第18章 平行四边形 复习-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（人教版）

64 第十八章复习 ▶ “答案与解析”见P42 考点一 平行四边形的判定与性质 典例1 (2024·绵阳期末)在平面直角坐标系 中,以O(0,0),A(1,2),B(4,0),C 为顶点构造 平行四边形,请写出一个满足条件的点C 的坐 标: . 跟踪训练 1. (2023· 成 都 金 牛 期 末)如图,在四边形 ABCD 中,∠ABD=∠BDC=90°,点E 在 AB 上,DE∥BC. (1) 求证:四边形EBCD 是平行四边形. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级下 65 (2) 若∠A=30°,DE 平分∠ADB,CD=1, 求AB 的长. (第1题) 考点二 矩形的判定与性质 典例2 (2024·牡丹江)已知矩形ABCD 的面 积是90,对角线AC,BD 交于点O,E 是边BC 的三等分点,连接DE,P 是DE 的中点,OP= 3,连接CP,则PC+PE 的值为 . 跟踪训练 2. 如图,在▱ABCD 中,E 是AD 上一点,连接 BE,F 为BE 的中点,且AF=BF. (1) 求证:四边形ABCD 为矩形. (2) 过点F 作FG⊥BE,交BC 于点G.若 BE=BC,S△BFG=5,CD=4,求CG 的长. (第2题) 考点三 菱形的判定与性质 答案讲解 典例3 (2024·通辽)如图,▱ABCD 的对角线AC,BD 交于点O,下列条件 不能证明四边形ABCD 是菱形的为 ( ) (典例3图) A. ∠BAC=∠BCA B. ∠ABD=∠CBD C. OA2+OB2=AD2 D. AD2+OA2=OD2 跟踪训练 3. (2023·南阳新野期末)如图,在▱ABCD 中, CD=BD,DE 平分∠BDC,交BC 于点O, 交AB 的延长线于点E,连接CE. (1) 求证:四边形BECD 是菱形. (2) 若AB=5,AD=6,求四边形BECD 的 面积. (第3题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十八章　平行四边形 66 考点四 正方形的判定与性质 典例4 (2024·重庆)如图,在边长为4的正方 形ABCD 中,E 是BC 上一点,F 是CD 延长线 上一点,连接AE,AF,AM 平分∠EAF 交CD 于点M.若BE=DF=1,则DM 的长为 ( ) (典例4图) A. 2 B. 5 C. 6 D. 12 5 跟踪训练 4. (2024·呼和浩特)如图,∠ACB=∠AED= 90°,AC=FE,AB 平分∠CAE,AB∥FD. (1) 求证:四边形ABDF 是平行四边形. (2) 过点B 作BG⊥AE 于点G.若CB= AF,请直接写出四边形BGED 的形状. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1. (2024·蚌埠期末)如图,在△ABC 中,AB= 6,AC=8,BC=10,△ABD,△ACE,△BCF 都是等边三角形.下列说法中,错误的是( ) A. AB⊥AC B. EF=6 C. 四边形AEFD 是平行四边形 D. S四边形AEFD=243 (第1题) (第2题) 2. (2023·台州临海期末)如图所示为一种正方 形地砖,它的图案是由四个全等的三角形和 一个四边形构成的,经测量,中间四边形较小 的锐角为60°.设中间四边形的面积为S1,正 方形的面积为S2,则 S1 S2 的值为 . 3. (2023·河南一模)已知正方形ABCD 的边 长为4,点M,N 在对角线AC 上(可与点A, C 重合),MN=2,点P,Q 在正方形的边上. 有下列结论:① 存在无数个四边形PMQN 是平 行 四 边 形;② 存 在 无 数 个 四 边 形 PMQN 是 菱 形;③ 存 在 无 数 个 四 边 形 PMQN 是矩形;④ 至少存在一个四边形 PMQN 是正方形.