第9章 图形的变换（思维导图+知识梳理+易错点拨+15大考点讲练+优选压轴题专练 共45题）-2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期中复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】

2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期中复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】 第9章 图形的变换 （思维导图+知识梳理+易错点拨+15大考点讲练+优选压轴题专练 共45题） 目 录 讲义编写说明 2 全章节知识梳理精讲 2 知识点梳理01：平移 2 知识点梳理02：轴对称图形和轴对称 3 知识点梳理03：线段的垂直平分线 3 知识点梳理04：旋转的性质与作图 3 知识点梳理05：中心对称图形 3 易错考点梳理点拨 4 易错知识点梳理01：平移变换 4 易错知识点梳理02：旋转变换 4 易错知识点梳理03：轴对称变换 4 易错知识点梳理04：中心对称变换 5 易错知识点梳理05：综合应用 5 期中真题汇编考点讲连期中考向一：平移 5 重点考点讲练01：生活中的平移现象 5 重点考点讲练02：图形的平移 6 重点考点讲练03：利用平移的性质求解 7 重点考点讲练04：利用平移解决实际问题 8 重点考点讲练05：平移（作图) 8 重点考点讲练06：平移综合题(几何变换) 10 期中考向二：轴对称 11 重点考点讲练07：轴对称图形的识别 11 重点考点讲练08：根据成轴对称图形的特征进行判断 11 重点考点讲练09：折叠问题 12 期中考向三：旋转 13 重点考点讲练10：判断生活中的旋转现象 13 重点考点讲练11：判断由一个图形旋转而成的图案 14 重点考点讲练12：找旋转中心、旋转角、对应点 15 重点考点讲练13：根据旋转的性质求解 16 重点考点讲练14：画旋转图形 18 重点考点讲练15：角度问题(旋转綜合题) 19 优选压轴真题专练 20 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，易错知识点梳理，易错考点真题汇编，精选易错题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：平移 (一)平移的概念：把图形上所有点都按同一方向移动相同的距离叫作平移. △ABC向右平移相同距离得到△A’B’C’，其中A与A’是对应点，线段AB与线段A’B’是对应线段，∠A与∠A’是对应角. (二)平移的特征： 1.平移后的图形与原来的图形的对应线段平行且相等，对应角相等，图形的形状、大小都没有发生改变，并且平移不改变直线的方向. 2.平移把直线变成与它平行的直线. 3.两条平行线中的一条可以通过平移与另一条重合 (三)平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为： 1.图形原来的位置；2、平移的方向；3、平移的距离 知识点梳理02：轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 知识点梳理03：线段的垂直平分线 1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 知识点梳理04：旋转的性质与作图 旋转的性质：一个图形和它所经过旋转所得的图形中： （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角； （3）对应线段相等，对应角相等. 知识点梳理05：中心对称图形 1.中心对称图形的定义：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形.这个点叫做它的对称中心. 2.中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②中心对称的两个图形是全等图形. 易错知识点梳理01：平移变换 易错点： 平移方向和距离的判断：学生可能会混淆平移的方向（向左/右、向上/下）和具体的平移距离。 图形内部点的平移：在平移整个图形时，学生可能会忘记图形内部所有点都应按照相同的方向和距离进行平移。 解题技巧： 使用箭头或坐标变化来明确平移的方向和距离。 在平移过程中，可以选取图形中的几个关键点进行平移，然后连接这些点以形成平移后的图形。 易错知识点梳理02：旋转变换 易错点： 旋转中心、旋转角度和旋转方向的混淆：学生可能会忘记旋转中心的位置，或者混淆旋转角度（顺时针/逆时针）和旋转方向。 图形旋转后的形状判断：在旋转复杂图形时，学生可能会难以判断旋转后的图形形状。 解题技巧： 明确旋转中心、旋转角度和旋转方向。 可以使用圆规和直尺等工具来辅助进行旋转操作。 对于复杂图形，可以先将其分解为简单的部分，然后分别进行旋转，最后再组合起来。 易错知识点梳理03：轴对称变换 易错点： 对称轴的确定：学生可能会难以确定图形的对称轴。 轴对称图形的绘制：在绘制轴对称图形时，学生可能会忘记保持图形的对称性和完整性。 解题技巧： 观察图形的特点，找出可能的对称轴。 使用对折或镜像等方法来验证对称轴的正确性。 在绘制轴对称图形时，要确保图形的每一部分都关于对称轴对称。 易错知识点梳理04：中心对称变换 易错点： 中心对称点的确定：学生可能会难以确定图形的中心对称点。 中心对称图形的绘制：在绘制中心对称图形时，学生可能会忘记保持图形的中心对称性和完整性。 解题技巧： 观察图形的特点，找出可能的中心对称点。 使用距离相等和方向相反的原则来确定中心对称点。 在绘制中心对称图形时，要确保图形的每一部分都关于中心对称点对称。 易错知识点梳理05：综合应用 易错点： 多种变换的组合应用：在解决涉及多种变换（如先平移后旋转）的问题时，学生可能会混淆变换的顺序或忘记应用某些变换。 图形变换后的性质判断：在变换后，学生可能会难以判断图形的某些性质（如面积、周长、角度等）是否发生变化。 解题技巧： 仔细审题，明确题目要求的变换类型和顺序。 使用标记或辅助线来帮助进行变换操作。 在变换后，仔细检查图形的性质是否发生变化，并验证答案的正确性。 期中考向一：平移 重点考点讲练01：生活中的平移现象 【母题精讲】（22-23八年级下·贵州铜仁·期中）在一矩形花园里有两条绿化带．如图所示的阴影部分，、、，、、、，且，这两块绿化带的面积分别为和，则与的大小关系是 ．    【训练】（21-22七年级下·河北承德·期中）如图所示第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第2个，第3个图案可以看作是第1个图案经过平移而得，那么第4个图案中有白色六边形地面砖________块，第个图案中有白色地面砖________ 块，则下列选项中正确的是（      ） A． B． C． D． 重点考点讲练02：图形的平移 【母题精讲】（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图，在每个小正方形的边长都是1的网格中，线段的端点以及点都是网格线的交点． (1)平移线段得到线段（点的对应点为点），请在方格中画出线段，并说明平移方式． (2)在（1）的条件下，直接写出：四边形的面积是______；当时，点到的距离是______（用含的式子表示）． 【训练】（21-22七年级下·广东东莞·期中）如图，将周长为17cm的△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，平移后得到一个四边形ABFD的周长为25cm，则平移的距离为 cm． 重点考点讲练03：利用平移的性质求解 【母题精讲】（19-20七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，把沿着直线的方向平移后得到，连接，，有以下结论①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【训练】（22-23七年级下·广西桂林·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，使点变换为点，点、分别是、的对应点． (1)请画出平移后的，若连结，，则这两条线段之间的关系是 ． (2)求的面积． 重点考点讲练04：利用平移解决实际问题 【母题精讲】（23-24七年级下·山西朔州·期中）综合与实践 在综合实践课上，白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． 数学思考：（1）求图1中草地的面积． 深入探究：（2）白老师让同学们开发想象并完成本组的设计，并让小组成员提出相关的问题 ①“善思小组”提出问题：设计方案如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积，请你解答此问题． ②“智慧小组”提出问题：设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．请你思考此问题，并直接写出结果．    【训练】（22-23七年级上·广东广州·开学考试）如图所示，在台阶面上（阴影部分）铺上地毯，至少需要 平方米的地毯．（各级台阶等高等宽）    重点考点讲练05：平移（作图) 【母题精讲】（21-22七年级下·江西南昌·期中）利用直尺画图 (1)利用图（1）中的网格，过 点画直线 的平行线和垂线． (2)把图（2）网格中的三条线段通过平移使三条线段、、首尾顺次相接组成一个三角形． 【训练】（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，的三个顶点都在网格的顶点上，按如下要求作图． (1)请在图甲中，将平移至．使点和对应，点和点对应，点和点对应．（要求：画出图形，标上字母） (2)请在图乙中找一个格点，连接，使．（要求：画出图形，标上字母） 重点考点讲练06：平移综合题(几何变换) 【母题精讲】（21-22七年级下·江苏徐州·期中）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上． (1)将经过平移后得到，图中标出了点B的对应点，请补全； (2)连接，则这两条线段之间的关系是__________； (3)画出的中线AE． 【训练】（21-22七年级下·江苏无锡·期中）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．仅用无刻度的直尺完成下列作图． (1)画出△ABC向右平移4个单位后的图形△A1B1C1（注意标上字母）； (2)画出△ABC的中线CD（注意标上字母）； (3)画出满足△QBC与△ABC面积相等的一个格点Q(与点A不重合）． 期中考向二：轴对称 重点考点讲练07：轴对称图形的识别 【母题精讲】下列图形中，不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【训练】（23-24七年级下·重庆·期中）下列四幅图形均为完全相同的小正方形构成，其中轴对称图形是（    ） A． B． C． D． 重点考点讲练08：根据成轴对称图形的特征进行判断 【母题精讲】如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为     A． B． C． D． 【训练】（22-23七年级上·广西玉林·期末）将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点折叠后的对应点分别为，若，则的度数为（　　） A．48° B．46° C．44° D．42° 重点考点讲练09：折叠问题 【母题精讲】（23-24七年级上·河北石家庄·期中）（学习情境·动手操作）综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图，其中点在边上，、分别在边、上，分别以、为折痕进行折叠并压平，点、的对应点分别是点和点． 甲同学的操作如图，其中； 乙同学的操作如图，落在所在直线上； 丙同学的操作如图，落在上，落在上． 【阅读理解】 (1)求出图中的度数； (2)图3中______； (3)求出图中的度数； (4)若折叠后，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【训练】（23-24七年级下·全国·期中）学习了平行线以后，小明想出了用纸折平行线的方法，他将一张如图①所示的长方行纸片，按如图②所示的方法折叠． (1)在图②的折叠过程中，若，则∠2的度数是 ． (2)如图③，在长方形中，为图②折叠过程中产生的折痕．与平行吗？请说明理由． (3)若按图②折叠后，继续按图④折叠，得到新的折痕，此时展开长方形纸片（如图⑤），新的折痕有何位置关系？请说明理由． 期中考向三：旋转 重点考点讲练10：判断生活中的旋转现象 【母题精讲】（23-24七年级上·江苏苏州·期末）下列物体的运动中，属于平移的是（    ） A．电梯上下移动 B．翻开数学课本 C．电扇扇叶转动 D．落叶随风飘零 【训练】（22-23八年级下·四川达州·期末）历时7年研发建设完成，拥有自主知识产权的“云巴”（如图）在重庆璧山正式运行，云巴在轨道上运行可以看作是（　　）    A．对称 B．旋转 C．平移 D．跳跃 重点考点讲练11：判断由一个图形旋转而成的图案 【母题精讲】（2023九年级上·全国·专题练习）下列右边的四个图形中，不能由图形在同一平面内经过旋转得到的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【训练】（21-22七年级下·福建厦门·期中）北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．在下面右侧的四个图中，能由图经过旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 重点考点讲练12：找旋转中心、旋转角、对应点 【母题精讲】如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C恰好为的中 点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数． (2)求出的度数和的长． 【训练】（20-21九年级上·北京·阶段练习）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（　　） A． 点A B．点B C．点C D．点D 重点考点讲练13：根据旋转的性质求解 【母题精讲】（23-24七年级下·重庆渝北·期中）已知，，点为直线，之间一点，点在上，点在上，连接，，过上一点作交于点．过上一点作，点也在，之间，连接，，且，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，试判断与的数量关系，并说明理由： (3)如图2，若，，将线段绕点逆时针旋转，每秒旋转，同时将射线绕点顺时针旋转，每秒旋转，设旋转时间为（）秒，当与平行时，直接写出的值． 【训练】（23-24七年级下·山东济宁·期中）如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中． (1)将如图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至如图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将如图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至如图3，使在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)将如图1中的三角尺绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第______秒时，边恰好与射线平行；在第______秒时，直线恰好平分锐角．（直接写出结果）． 重点考点讲练14：画旋转图形 【母题精讲】如图，将方格纸中的图形绕点逆时针旋转后得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【训练】（22-23七年级上·上海静安·期中）如图，正方形中，点是线段延长线一点，联结，，． (1)将线段沿着射线方向运动，使得点与点重合，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积为________； (2)将三角形绕着点旋转，使得与重合，点落在点上，联结，用代数式表示三角形的面积________； (3)将三角形绕平面内某一点顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全复合，请在备用图中画出符合条件的4种情况（第（2）小题的情况除外）并写出旋转中心、旋转角． 重点考点讲练15：角度问题(旋转綜合题) 【母题精讲】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）将，按如图所示摆放，边重合，其中，，，保持不动，将绕点A顺时针旋转，在旋转过程中，当 时，的边与的某一边平行． 【训练】（21-22七年级下·福建龙岩·期中）如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方．将直角三角板绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，与之间有何数量关系？并说明理由； (2)在旋转的过程中，若射线的位置保持不变，且． ①当边与射线相交时（如图3），则的值为_______； ②当边所在的直线与平行时，求t的值． 1．如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点G，，，的面积为4，下列结论：①；②平移的距离是4；③；④四边形的面积为16，正确的有（    ）． A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 2．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）如图1是的一张纸条，按图图图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图2中，则图3中的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）如图，已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G 分别是边和上的动点，现将点 A，B 沿向下折叠至点N，M 处，将点 C，D沿向上折叠至点P，K 处，若，则的度数为 （　　） A． 或 B．或 C．或 D．7或 4．（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图，三角形纸片中，点D、E、F分别在边，，上，连接，，将、分别沿、对折，使点B、C落在点、处，若恰好平分，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（20-21七年级下·湖北武汉·期中）如图1，将长方形纸带沿折叠后，点C，D分别落在点H，G的位置，再沿折叠成图2．