精品解析：湖北省潜江市初中联考协作体2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年下学期九年级三月联考 数学试卷 （时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2025 2. 在2023年“五一”期间，仙海旅游景区接待游客102200人次，将102200用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的正六棱柱，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 下列调查中，适合抽样调查的是（ ） A. 调查全市初一学生当天作业完成的时长 B. 了解“嫦娥五号”探测器的零部件状况 C. 企业招聘人员，对应聘人员进行面试 D. 了解某校一个班级学生的身高情况 8. 我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元．设有x人，该物品价值y元，根据题意，可列出方程组是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一传送带和地面所成的斜坡坡度（坡度：指坡面的铅直高度与水平宽度的比）为，该传送带把物体从最低处A送到离地面3米高的C处，物体所走的路程为（    ）米 A. 9 B. C. D. 10. 已知二次函数图象一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 化简结果是________． 12. 在一个不透明的口袋中装有2个红球和3个白球，它们除颜色外其它都相同．从口袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是______． 13. 如图，已知线段，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接，，，，则四边形的面积为_______． 14. 若圆锥的底面半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积为____． 15. 定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数…，以此类推，则______． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，与相交于点O，且．求证：． 18. 如图，某幢大楼顶部有广告牌，小宇目高为米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为；接着他向大楼前进15米、站在点B处，测得广告牌顶端点的仰角为（取，计算结果保留一位小数） （1）求这幢大楼的高； （2）求这块广告牌的高度． 19. 2024年国家提出推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全国面振兴后，甲村经济发展进入了快车道．为了解甲村去年下半年经济发展状况，从该村400户家庭中随机抽取了部分家庭调查其去年下半年收入情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图． 组别 分组x（万元） 频数（户） 每组平均收入（万元） A 4 7 B 5 8.3 C m 9 D 3 9.5 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）表格中 ______，所抽取家庭去年下半年家庭收入的中位数落在 组； （2）求所抽取家庭去年下半年家庭收入的平均数； （3）估计去年下半年甲村400户家庭中收入不低于8.5万元的户数． 20. 如图，一次函数图象和反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）过点B作轴且，连接，求的面积． 21. 已知是的直径，P为外一点，且． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长． 22. 在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备用每个6元的价格购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的关系式为：． （1）按照上述市场调查的销售规律，写出销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数解析式； （2）为了方便顾客，售价定为多少时可获利1200元； （3）若要想获得最大利润，试确定此时的销售单价，并求出此时的最大利润． 23. 问题背景：如图①，在矩形中，，点E是边的中点，过点E作交于点F． 实验探究： （1）在一次数学活动中，小明同学将图①中的绕点B按顺时针方向旋转，如图②所示，得到结论：①＝______；②直线与所夹锐角的度数为______； （2）小明同学继续将绕点B按顺时针方向旋转，旋转至点D，E，F在一条直线上，如图③所示位置时，求的面积； （3）在绕点B按顺时针方向旋转一周的过程中，记的面积为S，直接写出S的取值范围． 24. 如图，已知抛物线的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且． （1）求该抛物线的表达式； （2）如图①，在直线上方的抛物线上存在一点M，使得，求出M的坐标； （3）若点P是该抛物线上位于直线下方的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），点D在抛物线对称轴上，点Q是平面内任意一点，当B，P，D，Q四点构成的四边形为正方形时，请直接写出Q点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期九年级三月联考 数学试卷 （时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，熟练掌握倒数的定义，是解题的关键．根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，进行求解即可． 【详解】解： ∵的倒数为 ， ∴ 故选：B. 2. 在2023年“五一”期间，仙海旅游景区接待游客102200人次，将102200用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：将102200用科学记数法表示为． 故选：C． 3. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，轴对称图形的识别等知识点，熟练掌握中心对称图形的概念和轴对称图形的概念是解题的关键：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形，这个点就是它的对称中心，中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形，常见的中心对称图形有：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、线段、相交直线等；如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，常见的轴对称图形有：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆、线段、相交直线等；常见的既是中心对称图形又是轴对称图形的有：矩形、菱形、正方形、圆、线段、相交直线等．根据中心对称图形的概念与轴对称图形的概念逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； C. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符合题意； D. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：． 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法以及合并同类项，分别根据相关运算法则计算出各选项的结果再判断即可． 【详解】解：Ａ．，原选项计算错误，故不符合题意； B. ，原选项计算错误，故不符合题意； C. 与不是同类项，不能计算，原选项错误，故不符合题意； D. ，运算正确，符合题意， 故选：D． 5. 如图所示的正六棱柱，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从上面看，看到的图形是一个正六边形，即看到的图形如下： ， 故选：C． 6. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ，解得． 故选：A． 7. 下列调查中，适合抽样调查的是（ ） A. 调查全市初一学生当天作业完成的时长 B. 了解“嫦娥五号”探测器的零部件状况 C. 企业招聘人员，对应聘人员进行面试 D. 了解某校一个班级学生的身高情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了抽样调查和全面调查的区别，根据实际需要灵活选择普查还是抽样调查是解题的关键． 根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断即可． 【详解】解：A、调查全市初一学生当天作业完成的时长，人数众多，范围广，应采用抽样调查，符合题意； B. 了解“嫦娥五号”探测器的零部件状况，涉及安全性，事关重大，应采用全面调查，不符合题意； C、企业招聘人员，对应聘人员进行面试,人数较少且有筛选作用，应采用全面调查，不符合题意； D、了解某校一个班级学生的身高情况，人数较少且关注每一个个体，应采用全面调查，不符合题意． 故选A． 8. 我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元．设有x人，该物品价值y元，根据题意，可列出的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组解古代数学问题，读懂题意，找到等量关系列方程是解决问题的关键． 根据“每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元”，即可求解． 【详解】解：∵ 每人出8元，剩余3元， ∴， ∵每人出7元，还差4元， ∴， 故所列方程组为：． 故选：A． 9. 如图，一传送带和地面所成的斜坡坡度（坡度：指坡面的铅直高度与水平宽度的比）为，该传送带把物体从最低处A送到离地面3米高的C处，物体所走的路程为（    ）米 A. 9 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作于点B，构造直角求出的长即可．本题主要考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，解决问题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 【详解】解：过点C作于点B， ∵传送带和地面所成斜坡的坡度为， ∴ ， ∵该传送带把物体从最低处A送到离地面3米高的C处， ∴米 ∴米， 在中，， ∴米 ， 故选：D． 10. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断，，的符号即可；②将点代入函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；④由，得到，，将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断． 【详解】解：由题图可知，， ，故①正确； 当时，，即，故②正确； 二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5， 多项式，故③错误； 当时，有最大值，即， 当时，抛物线与直线的图象无交点， 即关于x的方程无实数根，故④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 化简的结果是________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 先将第二项的分母进行因式分解，约分后即可得出答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 在一个不透明的口袋中装有2个红球和3个白球，它们除颜色外其它都相同．从口袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，利用概率计算公式，用红球的个数除以球的总个数，算出概率即可． 【详解】解：∵有2个红球和3个白球， ∴任意摸出一个球是红球的概率． 故答案为：． 13. 如图，已知线段，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接，，，，则四边形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了菱形的判定与性质．利用基本作图得到，则可判断四边形为菱形，根据菱形的性质得到，，，接着利用勾股定理计算出的长，然后根据菱形的面积公式计算． 【详解】解：连接交于点，如图， 由作法， 四边形为菱形， ，，， 在中，， ， 四边形的面积． 故答案为：． 14. 若圆锥的底面半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积．熟练掌握圆锥的侧面积公式是：，其中S为侧面积，r为圆锥底面的半径，l为圆锥的母线长是解题的关键． 根据圆锥的侧面积为，其中S为侧面积，r为圆锥底面的半径，l为圆锥的母线长，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，圆锥的侧面积为， 故答案为：． 15. 定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数…，以此类推，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查数字的变化规律，利用规定的运算方法，得出数字之间的循环规律，利用规律解决问题．根据规定的运算方法，依次计算出，，、，即可发现每3个数为一个周期依次循环，然后用2023除以3，根据规律，即可得出答案． 【详解】解：，，，， ， ∴这列数以，2，三个数依次不断循环出现； ， ，，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了乘方运算、化简绝对值，零次幂以及负整数指数幂，先运算乘方运算、化简绝对值，零次幂以及负整数指数幂，然后运算加法，即可作答． 【详解】解： ． 17. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，与相交于点O，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由平行四边形的性质得，然后运用证明即可作答． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴． 18. 如图，某幢大楼顶部有广告牌，小宇目高为米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为；接着他向大楼前进15米、站在点B处，测得广告牌顶端点的仰角为（取，计算结果保留一位小数） （1）求这幢大楼的高； （2）求这块广告牌的高度． 【答案】（1）楼高为米； （2）广告牌的高度为米． 【解析】 【分析】（1）首先分析图形：根据题意构造直角三角形，利用三角函数求得米，即可得解； （2）根据题意构造直角三角形，利用三角函数求得米，即可得解． 【小问1详解】 解：中，米； 由 ， 得米； 又因为米， 因而大楼米， 答：楼高为米； 【小问2详解】 解：∵在中，米， ， ∴米； 因而广告牌米； 答：广告牌的高度为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造直角三角形是解题的关键． 19. 2024年国家提出推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全国面振兴后，甲村经济发展进入了快车道．为了解甲村去年下半年经济发展状况，从该村400户家庭中随机抽取了部分家庭调查其去年下半年的收入情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图． 组别 分组x（万元） 频数（户） 每组平均收入（万元） A 4 7 B 5 8.3 C m 9 D 3 9.5 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）表格中 ______，所抽取家庭去年下半年家庭收入的中位数落在 组； （2）求所抽取家庭去年下半年家庭收入的平均数； （3）估计去年下半年甲村400户家庭中收入不低于8.5万元的户数． 【答案】（1）， （2）万元 （3）户 【解析】 【分析】（1）用组的户数除以组户数占比即可得出抽取的总户数，再减去其他各组户数，即可得出组的户数；由各组的户数及中位数的定义即可得出所抽取家庭去年下半年家庭收入的中位数落在哪一组； （2）根据平均数的定义和计算方法进行计算即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：（户）， 抽取的总户数为，且，， 所抽取家庭去年下半年家庭收入的中位数落在组， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：（万元）， 所抽取家庭去年下半年家庭收入的平均数为万元； 【小问3详解】 解：（户）， 估计去年下半年甲村400户家庭中收入不低于8.5万元的约有220户． 【点睛】本题主要考查了由扇形统计图求总量，频数分布表，根据数据描述求频数，中位数的定义，求一组数据的平均数，用样本估计总体等知识点，熟练掌握频数、平均数、中位数的概念及扇形统计图、频数分布表是解题的关键． 20. 如图，一次函数的图象和反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）过点B作轴且，连接，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由反比例函数的图象过点可得，进而可得反比例函数解析式；由反比例函数的图象过点可得，于是可得，由一次函数的图象过，两点可得，解方程组即可求出、的值，进而可得一次函数解析式； （2）过点作于点，则，由，可得，，在中，根据勾股定理可得，进而可得，然后利用三角形的面积公式可得，由此即可求出的面积． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象过点， ， ， 反比例函数解析式为， 反比例函数的图象过点， ， ， 一次函数的图象过，两点， ， 解得：， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ， ，， ，， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合（一次函数与反比例函数的交点问题），求反比例函数解析式，求一次函数解析式，勾股定理，三角形的面积公式，解二元一次方程组等知识点，根据交点求出两个函数解析式是解题的关键． 21. 已知是的直径，P为外一点，且． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，勾股定理，相似三角形的性质和判定，切线的判定等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 对于（1），根据直径所对的圆周角是直角得，再根据平行线的性质得，进而得出，即可得出答案； 对于（2），先根据勾股定理求出，再说明，然后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【小问1详解】 证明：∵为的直径， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， ∵为半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 22. 在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备用每个6元的价格购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的关系式为：． （1）按照上述市场调查的销售规律，写出销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数解析式； （2）为了方便顾客，售价定为多少时可获利1200元； （3）若要想获得最大利润，试确定此时的销售单价，并求出此时的最大利润． 【答案】（1）； （2）为了方便顾客，售价定10元时可获利1200元． （3）当售价定为13元时，获得利润最大，最大利润为1470元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据题意可知销售利润等于销售成本减去进货成本，从而可以得到销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数解析式， （2）由（1）得利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数解析式，列一元二次方程求解，从而解答本题； （3）将w关于x的函数化为顶点式，根据二次函数的性质解答本题． 【小问1详解】 由题意可得，， ∴函数解析式为； 【小问2详解】 由（1）得销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数解析式为 当获利为1200元时，， 解得：或， 答：为了方便顾客，售价定10元时可获利1200元． 【小问3详解】 ∵， ∵， ∴图象开口向下， ∴当 时，w有最大值，最大值为1470． 即：当售价定为13元时，获得的利润最大，最大利润为1470元． 23. 问题背景：如图①，在矩形中，，点E是边的中点，过点E作交于点F． 实验探究： （1）在一次数学活动中，小明同学将图①中的绕点B按顺时针方向旋转，如图②所示，得到结论：①＝______；②直线与所夹锐角的度数为______； （2）小明同学继续将绕点B按顺时针方向旋转，旋转至点D，E，F在一条直线上，如图③所示位置时，求的面积； （3）在绕点B按顺时针方向旋转一周的过程中，记的面积为S，直接写出S的取值范围． 【答案】（1） ， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①利用矩形的性质、旋转的性质以及特殊角的三角函数值，证明，再结合相似三角形的性质求解即可； ②延长与交于点M，记交于点N，利用相似三角形的性质和三角形内角和定理求解即可； （2）过点A作于H，证明，结合相似三角形的性质求出，最后根据三角形面积公式求解即可； （3）在绕点B按顺时针方向旋转一周的过程中，的底边长度不变， 找出高最大，以及最小的情况求解即可． 【小问1详解】 解：①在矩形中，， ， ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 故答案为：； ②延长与交于点M，记交于点N， ， ， ， ， 即直线与所夹锐角的度数为， 故答案为：； 【小问2详解】 过点A作于H ∵D，E，F共线 ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴； 【小问3详解】 在绕点B按顺时针方向旋转一周过程中，的底边长度不变， 当A、E、F三点共线，面积最小，即， 记边上的高为h，根据垂线段最短可知， 当，重合时，的高最大为，此时面积最大， ， ， ， ， 即， 综上所述，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，垂线段最短，旋转的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 24. 如图，已知抛物线的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且． （1）求该抛物线的表达式； （2）如图①，在直线上方的抛物线上存在一点M，使得，求出M的坐标； （3）若点P是该抛物线上位于直线下方的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），点D在抛物线对称轴上，点Q是平面内任意一点，当B，P，D，Q四点构成的四边形为正方形时，请直接写出Q点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解二次函数解析式即可； （2）直线的表达式为，代入A、C求出表达式，过点M作轴，交于点N，设，则，结合，再根据即可求出答案； （3）求解对称轴为直线，顶点坐标为，如图，过作对称轴于，作轴于，过作轴于；，设，，证明，可得，，再建立方程求解即可；如图，过作轴于，过作轴于；过作对称轴于，同理可得：，可得，，如图，当为抛物线的顶点，重合时，记对称轴与轴的交点为，此时，，证明四边形是正方形，从而可得答案． 【小问1详解】 解：，， ， 将A、B、C代入，得 ， 解得， 抛物线的函数表达式为； 小问2详解】 解：设直线的表达式为， 代入A、C得， 解得， ， 过点M作轴，交于点N， 设，则， ， ， 即， 解得或， 或； 【小问3详解】 解：∵抛物线为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 如图，过作对称轴于，作轴于，过作轴于； ∴， 设，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴，， 同理可得：，， ∴， ∴； 如图，过作轴于，过作轴于；过作对称轴于， 同理可得：， ∴，， ∴， 解得：（舍去），， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴； 如图，当为抛物线的顶点，重合时，记对称轴与轴的交点为， 此时，， ∴，且， 此时四边形是正方形， ∴， 综上：或或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积问题，二次函数与特殊四边形问题，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $