精品解析：浙江省绍兴市诸暨市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷

2024-2025学年第一学期期末考试试卷 九年级数学 考生须知： 1．本试题卷共6页，有三个大题，24个小题．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在本试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题．本次考试不能使用计算器． 参考公式：抛物线的顶点坐标是． 试卷Ⅰ（选择题，共30分） 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列选项中的运动，属于旋转变换的是（ ） A. 升国旗的过程 B. 摩天轮的转动 C. 汽车刹车时的滑动 D. 电梯的运行 2. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的个黄球，个红球，则任意摸出一球是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点P在⊙O内，且点P到圆心O的距离为5，则⊙O的半径可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 在平面直角坐标系中，平移抛物线得到，则平移方式可以是（ ） A. 向左平移3个单位 B. 向右平移3个单位 C. 向上平移3个单位 D. 向下平移3个单位 6. 如图，是的直径，是的中点，连接，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，与位似，点为位似中心，若，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 2：1 8. 如图，将直角三角板绕直角顶点顺时针旋转角度得到，点在斜边上，若，，则点运动路径长度及边扫过面积分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 已知抛物线，在该抛物线上到轴的距离等于的点的个数是（ ） A. 0个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 等腰，，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 4 试卷Ⅱ（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线的对称轴是_____． 12. 已知线段是线段、的比例中项，且，，那么________． 13. 已知点P是线段的黄金分割点，．若，则_____． 14. 如图①是小聪帮妈妈做的一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为， ，锅盖直径为，则锅盖最低点到的距离是______cm． 15. 如图（1），已知扇形，作如下操作：步骤1：以，为圆心，大于的一半为半径作两条相等半径圆弧，连接两条圆弧交点并延长成直线，记为直线；步骤2．直线与交于点，以点为圆心，为半径作弧交直线于点；步骤3：连接，以为圆心，为半径作弧，分别交，于点，（如图②）经过以上操作，得到扇形，若扇形面积为，则扇形的面积是______． 16. 已知抛物线，回答下列问题： （1）无论取何值，抛物线恒过定点______和______； （2）当且抛物线的顶点位置最高时，抛物线经过两点，，满足，则的取值范围是______． 三、解答题（本大题有8小题，第17、18小题每小题6分，第19、20每小题8分，第21、22每小题10分，第23、24每小题12分，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 已知二次函数的图象经过点和点． （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数图象与轴，轴的交点坐标． 18. 2024山下湖・世界珍珠大会在浙江省诸暨市开幕，澳白、南阳金珠、大溪地黑珍珠、Akoya是目前最热销的珍珠种类，现有四张正面印有这四种珍珠的不透明卡片，依次记为，，，，这四张卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这四张卡片背面向上洗匀，小张从中随机抽取进行珍珠品类调研． （1）若随机抽取一张，求抽到卡片的概率； （2）若小张随机抽取一张，不放回，再抽取一张，用画树状图或列表的方法求卡片和同时被抽中的概率． 19. 如图所示，顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图． （1）图①中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的； （2）图②中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的． 20. 如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． （1）求的值； （2）求的长． 21. 每年12月下旬至次年3月上旬为诸暨水果“红美人”采摘时间，如图①是红美人采摘园大棚，其横截面可看作由矩形和抛物线构成（如图②），点为抛物线顶点．以所在直线和垂直平分线所在直线建立坐标系，为一个单位长度．已知，，． （1）求抛物线解析式（不需要写出的取值范围）； （2）现需在上方至顶端部分加装两根关于轴对称立柱和，若两立柱间的距离为，求立柱的长度． 22. 如图，是的直径，是上一点，连接和，是的中点，连接和，分别交于点和． （1）证明：； （2）若，，求的长． 23. 已知二次函数（，，是常数，且）． （1）若，函数图象过点． ①用含的代数式表达； ②求证：不论为何值，该函数图象与轴一定有两个交点． （2）若，点和在抛物线上，对称轴为直线，，求取值范围． 24 如图，四边形内接于，满足，连接，，长，于点． （1）若，求的度数； （2）求证：； （3）若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期末考试试卷 九年级数学 考生须知： 1．本试题卷共6页，有三个大题，24个小题．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在本试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题．本次考试不能使用计算器． 参考公式：抛物线的顶点坐标是． 试卷Ⅰ（选择题，共30分） 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列选项中的运动，属于旋转变换的是（ ） A. 升国旗过程 B. 摩天轮的转动 C. 汽车刹车时的滑动 D. 电梯的运行 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的定义，熟记旋转的定义是解题的关键． 根据旋转的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 升旗的过程属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题意； B． 摩天轮的转动属于旋转，故该选项符合题意； C． 汽车刹车时的滑动属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题意； D．电梯的运行属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题 故选：B ． 2. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 根据比例的性质设，代入计算即可得到答案． 【详解】解：， 设， ， 故选：A． 3. 在一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的个黄球，个红球，则任意摸出一球是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率计算，熟练掌握概率公式是解题的关键． 