9.5 专题特训（七）构造三角形中位线探究中点问题-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（苏科版）

58 　专题特训（七）　构造三角形中位线探究中点问题 ▶ “答案与解析”见P29 类型一 构造三角形中位线探究与中点有关的 角的关系 1. 如图,在四边形ABCD 中,E、F 分别是边 AB、AD 的中点,BC=10,CD=6,EF=4.若 ∠AFE=52°,则∠ADC 的度数为 ( ) (第1题) A. 140° B. 142° C. 150° D. 152° 2. 如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中 点,∠C=105°,将△ABC沿DE折叠,点A 的 对应点是A',则∠AEA'的度数为 ( ) (第2题) A. 145° B. 150° C. 155° D. 160° 3. 如图,在四边形ABCD 中,AB=CD,∠B+ ∠BCD=120°,E、F、G 分别是AD、BC、AC 的中点,则∠FEG 的度数为 . (第3题) 4. 如图,在四边形ABCD 中,∠ADC=90°,取 AC 的中点O,BC 的中点E,连接OD、OE, ∠CAD=∠CAB=20°,则∠DOE 的度数为 . (第4题) 5. 如图,在△ABC 中,E、F 分别为AC、BC 的 中点,D 为BC 上的一点,连接AD 交EF 于 点G,AE=EG. (1) 求证:∠CAD=∠BAD. (2) 若DG=DF,∠B=32°,求∠C 的度数. (第5题) 答案讲解 6. ★如 图①,在 四 边 形 ABCD 中, AB=CD,E、F 分别是BC、AD 的 中点,连接 EF 并延长,分别与 BA、CD 的 延 长 线 交 于 点 M、N,则 ∠BME=∠CNE(不需要证明). 温馨提示:在图①中,连接BD,取BD 的中 点H,连接HE、HF,根据三角形中位线定 理,证明HE=HF,从而有∠2=∠1,再利 用平行线的性质,可证得∠BME=∠CNE. (1) 如图②,在四边形ADBC 中,AB 与CD 相交于点O,AB=CD,E、F 分别是BC、 AD 的中点,连接EF,分别交CD、AB 于点 M、N,直接写出△OMN 的形状(不需要 证明). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级下 59 (2) 如图③,在△ABC 中,AC>AB,点D 在AC 上,AB=CD,E、F 分别是BC、AD 的中点,连接EF 并延长,与BA 的延长线 交于点G,连接DG.若∠EFC=60°,判断 △AGD 的形状,并给出证明. (第6题) 类型二 构造三角形中位线探究与中点有关的 边的关系 7. 如图,在△ABC 中,AB=8,AD 为△BAC 的 外角平分线,且AD⊥CD 于点D,E 为BC 的中点.若DE=10,则AC 的长为 ( ) (第7题) A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 答案讲解 8. 如图,在等边三角形ABC 中,AB= 6,AD⊥BC 于点D,BE⊥AC 于点 E,G、H 分别为AD、BE 的中点,连 接GH,则GH 的长为 ( ) A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 (第8题) (第9题) 9. 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6, BC=8,N 是边BC 上一点,M 为边AB 上的 动点,D、E 分别为CN、MN 的中点,则DE 长的最小值是 . 类型三 构造三角形中位线探究与中点有关的 图形的周长或面积问题 10. 如图,D、E 分别是△ABC 的边AB、AC 的 中点,G 是EC 的中点,连接DG 并延长,交 BC 的延长线于点F.若△GCF 的面积为a, 则△ABC 的面积为 ( ) (第10题) A. 5a B. 6a C. 7a D. 8a 11. 如图,在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,D、E 分别是AB、BC 的中点,点F 在CA 的延长 线上,∠FDA=∠B,AC=6,AB=8,则四 边形AEDF 的周长为 . (第11题) (第12题) 12. 如 图,在 四 边 形 ABCD 中,AD =BC, ∠DAB=50°,∠CBA=70°,P、M、N 分别 是AB、AC、BD 的中点.若 BC=10,则 △PMN 的周长是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第9章　中心对称图形——平行四边形 如图,延长DF 交AB 于点G. 由题意,知∠EDF=∠ACB=90°, DE=DF. ∴ DG∥CB. ∵ D 为AC的中点, ∴ G 为AB 的中点,且DC=12AC. ∴ DG 为△ABC的中位线. ∴ DG=12BC. ∵ AC=BC, ∴ DC=DG. ∴ DC-DE=DG-DF,即EC= GF. ∵ ∠EDF=90°,FH⊥FC, ∴ ∠1 + ∠CFD = 90°,∠2 + ∠CFD=90°. ∴ ∠1=∠2. ∵ △DEF 与△ABC 都是等腰直角 三角形, ∴ ∠DEF=∠B=45°. ∵ DG∥CB, ∴ ∠AGD=∠B=45°. ∴ ∠CEF=∠FGH=135°. ∴ △CEF≌△FGH. ∴ CF=FH. (2) (1)中得出的结论不发生改变. (第13题) 专题特训（七）　构造三角形 中位线探究中点问题 1. B [解析] 如图,连接BD.∵ E、 F 分别是边AB、AD 的中点,∴ EF 是△ABD 的中位线.∴ BD=2EF= 2×4=8,EF∥BD.∴ ∠ADB= ∠AFE =52°.∵ 在 △BDC 中, BD2+CD2=82+62=100,BC2= 102=100,∴ BD2+CD2=BC2. ∴ ∠BDC = 90°.∴ ∠ADC = ∠ADB+∠BDC=52°+90°=142°. (第1题) 2. B [解析] ∵ D、E分别是AB、AC 的中 点,∴ DE∥BC.∴ ∠AED= ∠C=105°.由 折 叠 的 性 质,可 知 ∠A'ED=∠AED=105°.∴ ∠AEA'= 360°-105°-105°=150°. 3. 30° [解析] 如图,连接FG.∵ E、 F、G 分别是AD、BC、AC 的中点, ∴ EG 是△ACD 的中位线,FG 是 △ACB 的中位线.∴ EG=12CD , EG∥CD,FG= 12AB ,FG∥AB. ∵ AB = CD,∴ EG = FG. ∴ ∠FEG=∠EFG.∵ EG∥CD, ∴ ∠EGA=∠ACD.∵ FG∥AB, ∴ ∠CFG = ∠B.∵ ∠AGF = ∠CFG+∠ACB=∠B+∠ACB, ∴ ∠EGF = ∠AGF + ∠EGA = ∠B + ∠ACB + ∠ACD = ∠B + ∠BCD=120°.∴ ∠FEG=∠EFG= 1 2× (180°-120°)=30°. (第3题) 4. 60° [解析] 在Rt△ACD 中,∵ O 是 AC 的 中 点,∴ OD = AO. ∴ ∠ADO=∠CAD=20°.∴ ∠DOC= 40°.∵ E 为BC 的中点,O 是AC 的 中点,∴ OE∥AB.∴ ∠COE = ∠CAB=20°.∴ ∠DOE=∠DOC+ ∠COE=60°. 5. (1) ∵ E、F 分别为AC、BC 的 中点, ∴ EF 是△ABC的中位线. ∴ EF∥AB. ∴ ∠EGA=∠BAD. ∵ AE=EG, ∴ ∠CAD=∠EGA. ∴ ∠CAD=∠BAD. (2) ∵ EF∥AB,∠B=32°, ∴ ∠DFG=∠B=32°. ∵ DG=DF, ∴ ∠DGF=∠DFG=32°. ∴ ∠GDF=180°-32°-32°=116°, ∠EGA=∠DGF=32°. ∵ AE=EG, ∴ ∠EAG=∠EGA=32°. ∴ ∠C=∠GDF-∠EAG=116°- 32°=84°. 6. (1) △OMN 为等腰三角形. (2) △AGD 是直角三角形. 如图,连接BD,取BD 的中点H,连 接HF、HE. ∵ F是AD的中点,H 是BD的中点, ∴ HF∥AB,HF=12AB. 同理,可得HE∥CD,HE=12CD. ∵ AB=CD, ∴ HF=HE. ∵ ∠EFC=60°,HE∥AC, ∴ ∠FEH=∠EFC=60°. ∴ △EHF 是等边三角形. ∴ ∠HFE=60°. ∵ HF∥AB, ∴ ∠AGF=∠HFE=60°. ∵ ∠AFG=∠EFC=60°, ∴ ∠GAF=60°. ∴ △AGF 是等边三角形. ∴ AF=GF. ∵ F 是AD 的中点,即AF=FD, ∴ GF=FD. ∴ 易 得 ∠FGD = ∠FDG = 1 2∠AFG=30°. ∴ ∠AGD=∠AGF+∠FGD=90°, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 92 即△AGD 是直角三角形. (第6题) 构建三角形中位线解决 与中点有关的问题 当问题条件中出现两个或两 个以上中点时,常常将它们分别看 成是三角形两边的中点构造第三 边或者构建具有公共边的两个三 角形,使其能构造两个三角形的中 位线,并转化为相等的两条边,从 而转化为等腰三角形,再利用图形 中隐含的等腰三角形解决问题. 7. A [解析] 如图,延长BA、CD 交 于点F.由题意,得AD 平分∠CAF, ∴ ∠CAD=∠FAD.∵ AD⊥CD, ∴ ∠ADC=∠ADF=90°.在△ADF 和 △ADC 中, ∠DAF=∠DAC, AD=AD, ∠ADF=∠ADC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADF≌△ADC.∴ DF=DC, AF=AC.又∵ E 是BC 的中点, DE=10,∴ BF=2DE=20.∴ AF= BF-AB=12.∴ AC=AF=12. (第7题) 8. B [解析] 如图,取AB 的中点F, 连接GF、HF.∵ △ABC为等边三角 形,∴ ∠BAC=∠ABC=60°,AB= AC=BC.∵ AB=AC,AD⊥BC, BC=6,∴ BD=12BC=3. 同理,可 得AE=3.∵ G、F 分别为AD、AB 的中点,∴ GF 是△ABD 的中位线. ∴ GF= 12BD =1.5 ,GF∥BD. ∴ ∠AFG=∠ABC=60°.同理,可得 FH=1.5,∠BFH=∠BAC=60°. ∴ GF=FH,∠GFH=60°.∴ △GFH 为等边三角形.∴ GH=GF=1.5. (第8题) 9. 12 5 [解析] 连接CM.∵ D、E 分 别为 CN、MN 的 中 点,∴ DE = 1 2CM. 当CM⊥AB 时,CM 的长取 得最小值,此时DE 的长也取得最小 值.在Rt△ABC 中,由勾股定理,得 AB= AC2+BC2= 62+82=10. ∵ S△ABC= 1 2AB ·CM=12AC · BC,∴ CM=245.∴ DE=12CM= 12 5.∴ DE 长的最小值是125. 10. D [解析] 如图,连接CD.∵ D、 E 分别是△ABC 的边AB、AC 的中 点,∴ AE=EC,DE∥BF,BC= 2DE.∴ ∠F=∠EDG.∵ G 是EC 的中点,∴ EG=CG.又∵ ∠DGE= ∠FGC, ∴ △DGE ≌ △FGC. ∴ S△DGE=S△FGC=S△DGC=a,DE= CF.∴ S△ADE=S△DEC=S△DCF=2a. ∵ BC = 2DE,∴ BC = 2CF. ∴ S△BDC=2S△DCF=4a.∴ S△ABC= S△ADE+S△DEC+S△BDC=8a. (第10题) 11. 16 [解析] 在Rt△ABC中,∵ AC= 6,AB=8,∴ BC= AC2+AB2= 10.∵ E 是BC 的中点,∴ AE= BE=12BC=5.∴ ∠BAE=∠B. ∵ ∠FDA = ∠B,∴ ∠FDA = ∠BAE.∴ DF∥AE.∵ D、E 分别是 AB、BC 的中点,∴ DE∥AC,DE= 1 2AC=3.∴ 四边形AEDF 是平行 四边形.∴ 四边形AEDF 的周长= 2×(3+5)=16. 12. 15 [解析] ∵ P、M 分别是AB、 AC 的中点,∴ PM∥BC,且PM= 1 2BC=5.∴ ∠APM =∠CBA= 70°.同 理,可 得 PN∥AD,PN = 1 2AD= 1 2BC=5.∴ ∠BPN = ∠DAB=50°.∴ PM =PN =5, ∠MPN =180°-50°-70°=60°. ∴ △PMN 为等边三角形.∴ △PMN 的周长为3×5=15. 专题特训（八）　多姿的 中点四边形 1. C 2. AC⊥BD 3. (1) 平行四边形. (2) 四边形EFGH 为菱形. 理由:如图,连接AC、BD. ∵ △AMD 和△MCB 为等边三角形, ∴ AM=DM,∠AMD=∠CMB= 60°,CM=BM. ∴ ∠AMC=∠DMB. 在△AMC和△DMB 中, AM=DM, ∠AMC=∠DMB, CM=BM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AMC≌△DMB. ∴ AC=DB. ∵ E、F、G、H 分别为AB、BC、CD、 AD 的中点, ∴ EF 是△ABC 的中位线,GH 是 △ACD 的中位线,HE 是△ABD 的 中位线. ∴ EF∥AC,EF=12AC ,GH∥AC, GH=12AC ,HE=12DB. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 03