其中,正确的是 (填序号). 4. (2024·兰州)如图,在△ABC中,AB=AC,D 是 BC的中点,CE∥AD,AE⊥AD,EF⊥AC 于点 F.若BC=4,CE=3,则EF的长为 . (第4题) (第5题) 答案讲解 5. (2023·南通如皋期末)如图,在菱 形 ABCD 中,AB=6,∠BAD= 60°.E 是对角线BD 上的一个动点 (不与点B,D 重合),连接AE,以AE 为边 作菱形AEFG,点G 位于直线AB 的上方,且 ∠EAG=60°,P 是AD 的中点,连接PG,则 线段PG 长的最小值是 . 6. (2023· 周 口 郸 城 期 中)如图,在四边形 ABCD 中,E,F 分别是AD,BC 的中点. (1) 若 AB=10,CD=24,∠ABD=30°, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级下 67 ∠BDC=120°,求EF 的长. (2) 若∠BDC-∠ABD=90°,求证:AB2+ CD2=4EF2. (第6题) 7. (2023·朝阳凌源期末)如图,在矩形ABCD 中,延长BC 至点E,使得BE=BD,连接 DE,F 为 DE 的 中 点,连 接 AF,CF.若 AB=3,AD=4. (1) 求CF 的长. (2) 求证:CF⊥AF. (3) 若矩形ABCD 的边长为任意值,其他条 件不变,CF⊥AF 还成立吗? 请说明理由. (第7题) 8. (2023·广州荔湾期中)如图,四边形ABCD 为正方形,E 为线段AC 上的一点,连接DE, 过点E 作EF⊥DE,交射线BC 于点F,以 DE,EF 为邻边作矩形DEFG,连接CG. (1) 求证:矩形DEFG 是正方形. (2) 若AB=2,CE=2,求CG 的长. (3) 当线段DE 与正方形ABCD 的某条边的 夹角是32°时,求∠EFC 的度数. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十八章　平行四边形 第十八章复习 ［知识体系构建］ 平行且相等 平行 一半 相等 斜边的一半 垂直 ［高频考点突破］ 典例1 答案不唯一,如(5,2) [跟踪训练] 1. (1) ∵ ∠ABD= ∠BDC=90°, ∴ AB∥CD. ∵ DE∥BC, ∴ 四边形EBCD 是平行四边形. (2) 由(1),可知四边形EBCD 是平行 四边形, ∴ BE=CD=1. ∵ ∠ABD=90°,∠A=30°, ∴ ∠ADB=180°-90°-30°=60°. ∵ DE 平分∠ADB, ∴ ∠ADE=∠BDE= 12∠ADB= 30°. ∴ ∠A=∠ADE. ∴ AE=DE. ∵ 在 △BDE 中,∠EBD =90°, ∠BDE=30°, ∴ DE=2BE=2. ∴ AE=2. ∴ AB=AE+BE=2+1=3,即AB 的长为3. 典例2 13或 109 [解析] 当 CE>BE 时,如 图 ①,∵ 四 边 形 ABCD 是矩形,∴ O 是BD 的中点. ∵ P 是DE 的中点,∴ 易得BE= 2OP=6,PC=PE=PD.∵ E 是边 BC的三等分点,∴ CE=2BE=12, BC=3BE=18.∵ 矩形ABCD 的面 积是90,∴ BC·CD=90.∴ CD=5, ∴ DE= CD2+CE2= 52+122= 13.∴ PC+PE=DE=13.当CE< BE 时,如图②,∵ 四边形ABCD 是 矩形,∴ O 是BD 的中点.∵ P 是 DE 的中点,∴ 易得BE=2OP=6, CP=PE=PD.∵ E 是边BC的三等 分点,∴ CE=12BE=3.∴ BC=3+ 6=9.∵ 矩形ABCD 的面积是90, ∴ BC·CD=90.∴ CD=10.∴ DE= CE2+CD2= 32+102= 109. ∴ PC+PE=DE= 109.