根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意得任意摸出一球是红球的概率是， 故选：C． 4. 已知点P在⊙O内，且点P到圆心O的距离为5，则⊙O的半径可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可． 【详解】解：设半径为r， 根据题意得， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外，②点P在圆上，③点P在圆内． 5. 在平面直角坐标系中，平移抛物线得到，则平移方式可以是（ ） A. 向左平移3个单位 B. 向右平移3个单位 C. 向上平移3个单位 D. 向下平移3个单位 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，即可得到答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，平移抛物线得到， 抛物线向上平移3个单位得到， 平移方式是向上平移3个单位， 故选：C． 6. 如图，是的直径，是的中点，连接，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，得到，得出，即可得到答案． 【详解】如图，连接， 是的中点， ， ， ， 故选：A． 7. 如图，与位似，点为位似中心，若，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 2：1 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：与是位似图形，， 与的位似比是． 与的相似比为， 与的面积比为， 故选：B． 8. 如图，将直角三角板绕直角顶点顺时针旋转角度得到，点在斜边上，若，，则点运动路径长度及边扫过的面积分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，得出，根据三角形内角和定理求出，根据弧长公式，扇形面积公式求出点运动路径长度及边扫过的面积即可． 【详解】解：直角三角板绕直角顶点顺时针旋转角度得到，点在斜边上， ， ， ， ， 点运动路径长度为， 边扫过的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，弧长公式，扇形面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 9. 已知抛物线，在该抛物线上到轴的距离等于的点的个数是（ ） A. 0个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，确定抛物线的开口向上，顶点坐标为是解题的关键． 根据二次函数的性质得到抛物线开口向上，得到顶点坐标为，即可得到答案． 【详解】解：抛物线， 抛物线的开口向上，顶点坐标为， 抛物线的顶点在轴下方，到的距离等于， 在轴的上方到的距离等于的点有个， 在该抛物线上到轴的距离等于的点的个数是个， 故选：C． 10. 等腰，，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，正确作辅助线是解题的关键. 将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则，，得到，可求出，，可证明，得到，可证明，，则，得出，，则，求出，即可得到结论. 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 故选：B. 试卷Ⅱ（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线的对称轴是_____． 【答案】直线 【解析】 【分析】由二次函数顶点式可得抛物线顶点坐标，进而求解． 【详解】解：， 抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， 故答案为：直线． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式． 12. 已知线段是线段、的比例中项，且，，那么________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据比例中项的概念，可得，可得，即可得到的值，注意线段的长为正数． 【详解】解：∵线段是线段、的比例中项，且，， ∴， ∴， 解得， 又∵线段的长度是正数， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方；求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．根据比例中项的概念列出比例式是解答本题的关键． 13. 已知点P是线段的黄金分割点，．若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点的定义，根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长． 【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，，， 则． 故答案为：． 14. 如图①是小聪帮妈妈做的一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为， ，锅盖直径为，则锅盖最低点到的距离是______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 设圆的圆心为，连接，交于点，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，设圆的圆心为，连接，交于点， 根据题意得，， ， ， ， ， 锅盖最低点到的距离是， 故答案为：． 15. 如图（1），已知扇形，作如下操作：步骤1：以，为圆心，大于的一半为半径作两条相等半径圆弧，连接两条圆弧交点并延长成直线，记为直线；步骤2．直线与交于点，以点为圆心，为半径作弧交直线于点；步骤3：连接，以为圆心，为半径作弧，分别交，于点，（如图②）经过以上操作，得到扇形，若扇形面积为，则扇形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，线段垂直平分线的定义和尺规作图，勾股定理，根据题意可得直线l垂直平分，则，，由勾股定理得到，再由扇形面积计算公式得到，则． 【详解】解：由作图方法可知，直线l垂直平分， ∴，， 由作图方法可知， ∴， 设， ∵扇形面积为， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 已知抛物线，回答下列问题： （1）无论取何值，抛物线恒过定点______和______； （2）当且抛物线的顶点位置最高时，抛物线经过两点，，满足，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. ③. 或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意由，令得到或，故当时，；当时，，从而得到无论取何值，抛物线恒过定点； （2）根据题意得到对称轴为直线 【详解】解：（1）根据题意，， 令，则或， 当时，， 当时，， 无论取何值，抛物线恒过定点，， 故答案为：，； (2)由题意，先将抛物线化为顶点式： ， 顶点纵坐标， 展开． 因为时，， ，当且仅当时等号成立， ，对于， 有， 当且仅当，即时等号成立． 此时顶点纵坐标最大， 抛物线为， 其对称轴为． 当时，随的增大而增大． 