，长方体 的五个面的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，据此计算即可； （2）根据长方体的容积公式：V＝abh，据此代入数值进行计算即可。 【详解】（1）40－5×2 ＝40－10 ＝30（厘米） 第 13 页 共 35 页 35－5×2 ＝35－10 ＝25（厘米） 30×25＋（30×5＋25×5）×2 ＝750＋（150＋125）×2 ＝750＋275×2 ＝750＋550 ＝1300（平方厘米） 答：这个盒子用了 1300平方厘米铁皮。 （2）30×25×5 ＝750×5 ＝3750（立方厘米） 答：这个铁皮盒子的容积是 3750立方厘米。 【点睛】本题考查长方体的表面积和容积，熟记公式是解题的关键。 【对应练习 2】 一块长方形铁皮，从四个角各切掉一个边长为 8厘米的正方形（如图），然后做 成一个无盖盒子。 （1）这个铁盒至少用多少铁皮？ （2）这个铁盒的容积是多少？ 【答案】（1）944平方厘米 （2）2688立方厘米 【分析】（1）根据题意，从长方形铁皮的四个角各切掉一个边长为 8厘米的正 方形，做成一个无盖的盒子，那么这个铁盒用的铁皮的面积＝长方形的面积－4 第 14 页 共 35 页 个正方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，代 入数据求解。 （2）做成的无盖的盒子是一个长方体，长为（40－8×2）厘米，宽为（30－8×2） 厘米，高为 8厘米，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，代入数据求解。 【详解】（1）40×30－8×8×4 ＝1200－256 ＝944（平方厘米） 答：这个铁盒至少用 944平方厘米的铁皮。 （2）长： 40－8×2 ＝40－16 ＝24（厘米） 宽： 30－8×2 ＝30－16 ＝14（厘米） 高：8厘米 24×14×8 ＝336×8 ＝2688（立方厘米） 答：这个铁盒的容积是 2688立方厘米。 【点睛】（1）明确求长方体盒子所需铁皮的面积，也就是求组合图形的面积， 分析组合图形的面积是由哪些图形面积相减得到，再运用图形的面积公式求解。 （2）关键是找出无盖长方体盒子的长、宽、高，再运用长方体的体积（容积） 公式解答。 【对应练习 3】 一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为 x厘米的正方形，焊接成一 个无盖盒子。 第 15 页 共 35 页 （1）当 x＝5时，焊接无盖盒子用了多少铁皮？ （2）当 x＝5时，这个盒子的占地面积是多少？ （3）当 x＝5时，这个盒子的容积是多少？ （4）x可取的数值很多，在这些数值中，x＝5时的盒子容积是最小的吗？请回 答并写出过程。 【答案】（1）775平方厘米；（2）375平方厘米；（3）1875立方厘米；（4） 不是；见详解 【分析】（1）当 x＝5时，焊接无盖盒子所用的铁皮面积等于一个长为 35厘米， 宽为 25厘米的长方形面积减去 4个边长为 5厘米的正方形的面积，利用长方形 和正方形的面积公式即可得解。 （2）当 x＝5时，这个盒子的占地面积是一个长为（35－2×5）厘米，宽为（25 －2×5）厘米的长方形，利用长方形的面积公式即可得解。 （3）根据长方体的容积公式：V＝Sh，代入数据即可求出这个盒子的容积。 （4）可假设 x＝1和 x＝2时，先分别求出长方体的长、宽、高，再利用长方体 的容积公式，分别求出这两种情况下长方体的容积，再与 x＝5时所求的长方体 盒子的容积比较大小，即可得解。 【详解】（1）当 x＝5时，焊接无盖盒子所用的面积为： S＝35×25－4×52 ＝875－4×25 ＝875－100 ＝775 （平方厘米） 答：焊接无盖盒子用了 775平方厘米的铁皮。 （2）当 x ＝5时，这个盒子占地为长方形， 该长方形的长为： 35－2x ＝35－2×5 第 16 页 共 35 页 ＝35－10 ＝25（厘米） 该长方形的长为： 25－2x ＝25－2×5 ＝25－10 ＝15（厘米） 25×15＝375（平方厘米） 答：这个盒子的占地面积是 375平方厘米。 （3）当 x＝5时，这个盒子的容积为占地面积乘盒高。 375×5＝1875（立方厘米） 答：这个盒子的容积是 1875立方厘米。 （4）x可取的数值很多，在这些数值中，x＝5时的盒子容积不是最小的。 理由如下： 当 x＝1时， V＝（35－2）×（25－2）×1 ＝33×23×1 ＝759（立方厘米） 当 x＝2时， V＝（35－4）×（25－4）×2 ＝31×21×2 ＝1302（立方厘米） 759立方厘米＜1875立方厘米，1302立方厘米＜1875立方厘米 答：在这些数值中，x＝5时的盒子容积不是最小的。 【点睛】此题主要考查长方体的特征、长方体的表面积以及长方体的容积的计算 方法。 【考点三】问题三：等积变形问题。 