综上所 述,PC+PE 的值为13或 109. (典例2图) [跟踪训练] 2. (1) ∵ F为BE的中 点,AF=BF, ∴ AF=BF=EF. ∴ ∠BAF = ∠ABF,∠FAE = ∠FEA. 在△ABE 中,∵ ∠BAF+∠ABF+ ∠FAE+∠FEA=180°, ∴ 2(∠BAF+∠FAE)=180°. ∴ ∠BAF + ∠FAE = 90°,即 ∠BAE=90°. 又∵ 四边形ABCD 为平行四边形, ∴ 四边形ABCD 为矩形. (2) 如图,连接EG,过点E 作EH⊥ BC,垂足为H. ∴ 易得四边形EHCD 是矩形. ∴ HE=CD=4. ∵ F 为BE 的中点,FG⊥BE, ∴ BG=EG. ∵ S△BFG=5, ∴ 易得S△BGE=10= 1 2BG ·HE. ∴ BG=EG=5. 在Rt△GEH 中,GH= EG2-HE2= 52-42=3. ∴ BH=BG+GH=8. 在Rt△BEH 中,BE= BH2+HE2= 82+42=45. ∵ BE=BC, ∴ BC=45. ∴ CG=BC-BG=45-5. (第2题) 典例3 D [解析] ∵ ∠BAC= ∠BCA,∴ AB=BC.又∵四边形 ABCD 是 平 行 四 边 形,∴ 四 边 形 ABCD 是菱形.故选项 A不符合题 意.∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC.∴ ∠ADB=∠CBD. ∵ ∠ABD=∠CBD,∴ ∠ABD = ∠ADB.∴ AB=AD.又∵四边形 ABCD 是 平 行 四 边 形,∴ 四 边 形 ABCD 是菱形.故选项B不符合题 意.∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ OB=OD.∵ OA2+OB2=AD2, ∴ OA2+OD2=AD2.∴ ∠AOD= 90°.∴ AC⊥BD.又∵四边形ABCD 是平行四边形,∴ 四边形ABCD 是 菱 形.故 选 项 C 不 符 合 题 意. ∵ AD2+OA2=OD2,∴ ∠OAD= 90°.∴ OA⊥AD.∴ 不能证得四边形 ABCD 是菱形.故选项D符合题意. [跟踪训练] 3. (1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD,AB=CD,AD=BC. ∴ ∠CDE=∠BED. ∵ DE 平分∠BDC, ∴ ∠CDE=∠BDE. ∴ ∠BED=∠BDE. ∴ BE=BD. ∵ CD=BD, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 24 ∴ CD=BE. ∵ BE∥CD, ∴ 四边形BECD 是平行四边形. 又∵ CD=BD, ∴ 四边形BECD 是菱形. (2) ∵ 四边形BECD 是菱形, ∴ BC⊥DE. ∴ ∠BOE=90°. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC. ∴ ∠ADE=∠BOE=90°. 由(1),可知AB=CD=BE=5, ∴ AE=AB+BE=10. 在Rt△ADE 中,由 勾 股 定 理,得 DE= AE2-AD2= 102-62=8. 又∵ AD=BC=6, ∴ 菱形 BECD 的面积= 12BC · DE= 12 ×6×8=24 ,即 四 边 形 BECD 的面积为24. 典例4 D [解析] 连接EM.∵ 四 边形ABCD 是正方形,∴ AB=AD, ∠ABE=∠ADF=90°.∵ BE=DF, ∴ △ABE≌△ADF.∴ AE=AF. ∵ AM 平 分∠EAF,∴ ∠EAM = ∠FAM. 又 ∵ AM = AM, ∴ △AEM≌△AFM.∴ EM=FM. ∵ 四边形ABCD 是边长为4的正方 形,∴ BC=CD=4,∠BCD=90°.设 DM=x,则MC=4-x,CE=4-1= 3,EM=FM=1+x.在Rt△MCE 中, 根据 勾 股 定 理,得 EM2=MC2+ CE2,即(1+x)2=(4-x)2+32,解得 x=125.∴ DM 的长为125. [跟踪训练] 4. (1) ∵ AB 平分 ∠CAE, ∴ ∠CAB=∠BAE. ∵ AB∥DF. ∴ ∠BAE=∠DFE. ∴ ∠CAB=∠EFD. ∵ ∠ACB=∠FED=90°,AC=FE, ∴ △CAB≌△EFD. ∴ AB=FD. 又∵ AB∥FD, ∴ 四边形ABDF 是平行四边形. (2) 由(1),可知BC=DE,四边形 ABDF 是平行四边形, ∴ BD=AF. ∵ AB 平 分 ∠CAE,BC ⊥AC, BG⊥AE, ∴ BC=BG. ∵ BC=AF, ∴ BD =DE =BG,且 ∠BGE = ∠GED=90°. ∴ BG∥DE,BG=DE. ∴ 四边形BGED 是平行四边形. ∵ BD=DE, ∴ 四边形BGED 是菱形. ∵ ∠BGE=∠GED=90°, ∴ 四边形BGED 是正方形. ［综合素能提升］ 1. D 2. 3 3 [解析]如图,连接BD,EF, 交于点G.由题意,得四边形ABCD 是 正 方 形,△ABE ≌ △ADE ≌ △CBF≌ △CDF.∴ BE =DE = BF=DF,AE =CF.∴ 四 边 形 BEDF 是 菱 形.∴ ∠EBF = ∠EDF=60°,EF⊥BD,BG=DG, EG=FG.∵ 四边形ABCD 是正方 形,∴ BA=DA.又∵ BE=DE, ∴ 点A,E 在线段BD 的垂直平分线 上.同理,可得点C,F 在线段BD 的 垂直平分线上.∴ A,E,F,C 四点共 线.∴ 线段AC是正方形ABCD 的对 角线,则G 是对角线AC,BD 的交点. ∴ AG=CG=BG=DG.设 AE= CF=x,EG=FG=y,则BG=AG= AE+EG=x+y.∴ BD=2BG= 2(x +y),EF =2EG =2y.在 Rt△BEG 中,∠EBG=12∠EBF= 1 2×60°=30° ,∴ BE=2EG.∴ 易得 BG= 3EG,即 x+y= 3y.在 Rt△ABG 中,易 得 AB = 2BG = 2(x+y).∴ 四边形BEDF 的面积 S1= 1 2EF ·BD=12×2y×2 (x+ y)=2y(x+y),正方形ABCD 的面 积S2=AB2=[2(x+y)]2=2(x+ y)2.∴ S1∶S2=2y(x+y)∶2(x+ y)2=y∶(x+y).∵ x+y= 3y, ∴ y∶(x+y)=y∶ 3y=1∶ 3. ∴ S1 S2 的值为 3 3. (第2题) 3. ①②④ [解析]如图,作线段MN 的垂直平分线交AD 于点P,交AB 于点 Q.∵ PQ 垂 直 平 分 MN, ∴ PM=PN,QM=QN.∵ 四边形 ABCD 是 正 方 形,∴ ∠PAN = ∠QAN =45°.∴ 易 得 ∠APQ = ∠AQP=45°.∴ AP=AQ.∴ AC 垂 直 平 分 线 段 PQ.∴ MP =MQ. ∴ PM=MQ=QN=PN.∴ 四边形 PMQN 是菱形.在线段 MN 运动的 过程中,这样的菱形有无数个,当点 M 与点A 或点C 重合时,四边形 PMQN 是正方形,∴ 至少存在一个 四边形PMQN 是正方形.∵ 当点M 与点 A 或 点 C 重 合 时,四 边 形 PMQN 是 正 方 形(即 是 矩 形),且 MN=2,∴ 不可能存在无数个矩形. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 34 ∴ 正确的是①②④. (第3题) 4. 6 13 13 [解析] ∵ 在△ABC 中, AB=AC,D 是BC 的中点,∴ AD⊥ BC,即 ∠ADC = ∠ADB =90°. ∵ CE∥AD,∴ ∠ECD=∠ADB= 90°.∵ AE⊥AD,∴ ∠EAD=90°. ∴ ∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°. ∴ 四 边 形 ADCE 是 矩 形.