已知抛物线经过，且， 因为关于对称轴的对称点为， 所以或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题有8小题，第17、18小题每小题6分，第19、20每小题8分，第21、22每小题10分，第23、24每小题12分，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 已知二次函数的图象经过点和点． （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数图象与轴，轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）和； 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）根据解析式求二次函数图象与轴，轴的交点坐标． 本题考查了待定系数法，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点和点． ∴， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：由， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为； 当时，， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和． 18. 2024山下湖・世界珍珠大会在浙江省诸暨市开幕，澳白、南阳金珠、大溪地黑珍珠、Akoya是目前最热销的珍珠种类，现有四张正面印有这四种珍珠的不透明卡片，依次记为，，，，这四张卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这四张卡片背面向上洗匀，小张从中随机抽取进行珍珠品类调研． （1）若随机抽取一张，求抽到卡片的概率； （2）若小张随机抽取一张，不放回，再抽取一张，用画树状图或列表的方法求卡片和同时被抽中的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用简单地概率公式计算即可； （2）用画树状图的方法解答即可． 本题考查了简单地概率公式，画树状图法其余概率，熟练掌握公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：共有4种等可能的结果，A有1种， 故抽到卡片的概率为． 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中A”和B的有2种， ∴恰好选中和同时被抽中的概率． 19. 如图所示，的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图． （1）图①中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的； （2）图②中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形的面积性质，熟练掌握作图是解题的关键． （1）图①中，利用同高的两个三角形的面积之比等于对应底的比，取画图即可； （2）利用平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，使得即可． 本题考查了基本作图，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理 【小问1详解】 解：如图，使得，连接. 则面积为面积的； 则点D即为所求． 【小问2详解】 解：如图，构造平行四边形，且， 使得， 设与交于点E． ∵， ∴， 则面积为面积的； 则点E即为所求． 20. 如图，中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． （1）求的值； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例是解题关键． （1）根据和的长度，再结合平行线分线段成比例即可解决问题； （2）根据题意得出，进而得出，再结合的长即可解决问题． 【小问1详解】 解：因为， 所以． 又因为， 所以， 故答案为：； 【小问2详解】 解：因为， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以． 21. 每年12月下旬至次年3月上旬为诸暨水果“红美人”的采摘时间，如图①是红美人采摘园大棚，其横截面可看作由矩形和抛物线构成（如图②），点为抛物线顶点．以所在直线和垂直平分线所在直线建立坐标系，为一个单位长度．已知，，． （1）求抛物线解析式（不需要写出的取值范围）； （2）现需在上方至顶端部分加装两根关于轴对称立柱和，若两立柱间的距离为，求立柱的长度． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，，得到抛物线的对称轴为，设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程即可求抛物线的解析式． （2）根据题意，两立柱间的距离为，则，，把代入解析式，再计算的值，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点式坐标求解析式，矩形的性质，根据自变量的值求函数的值，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵矩形，上部近似为一条抛物线．，，． ∴，，，， 故抛物线的对称轴为， 则， 设抛物线解析式为， 把代入解析式， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：根据题意，两立柱间的距离为， 则，， 把代入解析式， 得， 故． 故立柱的长度为米． 22. 如图，是的直径，是上一点，连接和，是的中点，连接和，分别交于点和． （1）证明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得到，根据垂径定理得到，即可得到结论； （2），根据勾股定理求出，继而得到，可得到，得出，，计算即可得到答案． 【小问1详解】 证明：是的直径， ， 是的中点， 垂直平分， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 23. 已知二次函数（，，是常数，且）． （1）若，函数图象过点． ①用含的代数式表达； ②求证：不论为何值，该函数图象与轴一定有两个交点． （2）若，点和在抛物线上，对称轴为直线，，求的取值范围． 【答案】（1）①；②见详解； （2） 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． (1) ①将代入，得，即可得； ②令，可得，即一元二次方程有两个不相等的实数根，进而可得结论． (2)由题意可得，求出h的取值范围即可． 【小问1详解】 解∶①， ， 将代入， 得， ； ②证明∶令， ， ， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 不论b为何值，该函数图象与轴一定有两个交点； 【小问2详解】 解∶，点和在抛物线上， 对称轴为直线，， ， 解得， 的取值范围为． 24. 如图，四边形内接于，满足，连接，，长，于点． （1）若，求的度数； （2）求证：； （3）若，，，求的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）首先由得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； （2）首先根据圆内接四边形的性质结合平角得到，然后由即可证明； （3）如图所示，过点C作于点H，首先得到，得到，，同理可证，，得到，然后求出，勾股定理求出，，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 ∵， ∴ ∴； 【小问2详解】 ∵四边形内接于， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴； 【小问3详解】 如图所示，过点C作于点H ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 同理可证， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 由（2）得， ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $