第8章 整式乘法（导图+知识梳理+易错点拨+20大考点讲练+优选压轴题专练 共50题）-2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期中复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】

2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期中复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】 第8章 整式乘法 （思维导图+知识梳理+易错点拨+10大考点讲练+优选压轴题专练 共50题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指引 3 全章节知识梳理精将 3 知识点梳理01：整式的乘法 3 知识点梳理02：乘法公式 4 知识点梳理03：因式分解 4 易错考点梳理点拨 4 易错知识点梳理01：单项式乘单项式 4 易错知识点梳理02：单项式乘多项式 5 易错知识点梳理03：多项式乘多项式 5 易错知识点梳理04：乘法公式的应用 5 易错知识点梳理05：符号和指数的处理 6 期中真题汇编考点讲练期中考向一：单项式乘单项式 6 重点考点讲练01：计算单项式乘单项式 6 重点考点讲练02：利用单项式乘法求字母或代数式的值 7 期中考向二：单项式乘多项式 8 重点考点讲练03：计算单项式乘多项式及求值 8 重点考点讲练04：单项式乘多项式的应用 10 重点考点讲练05：利用单项式乘多项式求字母的值 12 期中考向三：多项式乘多项式 13 重点考点讲练06：计算多项式乘多项式 13 重点考点讲练07：(x+p)(x+q）型多项式乘法 15 重点考点讲练08：多项式乘多项式——化简求值 17 重点考点讲练09：已知多项式乘积不含某项求字母的值 18 重点考点讲练10：多项式乘多项式与图形面积 21 重点考点讲练11：多项式乘法中的规律性问题 22 重点考点讲练12：整式乘法混合运算 24 期中考向四：乘法公式 26 重点考点讲练13：运用平方差公式进行运算 26 重点考点讲练14：平方差公式与几何图形 29 重点考点讲练15：运用完全平方公式进行运算 32 重点考点讲练16：通过对完全平方公式变形求值 35 重点考点讲练17：完全平方公式在几何图形中的应用 38 重点考点讲练18：求完全平方式中的字母系数 40 重点考点讲练19：完全平方式在几何图形中的应用 42 重点考点讲练20：整式的混合运算 45 优选压轴真题专练 47 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，易错知识点梳理，易错考点真题汇编，精选易错题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：整式的乘法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【易错点剖析】运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 知识点梳理02：乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点剖析】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【易错点剖析】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 知识点梳理03：因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 【易错点剖析】落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 易错知识点梳理01：单项式乘单项式 易错点： 数与系数的乘法：学生可能会忘记将单项式的系数相乘。 字母与字母的乘法：学生可能会混淆字母的指数运算，特别是当字母相同时。 符号处理：在处理负数或分数系数时，学生可能会出错。 解题技巧： 明确单项式的结构，即系数和字母部分。 分别计算系数和字母部分，然后将结果相乘。 易错知识点梳理02：单项式乘多项式 易错点： 分配律的应用：学生可能会忘记将单项式的每一项与多项式的每一项相乘。 符号处理：在处理负数或分数系数时，分配律的应用可能会出错。 解题技巧： 使用分配律，将单项式的每一项分别与多项式的每一项相乘。 注意保持每一项的符号正确。 易错知识点梳理03：多项式乘多项式 易错点： 乘法公式的应用：如平方差公式、完全平方公式等，学生可能会混淆或忘记。 乘法顺序：学生可能会忘记按照乘法分配律的顺序进行乘法运算。 合并同类项：在乘法运算后，学生可能会忘记合并同类项。 解题技巧： 熟练掌握乘法公式，并能在适当的时候应用它们。 按照乘法分配律的顺序进行乘法运算，确保每一项都被正确计算。 在乘法运算后，仔细检查并合并同类项。 易错知识点梳理04：乘法公式的应用 易错点： 公式记忆：学生可能会忘记或混淆乘法公式。 公式应用条件：学生可能会在不适当的情况下应用公式。 解题技巧： 熟练掌握乘法公式，并理解它们的推导过程。 在应用公式时，仔细检查公式的应用条件是否满足。 易错知识点梳理05：符号和指数的处理 易错点： 符号运算：在处理负数、分数或带符号的整式时，学生可能会出错。 指数运算：在处理指数时，学生可能会忘记指数法则或混淆它们。 解题技巧： 熟练掌握符号运算规则，如负负得正、分数乘法等。 熟练掌握指数法则，如指数的乘法、除法、幂的幂等。 期中考向一：单项式乘单项式 重点考点讲练01：计算单项式乘单项式 【母题精讲】（24-25七年级上·上海宝山·期中）在计算整式的值过程中，的取值比原来扩大，的取值比原来缩小，则该整式的值（    ） A．比原来扩大 B．比原来缩小 C．比原来扩大 D．比原来缩小 【答案】D 【思路点拨】本题考查了整式的加减及乘法运算，根据题意列出代数式计算即可判断求解，正确列出代数式是解题的关键． 【规范解答】解：， ∵， ∴该整式的值比原来缩小． 故选：． 【训练】下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据单项式乘以单项式法则，进行运算，即可一一判定． 【规范解答】解：A.，故该选项错误，不符合题意； B.，故该选项正确，符合题意； C.，故该选项错误，不符合题意； D.，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【考点评析】本题考查了单项式乘以单项式法则，熟练掌握和运用单项式乘以单项式法则是解决本题的关键． 重点考点讲练02：利用单项式乘法求字母或代数式的值 【母题精讲】（22-23七年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 平方厘米． 【答案】 4 【思路点拨】（1）根据正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等可得②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，进而计算即可； （2）观察图形，②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，②号长方形纸片的长的3倍是①号长方形纸片的长，进而计算即可． 【规范解答】解：（1）由图知，②号长方形纸片的宽为（厘米）， 故答案为：4； （2）设①长方形纸片的长为a，宽为b，则， 由图知，②长方形纸片的长为，宽为， ∴②号长方形纸片的面积是（平方厘米）， 故答案为：． 【考点评析】本题考查整式的乘法运算的应用，利用图形，正确列出式子是解答的关键． 【训练】若，求的值． 【答案】 【思路点拨】首先利用单项式乘法可得，进而得到，再把两个方程相加可得答案． 【规范解答】解：， 则， ∴， 即， ， ∴． 【考点评析】本题主要考查了单项式乘以单项式，关键是掌握单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 期中考向二：单项式乘多项式 重点考点讲练03：计算单项式乘多项式及求值 【母题精讲】（24-25七年级上·广西贵港·期中）如图，边长分别为的两个正方形并排放置， (1)求出图中阴影部分的面积（用含的式子表示）； (2)当，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项： （）根据进行计算即可； （）把代入求值即可． 【规范解答】（1） ； （2）解：当时， ． 【训练】阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的、的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解：． 请你用上述方法解决问题：已知，求的值． 【答案】 【思路点拨】根据单项式乘多项式，可得一个多项式，根据把已知代入，可得答案． 本题考查了单项式乘多项式，整体代入是解题关键． 【规范解答】解： ． 重点考点讲练04：单项式乘多项式的应用 【母题精讲】（18-19七年级上·江苏无锡·期中）在长方形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片分别按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有重叠部分），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中的阴影部分的面积为，图2中的阴影部分的面积为，当时， （用字母表示） 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了整式的混合计算，根据图形面积之间的关系分别表示出，再根据整式的加减计算法则求出的结果，再结合即可求出答案． 