∵ 在 △ABC 中,AB=AC,D 是BC 的中 点,BC=4,∴ BD=CD=12BC=2. ∵ 四边形ADCE 是矩形,∴ AE= CD=2,∠AEC=90°.在 Rt△AEC 中,由 勾 股 定 理,得 AC = AE2+CE2= 13.∵ EF⊥AC, ∴ S△AEC = 1 2AC ·EF= 12AE · CE.∴ EF =AE ·CE AC = 2×3 13 = 6 13 13 . 5. 33 2 [解析] 如图,连接DG,过 点P 作PG'⊥DG 于点G'.∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AB∥CD,AB= AD=6.∵ ∠BAD=60°,∴ △ABD 是 等 边 三 角 形,∠ADC =120°. ∴ ∠ABD=60°.∵ 四边形AEFG 是 菱形,∴ AE=AG.∵ ∠EAG=60°, ∴ 易得∠BAE=∠DAG.在△ABE和 △ADG 中, AB=AD, ∠BAE=∠DAG, AE=AG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△ADG.∴ ∠ABE= ∠ADG=60°.∴ ∠ADG+∠ADC= 60°+120°=180°.∴ C,D,G 三点共 线.当点G 位于点G'的位置时,PG 的长有最小值,最小值即为PG'的长. ∵ P 为 AD 的 中 点,AD =6, ∴ PD=3.∵ ∠DPG'=90°-60°= 30°,∴ DG'=12PD= 3 2.∴ PG'= PD2-DG'2=332 .∴ 线段PG 长 的最小值是33 2 . (第5题) 6. (1) 如图,取BD 的中点P,连接 EP,FP. ∵ E,F 分别是AD,BC 的中点, AB=10,CD=24, ∴ PE 是△ABD 的中位线,PF 是 △BCD 的中位线. ∴ PE∥AB,PE=12AB=5 ,PF∥ CD,PF=12CD=12. ∴ ∠EPD=∠ABD=30°,∠DPF= 180°-∠BDC=180°-120°=60°. ∴ ∠EPF=∠EPD+∠DPF=90°. 在Rt△EPF 中,由 勾 股 定 理,得 EF= PE2+PF2 = 52+122 = 13,即EF 的长为13. (2) 由(1),可知 PE∥AB,PE= 1 2AB ,PF∥CD,PF=12CD. ∴ ∠EPD = ∠ABD,∠DPF = 180°-∠BDC. ∵ ∠BDC-∠ABD=90°, ∴ ∠BDC=90°+∠ABD. ∴ ∠EPF = ∠EPD + ∠DPF = ∠ABD+180°-∠BDC=∠ABD+ 180°-(90°+∠ABD)=90°. 在Rt△EPF 中,由 勾 股 定 理,得 PE2+PF2=EF2,即 12AB 2 + 1 2CD 2 =EF2. ∴ AB2+CD2=4EF2. (第6题) 7. (1) ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ ∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°, AD=BC=4,AB=DC=3. ∴ ∠DCE=90°. ∵ 在Rt△ABD 中,AB=3,AD=4, ∴ BD= AB2+AD2=5. ∴ BE=BD=5. ∴ CE=BE-BC=1. 在Rt△DCE 中,DE= DC2+CE2= 32+12= 10, ∵ F 为DE 的中点, ∴ CF=12DE= 10 2 . (2) 如图,连接BF,AC. ∵ BE=BD,F 为DE 的中点, ∴ BF⊥DE. ∵ ∠DCE=90°,F 为DE 的中点, ∴ CF=EF=DF= 102 . 在Rt△BFE 中,BF= BE2-EF2= 52- 10 2 2 =3 102 . ∵ CF=DF, ∴ ∠FCD=∠FDC. ∵ ∠ADC=∠BCD=90°, ∴ ∠ADC + ∠FDC = ∠BCD + ∠FCD,即∠ADF=∠BCF. ∵ AD=BC,DF=CF, ∴ △ADF≌△BCF. ∴ AF=BF=3 102 . ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ AC=BD=5. 在△AFC中,AF2+CF2= 3 10 2 2 + 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 44 10 2 2 =25,AC2=25, ∴ AF2+CF2=AC2. ∴ CF⊥AF. (3) 成立. 理由:由 (2),得 AF2 =BF2 = BE2-EF2. ∵ EF=CF,BE=BD, ∴ AF2+CF2=BE2-EF2+CF2= BD2-CF2+CF2=BD2. ∵ BD=AC, ∴ AF2+CF2=AC2. ∴ △ACF 是以∠AFC为直角的直角 三角形. ∴ 若矩形ABCD 的边长为任意值, CF⊥AF 仍然成立. (第7题) 8. (1) 如图①,过点E 作EP⊥CD 于 点 P,EQ ⊥BC 于 点 Q,则 易 得 ∠EPC=∠EQC=90°. ∵ 四边形ABCD 是正方形,AC 为对 角线, ∴ ∠BCD=90°,∠DCA=∠BCA= 45°. ∴ 易得∠QEP=90°,EQ=EP. ∵ 四边形DEFG 为矩形, ∴ ∠DEF=90°. ∴ 易得∠QEF=∠PED. 在△EQF 和△EPD 中, ∠QEF=∠PED, EQ=EP, ∠EQF=∠EPD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △EQF≌△EPD. ∴ EF=ED. ∴ 四边形DEFG 是正方形. (2) ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ ∠B=90°. 在Rt△ABC 中,易得AC= 2AB= 22. ∵ CE=2, ∴ AE=22-2=2=CE. ∴ E 为AC的中点. 如图②,易知此时DE⊥AC,点F 与 点C重合. ∵ 在正方形DEFG 中,CE=2, ∴ CG=2. (3) ① 当DE 与AD 的夹角为32°时, 点F 在边BC 上,∠ADE=32°,如图 ③,则∠CDE=90°-32°=58°. 在四边形CDEF 中,由四边形内角和 定理,得∠EFC=360°-90°-90°- 58°=122°. ② 当DE 与DC 的夹角为32°时,点 F 在BC 的延长线上,∠CDE=32°, 设EF 交CD 于点H,如图④. ∵ ∠HCF = ∠DEF = 90°, ∠CHF=∠EHD, ∴ 易得∠EFC=∠CDE=32°. 综上所述,∠EFC的度数为122° 或32°. (第8题) 第十九章　一次函数 19.1　函　数 第1课时 变量与函数 1. D 2. D 3. (1) 时间 体温 (2) 39.8 36.8 (3) 38 4. ∵ y=2x-x2, ∴ 当x=3时,y=2×3-32=-3. 5. C 6. ①②③ 7. (1) 由题意,得120t=n, ∴ t=n120. (2) 变量:t,n;常量:1120. 8. (1) 由题意,得W=40-6t, ∴ 自变量为t. (2) 由题意,得10=40-6t,解得 t=5. ∴ 这台拖拉机已经工作了5h. 9. (1) ∵ 当输入x的值为-2时,输 出y的值为8, ∴ -3×(-2)+m=8. ∴ m=2. (2) ∵ 5>1,m=2, ∴ 当x=5时,y=2×5-3=7. (3) 当x≥1时,2x-3≥3,解得 x≥3. 当 x<1 时,-3x+2≥3,解 得 x≤-13. ∴ 输入x 的取值范围是x≥3或 x≤-13. (4) 小;-1. 10. (1) 如图①,当点C 在线段DG 上时,设BC与DE 的交点为M,则易 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 54