第9章 小练11 三角形的中位线-【小练大卷得高分】2024-2025学年八年级下册数学单元同步练习（苏科版 含测试卷）

第9章中心对称图形一平行四边形 小练① 三角形的中位线 建议用时32分钟 答案D15 练重点 5.(较难)如图，△ABC的周长为 扫码看讲解○ 28,点D,E都在边BC上， 重点①利用中位线求角度 ∠ABC的平分线垂直于AE, 1.(中等)如图，在四边形ABCD中，AD=BC,E, 垂足为Q,∠ACB的平分线垂 F,G分别是AB,CD,AC的中点.若∠DAC 直于AD,垂足为P.若BC=10,则PQ的长 17°，∠ACB=91°，则∠FEG的度数为 是 () A.36°B.72 C.74° D.37 D 6.(难)如图，在△ABC中，∠A= 扫码看讲蒂○ 60°，AC>AB>2,点D,E分 第1题图 第2题图 别在边AB,AC上，且BD= 2.(2023春·浙江杭州期中，中等)在△ABC CE=2,连接DE,M是DE的 中，D,E,F分别是边BC,AB,AC的中点， 中点，N是BC的中点，则线段MN的长为 AH⊥BC于点H,连接FH.若∠DEF= 50°，则∠CFH= 重点☑利用中位线求线段长度 3.(2023春·无锡锡山区期末， 扫码看讲解⊙ 较难)如图，在四边形ABCD 重点3利用中位线求周长 中，AB=3,CD=7,E,F分别 7.(中等)如图，已知矩形ABCD的对角线AC 是AD,BC的中点.若EF的 的长为10cm,顺次连接各边中点E,F,G,H 长恰为整数，则EF的长可以是 得到四边形EFGH,则四边形EFGH的周 A.2,3,4 B.3,4 长为 cm. C.3,4,5 D.2,3,4,5 第3题图 第4题图 第7题图 第8题图 4.(中等)如图，在四边形ABCD中，∠ADC 8.(中等)如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD, 90°，∠CAD=30°，AB=AC,E,F分别为BC, AD=6,BD=8,CD=6,E,F,G,H分别是 AC的中点，连接DE,DF,EF.若∠B=75°， AB,AC,CD,BD的中点，则四边形EFGH AB=2,则DE的长为 的周长是 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 小练大卷得高分数学八年级下册 重点4利用中位线求面积 重点⑥利用中位线规律探究 9.(较难)如图，△ABC的面积是 扫码看讲解○ 13.(较难)如图，在△A1B1C1中， 扫码看讲解○ 24,D,E,F,G分别是BC ]: A1B1=4,AC1=5,B1C= AD,BE,CE的中点，则△AFG 7.A2,B2,C2分别是边B1C, AC1,AB的中点；Ag,B3, 的面积是 ( C3分别是边B2C2,A2C2, A.9 B.10 C.11 D.12 AzB2的中点；…；以此类推，则第2022 个三角形的周长是 第9题图 第10题图 10.(2024·宿迁泗阳县期末，中等)如图，在 △ABC中，AD是高，E,F分别是AB,AC 第13题图 第14题图 的中点，AB=8,AC=6,则四边形AEDF 14.(较难)如图，将△ABC沿过扫码看讲解© AB中点D的直线折叠，使 g 面积的最大值是 点A落在边BC上的点A 11.(中等)如图，在△ABC中，D,E分别是边 处，称为第1次操作，折痕 AB,AC的中点，F是边BC上的一个动点， DE到边BC的距离记为h1, 连接DE,EF,FD.若△ABC的面积为 还原纸片后，再将△ADE沿过AD中点D1 18cm,则△DEF的面积是 cm2. 的直线折叠，使点A落在边DE上的点A2 处，称为第2次操作，折痕到△ABC的边 BC的距离记为h2；…按上述方法不断操 作下去，经过第2022次操作后得到的折痕 D2o2:E221到△ABC的边BC的距离记为 h2o2.若h1=1,则h2o2z的值为 重点⑤利用中位线求最值 练思维 12.(难)如图，在Rt△ABC中， 扫码看讲解C 15.(难)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，CA=CB=2, 扫码酒讲游⊙ ∠ABC=90°，∠ACB=30°， CD⊥AB于点D,E为BC的 AB=2cm,E,F分别是AB, 中点，F为CD上一动点，P AC的中点，动点P从点E 为AF的中点，连接PE,则PE的最小值是 出发，沿EF方向匀速运动，速 () 度为1cm/s,同时动点Q从点B出发，沿 BF方向匀速运动，速度为2cm/s,连接 A.2 B.4 C.