若，则 ． 6．（22-23七年级下·江苏南通·期中）如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将沿着折叠，点B刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点C刚好落在上的点处，已知，则的度数为 ． 7．（23-24七年级下·广东茂名·期中）如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点分别落在的位置，再沿折叠成图，若，则 °． 8．（20-21七年级下·四川成都·期中）如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为 ． 9．（21-22七年级下·浙江温州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形的顶点均在格点上，将三角形向右平移4格，再向上平移2格，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为，，）．    (1)请画出平移后的三角形，并标明对应字母； (2)若将三角形经过一次平移得到图（1）中的三角形，则线段在平移过程中扫过区域的面积为______ ． 10．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）如图1，，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，．    (1)请说明的理由． (2)将线段沿着直线平移得到线段，连接． ①如图2，如果，那么 ； ②如果，那么 ； ③在整个运动中，当时，求的度数． 11．（23-24七年级下·北京西城·期中）如图，直线，直线与、分别交于点G、，．小新将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线、上，，； (1)填空： °； (2)若，的角平分线交直线于点O． ①如图②，当时，求α的度数； ②小新将三角板向右平移，直接写出的度数（用含a的式子表示）． 12．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）如图，有一长方形纸带，分别是边上一点，，将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2． (1)当时，则______，______； (2)两次折叠后，求的大小（用含的代数式表示）； (3)当和的度数之和为时，求的值． 13．（22-23七年级下·重庆北碚·期中）如图，为直线上一点，将一副直角三角尺（分别含、、和、、的角）按图中方式放在点处，使．将三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转后停止设运动时间为秒． (1)当时，__________； (2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转． ①在线段与第一次相遇前，为何值时，平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 14．（19-20七年级下·浙江·期中）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角、如图①所示，若，则是的内半角. (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则______； (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由. 15．（22-23七年级上·重庆渝中·期末）已知，，直线交于点E，交于点F，点M在线段上，过M作射线分别交射线、于点N、Q． (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，若和的角平分线交于点G，求和的数量关系． (3)如图3，当，且时，作的角平分线．把一三角板的直角顶点O置于点M处，两直角边分别与和重合，将其绕点O点顺时针旋转，速度为每秒，当落在上时，三角板改为以相同速度逆时针旋转．三角板开始运动的同时绕点N以每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的为，当和重合时，整个运动停止．设运动时间为t秒，当的一边和三角板的一直角边互相平行时，请直接写出t的值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期中复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】 第9章 图形的变换 （思维导图+知识梳理+易错点拨+15大考点讲练+优选压轴题专练 共45题） 目 录 讲义编写说明 2 全章节知识梳理精讲 2 知识点梳理01：平移 2 知识点梳理02：轴对称图形和轴对称 3 知识点梳理03：线段的垂直平分线 3 知识点梳理04：旋转的性质与作图 3 知识点梳理05：中心对称图形 3 易错考点梳理点拨 4 易错知识点梳理01：平移变换 4 易错知识点梳理02：旋转变换 4 易错知识点梳理03：轴对称变换 4 易错知识点梳理04：中心对称变换 5 易错知识点梳理05：综合应用 5 期中真题汇编考点讲连期中考向一：平移 5 重点考点讲练01：生活中的平移现象 5 重点考点讲练02：图形的平移 7 重点考点讲练03：利用平移的性质求解 9 重点考点讲练04：利用平移解决实际问题 10 重点考点讲练05：平移（作图) 12 重点考点讲练06：平移综合题(几何变换) 14 期中考向二：轴对称 17 重点考点讲练07：轴对称图形的识别 17 重点考点讲练08：根据成轴对称图形的特征进行判断 18 重点考点讲练09：折叠问题 20 期中考向三：旋转 24 重点考点讲练10：判断生活中的旋转现象 24 重点考点讲练11：判断由一个图形旋转而成的图案 25 重点考点讲练12：找旋转中心、旋转角、对应点 26 重点考点讲练13：根据旋转的性质求解 28 重点考点讲练14：画旋转图形 33 重点考点讲练15：角度问题(旋转綜合题) 36 优选压轴真题专练 40 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，易错知识点梳理，易错考点真题汇编，精选易错题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：平移 (一)平移的概念：把图形上所有点都按同一方向移动相同的距离叫作平移. △ABC向右平移相同距离得到△A’B’C’，其中A与A’是对应点，线段AB与线段A’B’是对应线段，∠A与∠A’是对应角. (二)平移的特征： 1.平移后的图形与原来的图形的对应线段平行且相等，对应角相等，图形的形状、大小都没有发生改变，并且平移不改变直线的方向. 2.平移把直线变成与它平行的直线. 3.两条平行线中的一条可以通过平移与另一条重合 (三)平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为： 1.图形原来的位置；2、平移的方向；3、平移的距离 知识点梳理02：轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 知识点梳理03：线段的垂直平分线 1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 知识点梳理04：旋转的性质与作图 旋转的性质：一个图形和它所经过旋转所得的图形中： （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角； （3）对应线段相等，对应角相等. 知识点梳理05：中心对称图形 1.中心对称图形的定义：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形.这个点叫做它的对称中心. 2.中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②中心对称的两个图形是全等图形. 易错知识点梳理01：平移变换 易错点： 平移方向和距离的判断：学生可能会混淆平移的方向（向左/右、向上/下）和具体的平移距离。 图形内部点的平移：在平移整个图形时，学生可能会忘记图形内部所有点都应按照相同的方向和距离进行平移。 解题技巧： 使用箭头或坐标变化来明确平移的方向和距离。 在平移过程中，可以选取图形中的几个关键点进行平移，然后连接这些点以形成平移后的图形。 易错知识点梳理02：旋转变换 易错点： 旋转中心、旋转角度和旋转方向的混淆：学生可能会忘记旋转中心的位置，或者混淆旋转角度（顺时针/逆时针）和旋转方向。 图形旋转后的形状判断：在旋转复杂图形时，学生可能会难以判断旋转后的图形形状。 解题技巧： 明确旋转中心、旋转角度和旋转方向。 可以使用圆规和直尺等工具来辅助进行旋转操作。 对于复杂图形，可以先将其分解为简单的部分，然后分别进行旋转，最后再组合起来。 易错知识点梳理03：轴对称变换 易错点： 对称轴的确定：学生可能会难以确定图形的对称轴。 轴对称图形的绘制：在绘制轴对称图形时，学生可能会忘记保持图形的对称性和完整性。 解题技巧： 观察图形的特点，找出可能的对称轴。 使用对折或镜像等方法来验证对称轴的正确性。 在绘制轴对称图形时，要确保图形的每一部分都关于对称轴对称。 易错知识点梳理04：中心对称变换 易错点： 中心对称点的确定：学生可能会难以确定图形的中心对称点。 中心对称图形的绘制：在绘制中心对称图形时，学生可能会忘记保持图形的中心对称性和完整性。 解题技巧： 观察图形的特点，找出可能的中心对称点。 使用距离相等和方向相反的原则来确定中心对称点。 在绘制中心对称图形时，要确保图形的每一部分都关于中心对称点对称。 易错知识点梳理05：综合应用 易错点： 多种变换的组合应用：在解决涉及多种变换（如先平移后旋转）的问题时，学生可能会混淆变换的顺序或忘记应用某些变换。 图形变换后的性质判断：在变换后，学生可能会难以判断图形的某些性质（如面积、周长、角度等）是否发生变化。 解题技巧： 仔细审题，明确题目要求的变换类型和顺序。 使用标记或辅助线来帮助进行变换操作。 在变换后，仔细检查图形的性质是否发生变化，并验证答案的正确性。 期中考向一：平移 重点考点讲练01：生活中的平移现象 【母题精讲】（22-23八年级下·贵州铜仁·期中）在一矩形花园里有两条绿化带．如图所示的阴影部分，、、，、、、，且，这两块绿化带的面积分别为和，则与的大小关系是 ．    【答案】 【思路点拨】设矩形花园的宽，根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为，宽为的长方形的面积． 【规范解答】解：设矩形花园的宽， 根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为，宽为的长方形的面积， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了生活中的平移，根据平移确定绿化带的长和宽是解题的关键． 【训练】（21-22七年级下·河北承德·期中）如图所示第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第2个，第3个图案可以看作是第1个图案经过平移而得，那么第4个图案中有白色六边形地面砖________块，第个图案中有白色地面砖________ 块，则下列选项中正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】由图可知，每一个图案比前一个图案多4个白色的六边形，1个黑色的六边形，根据规律解题即可． 【规范解答】解：由图可知，每一个图案比前一个图案多4个白色的六边形， ∴第n个图案白色六边形的个数为：， ∴第4个图案白色六边形的个数为：， 故选C． 【考点评析】本题考查图形的规律类问题，通过图形找到相应的数字规律是解题的关键． 重点考点讲练02：图形的平移 【母题精讲】（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图，在每个小正方形的边长都是1的网格中，线段的端点以及点都是网格线的交点． (1)平移线段得到线段（点的对应点为点），请在方格中画出线段，并说明平移方式． (2)在（1）的条件下，直接写出：四边形的面积是______；当时，点到的距离是______（用含的式子表示）． 【答案】(1)作图见解析，平移方式为向右平移个单位长度 (2)； 【思路点拨】本题考查网格中作图、平移性质等知识，熟练掌握网格中作图及平移性质是解决问题的关键． （1）根据平移性质，将线段平移得到线段，由网格中点的对应点为点得到平移方式是向右平移个单位长度即可得到答案； （2）由（1）中所作图形，根据网格中平行四边形面积求法即可得到四边形的面积；再由平移性质及四边形的面积相等列方程求解即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图所示： 线段即为所求，平移方式为向右平移个单位长度； （2）解：如图所示： 设平行四边形边上的高为，如图所示，， ； 设平行四边形边上的高为，当时，则， 根据等面积法，解得； 故答案为：；． 【训练】（21-22七年级下·广东东莞·期中）如图，将周长为17cm的△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，平移后得到一个四边形ABFD的周长为25cm，则平移的距离为 cm． 【答案】4 【思路点拨】根据四边形ABED是平行四边形得出，再根据，即可通过四边形ABFD的周长得到关于AD的方程，解方程即可得到答案． 【规范解答】设四边形ABFD的周长为 得 ∵根据平移的性质得AB=DE，且AB//DE ∴四边形ABED是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：4． 【考点评析】本题考查图形平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的相关知识． 重点考点讲练03：利用平移的性质求解 【母题精讲】如图，在中，，，，把沿着直线的方向平移后得到，连接，，有以下结论①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路点拨】本题考查了平移的性质：新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，根据平移的性质，结合图形，对每个结论进行一一分析，选出正确答案． 【规范解答】解：沿着直线的方向平移后得到， ，故①正确； ，故②正确； 故③正确； ， 又， ， ，故④正确； 故选：D． 【训练】（22-23七年级下·广西桂林·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，使点变换为点，点、分别是、的对应点． (1)请画出平移后的，若连结，，则这两条线段之间的关系是 ． (2)求的面积． 【答案】(1)画图见解析，，， (2)． 【思路点拨】（）根据平移作图方法，平移的性质即可求解； （）利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可； 本题考查了图形的平移变换，三角形的面积，平移的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图，向左平移个单位，向下平移个单位， ∴即为所求， 根据平移的性质可知：，， 故答案为：，； （2）解：． 重点考点讲练04：利用平移解决实际问题 【母题精讲】（23-24七年级下·山西朔州·期中）综合与实践 在综合实践课上，白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． 数学思考：（1）求图1中草地的面积． 深入探究：（2）白老师让同学们开发想象并完成本组的设计，并让小组成员提出相关的问题 ①“善思小组”提出问题：设计方案如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积，请你解答此问题． ②“智慧小组”提出问题：设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．请你思考此问题，并直接写出结果．    【答案】（1）；（2）①；② 【思路点拨】本题结合图形的平移考查有关面积的问题，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变，熟练掌握平移的性质和长方形的面积公式是解题的关键． （1）结合图形，利用面积公式求解即可； （2）结合图形，利用平移的性质求解； （3）结合图形，利用平移的性质求解． 【规范解答】（1）根据题意草地的面积为：(平方米)； 故答案为：； （2）小路往、边平移，直到小路与草地的边重合， 则草地的面积为：(平方米)； （3）将小路往、、边平移，直到小路与草地的边重合， 则所走的路线(图中虚线)长为：(米)． 故答案为：． 【训练】（22-23七年级上·广东广州·开学考试）如图所示，在台阶面上（阴影部分）铺上地毯，至少需要 平方米的地毯．（各级台阶等高等宽）    【答案】 【思路点拨】本题考查求长方形的面积，根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成矩形，求解即可． 【规范解答】解：把台面上的地毯展开， 长米，宽米， ∴面积平方米， 故答案为：． 重点考点讲练05：平移（作图) 【母题精讲】（21-22七年级下·江西南昌·期中）利用直尺画图 (1)利用图（1）中的网格，过 点画直线 的平行线和垂线． (2)把图（2）网格中的三条线段通过平移使三条线段、、首尾顺次相接组成一个三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了平行线的作法，垂线的作法，以及线段的平移，掌握网格结构的特点并熟练应用是解题的关键． （1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与平行的格点以及垂直的格点作出图形即可； （2）根据网格结构的特点，过点E找出与位置相同的线段，过点找出与位置相同的线段，作出图形即可． 【规范解答】（1）解：作图如下： ，即为所求； （2）解：如图所示： 或都是所求作的三角形． 【训练】（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，的三个顶点都在网格的顶点上，按如下要求作图． (1)请在图甲中，将平移至．使点和对应，点和点对应，点和点对应．（要求：画出图形，标上字母） (2)请在图乙中找一个格点，连接，使．（要求：画出图形，标上字母） 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【思路点拨】本题考查的是画平移图形，画平行线，熟练的画图是解本题的关键； （1）分别确定平移后的对应点，再顺次连接即可； （2）把向左边平移2格得到格点，连接，则，再确定格点即可； 【规范解答】（1）解：如图，是所求作的三角形；   ； （2）解：如图，点即为所求； ； 重点考点讲练06：平移综合题(几何变换) 【母题精讲】（21-22七年级下·江苏徐州·期中）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上． (1)将经过平移后得到，图中标出了点B的对应点，请补全； (2)连接，则这两条线段之间的关系是__________； (3)画出的中线AE． 【答案】(1)见解析； (2)平行且相等； (3)见解析． 【思路点拨】（1）将点A、C分别向左平移2个单位、向上平移4个单位得出其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据平移变换的性质可得答案； （3）根据三角形中线的概念求解即可． 【规范解答】（1）如图所示，△A′B′C′即为所求． （2）根据平移变换的性质知，这两条线段之间的关系是平行且相等， 故答案为：平行且相等； （3）如图所示，BE即为所求； 【考点评析】本题主要考查作图−平移变换，解题的关键是掌握平移变换的概念和性质． 【训练】（21-22七年级下·江苏无锡·期中）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．仅用无刻度的直尺完成下列作图． (1)画出△ABC向右平移4个单位后的图形△A1B1C1（注意标上字母）； (2)画出△ABC的中线CD（注意标上字母）； (3)画出满足△QBC与△ABC面积相等的一个格点Q(与点A不重合）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【思路点拨】（1）根据平移的定义先分别作出点A、B、C向右平移4个单位后得到的点A1、B1、C1，再顺次连接即可得到所求图形； （2）根据中线的概念先作出AB边上的中点D，再连接CD即可得到所求； （3）利用网格，根据平行线间距离相等，作AB的平行线，找到格点Q，顺次连接B、C、Q即可得到所求图形． 【规范解答】（1）如图所示：△A1B1C1是所求图形， （2）如图所示：CD即为所求， （3）如图所示：△QBC即为所求， 【考点评析】本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． 期中考向二：轴对称 重点考点讲练07：轴对称图形的识别 【母题精讲】下列图形中，不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题考查了轴对称图形，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【规范解答】解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 故选：B． 【训练】（23-24七年级下·重庆·期中）下列四幅图形均为完全相同的小正方形构成，其中轴对称图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【规范解答】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 重点考点讲练08：根据成轴对称图形的特征进行判断 【母题精讲】如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为     A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查轴对称，线段和差的计算，掌握轴对称的性质，线段和差的计算方法是解题的关键． 利用轴对称图形的性质得出，，进而利用，得出的长，即可得出的长． 【规范解答】解：点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上， ，， ，，， ，， ∴， 则线段的长为：． 故选：． 【训练】（22-23七年级上·广西玉林·期末）将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点折叠后的对应点分别为，若，则的度数为（　　） A．48° B．46° C．44° D．42° 【答案】B 【思路点拨】设，，根据折叠可得，，进而可求解． 【规范解答】解：设，， 根据折叠可知： ，， ∵， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 【考点评析】本题考查了轴对称的性质，角的和差运算，解决本题的关键是熟练运用轴对称的性质． 重点考点讲练09：折叠问题 【母题精讲】（23-24七年级上·河北石家庄·期中）（学习情境·动手操作）综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图，其中点在边上，、分别在边、上，分别以、为折痕进行折叠并压平，点、的对应点分别是点和点． 甲同学的操作如图，其中； 乙同学的操作如图，落在所在直线上； 丙同学的操作如图，落在上，落在上． 【阅读理解】 (1)求出图中的度数； (2)图3中______； (3)求出图中的度数； (4)若折叠后，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) (4)的度数为或 【思路点拨】本题考查了折叠的性质，角度的和差，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠的性质可得，即可求解． （2）根据折叠的性质得，，从而可得，即可求解． （3）根据折叠的性质可得，再由 ，即可求解． （4）分两种情况：当三角形与三角形不重叠时，当三角形与三角形重叠时，先表示出的度数，再根据和进行求解即可． 【规范解答】（1）解：因为， 所以， 由折叠的性质得：， 所以， 所以； （2）解：由折叠的性质得：， 所以， 因为， 所以，即， 所以； （3）解：由折叠的性质得：， 所以， 因为， 所以，即； （4）解：的度数为或．分两种情况进行讨论： 当三角形与三角形不重叠时，如图1所示： 由折叠的性质得：， 所以， 因为，即，， 所以； 当三角形与三角形重叠时，如图2所示： 由折叠的性质得：，， 所以， 又因为， 所以，即， 所以． 综上所述：的度数为或． 【训练】（23-24七年级下·全国·期中）学习了平行线以后，小明想出了用纸折平行线的方法，他将一张如图①所示的长方行纸片，按如图②所示的方法折叠． (1)在图②的折叠过程中，若，则∠2的度数是 ． (2)如图③，在长方形中，为图②折叠过程中产生的折痕．与平行吗？请说明理由． (3)若按图②折叠后，继续按图④折叠，得到新的折痕，此时展开长方形纸片（如图⑤），新的折痕有何位置关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【思路点拨】本题考查折叠问题，平行线的判定和性质： （1）折叠和平角的定义，求出的度数，平行线的性质，求出的度数即可； （2）折叠和平行线的性质，推出，即可得出结论； （3）折叠和平行线的性质，推出，得到，同理得到，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵长方形纸片， ∴， ∴； 故答案为： （2）解：，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 期中考向三：旋转 重点考点讲练10：判断生活中的旋转现象 【母题精讲】（23-24七年级上·江苏苏州·期末）下列物体的运动中，属于平移的是（    ） A．电梯上下移动 B．翻开数学课本 C．电扇扇叶转动 D．落叶随风飘零 【答案】A 【思路点拨】本题考查了生活中的平移现象，根据平移的定义，旋转的定义对各选项分析判断即可得解. 【规范解答】解：A. 电梯上下移动是平移，故本选项符合题意； B. 翻开数学课本为旋转，故本选项不符合题意； C. 电扇扇叶转动为旋转，故本选项不符合题意； D. 落叶随风飘零为无规则运动，故本选项不符合题意； 故选A. 【训练】（22-23八年级下·四川达州·期末）历时7年研发建设完成，拥有自主知识产权的“云巴”（如图）在重庆璧山正式运行，云巴在轨道上运行可以看作是（　　）    A．对称 B．旋转 C．平移 D．跳跃 【答案】C 【思路点拨】根据平移与旋转定义判断即可． 【规范解答】解：“云巴”在轨道上的运行可以看作是平移． 故选：C． 【考点评析】本题考查对平移与旋转的理解及在实际当中的运用．平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动；旋转是物体运动时，每一个点离同一个点（可以在物体外）的距离不变的运动，称为绕这个点的转动，这个点称为物体的转动中心．所以，它并不一定是绕某个轴的．正确理解平移与旋转的定义是解题的关键． 重点考点讲练11：判断由一个图形旋转而成的图案 【母题精讲】（2023九年级上·全国·专题练习）下列右边的四个图形中，不能由图形在同一平面内经过旋转得到的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【思路点拨】本题考查了生活中的旋转现象，解题的关键是掌握把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换． 【规范解答】解：①由顺时针旋转得到，故①正确； ②由逆时针旋转得到，故②正确 ③由无法旋转得到，故③错误； ④由顺时针旋转得到，故④正确． 故选：C． 【训练】（21-22七年级下·福建厦门·期中）北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．