【规范解答】解：由题意得，， ， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 【训练】（23-24七年级下·福建宁德·期中）现有甲、乙、丙三张卡片如图1摆放，卡片甲是边长为a的正方形，卡片乙是边长为b的正方形，卡片丙是长为a，宽为b的长方形．将卡片甲绕点B顺时针旋转，点A恰好与点D重合，得到图2；将卡片丙绕点E逆时针旋转，点F恰好与点C重合得到图3；将卡片乙绕点C逆时针旋转，得到图4；图2，图3，图4的阴影部分面积分别记为，，． (1)计算：________，________（用含a、b代数式表示）； (2)若边长，，则________； (3)探究，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)22 (3)，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了单项式乘以多项式在几何图形中的应用，列代数式： （1）根据题意可得等于图甲的面积减去图乙的面积，的面积等于图丙的面积减去图乙的面积，据此可得答案； （2）根据题意可得，据此代值计算即可； （3）法一：根据，以及可得；法二：根据可得． 【规范解答】（1）解：由题意得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴ ； （3）解：，理由如下： 法一：依题意得 ， ， ； 法二：， ， ． 重点考点讲练05：利用单项式乘多项式求字母的值 【母题精讲】（23-24七年级下·河南郑州·期中）已知，，，且的值与无关，则 ． 【答案】 【思路点拨】先根据题意列出算式，再计算单项式与多项式的乘法，最后合并，由题意得关于的方程，求解即可．此题考查的是单项式乘多项式及整式的加减，掌握其运算法则是解决此题的关键． 【规范解答】解： ， 的值与无关， ， ． 故答案为：． 【训练】（22-23七年级下·四川达州·期中）若a，b均为整数，且，则等于（    ） A．6 B．8 C．9 D．16 【答案】C 【思路点拨】根据得到，则，求出，代入即可得到答案． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C 【考点评析】此题考查了单项式乘多项式和多项式相等，熟练掌握单项式乘多项式乘法法则是解题的关键． 期中考向三：多项式乘多项式 重点考点讲练06：计算多项式乘多项式 【母题精讲】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）阅读材料：已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如 ，所以43和68与34和86都是“幸福数对”．请解决如下问题： (1)请判断24与63是否是“幸福数对”? 并说明理由： (2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且 ；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，试说明a，b，c，d之间满足怎样的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)24与63是“幸福数对”，理由见解析 (2)，证明见解析 【思路点拨】本题主要考查了新定义，有理数的乘法，整式的加减、多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键； （1）分别计算出和的结果，再根据“幸福数对”的定义进行判断即可； （2）分别求出和的结果，再根据“幸福数对”的定义可得，据此求解即可； 【规范解答】（1）解：24与63是“幸福数对”，理由如下： ∵，， ∴， ∴24与63是“幸福数对”； （2）解：，理由如下： 由题意得，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【训练】有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题． 例：若，，试比较，的大小． 解：设， 那么，． 因为，所以． 看完后，你学会了这种方法吗？利用上面的方法解答下列问题： 若，，试比较，的大小． 【答案】学会了，，过程见解析． 【思路点拨】本题考查的是多项式乘以多项式的应用，设，可得，，再计算即可判断． 【规范解答】解：设， 则 ， ， ∴． 重点考点讲练07：(x+p)(x+q）型多项式乘法 【母题精讲】（22-23七年级下·江西吉安·期中）回答下列问题： (1)计算： ①_________； ②________； ③____________； ④_________． (2)总结公式________ (3)已知均为整数，且．求的所有可能值． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3)或6 【思路点拨】（1）根据多项式乘多项式运算法则计算即可； （2）根据多项式乘多项式求解即可； （3）运用（2）所得规律可得，再结合均为整数即可解答． 【规范解答】（1）解：①； ②； ③； ④． 故答案为：、、、． （2）解：由， 故答案为：． （3）解：∵， ∴，均为整数， ∴当，则；当，则． ∴的可能值为或6． 【考点评析】本题主要考查了多项式乘多项式、探究多项式乘以多项式的规律并应用规律等知识点，正确掌握多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． 【训练】（22-23七年级下·全国·期中）阅读材料：把形如的二次三项式写成两个一次二项式的过程叫做因式分解，因式分解的过程就是整式乘法运算的逆向运用，即． 例如：①； ②； ③； 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，对二次三项式进行因式分解： ； (2)根据材料内容，已知，，请用只含m、n的式子表示a； (3)已知，，求的值是多少？ 【答案】(1)5，5，5 (2) (3)16 【思路点拨】（1）根据即可得； （2）先将因式分解，再将代入计算即可得； （3）将因式分解，再将已知等式的值代入计算即可得． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：5，5，5． （2）解：， ，， ， 解得． （3）解： ， ，， ． 【考点评析】本题考查了整式乘法运算的逆向运用，读懂材料中的因式分解的方法是解题关键． 重点考点讲练08：多项式乘多项式——化简求值 【母题精讲】若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】9 【思路点拨】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的值，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 【规范解答】解：由题意可得， ， ∵， ∴， ∴ ， 所以当时，的值为9． 故答案为：9． 【训练】（22-23七年级下·陕西宝鸡·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【思路点拨】利用多项式乘以多项式、单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【规范解答】解： ， 将代入，得： 原式． 【考点评析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 重点考点讲练09：已知多项式乘积不含某项求字母的值 【母题精讲】（24-25七年级上·海南儋州·期中）若多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，则a的值为（   ） A．3 B． C．2 D．0 【答案】A 【思路点拨】本题考查多项式乘以多项式不含某一项的问题，利用多项式乘以多项式的法则进行计算，根据结果不含x的二次项，得到x的二次项的系数为0，进行求解即可． 【规范解答】解： ； ∵展开式中不含x的二次项， ∴， ∴； 故选A． 【训练】阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式（是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： (1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； (2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由； (3)若多项式（是常数）是一组平衡多项式，求的值． 【答案】(1)3 (2)是，3 (3)或7或 【思路点拨】本题主要考查了新定义的理解，多项式的运算，对于（1），根据多项式乘以多项式法则计算，并求出平衡因子； 对于（2），根据运算法则计算，并求出平衡因子； 对于（3），分三种情况列出算式，再计算求值． 【规范解答】（1）根据题意，得 ， 所以平衡因子是； （2）是平衡多项式，理由如下： 根据题意，得 ， 所以是平衡多项式，平衡因子是； （3）若 ， ∴， 解得； 若 ， ∴， 解得； 若 ， ∴， 解得. 所以m的值为或7或． 重点考点讲练10：多项式乘多项式与图形面积 【母题精讲】如图①，将一张长方形铁皮的四个角都剪去边长为的正方形，然后沿四周折起，做成一个无盖铁盒，如图②，铁盒底面长方形的长为，宽为． (1)请用含x的代数式表示图①中原长方形铁皮的面积； (2)现要在铁盒的各个外表面涂上某种油漆，若每需花费x元，则涂漆这个铁盒需要多少钱（用含x的代数式表示）． 【答案】(1) (2)涂漆这个铁盒需要元钱 【思路点拨】此题考查了多项式乘多项式的应用． （1）根据长方形的面积等于长乘宽表示出原长方形铁皮的面积即可； （2）根据原长方形铁皮的面积减去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，再乘单价即可得到结果． 【规范解答】（1）原铁皮的面积是； （2）油漆这个铁盒的表面积是：； 则油漆这个铁盒需要的钱数是：元． 所以涂漆这个铁盒需要元钱． 【训练】（22-23七年级下·贵州六盘水·期中）数学课外活动中，嘟嘟计划将一套房屋的客厅铺上一层漂亮的图案，他选择用如图所示的、、三种拼图将客厅的长铺为米，宽为米．其中和两种拼图为正方形，为长方形，边长如图所示．如果拼图不允许切割，请你帮助嘟嘟计算一下： (1)分别需要，和三种拼图多少块？ (2)若，和三种拼图的单价分别为元，元，元，且购买任意一种拼图的数量超过块时，这种拼图的价格按照八折优惠，求嘟嘟的总花费． 【答案】(1)分别需要种拼图块，拼图块，拼图块 (2)元 【思路点拨】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是根据题意，列出算式． （1）先根据长方形的面积公式算出客厅的面积，再求出个拼图、和的面积，然后解答即可； （2）由（1）求出的各种拼图的块数和每块拼图的价格，列出求总花费的式子，进行计算即可． 【规范解答】（1）客厅的面积为： ， 个拼图的面积为，个拼图的面积为，个拼图的面积为， 分别需要种拼图块，拼图块，拼图块； （2）由题意得： 元， 答：嘟嘟的总花费的总花费为元． 重点考点讲练11：多项式乘法中的规律性问题 【母题精讲】（22-23七年级下·四川达州·期中）我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将下图称为“杨辉三角”．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和． 请根据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 【答案】210 【思路点拨】本题考查图形变化的规律，根据是展开式中的第三项，则观察每行数列中第3个数，发现规律即可解决问题． 【规范解答】由题知， 含的项是展开式中的第三项， 观察每行中的第3个数，如图所示， 该列数中的第19个数为：， 所以展开式中含项的系数是210． 故答案为：210． 【训练】（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． 我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式： 上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角”；仔细观察“杨辉三角”，用你发现的规律回答下列问题： (1)多项式的展开式中第三项是：_____________； (2)请你预测一下多项式展开式的各项系数之和． (3)利用上面的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查对题干“杨辉三角”规律的理解，以及规律的运用，解题的关键是找出展开式的各项系数规律并灵活运用． （1）根据“杨辉三角”规律写出多项式的展开式，即可得到展开式中的第三项； （2）根据“杨辉三角”规律得到多项式展开式的各项系数，即可得到多项式展开式的各项系数之和； （3）根据“杨辉三角”规律得到为的展开式，即可解题． 【规范解答】（1）解：由题可得：， 多项式的展开式中第三项是， 故答案为：； （2）解：由（1）可得：多项式展开式的各项系数之和 ； （3）解： ． 重点考点讲练12：整式乘法混合运算 【母题精讲】（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，现用x张A型卡片，100张B型卡片，y张C型卡片拼成一个正方形（无缝隙，不重叠），若，则x+y的最小值为 ． 【答案】8 【思路点拨】此题主要考查了整式的运算的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 设拼成的正方形的边长为L，则面积为L2，则可得到即根据正方形的特征则可知：也为整数，最接近300的倍数为289，设则令进而即可求解． 【规范解答】解：设拼成的正方形的边长为L，则面积为， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵正方形的边长为L，它必须是整数．同时也为整数， ∴也为整数， ∵最接近300的平方数为， 。 ∴， ∴x+y的最小值为8， 故答案为：8． 【训练】（23-24七年级下·山东菏泽·期中）（1）先化简，再求值． ，其中． （2）已知的展开式中不含项，常数项是6． 若，，求的值． 【答案】（1），4；（2）3 【思路点拨】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）先直接利用多项式乘多项式计算，再合并同类项，然后求出，代入即可解答； （2）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出，的值；再计算得，然后将m与n的值代入原式即可求出答案． 【规范解答】解：（1） ， 因为 ， 所以，原式． （2） ， 由于展开式中不含项，常数项是， 则且， 解得：，； ， ，， 原式 期中考向四：乘法公式 重点考点讲练13：运用平方差公式进行运算 【母题精讲】（24-25七年级下·全国·期中）先化简后求值： (1)，其中，． (2)，其中，． 【答案】(1)，22 (2)， 【思路点拨】本题主要考查整式的混合运算，关键是掌握运算法则是解题的关键； （1）根据完全平方公式、平方差公式，单项式乘多项式求解得化简结果，然后代值求解即可． （2）先利用平方差公式、完全平方公式原式进行计算、合并同类项，再代入进行计算即可． 【规范解答】（1） ； 将，代入，得 原式 ； （2） ； 将，代入化简后的式子： 原式 ． 【训练】（24-25七年级下·全国·期中）【探究】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分按如图方式剪开，拼成图的长方形． 请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图： ，图： ，比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，，则的值为 ； （2）计算：； 【拓展】计算：的结果． 【答案】[探究]，，；[应用]（）；（）；[拓展]． 【思路点拨】本题考查了平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． [探究]根据不同方法求面积即可； [应用]（）根据即可求解； （）根据即可求解； [拓展]根据即可求解． 【规范解答】[探究]解：题图中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的题图是长为，宽为的长方形，因此面积为，所以有， 故答案为：，，； [应用]解：（）∵，， ∴， 故答案为：； （）原式 ； [拓展]解：原式 ． 重点考点讲练14：平方差公式与几何图形 【母题精讲】（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示S1与S2的面积： ， ． (2)根据图1与图2的面积关系，得到等式： ；运用这个等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形：． (3)运用上述方法计算． 【答案】(1)； (2)； (3)39999 【思路点拨】本题主要考查了平方差公式与几何图形，解题的关键是： （1）图1阴影部分面积等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，图2阴影部分面积是一个长为，宽为的长方形面积，据此求出两幅图中阴影部分面积； （2）根据（1）中两部分阴影面积相等即可得到对应的公式； （3）根据（2）的结论将原式变形，然后计算求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意，得；， 故答案为：；； （2）解：∵图1和图2中阴影部分面积相同， ∴， 故答案为：；； （3）解： ． 【训练】（21-22七年级下·江西抚州·期中）阅读材料： 已知：满足，求的值． 设，， 则，， 因此． 用上面的方法解下列问题： (1)已知：，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为，、分别是边、上的点，、，分别以、为边作正方形． ①______，______（用含的式子表示）； ②若长方形的面积是48，试求阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)①；② 【思路点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景，平方差公式．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． （1）设，则，再根据进行求解即可； （2）①正方形边长为x，则，再由结合图形可以表示出与； ②设，则，据此可得，则，阴影部分面积，据此代值计算即可． 【规范解答】（1）解：设， ∴， ∴ ； （2）解：①∵四边形是长方形、、四边形是正方形、 ， ，， 故答案为：． ②∵长方形的面积是4 8 ， ， 设， ∴，     ， ， 又， ， ∴阴影部分面积 即阴影部分的面积是 ． 重点考点讲练15：运用完全平方公式进行运算 【母题精讲】乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用一张种纸片，一张种纸片，两张种纸片拼成了如图所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图中大正方形的面积：（用含的式子表示） 方法： ； 方法： ． (2)观察图，请写出代数式，，之间的等量关系式 ； (3)根据（）中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值； 已知，求的值． 【答案】(1)；； (2)； (3)；；． 【思路点拨】（）方法可根据正方形面积等于边长的平方求出，方法可根据各个部分面积相加之和求出； （）由图可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和即可求解； （）根据题（）公式计算即可；令，从而得到，代入计算即可求解； 本题考查了完全平方公式的几何背景及应用，列代数式，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 【规范解答】（1）解：方法：大正方形的边长为， ∴； 方法：大正方形面积各个部分面积之和， ∴； 故答案为：；； （2）解：由图可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和， 即， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴； 令， ∴， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 【训练】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）完全平方公式：经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若 ， ， 求的值． 解；因为， ， 所以， ， 所以， 所以， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求． (2)如图，C是线段上的一点，分别以为边作正方形，设， 两正方形的面积之和， 求三角形的面积． (3) 【答案】(1) (2)3 【思路点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据完全平方公式即可求解； （2）设，，可得，，求出即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：设，， ∵， ∴， ∴ 又， ∴， ∴， ∴， ∴． 重点考点讲练16：通过对完全平方公式变形求值 【母题精讲】．（24-25七年级下·全国·期中）图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形 (1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于　　 ，面积等于　 . (2)观察图，请你写出三个代数式，之间的等量关系为　 . (3)运用你所得到的公式，计算:若，为有理数，且，，试求的值. (4)如图所示，正方形和正方形边长分别为，，且，，求图中阴影部分的面积. 【答案】(1); (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查了完全平方公式及应用，解题关键是用不同方法表示同一图形面积． （1）根据图中给出的数据即可求得图乙中阴影部分正方形边长，根据正方形的面积公式求得面积； （2）用两种不同方式求得阴影部分面积可得关于、、的等式； （3）根据（2）中结论即可解题； （4）利用，整理变形，代入，，得到结果． 【规范解答】（1）解：图中阴影部分边长为， 则阴影部分的面积为； 故答案为：；； （2）解：用两种不同的方法表示阴影的面积： 方法一：阴影部分为边长的正方形，故面积； 方法二：阴影部分面积； ∴； 即， 故答案为：； （3）解：由（）得，， ∵，， ∴， ∴； （4）解： ． 【训练】（22-23七年级下·江苏扬州·期中）阅读理解并解答： 为了求代数式的值，我们必须先知道x的值，若，则这个代数式的值为5；若，则这个代数式的值为10，……可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． （1）把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题，例如：，因为是非负数，所以，这个代数式的最小值为______，这时相应的x的值是_______． 尝试探究并解答： （2）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （3）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （4）已知代数式，当x的值在（包含和4）之间变化时，直接写出代数式的值的变化范围． 【答案】（1）1，；（2）的最小值，；（3）的最大值13，；（4）（包含和2） 【思路点拨】（1）根据非负数的性质即可解决问题； （2）根据题干提供的方法，即可解决问题； （3）根据题干提供的方法，即可解决问题； （4）首先判断的最小值，求出或4时的值，即可判断的取值范围． 【规范解答】解：（1）∵， 又∵， ∴， ∴最小值为1，此时， 即； （2）∵， 又∵， ∴， ∴有最小值，此时，即； （3）∵， 又∵， ∴， ∴有最大值13，此时； （4）∵， ∴有最小值，此时， 令，则， 令，则， ∴当x的值在（包含和4）之间变化时，． 【考点评析】本题考查非负数的性质、完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，利用非负数可以确定最值问题． 重点考点讲练17：完全平方公式在几何图形中的应用 【母题精讲】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，是由四个长为m，宽为n的小长方形拼成的正方形． (1)图中的阴影正方形的边长可表示为 （用含m，n的代数式表示）； (2)根据图形中的数量关系，请你结合图形直接写出，，之间的一个等量关系 ． (3)若 ， ，求阴影正方形的面积． 【答案】(1) (2) (3)37 【思路点拨】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提． （1）根据拼图可得答案； （2）根据图形中各个部分面积之间的和差关系得出答案； （3）根据，整体代入计算即可． 【规范解答】（1）解：由拼图可知， 图中的阴影正方形的边长可表示为， 故答案为：； （2）解：大正方形的边长为，因此面积为， 小正方形的边长为，因此面积为， 4个小长方形的面积和为， 所以有， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 当，， ∴． 答：阴影正方形的面积为37． 【训练】（23-24七年级下·湖南娄底·期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图，可以得到，请解答下列问题： (1)写出图所表示的数学等式 ； (2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则 ； (3)用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长宽分别为、的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，则 ． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了完全平方式的几何背景，灵活运用完全平方公式是解决本题的关键． （1）根据图形，可以写出相应的等式； （2）根据（1）中的结果和，，可以求得所求式子的值； （3）将展开，即可得到、、的值，再把三者相加即可解答． 【规范解答】（1）解：正方形的面积， 正方形的面积， ， 故答案为：； （2）解：，， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：由题可知，所拼图形的面积为：， ， ， ， ，，， ， 故答案为：． 重点考点讲练18：求完全平方式中的字母系数 【母题精讲】（23-24七年级下·河南郑州·期中）当k取何值时，是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：的结构特征．因为，是一个完全平方式，故将写成根据多项式对应项的系数相等，得到． (1)若是完全平方式，则m的值为 ；若（n为常数）是完全平方式，则n的值为 ； (2)已知：，请求出b的值． 【答案】(1)8或，9 (2)或16 【思路点拨】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式（完全平方式有和两个）是解此题的关键． （1）根据完全平方式得出和，再求出和即可； （2）先根据完全平方公式展开得出，根据得出，，求出的值，再求出即可． 【规范解答】（1）解：是完全平方式， ， ， 或； ， 为常数）是完全平方式， ． 故答案为：8或，9； （2）， ， ，， ， 或16． 【训练】（22-23七年级下·广东佛山·期中）对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2)4 【思路点拨】此题考查了新定义公式，完全平方式公式，正确掌握完全平方公式是解题的关键： （1）根据定义的公式得到，由完全平方式即可得到常数k的值； （2）由定义得到原式，由求出，即可得到的值． 【规范解答】（1）解：由题意得 ， ∵是一个完全平方式， ∴， 解得； （2）由题意得 ， ∵， ∴， ∴， ∴． 重点考点讲练19：完全平方式在几何图形中的应用 【母题精讲】（23-24七年级下·福建漳州·期中）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块相同的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．      (1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：__________________． 方法2：__________________． 请写出代数式：，之间的等量关系是______． (2)许多代数等式可以用图形的面积来表示．直接写出图3的面积所表示的代数等式； (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知，是负整数，求的值． 【答案】(1)；；，详见解析 (2)，详见解析 (3)为1或5，详见解析 【思路点拨】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的几何图解法及应用等知识点， （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释； （2）图③的面积计算有两种方法，方法一是大长方形（长为的，宽为）的面积是，方法二是组成大长方形的各个小长方形或正方形的面积和等于大长方形的面积，故而得到了代数恒等式； （3）由（1）知：，结合为负整数分类讨论即可得解； 熟练掌握数形结合的思想是解决此题的关键． 【规范解答】（1）方法1：阴影部分是一个正方形，边长为，根据阴影部分正方形面积计算公式得， 方法2：大正方形边长为，面积是：，四个长为m，宽为n的长方形的面积是，阴影部分的面积是大正方形的面积减去四个长方形的面积为， 方法1与方法2均为求图②中阴影部分的面积，所以结果相等，即， 故答案为：；；； （2）计算图③的面积计算有两种方法， 方法一是大长方形（长为的，宽为）的面积是， 方法二是：组成图③的各部分图形：2个边长为m的正方形的面积，3个长为m，宽为n的长方形的面积即，1个边长为n的正方形的面积，他们的面积和是：，方法一和方法二的计算结果相等， ∴； （3）由（1）知：， ∵， ∴ ， ∴， ∵为负整数， ∴且能被4整除， ∴当时，， 当时，， 综上：为1或5． 【训练】（23-24八年级上·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； 与；与；与 (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； (3)关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值． 【答案】(1)； (2)它们的“对消值”为； (3)代数式的最小值是． 【思路点拨】此题考查了求代数式值的能力， ()运用题目中的定义进行逐一计算、辨别； ()先运用题目中的定义求得，的值，再代入求解； ()先求得，再将原式进行配方变形进行求解；解题的关键是能准确运用题目的新定义进行求解． 【规范解答】（1）∵， , ， ∴组多项式不是互为“对消多项式”，组多项式是互为“对消多项式”， 故答案为：； （2），， ∵与互为“对消多项式”， ，， ，， ∴它们的“对消值”为； （3），， ， ∵与互为“对消多项式”且“对消值”为， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴代数式的最小值是． 重点考点讲练20：整式的混合运算 【母题精讲】（21-22七年级下·山西晋中·期中）（1）化简： （2）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值：，其中，． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 当，时，原式．第四步 任务： ①第一步运算用到了乘法公式______（写出1种即可）； ②以上步骤第______步出现了错误，错误的原因是______； ③请写出正确的解答过程． 【答案】（1）；（2）①平方差公式或完全平方公式或或（写出1种即可）；②一，丢了括号或去括号时符号出错（合理即可）；③-16 【思路点拨】（1）利用单项式乘多项式的运算法则计算即可； （2）①平方差公式或完全平方公式； ②根据去括号法则可知第一步出现了错误； ③根据整式的混合运算顺序解答即可． 【规范解答】解：（1）原式 （2）①第一步运算用到了乘法公式或； 故答案为：或． ②以上步骤第一步出现了错误，错误的原因是去括号时符号错误； 故答案为：一；去括号时符号错误． ③ 当，时，原式． 【考点评析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则． 【训练】（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）如图，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边的长度分别为m，n．设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． (1)若，，，，求的值； (2)从下列4个条件中：①，②，③，④，选择其中2个，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了整式的混合运算，面积的定义，关键是得到图1中阴影部分的面积与图2中阴影部分的面积． （1）根据图形得到：进而把，，，， 代入计算即可求解； （2）根据平移的性质得到：进而得到； 【规范解答】（1）解：如图1， ∵，，，， ∴； （2）解：选择②，④， 如图2， ∴． 1．（23-24七年级下·福建三明·期中）长方形内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的方式放置，S始终不变，则a，b应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查整式的运算，得到图形中的关系是解题的关键．对图形进行点标注，则左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为，再结合图形信息表示出；然后根据面积公式求出面积差，根据始终保持不变，即可得到、满足的关系式． 【规范解答】解：对图形进行点标注，如图所示： 左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为， ，即，， ，即， 阴影部分面积之差， 因为当BC的长度变化时，按照同样的方式放置，S始终不变，故，即． 故选：B． 2．若与互为相反数，则的值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．64 【答案】C 【思路点拨】根据互为相反数的两个数的和为0列方程，分解因式，结合绝对值和平方数的非负性，根据几个非负数的和为0，得到它们同时为0，求出，的值，根据完全平方公式变形即得． 此题主要考查了相反数，绝对值，完全平方公式．熟练掌握相反数性质，完全平方公式分解因式，绝对值与平方数的非负性，完全平方公式变形，是解决问题的关键． 【规范解答】∵若与互为相反数， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是（　　）    A．长方形纸片的周长和面积 B．长方形纸片长和宽的差 C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差 【答案】D 【思路点拨】设正方形的边长为，分别求出、①和②的面积、长方形纸片的面积与周长，再逐项判断即可得． 【规范解答】解：如图，设正方形的边长为，    则， ， ， ∵长方形纸片的周长为，面积为， ∴若知道长方形纸片的周长和面积或长方形纸片长和宽的差，能求出，即选项A、B不符合题意； 图中①的面积为， ②的面积为， ∴①和②的面积差为， ∴若知道①和②的面积差，能求出，即选项C不符合题意； ∵长方形纸片和①的面积差为， ∴若知道长方形纸片和①的面积差，不能求出，即选项D符合题意； 故选：D． 【考点评析】本题考查了整式乘法、完全平方公式在图形中的应用，熟记运算法则是解题的关键． 4．（21-22七年级上·浙江杭州·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（    ） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路点拨】观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合x为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，代入可得出说法④符合题意． 【规范解答】解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm， ∴小长方形的长为，说法①符合题意； ∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm， ∴阴影A的较短边为， 阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为， 阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为， 阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为 ， 当时，，说法④符合题意， 综上所述，正确的说法有①③④，共3个， 故选：B． 【考点评析】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． 5．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 【答案】12 【思路点拨】本题考查了定义新运算、整式的乘法、代数式的求值，理解新定义是解题的关键．根据新定义化简，由得到，再整体代入即可求解． 【规范解答】解：由题意得， ， ， ， ， 的值为12． 故答案为：12． 6．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）阅读以下内容：，，，根据这一规律，计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了探索规律，由，，，得到，然后当时代入求解即可，根据题意规律是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ， ， ， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·上海·期中）如果关于的多项式是完全平方式，那么的值为 ． 【答案】13或−11 【思路点拨】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行求解即可． 【规范解答】解：∵是完全平方式， ∴， 解得：或， 故答案为：13或−11． 8．（23-24七年级上·福建厦门·期中）如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形C，其较短的边长为，下列说法中正确的有 ．（填写序号）    ①小长方形C的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． 【答案】①③④ 【思路点拨】观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合x为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，代入可得出说法④符合题意． 【规范解答】解：∵大长方形的长为y，小长方形的宽为4cm， ∴小长方形的长为，说法①符合题意； ∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm， ∴阴影A的较短边为， 阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为， 阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为， 阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为 ， 当时，，说法④符合题意， 综上所述，正确的说法有①③④， 故答案为：①③④． 【考点评析】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． 9．拓广探索： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解问题： (1)若x满足，求的值． (2)已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，解题的关键是理解题意，掌握完全平方公式与平方差公式之间的转换． （1）设，，根据题意进行计算即可得； （2）根据题意可得，，，设，，长方形的面积，，即可得出，则即可得出答案． 【规范解答】（1）解：设，， 则，， ∴； （2）∵正方形的边长为，， ∴，， 设，， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 10．（23-24七年级下·福建漳州·期中）小华同学在计算后，爱思考的他发现：是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，，x项的系数为；用他发现的方法计算：，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)直接写出相乘，积中x项的系数 (2)若，直接写出的值； (3)若的积中不含x项，求p的值； (4)拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示， A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 【答案】(1)13，详见解析 (2)2024，详见解析 (3)，详见解析 (4)，，详见解析 【思路点拨】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算及应用等知识点， （1）由题干中计算方法即可得解； （2）由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和，根据规律即可得解； （3）由题干中计算方法即可得解； （4）根根题意列出式子，由无论a为多少，w都不变，得出m的值，即可得解； 理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数及题干中得出的规律是解决问题的关键． 【规范解答】（1）由题中计算方法知：， 故答案为：13； （2）∵是由2024个相乘， 又由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和， ∴它的展开式的一次项系数为2024个1的和， ∴； （3）由题干中计算方法知：中x的系数为， ∵x的系数为零， ∴， ∴； （4）∵设购进A型号矿泉水有a箱， ∴购进B型号矿泉水有箱， ∴ ， ∵无论a为多少，w都不变， ∴中，a的系数为0， ∴, ∴，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，都为元， ∴，． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期中复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】 第8章 整式乘法 （思维导图+知识梳理+易错点拨+20大考点讲练+优选压轴题专练 共50题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指引 3 全章节知识梳理精将 3 知识点梳理01：整式的乘法 3 知识点梳理02：乘法公式 4 知识点梳理03：因式分解 4 易错考点梳理点拨 4 易错知识点梳理01：单项式乘单项式 4 易错知识点梳理02：单项式乘多项式 5 易错知识点梳理03：多项式乘多项式 5 易错知识点梳理04：乘法公式的应用 5 易错知识点梳理05：符号和指数的处理 6 期中真题汇编考点讲练 期中考向一：单项式乘单项式 6 重点考点讲练01：计算单项式乘单项式 6 重点考点讲练02：利用单项式乘法求字母或代数式的值 6 期中考向二：单项式乘多项式 7 重点考点讲练03：计算单项式乘多项式及求值 7 重点考点讲练04：单项式乘多项式的应用 8 重点考点讲练05：利用单项式乘多项式求字母的值 9 期中考向三：多项式乘多项式 9 重点考点讲练06：计算多项式乘多项式 9 重点考点讲练07：(x+p)(x+q）型多项式乘法 10 重点考点讲练08：多项式乘多项式——化简求值 11 重点考点讲练09：已知多项式乘积不含某项求字母的值 12 重点考点讲练10：多项式乘多项式与图形面积 13 重点考点讲练11：多项式乘法中的规律性问题 14 重点考点讲练12：整式乘法混合运算 15 期中考向四：乘法公式 15 重点考点讲练13：运用平方差公式进行运算 15 重点考点讲练14：平方差公式与几何图形 17 重点考点讲练15：运用完全平方公式进行运算 19 重点考点讲练16：通过对完全平方公式变形求值 21 重点考点讲练17：完全平方公式在几何图形中的应用 22 重点考点讲练18：求完全平方式中的字母系数 23 重点考点讲练19：完全平方式在几何图形中的应用 24 重点考点讲练20：整式的混合运算 26 优选压轴真题专练 27 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，易错知识点梳理，易错考点真题汇编，精选易错题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：整式的乘法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【易错点剖析】运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 知识点梳理02：乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点剖析】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【易错点剖析】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 知识点梳理03：因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 【易错点剖析】落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 易错知识点梳理01：单项式乘单项式 易错点： 数与系数的乘法：学生可能会忘记将单项式的系数相乘。 字母与字母的乘法：学生可能会混淆字母的指数运算，特别是当字母相同时。 符号处理：在处理负数或分数系数时，学生可能会出错。 解题技巧： 明确单项式的结构，即系数和字母部分。 分别计算系数和字母部分，然后将结果相乘。 易错知识点梳理02：单项式乘多项式 易错点： 分配律的应用：学生可能会忘记将单项式的每一项与多项式的每一项相乘。 符号处理：在处理负数或分数系数时，分配律的应用可能会出错。 解题技巧： 使用分配律，将单项式的每一项分别与多项式的每一项相乘。 注意保持每一项的符号正确。 易错知识点梳理03：多项式乘多项式 易错点： 乘法公式的应用：如平方差公式、完全平方公式等，学生可能会混淆或忘记。 乘法顺序：学生可能会忘记按照乘法分配律的顺序进行乘法运算。 合并同类项：在乘法运算后，学生可能会忘记合并同类项。 解题技巧： 熟练掌握乘法公式，并能在适当的时候应用它们。 按照乘法分配律的顺序进行乘法运算，确保每一项都被正确计算。 在乘法运算后，仔细检查并合并同类项。 易错知识点梳理04：乘法公式的应用 易错点： 公式记忆：学生可能会忘记或混淆乘法公式。 公式应用条件：学生可能会在不适当的情况下应用公式。 解题技巧： 熟练掌握乘法公式，并理解它们的推导过程。 在应用公式时，仔细检查公式的应用条件是否满足。 易错知识点梳理05：符号和指数的处理 易错点： 符号运算：在处理负数、分数或带符号的整式时，学生可能会出错。 指数运算：在处理指数时，学生可能会忘记指数法则或混淆它们。 解题技巧： 熟练掌握符号运算规则，如负负得正、分数乘法等。 熟练掌握指数法则，如指数的乘法、除法、幂的幂等。 期中考向一：单项式乘单项式 重点考点讲练01：计算单项式乘单项式 【母题精讲】（24-25七年级上·上海宝山·期中）在计算整式的值过程中，的取值比原来扩大，的取值比原来缩小，则该整式的值（    ） A．比原来扩大 B．比原来缩小 C．比原来扩大 D．比原来缩小 【训练】下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 重点考点讲练02：利用单项式乘法求字母或代数式的值 【母题精讲】（22-23七年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 平方厘米． 【训练】若，求的值． 期中考向二：单项式乘多项式 重点考点讲练03：计算单项式乘多项式及求值 【母题精讲】（24-25七年级上·广西贵港·期中）如图，边长分别为的两个正方形并排放置， (1)求出图中阴影部分的面积（用含的式子表示）； (2)当，时，求图中阴影部分的面积． 【训练】阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的、的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解：． 请你用上述方法解决问题：已知，求的值． 重点考点讲练04：单项式乘多项式的应用 【母题精讲】在长方形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片分别按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有重叠部分），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中的阴影部分的面积为，图2中的阴影部分的面积为，当时， （用字母表示） 【训练】（23-24七年级下·福建宁德·期中）现有甲、乙、丙三张卡片如图1摆放，卡片甲是边长为a的正方形，卡片乙是边长为b的正方形，卡片丙是长为a，宽为b的长方形．将卡片甲绕点B顺时针旋转，点A恰好与点D重合，得到图2；将卡片丙绕点E逆时针旋转，点F恰好与点C重合得到图3；将卡片乙绕点C逆时针旋转，得到图4；图2，图3，图4的阴影部分面积分别记为，，． (1)计算：________，________（用含a、b代数式表示）； (2)若边长，，则________； (3)探究，，的数量关系，并说明理由． 重点考点讲练05：利用单项式乘多项式求字母的值 【母题精讲】（23-24七年级下·河南郑州·期中）已知，，，且的值与无关，则 ． 【训练】（22-23七年级下·四川达州·期中）若a，b均为整数，且，则等于（    ） A．6 B．8 C．9 D．16 期中考向三：多项式乘多项式 重点考点讲练06：计算多项式乘多项式 【母题精讲】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）阅读材料：已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如 ，所以43和68与34和86都是“幸福数对”．请解决如下问题： (1)请判断24与63是否是“幸福数对”? 并说明理由： (2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且 ；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，试说明a，b，c，d之间满足怎样的数量关系，并写出证明过程． 【训练】有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题． 例：若，，试比较，的大小． 解：设， 那么，． 因为，所以． 看完后，你学会了这种方法吗？利用上面的方法解答下列问题： 若，，试比较，的大小． 重点考点讲练07：(x+p)(x+q）型多项式乘法 【母题精讲】（22-23七年级下·江西吉安·期中）回答下列问题： (1)计算： ①_________； ②________； ③____________； ④_________． (2)总结公式________ (3)已知均为整数，且．求的所有可能值． 【训练】（22-23七年级下·全国·期中）阅读材料：把形如的二次三项式写成两个一次二项式的过程叫做因式分解，因式分解的过程就是整式乘法运算的逆向运用，即． 例如：①； ②； ③； 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，对二次三项式进行因式分解： ； (2)根据材料内容，已知，，请用只含m、n的式子表示a； (3)已知，，求的值是多少？ 重点考点讲练08：多项式乘多项式——化简求值 【母题精讲】若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【训练】（22-23七年级下·陕西宝鸡·期中）先化简，再求值：，其中． 重点考点讲练09：已知多项式乘积不含某项求字母的值 【母题精讲】（24-25七年级上·海南儋州·期中）若多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，则a的值为（   ） A．3 B． C．2 D．0 【训练】阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式（是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： (1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； (2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由； (3)若多项式（是常数）是一组平衡多项式，求的值． 重点考点讲练10：多项式乘多项式与图形面积 【母题精讲】如图①，将一张长方形铁皮的四个角都剪去边长为的正方形，然后沿四周折起，做成一个无盖铁盒，如图②，铁盒底面长方形的长为，宽为． (1)请用含x的代数式表示图①中原长方形铁皮的面积； (2)现要在铁盒的各个外表面涂上某种油漆，若每需花费x元，则涂漆这个铁盒需要多少钱（用含x的代数式表示）． 【训练】（22-23七年级下·贵州六盘水·期中）数学课外活动中，嘟嘟计划将一套房屋的客厅铺上一层漂亮的图案，他选择用如图所示的、、三种拼图将客厅的长铺为米，宽为米．其中和两种拼图为正方形，为长方形，边长如图所示．如果拼图不允许切割，请你帮助嘟嘟计算一下： (1)分别需要，和三种拼图多少块？ (2)若，和三种拼图的单价分别为元，元，元，且购买任意一种拼图的数量超过块时，这种拼图的价格按照八折优惠，求嘟嘟的总花费． 重点考点讲练11：多项式乘法中的规律性问题 【母题精讲】（22-23七年级下·四川达州·期中）我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将下图称为“杨辉三角”．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和． 请根据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 【训练】（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． 我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式： 上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角”；仔细观察“杨辉三角”，用你发现的规律回答下列问题： (1)多项式的展开式中第三项是：_____________； (2)请你预测一下多项式展开式的各项系数之和． (3)利用上面的规律计算：． 重点考点讲练12：整式乘法混合运算 【母题精讲】（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，现用x张A型卡片，100张B型卡片，y张C型卡片拼成一个正方形（无缝隙，不重叠），若，则x+y的最小值为 ． 【训练】（23-24七年级下·山东菏泽·期中）（1）先化简，再求值． ，其中． （2）已知的展开式中不含项，常数项是6． 若，，求的值． 期中考向四：乘法公式 重点考点讲练13：运用平方差公式进行运算 【母题精讲】（24-25七年级下·全国·期中）先化简后求值： (1)，其中，． (2)，其中，． 【训练】（24-25七年级下·全国·期中）【探究】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分按如图方式剪开，拼成图的长方形． 请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图： ，图： ，比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，，则的值为 ； （2）计算：； 【拓展】计算：的结果． 重点考点讲练14：平方差公式与几何图形 【母题精讲】（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示S1与S2的面积： ， ． (2)根据图1与图2的面积关系，得到等式： ；运用这个等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形：． (3)运用上述方法计算． 【训练】（21-22七年级下·江西抚州·期中）阅读材料： 已知：满足，求的值． 设，， 则，， 因此． 用上面的方法解下列问题： (1)已知：，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为，、分别是边、上的点，、，分别以、为边作正方形． ①______，______（用含的式子表示）； ②若长方形的面积是48，试求阴影部分的面积． 重点考点讲练15：运用完全平方公式进行运算 【母题精讲】乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用一张种纸片，一张种纸片，两张种纸片拼成了如图所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图中大正方形的面积：（用含的式子表示） 方法： ； 方法： ． (2)观察图，请写出代数式，，之间的等量关系式 ； (3)根据（）中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值； 已知，求的值． 【训练】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）完全平方公式：经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若 ， ， 求的值． 解；因为， ， 所以， ， 所以， 所以， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求． (2)如图，C是线段上的一点，分别以为边作正方形，设， 两正方形的面积之和， 求三角形的面积． (3) 重点考点讲练16：通过对完全平方公式变形求值 【母题精讲】．（24-25七年级下·全国·期中）图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形 (1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于　　 ，面积等于　 . (2)观察图，请你写出三个代数式，之间的等量关系为　 . (3)运用你所得到的公式，计算:若，为有理数，且，，试求的值. (4)如图所示，正方形和正方形边长分别为，，且，，求图中阴影部分的面积. 【训练】（22-23七年级下·江苏扬州·期中）阅读理解并解答： 为了求代数式的值，我们必须先知道x的值，若，则这个代数式的值为5；若，则这个代数式的值为10，……可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． （1）把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题，例如：，因为是非负数，所以，这个代数式的最小值为______，这时相应的x的值是_______． 尝试探究并解答： （2）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （3）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （4）已知代数式，当x的值在（包含和4）之间变化时，直接写出代数式的值的变化范围． 重点考点讲练17：完全平方公式在几何图形中的应用 【母题精讲】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，是由四个长为m，宽为n的小长方形拼成的正方形． (1)图中的阴影正方形的边长可表示为 （用含m，n的代数式表示）； (2)根据图形中的数量关系，请你结合图形直接写出，，之间的一个等量关系 ． (3)若 ， ，求阴影正方形的面积． 【训练】（23-24七年级下·湖南娄底·期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图，可以得到，请解答下列问题： (1)写出图所表示的数学等式 ； (2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则 ； (3)用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长宽分别为、的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，则 ． 重点考点讲练18：求完全平方式中的字母系数 【母题精讲】（23-24七年级下·河南郑州·期中）当k取何值时，是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：的结构特征．因为，是一个完全平方式，故将写成根据多项式对应项的系数相等，得到． (1)若是完全平方式，则m的值为 ；若（n为常数）是完全平方式，则n的值为 ； (2)已知：，请求出b的值． 【训练】（22-23七年级下·广东佛山·期中）对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值； (2)若，且，求的值． 重点考点讲练19：完全平方式在几何图形中的应用 【母题精讲】（23-24七年级下·福建漳州·期中）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块相同的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．      (1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：__________________． 方法2：__________________． 请写出代数式：，之间的等量关系是______． (2)许多代数等式可以用图形的面积来表示．直接写出图3的面积所表示的代数等式； (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知，是负整数，求的值． 【训练】（23-24八年级上·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； 与；与；与 (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； (3)关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值． 重点考点讲练20：整式的混合运算 【母题精讲】（21-22七年级下·山西晋中·期中）（1）化简： （2）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值：，其中，． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 当，时，原式．第四步 任务： ①第一步运算用到了乘法公式______（写出1种即可）； ②以上步骤第______步出现了错误，错误的原因是______； ③请写出正确的解答过程． 【训练】（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）如图，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边的长度分别为m，n．设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． (1)若，，，，求的值； (2)从下列4个条件中：①，②，③，④，选择其中2个，求的值． 1．（23-24七年级下·福建三明·期中）长方形内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的方式放置，S始终不变，则a，b应满足（    ） A． B． C． D． 2．若与互为相反数，则的值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．64 3．如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是（　　）    A．长方形纸片的周长和面积 B．长方形纸片长和宽的差 C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差 4．（21-22七年级上·浙江杭州·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（    ） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 6．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）阅读以下内容：，，，根据这一规律，计算： ． 7．（24-25七年级上·上海·期中）如果关于的多项式是完全平方式，那么的值为 ． 8．（23-24七年级上·福建厦门·期中）如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形C，其较短的边长为，下列说法中正确的有 ．（填写序号）    ①小长方形C的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． 9．拓广探索： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解问题： (1)若x满足，求的值． (2)已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 10．（23-24七年级下·福建漳州·期中）小华同学在计算后，爱思考的他发现：是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，，x项的系数为；用他发现的方法计算：，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)直接写出相乘，积中x项的系数 (2)若，直接写出的值； (3)若的积中不含x项，求p的值； (4)拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示， A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$