【方法点拨】 长方体、正方体的等积变形问题是较常考察的题型之一，总体来说，难度不 第 17 页 共 35 页 大，关键是掌握体积不变这一思路，再根据体积不变去解决问题。 1. 等积变形问题。 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、 浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状 立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 【典型例题】 1．把一块棱长是 20厘米的正方体钢坯锻成长是 25厘米、宽是 16厘米的长方体 钢材。锻成的长方体钢材的高是多少厘米？ 【答案】20厘米 【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出钢坯体积，再根据长方体的 高＝体积÷底面积，列式解答即可。 【详解】20×20×20÷（25×16） ＝8000÷400 ＝20（厘米） 答：锻成的长方体钢材的高是 20厘米。 2．有一个长方体容器（图 1），长 30厘米，宽 20厘米，高 10厘米，里面的水 深 6厘米。为了节约占地面积，把这个容器盖紧，再朝左竖起来（图 2），里面 的水深应该是多少？ 【答案】18厘米 【分析】首先要明确无论容器怎么放，里面的水的体积不变，先根据“长方体的 第 18 页 共 35 页 体积＝长×宽×高”求出容器中水的体积。把容器朝左竖起来时，左侧面成为长方 体的底面，根据“长方体的体积＝底面积×高”，用水的体积除以左侧面面积（宽× 高）即可求出这时的水深，如果让长 10厘米、宽 20厘米的面朝下，则这个面成 为底面，同样用水的体积除以这个面的面积，即可求出这时水的深度。 【详解】30×20×6 ＝600×6 ＝3600（立方厘米） 3600÷（10×20） ＝3600÷200 ＝18（厘米） 答：里面的水深应该是 18厘米。 3．有甲、乙两个长方体容器，从甲容器内部量得长、宽、高分别为 40厘米、10 厘米、10厘米。将甲容器的右面作为底面，直立起来就是乙容器，已知甲容器 中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。 （1）甲容器中水的体积是多少？ （2）现在把甲、乙两个容器放在同一桌面上，将甲容器中的水倒一部分到乙容 器中，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么乙容器中需要倒入多少毫升水？ 【答案】（1）2000立方厘米 （2）400毫升 【分析】（1）从图中可以看出，甲容器装水的体积等于甲容器体积的一半，根 据长方体的体积公式 V＝abh，代入数据计算求解。 （2）从图中可知，甲容器的底面积是（40×10）平方厘米；将甲容器的右面作为 底面，直立起来就是乙容器，则乙容器的底面积是（10×10）平方厘米； 将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使得甲、乙容器中的水面一样高，则水的 第 19 页 共 35 页 体积不变，水的高度一样，那么可以把甲、乙两个容器看作一个底面积为甲、乙 两个底面积之和的容器； 根据长方体的高 h＝V÷S，代入数据计算求出容器中水的高度；再根据长方体的 体积公式 V＝abh，求出乙容器中水的体积。注意单位的换算：1立方厘米＝1毫 升。 【详解】（1）40×10×10÷2 ＝400×10÷2 ＝4000÷2 ＝2000（立方厘米） 答：甲容器中水的体积是 2000立方厘米。 （2）2000÷（40×10＋10×10） ＝2000÷（400＋100） ＝2000÷500 ＝4（厘米） 10×10×4 ＝100×4 ＝400（立方厘米） 400立方厘米＝400毫升 答：乙容器中需要倒入 400毫升水。 【对应练习 1】 把一个棱长为 8分米的正方体铁块熔化，铸成一个底面积为 32平方分米的长方 体铁块。这个长方体铁块的高是多少分米？ 【答案】16分米 【分析】正方体熔铸成长方体，体积不变，即正方体的体积和长方体的体积相等。 先根据公式：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体的体积即长方体的 体积；再根据高＝长方体的体积÷底面积，代入数据计算，即可求出这个长方体 铁块的高，据此解答。 【详解】8×8×8÷32＝16（分米） 答：这个长方体铁块的高是 16分米。 第 20 页 共 35 页 【对应练习 2】 一个密封的长方体容器（如下图），长 30厘米，宽 10厘米，高 15厘米，水深 8厘米。如果把这个容器的右侧朝下放在桌面上，这时水深应该是多少厘米？（容 器的厚度忽略不计） 【答案】16厘米 【分析】根据题意，一个长方体容器长 30厘米，宽 10厘米，水深 8厘米，根据 长方体的体积公式 V＝abh，求出水的体积； 水的体积不变，如果把这个容器的右侧朝下放在桌面上，则容器的底面积变成 （15×10）平方厘米，根据长方体的高 h＝V÷S，求出这时水的深度。 