在下面右侧的四个图中，能由图经过旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据旋转的意义“在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转”，求解即可． 【规范解答】解：根据旋转的定义可知，能由图经过旋转得到的是 故选：D 【考点评析】此题考查了旋转的定义，解题的关键是掌握旋转的定义． 重点考点讲练12：找旋转中心、旋转角、对应点 【母题精讲】（14-15九年级上·天津·期末）如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C恰好为的中 点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数． (2)求出的度数和的长． 【答案】(1)旋转中心是点A，旋转角度是 (2)， 【思路点拨】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键． （1）根据旋转的定义即可解答； （2）根据旋转的性质可得即可求出，再由，C是中点即可求解． 【规范解答】（1）解：∵逆时针旋转一定角度后与重合，A为顶点， 旋转中心是点A； 根据旋转的性质可以知道：， 旋转角度是150°； （2）解：∵逆时针旋转一定角度后与重合， ∴， ∴， 又∵C为中点， ． 【训练】．（20-21九年级上·北京·阶段练习）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【思路点拨】如图：连接，作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心；掌握旋转中心的确定方法是解题的关键． 【规范解答】解：如图， ∵绕某点旋转一定的角度，得到， ∴连接，作的垂直平分线，作的垂直平分线， ∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B． 故选：B． 重点考点讲练13：根据旋转的性质求解 【母题精讲】（23-24七年级下·重庆渝北·期中）已知，，点为直线，之间一点，点在上，点在上，连接，，过上一点作交于点．过上一点作，点也在，之间，连接，，且，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，试判断与的数量关系，并说明理由： (3)如图2，若，，将线段绕点逆时针旋转，每秒旋转，同时将射线绕点顺时针旋转，每秒旋转，设旋转时间为（）秒，当与平行时，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】（1）过点作，结合，得到，利用平行线的性质，角的和的定义，推理证明即可得证； （2）利用(1)中的结论，结合已知，邻补角的关系，推理证明即可． （3）根据题意，旋转时间为秒时，，，结合，，得到，，分类计算求解即可． 本题考查了平行线的判定和性质，邻补角的定义，分类计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【规范解答】（1）过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）与的数量关系为：．理由如下： 设， ∴，， ∴，． 利用(1)中的结论，得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． （3）根据题意，旋转时间为秒时，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 当时，， 故， 解得； 当P旋转到时，需要时间为，舍去， 故运动时，符合题意． 【训练】（23-24七年级下·山东济宁·期中）如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中． (1)将如图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至如图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将如图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至如图3，使在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)将如图1中的三角尺绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第______秒时，边恰好与射线平行；在第______秒时，直线恰好平分锐角．（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)9或；或 【思路点拨】（1）由题意知，，由在的内部，且恰好平分，可得，根据，计算求解即可； （2）由题意知，，计算求解即可； （3）由题意知，当边恰好与射线平行时有两种情况；如图1，当三角尺在下方且时，， 此时三角尺沿顺时针方向旋转，时间；如图2，当三角尺在上方且时，，同理求解即可；如图3，由直线恰好平分锐角，可得，则，，此时三角尺沿顺时针方向旋转，时间；如图4，直线恰好平分锐角，同理求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意知，， ∵在的内部，且恰好平分， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：，理由如下； 由题意知，， 得，； （3）解：由题意知，当边恰好与射线平行时有两种情况； 如图1，当三角尺在下方且时，， 此时三角尺沿顺时针方向旋转，时间（秒）； 如图2，当三角尺在上方且时，，    此时三角尺沿顺时针方向旋转，时间（秒）； 综上所述，第9或秒时，边恰好与射线平行； 如图3，        图3 ∵直线恰好平分锐角， ∴， ∴， ∴， 此时三角尺沿顺时针方向旋转，时间（秒）； 如图4， ∵直线恰好平分锐角， ∴， ∴， 此时三角尺沿顺时针方向旋转，时间（秒）； 综上所述，第或秒时，直线恰好平分锐角； 故答案为：9或；或． 【考点评析】本题考查了角平分线，三角板中角度的计算，旋转的性质，邻补角，平行线的性质等知识．根据题意分情况求解是解题的关键． 重点考点讲练14：画旋转图形 【母题精讲】如图，将方格纸中的图形绕点逆时针旋转后得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】利用已知将图形绕点逆时针旋转得出符合题意的图形即可．本题考查了生活中的旋转现象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【规范解答】解：如图所示：将方格纸中的图形绕点逆时针旋转后得到的图形是 故选：C． 【训练】（22-23七年级上·上海静安·期中）如图，正方形中，点是线段延长线一点，联结，，． (1)将线段沿着射线方向运动，使得点与点重合，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积为________； (2)将三角形绕着点旋转，使得与重合，点落在点上，联结，用代数式表示三角形的面积________； (3)将三角形绕平面内某一点顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全复合，请在备用图中画出符合条件的4种情况（第（2）小题的情况除外）并写出旋转中心、旋转角． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【思路点拨】（1）根据平移的性质和平行四边形的面积计算即可； （2）根据三角形的面积计算即可； （3）根据旋转的性质画出图形得出旋转中心和角度即可． 【规范解答】（1）解：线段扫过的平面部分的面积为， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴的面积， 故答案为：； （3）①如图，旋转中心：边的中点为O，顺时针， ； ②如图，旋转中心：点D；顺时针旋转， ； ③如图，旋转中心：正方形对角线交点G；顺时针旋转， ； ④如图，旋转中心：正方形对角线交点G；顺时针旋转， ． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，关键是根据旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角解答． 重点考点讲练15：角度问题(旋转綜合题) 【母题精讲】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）将，按如图所示摆放，边重合，其中，，，保持不动，将绕点A顺时针旋转，在旋转过程中，当 时，的边与的某一边平行． 【答案】或或 【思路点拨】本题考查了旋转问题，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据所给旋转方式，画出示意图，再结合平行线的性质，分 ，，三种情况讨论即可解答． 【规范解答】解：， 是等边三角形， ∠DAC=60°． ．， ． 当旋转后的边与平行时，如图所示， 令与的交点为M， 由旋转可知， ， ， ， ， ， 即． 当旋转后的边与平行时，如图所示， ， ， ， 即． 当旋转后的边与平行时，如图所示， ， ， ， 即． 综上所述，当或或时，的边与的某一边平行． 故答案为：或或． 【训练】（21-22七年级下·福建龙岩·期中）如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方．将直角三角板绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，与之间有何数量关系？