√2 D.2√2 PQ.设运动时间为ts(0<t<1),则当t的 值为 时，△PQF为等腰三角形. 38 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略AB,E-4X2=45.②若点F在边AD上，如图4，在 AE 25 R△AE有△BF中，：R△AER△BF (HL)∴∠BAE=∠ABF,∴.OB=OA.∠BAE+∠AEB= 90°，∠ABF+∠EBF=90,.∠AEB=∠EBF,,.OB=OE, ..OA=OB=OE.,∠ABE=90°，AB=4,BE=2..AE 图2 个+2=25,0B=AE=5.综上所述，B0的长为 欧E /过 图3 7.C解析：如图，过点G作GH⊥BC.垂足为H,则∠GHF= 90°.四边形ABD是正方形，，.CD=AB=4,∠B=90“ 上 ∴∠GHF=∠B.由旋转的性质，得FG=EF,∠EFG=90°， 图3 图4 ,∴.∠EFB+∠HPFG=90°.∠BEF+∠BFE=90°， 小练11三角形的中位线 ∠HFG=∠BEF,∴.△FHG2△EBF(AAS),.GH=L.D解析：如图，延长FG交AB于点M.AD=BC,E,F,G BF=1.∴.点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上， 分别是AB,CD,AC的中点，∠DAC=17°，∠ACB=91, .当点G在边CD上时，DG最小且DG=4-1=3,.DG长 的最小值为3 ∴GF∥AD,GF=2ADEG∥BC,EG=2BC,EG=GF, ∠AGE=∠ACB=91°，∠AGM=∠FGC=∠DAC=17, ∴∠FEG=∠EG,∴.∠MGE=∠AGE-∠AGM=∠FG+ ∠EFG=2∠FEG=91°-17=74°，∴.∠FEG=37 D B F 8.解：(1)①如图1，四边形ABCD是正方形，∴.AB=BC CD=AD,∠ABE=∠C=90°，'.∠BAE+∠AEB=90° BF⊥AE,.∠CBF+∠AEB=90°，.∠BAE=∠CBF E I∠BAE=∠CBF, 窗思路分析根据三角形中位线定理得到EG=GF,利用等腰三 在△ABE和△BCF中，AB=BC, .△ABE2 角形的性质得到∠FEG-∠EFG,延长FG交AB于点M,利用 ∠ABE=∠C, 平行线的性质和三角形外角的性质计算即可。 △BCF(ASA),BF=AE,②OD=AB.证明如下：如图2.8O°解析：D.E,F分别是边BC,AB,AC的中点，EF∥ 2,延长AD,交射线BM于点G.,△ABE≌△BCF,.BE BC.DE∥AC.∴.∠EDB=∠DEF=50,.∠CH=∠EDB= 0°.又：AH⊥BC,∴.HF是R:△AHC斜边上的中线， CR:E为边BC的中点∴C下=BE=号BC=号DC,CF ∴HF=2AC=FC,∠FHC=∠FCH=50,·∠CFH= DF.:DG∥BC,.∠DGF=∠CBF.在△DGF和△CBE ∠DGF=∠CBF, 180°-∠FCH-∠FHC=180°-50°-50°=80. 中，∠DFG=∠CFB,∴.△DGF≌△CBF(AAS),∴.DG= 3.C解析：如图，连接AF并延长至点G,使得FG=AF,连接 DF-CF. GC,GD.:F是边BC的中点，∴.BF=CF.在△BAF与 AF-FG. BC.DG-AD.BF LAE.:.OD=AG=AD-AB. △CGF中，∠AFB=∠GFC,,.△BAF≌△CGF(SAS), D BF=CE .AB-GC.'GC=AB=3,CD=7,7-3<GD<7+3. ∠ABC=∠DCB=90时，G,D,C三点共线，.4<GD≤10. :E,F分别是边AD,AG的中点EF=2GD,∴2<EF≤ 5.又EF的长恰为整数，EF的长可以是3,4,5. D 图1 图2 (2)①若点F在边CD上，如图3.在Rt△ABE和Rt△BCF 电，{AE:∴R△ABE≌R△BCF(HL∠BAE ∠CBF.:∠BAE+∠AEB=90°，∴.∠CBF+∠AEB=90, ∠AOB=90.:∠ABE=90,AB=4,BE=2,∴AE /A+2=25.:SE=2AB·BE=号AE·B0.∴B0 G 小练大卷得商分·数学·八年级下册答案 ·D15. 留思路分析连接AF并延长至点G,使得AF=FG,连接CG,8.16解析：：BD⊥CD,BD=8,CD=6,∴.在Rt△BDC中， DG,证明△BAF≌△(CGF,根据三角形的三边关系定理，可得 BC=,BD+CD=,8+6=10.又，E,F,G,H分别是 GD的范围，最后根据中位线的性质即可求解. AB,AC,CD,BD的中点，AD=6,EH=FG=2AD=3, 4.2解析：：∠ADC=90°，F为AC的中点，.DF=AF= 2ACF,E分别为AC,BC的中点∴EF为△ABC的中 EF=GH=BC=5四边形EFGH的周长=EH+GH FG+EF=3+5+3+5=16. 位线EF=号AB-1.:AB=AC,∴DF=EF=1“∠B=9.A解析：D是BC的中点，AD是△ABC的中线， 75..∠ACB=∠B=75°..∠BAC=30.∠CAD=30°， EF∥AB,AF=DF,.∠EFC=∠BAC=30°，∠DFC= Sm=5x=号Sr=号×24=12.同理可得Sr 2∠DAC=60°，∴.∠DFE=90°，∴.DE=DF+EF= 25a腰=56m=3,5aa=3,SaE=号Sa=12.又 /T+1正=w泛 5.4解析：△ABC的周长是28，BC=10,∴.AB+AC=28 :FG是△BCE的中位线，Sam=寻S=3, 10=18.∠ABC的平分线垂直于AE,,∴.∠ABQ=∠EBQ. ∴.Sm=3十3+3=9. ∠ABQ=∠EBQ, BQ⊥AE.在△ABQ和△EBQ中，BQ-BQ. 眉思路分析由三角形中线的性质，得5m=S=之S AQB-/EQB. 12网理可得Sr=号5堰=号5m=3.Sm,=3Sam ∴.△ABQ2△EBQCASA)..AQ=EQ,AB=EB.同理可得 AP=DP,AC=DC,∴.DE=BE+DC-BC=AB十AC 之Sm=12,再南三商形中位线定现得Sm=Sam=3, BC=18-10=8.:'AQ=-EQ,AP=DP,.PQ是△ADE的 即可解决问题， 中位线.PQ=号DE=号×8=4 10.12解析：，E,F分别是AB,AC的中点，S6m 圆关醒点拨判断出△BAE,△CAD是等腰三角形，利用等腰三 号S8m,Sn=号5m又：56o+5m= 角形的性质确定PQ是△ADE的中位线. 6.3解析：如图，过点C作CH∥AB,连接DN,延长DN交 Sr,Sw十SD=Sm∴Sam=号Sm CH于点H,连接EH,过点C作C)⊥EH于点J.:BD∥ AB=8,AC=6,∴.当ABLAC时，Swr最大，此时S= CH,..∠B=∠NCH.BN=CN,∠DNB=∠HVC 之AB·AC-号×8X6=24,Sw=Sm=12 .△DNB≌△HNC(ASA)..BD=CH,DN=NH.又 BD=EC=2..EC=CH=2.∠A+∠ACH=180,∠A= 1L.4.5解析：如图，连接BE.,E是边AC的中点，△ABC的 60°，∴.∠ECH=120,∠CEJ=∠CHJ=30.'CJ⊥EH, 面积为18m,∴Sa=号5w=9m.:D是边AB “C=CE=号X2=1,E以=JH=CE-C可= 的中点，Sm=号Sn=45am,:D,E分别是边 2-1=3,.EH=2EJ=2V3.DM=ME,DN= AB,AC的中点，∴.DE∥BC,∴.SE=S△器=4.5c. NH,MN=号EH=3. F C 12.C解析：如图，当点F与点D重合时，AF的中点为P':当 点F与点C重合时，AF的中点为P”,连接EP',EP 回思路分析过，点C作CH∥AB,连接DN,延长DN交CH于 PP,则PP∥CD,EP∥AB.CD⊥AB,∴.EP⊥P'P 点H,连接EH,过点C作C)⊥EH于点J.首先证明CH=EC 由题意可知，点P在P'P”上运动.EP⊥PP”,点P在 ∠ECH=120°，然后由勾股定理求出E/=JH=/3,进而求出 P”位置时，PE最小，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB= EH,最后利用三角形中位线定理即可解决问题。 2.∴.AB=CA+CB=、2+2=22,又由三角形的 7.20解析：：H,G分别是AD,CD的中点，∴.HG是△ACD 的中位线，HG=交AC=5cm同理可得EF=5cm根据 中位线定理可得EP=2AB=瓦.PE的最小值为②. B 矩形的对角线相等，连接BD,得到EH=FG=5cm,∴.四边 形EFGH的周长为20cm. H D 2 关键点拨利用三角形的中位线定理求出四边形各条边的长园关键点拨连接EP,EP,PP”,根据三角形中位线定理得到 是解题的关键，注意：矩形的对角线相等，三角形的中位线平行 于第三边，并且等于第三边的一半 EP广=号AB,根据鱼线段最短解答即可 小练大卷得商分·数学·八年级下册答案 ·D16. 13.2而解析：在△A,BC中，A,B=4,A,C=5,B,C=国方法总结本题是动点型问随，解题关键是掌提动点运动过程 中的图形形状，线段长的表示方法.注意题中求1的方法，最终 7,∴△ABC的周长是16：Az,B2,C分别是边BC, 都是转化为一元一次方程求解，学会用分类讨论的思想解决 AC,AB的中点，∴BC,AC2,AB分别等于BC, 问题 CAAB的-半，·△A,BC的周长是2×16=8：同 专题一图形的旋转 理.△ABC的周长是号×号×16=空×16=4.，以此 1.B解析：由旋转的性质，得∠ACB=∠ACB=90°，∠BAB 2 40°，..∠ABC'=90°-∠BAB=90°-40°=50°. 类推，△1BC的周长是×16=六△4心岳Ce 2.30或150°解析：当点D在点A的左侧时，如图1，"AB 1 1 的周长是2可一22而 AC,∠BAC=40,∠ABC=2(180-∠BAC)=70 :AD∥BC.∴∠BAD=∠ABC=70°.∴·∠BAE=∠BAD 冒思路分析由三角形的中位线定理可知，BC,AC,AB分 ∠DAE=70°-40°=30°：当点D在点A的右侧时，如图2， 别等于BC,CA,AB,的一半，故△ABC的周长等于 △ABC的周长的一半，以此类推，利用规律可求出 AB=AC,∠BAC=40,·∠ACB=I80°-∠BAC)= △A:e:Be出C生e2的周长. 70°，AD∥BC,,.∠DAC=∠ACB=70°，，.∠BAE 42-(号)m 解析：由题意可知，h1=2一1=1，h:=2 ∠BAC+∠DAC+∠DAE=40°+70°+40°=150°.综上所 述，当AD∥BC时，∠BAE的度数为30或150， 合-是=2-（公）》…则世=2-（侵）m 圆方法总结本题是图形的变化类问题，解答本题的关键是明确 题意，发现数宇的变化特点，利用数形结合的思想解答 152-废解析：ZAC=90,∠ACB=30.AB 2 cm.:'.AC=2AB=4 cm.BC=/AC-AB== 25(cm.,E,F分别是AB,AC的中点，∴.EF∥BC,且 B 图1 图2 EF=BC=5cm,BF=号AC=2cm由题意，得EP= 3.120°75°解析：如图.以AB为边向右作等边三角形 t cm,BQ=2t em,.'.PF=(3-1)cm.FQ=(2-2t)cm. ABE,连接EP.,△BPP,△ABE是等边三角形，∴.BE 三种情况：①当PF=FQ时，如图1，△PQF为等腰三角形， AB,∠PPB=∠PBP=∠ABE=6O,BP=BP,.∴.∠PBP 则3-1=2一21，解得1=2-3：②当PQ-FQ时，如图2， ∠PBE=∠ABE-∠PBE,即∠EBP=∠ABP.在△EBP △PQF为等腰三角形，过点Q作QD⊥EF于点D,则PF BE-=BA. 2DF,:F是AC的中点∴.BF=2AC=CF,∠FBC 和△ABP中，∠EBP=∠ABP,∴.△EBP≌△ABP(SAS). BP'=BP. ∠C=30°，又，EF∥BC,∴.∠PFQ=∠FBC=30°，.DQ= ∴∠BEP=∠BAP=O,∴.点P在射线EP'上运动.设 2FQ=(I-)cm,在R△FDQ中，DF=,FQ-DQ EP交BC于点O.当点P落在边BC上时，点P与点O重 合，此时∠PPC=180°-∠PPB=180°-60°=120°，当CP1 3(1-t)cm..'PF=2DF=23(1-t)cm.'.'EF=EP+ EP',即∠EPC=90时，CP的长度最小，此时CP∥BE, PF=月cm1+231-)=3,解得1=6，③当 ÷∠0CP=∠0BE=30,0E=20B.0P=20C PF=PQ时，∠PFQ=∠PQF=30°，则∠FPQ=120°，而在 ∴EP'=OE+OP=2OB+2OC-=2BC.又BC=2AB, 点P,Q的运动过程中，∠FPQ最大为90°，故此种情况不成 .EP=AB=BE,∴.∠EBP=∠EPB=45,.∠BPC= 立综上所述，当：的值为2-万或时，△PQF为等 ∠EPB+∠EP'C=45°+90°=135°，∴.∠PP'C=∠BP'C 腰三角形. ∠PP'B=135°-60°=75. 图 p 酮方法总结本题属于动点问题之主从联动.首先确定，点P的 运动轨迹（可以先考虑点P的特殊位置，确定，点P的位置，再考 虑点P的一般位置，归的点P的轨迹，一般为直线或回)，再确 定点P的最值位置，进而算出最值， 4.C解析：如图，连接BM,四边形ABCD是正方形 ,.∠D=90°，BC=CD=AD=AB=3.DM=1,.CM= CD-DM=3-1=2.,△AEM与△ADM关于AM所在的 小练大卷得商分·数学·八年级下册答案 ·D17.