【详解】水的体积： 30×10×8 ＝30×8 ＝2400（立方厘米） 水的深度： 2400÷（15×10） ＝2400÷150 ＝16（厘米） 答：这时水深应该是 16厘米。 【对应练习 3】 有一个装水的长方体容器 A和一个空的长方体容器 B（如图）。 （1）若容器 A中的水全部倒入容器 B中，容器 B中水深多少厘米？ 第 21 页 共 35 页 （2）现将容器 A中的一部分水倒入容器 B，使得此时两个容器内的水面高度相 同。你知道这时容器 A中水深多少厘米吗？ 【答案】（1）12厘米 （2）8厘米 【分析】（1）根据题意，将容器 A中的水全部倒入容器 B中，因为容器 A和 容器 B的底面积不同，所以两个容器内水的深度不同，但水的体积是不变的； 先根据长方体的体积公式 V＝abh，求出水的体积；再根据长方体的高 h＝V÷S， 求出容器 B中水的深度。 （2）根据题意可知，水的总体积不变，容器 A中水的体积＋容器 B中水的体积 ＝水的总体积，根据长方体的体积公式 V＝abh，据此列出方程，并求解。 【详解】（1）水的体积： 30×20×24 ＝600×24 ＝14400（立方厘米） 容器 B中水的深度： 14400÷（40×30） ＝14400÷1200 ＝12（厘米） 答：容器 B中水深 12厘米。 （2）解：设这时容器 A中水深 x厘米。 30×20× x＋40×30× x＝14400 600 x＋1200 x＝14400\ 1800 x＝14400 第 22 页 共 35 页 x＝14400÷1800 x＝8 答：这时容器 A中水深 8厘米。 【考点四】问题四：排水法求不规则物体的体积问题。 【方法点拨】 1. 排水法求不规则物体的体积。 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体 体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤。 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V 物体=V 现在－V 原来； ②V 物体=S×(h 现在－h 原来)； ③V 物体=S×h 升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 【典型例题】 实验小学为普及生态文明教育，打算在教学楼入口处饲养一些鱼类，需要准备 3 个同样大小的无盖玻璃鱼缸，尺寸如图所示。 （1）做这些鱼缸需要多大的玻璃？（损耗忽略不计） 第 23 页 共 35 页 （2）将其中一个鱼缸装满水后，把一根长为 1米，横截面积为 20平方厘米的长 方体铁棒竖直插入水中，插到底后竖直取出。这时水面的高度是多少厘米？ 【答案】（1）315平方分米；（2）34.75厘米 【分析】（1）根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab＋2ah＋2bh，把数据代入公 式求出做一个鱼缸需要和玻璃的面积，然后再乘 3即可。 （2）根据题意可知，把这根铁棒从鱼缸中取出后，水面下降的体积等于铁棒被 水淹没的体积，说明下降的高等于铁棒被水淹没的体积除以鱼缸的底面积，然后 用鱼缸的高减去水面下降的高即可。 【详解】（1）7×4＋7×3.5×2＋3.5×4×2 ＝28＋49＋28 ＝105（平方分米） 105×3＝315（平方分米） 答：做这些鱼缸需要 315平方分米的玻璃。 （2）4×7＝28（平方分米） 28平方分米＝2800平方厘米 3.5分米＝35厘米 35×20＝700（立方厘米） 700÷2800＝0.25（厘米） 35－0.25＝34.75（厘米） 答：这时水面的高度是 34.75厘米。 【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记 公式。 【对应练习 1】 如下图，一个长、宽、高分别为 30厘米、16厘米、21厘米的长方体容器中水位 高度是 10厘米，如果将另一个长方体（长、宽、高分别为 16厘米、10厘米、 36厘米的铁块竖直）放入左边的容器中（贴底面齐平），那么这个容器中的水 会溢出吗？如果不溢出，那么容器中水位将上升至多少高度？如果溢出，那会溢 出多少立方厘米的水量？ 第 24 页 共 35 页 【答案】不会溢出；15厘米 【分析】根据题意可知，长方体容器中水是一个长 30厘米、宽 16厘米、高 10 厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积； 放入铁块后，水面会上升，底面积由（30×16）平方厘米变成了（30×16－16×10） 平方厘米，水的体积不变，根据长方体的高＝体积÷底面积，求出此时容器内水 的高度； 用此时容器内水的高度与长方体容器的高度进行比较，如果小于或等于容器的高 度，则水不会溢出；反之，水的高度大于容器的高度，水会溢出，进而求出溢出 水的体积。 