并说明理由； (2)在旋转的过程中，若射线的位置保持不变，且． ①当边与射线相交时（如图3），则的值为_______； ②当边所在的直线与平行时，求t的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②或 【思路点拨】（1）由，可知，，由平分，可知，进而可证；    （2）由，，可知，，进而得，由此可求出结果； ②由以及，结合题意可分两种情况：当在直线上方时，或当在直线下方时，将两种情况分别进行讨论求解即可． 【规范解答】（1）， 理由如下： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； （2）①；                                     ∵，∴， ∵，， ∴， ∴的值为． ②∵，∴， （I）如图3-1，当在直线上方时， ∵， ∴， ∴， ∵直角三角板绕点O按每秒的速度旋转， ∴； （II）解法一：如图3-2，当在直线下方时， ∵， ∴， ∴，， ∴直角三角板绕点O旋转的角度为， ∵直角三角板绕点O按每秒的速度逆时针旋转， ∴，                                    解法二：如图3-3，在②（Ⅰ）的基础上，继续将直角三角板绕点O按每秒的速度逆时针旋转，得到直角三角板，此时，，             ∴直角三角板绕点O旋转的角度为，         ∵直角三角板绕点O按每秒的速度逆时针旋转， ∴，                                         综合（Ⅰ）（Ⅱ）得：或． 【考点评析】本题考查旋转问题，角平分线的性质，以及角的互相转换，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键． 1．如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点G，，，的面积为4，下列结论：①；②平移的距离是4；③；④四边形的面积为16，正确的有（    ）． A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是平移的性质，正确的掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质分别对各个小题进行判断：①利用平移前后对应线段是平行的即可得出结果；②平移距离指的是对应点之间的线段的长度；③根据平移前后对应线段相等即可得出结果；④利用梯形的面积公式即可得出结果． 【规范解答】解：①∵直角三角形沿斜边的方向平移到三角形的位置， ∴，， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②平移距离应该是的长度，由，可知， ∴平移的距离大于4，故②错误，不符合题意； ③由平移前后的对应点的连线平行且相等可知，，故③正确，符合题意； ④∵的面积是4，， ∴， ∵由平移知：， ∴， 四边形的面积：，故④正确，符合题意． 综上所述，正确的是①③④． 故选：C． 2．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）如图1是的一张纸条，按图图图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图2中，则图3中的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查折叠的性质、平行线的性质．由第一次折叠可知，，由平行线的性质可得，由第二次折叠可知，再根据即可得出答案． 【规范解答】解：由题意作图如下： 纸条沿折叠， ，， ， ， ， ， 纸条沿折叠， ， ， ， ， 故选B． 3．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）如图，已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G 分别是边和上的动点，现将点 A，B 沿向下折叠至点N，M 处，将点 C，D沿向上折叠至点P，K 处，若，则的度数为 （　　） A．或 B．或 C．或 D．7或 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质与判定，分两种情况讨论：当在上方时，延长、交于点，先求出，再证明，得到，最后利用对顶角相等，即可求出的度数；当在下方时，延长，交于点，根据平行线的判定和性质，证明，得到，进而得到，即可求出的度数． 【规范解答】解：当在上方时，延长、交于点， 由折叠可知，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当在下方时，延长，交于点， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； 综上所述：或， 故选：D． 4．（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图，三角形纸片中，点D、E、F分别在边，，上，连接，，将、分别沿、对折，使点B、C落在点、处，若恰好平分，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查折叠的性质，角平分线的定义，角的和差计算，一元一次方程的应用，由折叠的性质可得，，结合平分，可得，设，则，再根据，列关于的一元一次方程，解方程求出即可． 【规范解答】解：由折叠的性质可得，， 恰好平分， ， ， 设，则， ， ， 解得， ， 故选B． 5．（20-21七年级下·湖北武汉·期中）如图1，将长方形纸带沿折叠后，点C，D分别落在点H，G的位置，再沿折叠成图2．若，则 ． 【答案】72 【思路点拨】本题考查的是平行线的性质，由折叠的性质得到角相等是解题关键．先根据求出的度数，进可得出和的度数，根据和三角形的内角和可得的度数，再由折叠的性质可得． 【规范解答】解：， ，， 即，， ． ， ， 由折叠可得：， ． 故答案为：． 6．（22-23七年级下·江苏南通·期中）如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将沿着折叠，点B刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点C刚好落在上的点处，已知，则的度数为 ． 【答案】/45度 【思路点拨】此题主要考查了长方形的性质，图形的折叠变换及性质，角的计算，准确识图，理解长方形的性质，熟练掌握图形的折叠变换及性质，角的计算是解决问题的关键．据长方形的性质及，则，由折叠的性质得即可求解． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质可得：， ∴， ∴， ∵将沿着折叠，点C刚好落在上的点处， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（23-24七年级下·广东茂名·期中）如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点分别落在的位置，再沿折叠成图，若，则 °． 【答案】80 【思路点拨】本题考查的是平行线的性质和折叠的性质，由折叠的性质得到角相等是解题关键．先根据求出的度数，进可得出和的度数，根据和三角形的内角和可得的度数，再由折叠的性质可得的度数． 【规范解答】∵， ∴，， 即，， ∴． ∵， ∴． 由折叠可得：， ∴． 故答案为：． 8．（20-21七年级下·四川成都·期中）如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查轴对称最短问题，坐标有图形性质，正方形的性质等知识，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 【规范解答】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 9．（21-22七年级下·浙江温州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形的顶点均在格点上，将三角形向右平移4格，再向上平移2格，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为，，）．    (1)请画出平移后的三角形，并标明对应字母； (2)若将三角形经过一次平移得到图（1）中的三角形，则线段在平移过程中扫过区域的面积为______ ． 【答案】(1)见解析 (2)18 【思路点拨】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）四边形面积看成矩形的面积减去周围的四个三角形面积即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）线段在平移过程中扫过区域的面积为， 故答案为：    【考点评析】本题考查作图-平移变换，四边形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求四边形面积． 10．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）如图1，，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，．    (1)请说明的理由． (2)将线段沿着直线平移得到线段，连接． ①如图2，如果，那么 ； ②如果，那么 ； ③在整个运动中，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③或 【思路点拨】（1）根据平行线的性质得到，利用等量代换得到，即可证出； （2）①过点D作，则，根据平行线的性质即可得到答案； ②根据①中结论求解即可； ③分两种情况，运用类比的方法，当点P在线段上时，过点D作交于点F，根据平行线的性质即可得到答案；当点P在线段的延长线上时，过点D作交于点，根据平行线的性质即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）①解：过点D作，如图所示：    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：； ②由①可得，， ∵， ∴， 故答案为：． ③当点P在线段上时，过点D作交于点F，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点P在线段的延长线上时，过点D作交AB于点，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的度数为或． 【考点评析】本题主要考查了平移的性质，平行线的判定和性质，解题关键是熟练掌握相关知识并正确作出辅助线． 11．（23-24七年级下·北京西城·期中）如图，直线，直线与、分别交于点G、，．小新将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线、上，，； (1)填空： °； (2)若，的角平分线交直线于点O． ①如图②，当时，求α的度数； ②小新将三角板向右平移，直接写出的度数（用含a的式子表示）． 【答案】(1)90 (2)①；②或 【思路点拨】本题考查平移，平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义是正确解答的关键． （1）根据平行线的性质得出即可； （2）①根据平行线的性质得出，根据，得出，根据角平分线定义得出，根据平行线的性质得出，即可求出求的度数； ②分两种情况进行讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【规范解答】（1）解：如图①，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：①，， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ； ②， ， 是的角平分线， ， ， 当点在点左侧时， ， ， ， ， ； 当点在点右侧时， ， ， ， ， 综上可知，的度数为或． 12．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）如图，有一长方形纸带，分别是边上一点，，将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2． (1)当时，则______，______； (2)两次折叠后，求的大小（用含的代数式表示）； (3)当和的度数之和为时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【思路点拨】本题考查折叠中角度的计算，平行线的性质： （1）根据折叠的性质，平行线的性质，求出的度数，对顶角即可得出的度数，再根据平行线的性质，求出即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可； （3）分和两种情况，利用（2）中的结论进行求解即可． 【规范解答】（1）解：当时，如图， ∵将长方形纸带沿折叠， ∴， ∴， ∴； ∴当时， ； 故答案为：； （2）当时： 由（1）可知：，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； 当时，如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 综上：或； （3）当时，，解得； 当时，，解得； 故：或． 13．（22-23七年级下·重庆北碚·期中）如图，为直线上一点，将一副直角三角尺（分别含、、和、、的角）按图中方式放在点处，使．将三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转后停止设运动时间为秒． (1)当时，__________； (2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转． ①在线段与第一次相遇前，为何值时，平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①②存在，当或或或时，使 【思路点拨】本题考查了旋转的性质，角平分线，三角板中的角度计算等知识，解题的关键在于准确表示出旋转后的角． （1）记旋转后的位置为，先计算旋转前的的值，求解时的旋转的角度，然后根据计算求解即可； （2）①记，，旋转后的位置分别为，，，在线段与第一次相遇前，平分，则有，根据，列方程即可求解；②由题意知，，，当，分五种情况求解：情况一：当在左侧，在左侧；情况二：当在右侧，在左侧；情况三：当在右侧，在右侧；情况四：当在上时；情况五：当在下方时，分别表示出，，然后令，计算求解满足要求的值即可； 【规范解答】（1）解：如图1，记旋转后的位置为， 由题意知，， ， ， 当时，此时， ， 故答案为：； （2）解：①如图2，记，，旋转后的位置分别为，，， 线段与第一次相遇前，平分， ， ，即， 解得， 在线段与第一次相遇前，时，平分； ②解：存在，或或或，理由如下： 由题意知，，，当，分五种情况求解： 情况一：如图，当在左侧，在左侧时， ，； 令，即， 解得； 情况二：如图，当在右侧，在左侧时， ，； 令，即， 解得； 情况三：如图，当在右侧，在右侧时， ，； 令，即， 解得：（不合题意，舍去）； 情况四：当在上时， ， ， 令，即， 解得：； 情况五：当在下方时， ， ， 令，即， 解得：； 综上所述，存在，当或或或时，使． 14．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角、如图①所示，若，则是的内半角. (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则______； (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)能，当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成内半角. 【思路点拨】（1）根据内半角的定义，即可求解； （2）根据旋转的性质可得：，，再根据内半角的定义，即可求解； （3）分四种情况讨论，利用内半角的含义，建立一元一次方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵是的内半角，， ∴ ∵， ∴， （2）∵， ， ∴，， ∵是的内半角， ∴， ∴， ∴旋转的角度为21°时，是的内半角； （3）在旋转一周的过程中，射线，，，能构成内半角，理由如下； 理由：设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为t， 如图1，∵是的内半角，， ∴， ∴， 解得：，∴； 如图2，∵是的内半角，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3，∵是的内半角，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图4，∵是的内半角，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成内半角. 【考点评析】本题主要考查了角的和与差，图形旋转的性质，一元一次方程的应用，明确题意，理解新定义，并利用方程思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 15．（22-23七年级上·重庆渝中·期末）已知，，直线交于点E，交于点F，点M在线段上，过M作射线分别交射线、于点N、Q． (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，若和的角平分线交于点G，求和的数量关系． (3)如图3，当，且时，作的角平分线．把一三角板的直角顶点O置于点M处，两直角边分别与和重合，将其绕点O点顺时针旋转，速度为每秒，当落在上时，三角板改为以相同速度逆时针旋转．三角板开始运动的同时绕点N以每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的为，当和重合时，整个运动停止．设运动时间为t秒，当的一边和三角板的一直角边互相平行时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)，15，，，35 【思路点拨】（1）过点M作，利用平行线的性质可得，进而可求； （2）过点M作，过点G作，设，则，设，则，求出，进而可得； （3）分5种情况求解即可． 【规范解答】（1）如图过点M作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）如图过点M作，过点G作 设，则 ∵ ∴ 设，则 ∵ ∴ ∴ 则， ∴ ∴ （3）①到达前，时 ②返回，时 ③当时 ④当时 ⑤当时 综上可知，t的值为10，15，，，35 【考点评析】本题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，以及旋转的性质，分类讨论是解（3）本题的关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$