精品解析：湖南省长沙市第二十一中学2024-2025学年高三下学期一模数学试题

2025届高三一模 数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共40分） 1. 若（为虚数单位），则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求出，再求出，最后计算的值. 【详解】已知，则. 化简得到，轭复数.  可得：  故选：C. 2. 设数列的前n项和为，若命题“数列为等差数列”，命题“对任意的，成等差数列”，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】运用等差数列定义性质证明充分性，构造满足但不满足的数列，说明不是必要条件. 【详解】若数列为等差数列，设其首项为，公差为. 则 ； ； 所以， 故对任意的，成等差数列， 即，所以p是q的充分条件； 构造数列： 即数列的通项， 该数列不是等差数列. 下面证明此数列满足对任意的，成等差数列. 当时，即，也即成等差数列，满足题意； 当，对任意时， ， 故当，对任意时，成等差数列； 当时，对任意时， ，， ， 由上可知 则 ，故， 故当时，成等差数列； 当，对任意时， ，， ， 由， 则 ，故， 当，对任意时，成等差数列； 综上所述，对任意正整数， 数列满足成等差数列，但不是等差数列. 故，所以p不是q的必要条件， 综上可知，是的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键是利用题意条件构造特殊数列，进而判断不必要性. 3. 函数的图象大致为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性可排除选项B，根据时可确定选项. 【详解】设，则， ∴函数为奇函数，选项B错误. 当时，， 由得，， ∴，∴，CD错误，选项A符合要求 故选：A. 4. 已知椭圆及圆，如图，过点与椭圆相切的直线交圆于点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等边三角形可得，设直线的方程为，求得圆心到直线的距离，由圆的弦长公式可得，联立椭圆方程，运用相切的条件：判别式为0，化简整理，由离心率公式计算即可得到所求值. 【详解】由，可得为等边三角形，即， 设直线的方程为，则圆心到直线的距离为， 弦长，解得， 可得直线，代入椭圆方程， 可得， 由直线和椭圆相切，可得：， 化简可得，由，可得，即有. 故选：A 5. 若函数在处有极小值，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导并根据处有极小值可解得，经检验符合题意. 【详解】由函数可得， 函数处有极小值，可得，解得． 当时，， 当时，时， 因此在上单调递减，在上单调递增， 所以在处有极小值，符合题意．所以． 故选：C． 6. 若双曲线 的离心率为 3 ， 则双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知双曲线的离心率得出的关系,再求双曲线的离心率. 【详解】因为双曲线 的离心率,所以， 所以双曲线 的离心率. 故选：A. 7. 已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程. 【详解】因为，所以， 联立可解得，所以，所以. 所以曲线在点处的切线方程为， 故所求的切线方程为. 故选：C. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两角和与差的正弦和半角公式，二倍角余弦公式，结合拆角计算即可. 【详解】由，可得， 即，可得， 所以. 故选：B. 二、多选题（共18分） 9. 若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用赋值法计算可判断A错误，BC正确，对二项展开式两边同时求导并令计算可判断D错误. 【详解】对于A：令，则，故A错误； 对于B：令，则，故B正确； 对于C：令，则，故C正确； 对于D，由， 两边同时求导得， 令，则，故D错误. 故选：BC. 10. 已知一组样本数据：.其中，，将该组数据排列，下列关于该组数据结论正确的是（ ） A. 序列不可能既是等比数列又是等差数列 B. 若成等比数列，和有组可能取值 C. 若成等差数列，和有组可能取值 D. 若该数据平均数是，则方差最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】数据的顺序可以打乱，根据每一个选项的条件求解即可. 【详解】若为等比数列，由，可知若成等比公比小于，正负交替，而等差数列具单调性，相互矛盾，故不可能既是等比数列又是等差数列，A项正确； 若排列后成等比数列，设公比绝对值大于有： ①公比为，数列为，，，，， 数列，，，，. ②公比为，数列为，，，，， 公比绝对值小于，对应同解，故，有组可能取值，B项正确； 由，，若，，，若排序后成等差数列，设公差大于有： ①公差，数列为，，，，； ②公差，数列为，，，，不符； ③公差，数列为，，，，不符； 公差小于，对应上述倒序排列，同解，故，有组可能取值，C项错误； 数据平均数是1，， 方差.D项错误； 故选：AB 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点，使四点共面 B. 存在点，使平面 C. 三棱锥的体积为 D. 经过四点的球的表面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意，当Q与点重合时，四点共面，即可判断A；根据平行的传递性可得，结合线面平行的判定定理即可判断B；利用等体积法和棱锥的体积公式计算即可判断C；易知经过C，M，B，N四点的球即为长方体的外接球，求出球的半径即可判断D. 【详解】A：如图，在正方体中，连接． 因为N，P分别是的中点，所以． 又因为，所以． 所以四点共面，即当Q与点重合时，四点共面，故A正确； B：连接，当Q是的中点时，因为，所以． 因为平面平面，所以平面，故B正确； C：连接，因为，则 ，故C正确； D：分别取的中点E，F，构造长方体， 则经过C，M，B，N四点的球即为长方体的外接球． 设所求外接球的直径为，则长方体的体对角线即为所求的球的直径， 即， 所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为，故D错误． 故选：ABC 三、填空题（共15分） 12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理结合均值不等式求得最大值，再用三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为已知， 由余弦定理可得， 因为，又因为，得， 当且仅当时等号成立， 则面积为， 当且仅当时等号成立，故的面积的最大值为. 故答案为：. 13. 设函数，若是从四个数中任取一个，是从六个数中任取一个，则恒成立的概率为__________. 【答案】##0.625 【解析】 【分析】根据题意，利用基本不等式，求得，转化为恒成立，结合是从四个数中任取一个，是从六个数中任取一个，得到基本事件总数有24个，再利用列举法，求得成立的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，等号成立，故， 由不等式恒成立转化为恒成立， 因为是从四个数中任取一个，是从六个数中任取一个， 则构成的所有基本事件总数有24个， 又由，， 设事件“不等式恒成立”，则事件包含事件： ，，，共15个， 因此不等式恒成立的概率为. 故答案为：. 14. 已知分别为三个内角的对边，且，则______；若，，，，则的取值范围是______． 【答案】 ①. #### ②. 【解析】 【分析】第一空是由正弦定理角化边，再由余弦定理求角即可；第二空是利用先向量的线性运算，再计算数量积，从而求出取值范围. 【详解】由及正弦定理，得，由余弦定理可知， 又，． ，，由余弦定理得，， 与的夹角的余弦值为． 又，， 且， ，， ， 故答案为：， 四、解答题（共77分） 15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求A； （2）若，求的值； （3）若，点D在边AB上，，.求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 分析】(1)根据正弦定理求解即可； (2)利用二倍角公式求解即可； (3)利用向量数量积运算求出b，利用面积公式即可求解； 【小问1详解】 由，得, 又因为， 所以，， 即. 【小问2详解】 若，则， 则, 则; 【小问3详解】 由， 所以， 由（1）知，所以，所以在直角三角形中，， 如图 因为，所以, 平方得， 则， 所以直角三角形的面积. 16. 已知椭圆C：经过点，且焦距与长半轴相等. （1）求椭圆C的方程； （2）不过右焦点且与x轴垂直的直线交椭圆C于A，M两个不同的点，连接交椭圆C于点B. （i）若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点； （ii）若过左焦点的直线交椭圆C于D，G两个不同的点，且ABDG，求四边形ADBG面积的最小值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可求解； （2）（i）根据题意，设直线方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，表示出直线的方程，求出其与轴交点，即可证明； （ii）由弦长公式分别表示出，结合面积公式代入计算，再由基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 由题意知，解得. 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 （i）由题意知斜率存在，设其方程为， ，则， 由，得， 由于直线过椭圆焦点，则必有，则， 直线的方程为， 不妨设直线交轴于点， 令，可得 ，即直线MB过定点； （ii） 因为，所以，同理可得， 又，则 ， 当且仅当时等号成立，即四边形ADBG的面的最小值为. 17. 如图，在四面体中，面，是的中点，是的中点，点在线段上，且. （1）若，求证：平面. （2）若二面角为，求二面角的余弦值. （3）若三棱锥的体积为1，求三棱锥外接球的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，在线段上取点，使得，连接，首先证明四边形为平行四边形，从而，由线面平行的判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，设，求出平面，平面的法向量，由向量夹角的余弦的坐标公式可列式求解，然后只需求出面的法向量即可，最后再利用面面角的余弦的向量公式即可求解； （3）由求得，再根据对称性求得外接球球心，即可得半径，进而代入球的体积公式即可求解. 【小问1详解】 如图取中点，在线段上取点，使得，连接， 因为分别是的中点， 所以是的中位线， 所以，且，即，且， 在中，，， 所以，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 过点作面，而面， 所以， 因为， 所以两两互相垂直， 所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，又. 所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，解得， 所以可取平面的一个法向量为， 因为面，所以可取面的一个法向量为， 若二面角为， 则，解得， 此时平面的一个法向量为， 又， 所以， 设平面的法向量为， 所以， 所以，令，解得， 即平面的一个法向量为， 观察图形，注意到二面角是锐角， 所以它的余弦值为. 【小问3详解】 设，若三棱锥的体积为1， 则，解得， 因为，所以外接圆圆心坐标为， 因为面，， 所以由对称性可知三棱锥外接球的球心为，即， 所以三棱锥外接球的半径为， 从而三棱锥外接球的体积为. 18. 某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 索赔次数 保单份数 已知：一份保单的保费为万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿万元；第四次索赔时，保险公司赔偿万元. （1）从抽取的份保单中，随机抽取一份保单其索赔次数不少于的概率； （2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差． （i）记为抽取的份保单的毛利润平均值，求的值； （ii）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下抽取的份保单毛利润的平均值与（i）中的大小. 【答案】（1） （2）（i）0.122；（ii） 【解析】 【分析】（1）用频率估计概率，根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率； （2）（i）用频率估计概率后可求得分布列及数学期望，从而可求毛利润平均值；（ii）先算出下一期保单的毛利润，结合（i）的结果可求． 【小问1详解】 根据题中数据，在份保单中，索赔次数不少于2的保单份数为，故一份保单索赔次数不少于2的概率可估计为． 【小问2详解】 （i）由题设， 索赔次数 保单份数 毛利润(单位：万元) 所以． （ii）这种情况下抽取的份保单毛利润的平均值大于（i）中的估计值. 如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加， 份保单毛利润变化为， . 因此. 19. 已知函数，其中. （1）若在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为，求的值； （2）若是的极小值点，证明:. 【答案】（1）； （2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程，根据切线与两坐标轴所围成三角形的面积列方程求参数即可； （2）对函数求导，根据易知可得，应用分析法转化为证明，构造且，问题化为，导数研究函数最值可得，应用反证法证明时得到矛盾结论，即可证结论. 【小问1详解】 由题设，则， 所以在点处的切线为， 令，则；令，则， 所以切线与两坐标轴所围成三角形的面积，可得. 【小问2详解】 由（1），且，，， 由是的极小值点，则且，可得， 要证，即，需证，即， 令且，只需证，而， 所以当时，，当时，， 所以上单调递减，上单调递增，故， 综上，只需，即即可， 若，则，故， 此时，且， 对于，则，显然时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以，故单调递增，无极小值，不符合题设； 综上，，故得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三一模 数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共40分） 1. 若（为虚数单位），则（ ） A. B. 4 C. D. 2. 设数列的前n项和为，若命题“数列为等差数列”，命题“对任意的，成等差数列”，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 函数的图象大致为（ ）. A. B. C. D. 4. 已知椭圆及圆，如图，过点与椭圆相切的直线交圆于点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在处有极小值，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 若双曲线 的离心率为 3 ， 则双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 7. 已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知一组样本数据：.其中，，将该组数据排列，下列关于该组数据结论正确的是（ ） A. 序列不可能既是等比数列又是等差数列 B. 若成等比数列，和有组可能取值 C. 若成等差数列，和有组可能取值 D. 若该数据平均数，则方差最小值为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点，使四点共面 B. 存在点，使平面 C. 三棱锥体积为 D. 经过四点的球的表面积为 三、填空题（共15分） 12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为________. 13. 设函数，若是从四个数中任取一个，是从六个数中任取一个，则恒成立的概率为__________. 14. 已知分别为三个内角对边，且，则______；若，，，，则的取值范围是______． 四、解答题（共77分） 15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求A； （2）若，求的值； （3）若，点D在边AB上，，.求的面积. 16. 已知椭圆C：经过点，且焦距与长半轴相等. （1）求椭圆C的方程； （2）不过右焦点且与x轴垂直的直线交椭圆C于A，M两个不同的点，连接交椭圆C于点B. （i）若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点； （ii）若过左焦点的直线交椭圆C于D，G两个不同的点，且ABDG，求四边形ADBG面积的最小值. 17. 如图，在四面体中，面，是的中点，是的中点，点在线段上，且. （1）若，求证：平面 （2）若二面角为，求二面角余弦值. （3）若三棱锥的体积为1，求三棱锥外接球的体积. 18. 某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 索赔次数 保单份数 已知：一份保单的保费为万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿万元；第四次索赔时，保险公司赔偿万元. （1）从抽取的份保单中，随机抽取一份保单其索赔次数不少于的概率； （2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差． （i）记为抽取的份保单的毛利润平均值，求的值； （ii）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下抽取的份保单毛利润的平均值与（i）中的大小. 19. 已知函数，其中. （1）若在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为，求的值； （2）若是的极小值点，证明:. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$