【详解】容器内水的体积： 30×16×10 ＝480×10 ＝4800（立方厘米） 放入铁块后水深： 4800÷（30×16－16×10） ＝4800÷（480－160） ＝4800÷320 ＝15（厘米） 15＜21 答：这个容器中的水不会溢出，容器中水位将上升至 15厘米。 【点睛】本题考查长方体体积公式的灵活运用，抓住水的体积不变是解题的关键， 掌握放入的物体没有完全浸没时，水上升高度的求法。 【对应练习 2】 如图一个长方体的玻璃鱼缸，长 9分米，宽 7分米，高 4分米，水深 3.8分米。 第 25 页 共 35 页 如果投入一块棱长为 5分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 【答案】87.4升 【分析】根据题意可知，把铁块放入玻璃缸中，溢出水的体积等于浸入水中铁块 的体积减去玻璃缸内无水部分的体积，但正方体铁块的高为 5分米，不会全部浸 入水中，所以浸入水中铁块的体积实际是一个长和宽都为 5分米，高为 4分米的 长方体，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【详解】5×5×4－9×7×（4－3.8） ＝100－63×0.2 ＝100－12.6 ＝87.4（立方分米） 87.4立方分米＝87.4升 答：缸里的水溢出 87.4升。 【点睛】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是明确正方体不会全 部浸入到水中，其次因为原来长方体玻璃缸有一部分空余的空间，所以溢出水的 体积不完全等于浸入的正方体铁块的体积。 【对应练习 3】 一个长方体玻璃鱼缸（无盖），量得它的长是 8分米，宽是 5分米，高是 6分米， 水深 5.2分米。（玻璃厚度忽略不计） （1）做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）如果在这个鱼缸里投入一个棱长是 3分米的正方体铁块，鱼缸里的水会不 会溢出？请你通过计算说明。 （3）如果会溢出，鱼缸里会溢出多少升水？如果不会溢出，现在水深是多少分 第 26 页 共 35 页 米？ 【答案】（1）196平方分米 （2）不会溢出 （3）5.875分米 【分析】（1）根据题意，长方体玻璃鱼缸（无盖）缺少上面（长和宽组成的长 方形），所以玻璃的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2； （2）先求出水的体积与正方体铁块的体积之和，再计算鱼缸体积，如果水和铁 块的体积比鱼缸体积大就会溢出，如果比鱼缸体积小则不会溢出，根据公式：长 方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长； （3）根据（2）中计算可知水不会溢出，水深＝水与铁块的体积÷鱼缸底面积； 据此解答。 【详解】（1）8×5＋（8×6＋5×6）×2 ＝40＋78×2 ＝40＋156 ＝196（平方分米） 答：做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃 196平方分米。 （2）8×5×5.2＋3×3×3 ＝40×5.2＋27 ＝208＋27 ＝235（立方分米） 8×5×6 ＝40×6 ＝240（立方分米） 240＞235 答：鱼缸里的水不会溢出。 （3）235÷（5×8） ＝235÷40 ＝5.875（分米） 答：现在水深是 5.875分米。 第 27 页 共 35 页 【点睛】此题考查了长方体的表面积、体积计算，关键灵活运用公式解答。 【考点五】问题五：不规则或组合立体图形的表面积与体积问题。 【方法点拨】 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些 面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各 部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 【典型例题】 从一个长方体中锯掉一个正方体后，成了下图所示的形状。求现在这个物体的表 面积和体积。（单位：厘米） 【答案】352平方厘米；320立方厘米 【分析】观察图形可知，在长方体木块上锯掉一个正方体，减少了正方体的 3 个面，同时又露出了正方体的 3个面，所以剩下部分的表面积和原来长方体的表 面积一样大，它的表面积没有发生变化，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长× 高＋宽×高）×2，代入数据计算求解； 在长方体木块上锯掉一个正方体，那么体积就减少这个正方体的体积，所以现在 这个物体的体积＝长方体的体积－锯掉的正方体的体积，根据长方体的体积＝长 ×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求解。 【详解】表面积： （12×4＋12×8＋4×8）×2 ＝（48＋96＋32）×2 ＝176×2 ＝352（平方厘米） 第 28 页 共 35 页 体积： 12×4×8－4×4×4 ＝384－64 ＝320（立方厘米） 答：现在这个物体的表面积是 352平方厘米，体积是 320立方厘米。 【点睛】本题考查正方体、长方体表面积、体积公式的运用，在计算有缺口的立 体图形的表面积时，要注意缺口的位置，原来这个位置有几个面，挖掉后露出了 几个面，与原来的面相比较，是否一样，还是多或少了，进而得出结论。 【对应练习 1】 一块正方体木料，棱长是 6厘米，在 6个面的中央各挖走一个棱长是 2厘米的正 方体洞孔。这时它的表面积、体积各是多少？ 【答案】312平方厘米；168立方厘米 【分析】观察图形可知，在正方体木料的 6个面中央各挖走一个棱长 2厘米的正 方体洞孔，则每个面都减少了 1个（2×2）的面，同时又露出了 5个（2×2）的 面，所以每个面比原来增加了 4个（2×2）的面，那么表面积比原来增加了 6个 （2×2×4）的面积；先根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出棱长为 6厘米 的正方体木料的表面积，再加上 6个（2×2×4）的面积，即是此时立体图形的表 面积。 此时立体图形的体积＝正方体木料的体积－6个小正方体洞孔的体积，根据正方 体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求解。 【详解】表面积： 6×6×6＋2×2×4×6 ＝216＋96 ＝312（平方厘米） 体积： 6×6×6－2×2×2×6 第 29 页 共 35 页 ＝216－48 ＝168（立方厘米） 答：这时它的表面积是 312平方厘米，体积是 168立方厘米。 【点睛】本题考查正方体的表面积、体积公式的运用，在求有缺口的立体图形的 表面积时，要注意缺口的位置，原来这个位置有几个面，挖掉后露出了几个面， 与原来的面相比较，是否一样，还是多了或少了，进而根据公式列式计算。 【对应练习 2】 如图所示，有一个棱长为 40厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各 挖掉一个大小相同、棱长为 2厘米的小正方体后。请问：挖后的表面积是多少平 方厘米? 【答案】9624平方厘米 【分析】在角上挖掉一个小正方体，表面积没有变化；在棱上挖掉一个小正方体， 表面积会增加左右 2个面；在面上挖掉一个小正方体，表面积会增加上下左右 4 个面。分别求出原来正方体的表面积和增加的面积，便可求出挖后的表面积。 【详解】40×40×6＋2×2×6 ＝9600＋24 ＝9624（平方厘米） 答：挖后的表面积是 9624平方厘米 【点睛】分别确定在角上、棱上、面上各挖掉一个小正方体后表面积的变化情况 是解答此题的关键。 【对应练习 3】 如图是一个棱长 4厘米的正方体，在正方体上面正中向下挖一个棱长是 2厘米的 正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是 1厘米正方体小洞，最 后得到的立方体图形的表面积是多少平方厘米？ 第 30 页 共 35 页 【答案】116平方厘米 【分析】把棱长是 2厘米的正方体的底面向上平移，把棱长是 1厘米的正方体底 面向上平移，则容易看出：求最后得到的立方体图形的表面积，即棱长为 4厘米 的正方体的表面积与棱长为2厘米的正方体四个侧面和棱长为1厘米的正方体四 个侧面的面积之和；根据“正方体的表面积＝棱长 2×6”求出棱长为 4厘米的正方 体的表面积，根据“正方体的侧面积＝棱长 2×4”分别求出棱长为 2厘米的正方体 四个侧面和棱长为 1厘米的正方体四个侧面的面积，然后相加即可。 【详解】42×6＋22×4＋12×4 ＝96＋16＋4 ＝116（平方厘米） 答：最后得到的立方体图形的表面积是 116平方厘米。 【点睛】解答此题的关键是明确：两个小正方体，每个正方体中向上的一个面， 经过平移能够填补完整大正方体上面的一个面。 【考点六】问题六：长方体和正方体中的注水运动问题。 【方法点拨】 注水运动问题常使用实验的方式考察长方体和正方体的体积在实际生活中的综 合应用，审题过程中，关键在于读懂图形给到的信息，需要很巧妙地把给到的注 水“实验”过程图形（高度与时间的关系）与实际注水过程节点关联起来，比较考 验学生的数学“实验”逻辑思考能力，其在独立招生考试或是在小升初入学分层考 试中较为常见。 【典型例题】 如图：一个长方体水槽宽 40厘米，高 10厘米，水槽正中间有一块高 6厘米的隔 板，将水槽下面分成了相等的 2部分。现在同时往左右两边注水，已知左边注水 速度为每分钟 2升。注水 3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平。又经过 1.5分