河南省洛阳市强基联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题

洛阳强基联盟高一3月联考 数 学 考生注意: 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟。 2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写 清楚。 3.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅 笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色 墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答 案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围:人教A版必修第一册,必修第二册第六章~第七章第2节。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1.复数x一(一3十ii在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合A-(xlx^+2x-3<0),B-(-1,0,2,3),则A0B B.(-1,0,21 C.(-1,0) A.(-1,0,2,3) D.(一1) 3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c-1,a-4,C-哥,则sinA- B A2 D# 4.在△ABC中,AB.BCo,则△ABC一定是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法确定 5.已知向量a,b满足lal-1,|bl-2,向量a与b的夹角为60”,则l4a-bl C.2 A.12 B.4 D.23 6.如图,为了测量某铁塔的高度,测量人员选取了与该塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D,现 角为45*,则铁塔的高度为 A.80米 B.100米 C.112米 D.120米 【高一3月联考·数学 第1页(共4页)】 7.已知,是复数,则“一”是“z一z”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 8.已知点P是菱形ABCD所在平面内的一点,若菱形的边长为定值,且(PA+PD)·(PB+PC)的最小 值为一9,则该菱形的边长为 A.2 B3 C.2 D.3 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部 选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.关于向量a:b,c,下列说法正确的是 A. la+bl<lal+lbl B.若a-b,则lal-|b C.若lal>lbl,则a>b D.若a/b,b/c,则a/c 10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 A.若a-6,c-9,B-60*,则符合条件的△ABC有且仅有两个 B.若sinB>sinC,则B>C C.若sinA+sin*B<sin?C,则△ABC为钝角三角形 D.若△ABC为锐角三角形,则sinA>cosB 11.已知函数f(x)一ln(|xl十1)十sin号,则下列说法正确的是 A./(1)f(2)</(-3) B.当0x<1时,f(x)<f(x) C.函数f(x)的图象关于点(0,0)对称 D.当3<x<2时,/(2x-1)>2 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.若向量a=(3,6),b-(一1,1),则向量a在向量b上的投影向量的坐标为 13.若函数f(x)-3sinx-4cosx的定义域为[o,],则f(x)的值域为_ 14.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a十c-b)(a十b十c)-ac,点D是边CA上的一点 BD-4v3,DBC-吾,则a+c的最小值为__. 【高一3月联考·数学:第2页(共4页)】 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知复数=满足z(1一3i)为纯虚数,三一z一-2i (1求z以及二; 16.(本小题满分15分) 已知向量a-(3,2),b-(-2,-1),c=a+2b (1)若(a一b)//(b十mc),求实数n的值 (2)若向量d满足(a十d)·(c-d)=-d”且dl(a十b),求向量d的坐标 17.(本小题满分15分) 在△ABC中,内角A,B.C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,且S-(-)sinA. (1)证明:b-2c; (2)若bos A-]c,求 cos C. 【高一3月联考·数学 第3页(共4页)】 18.(本小题满分17分) 如图,在直角梯形OABC中,OA/CB.OA1OC,OA-2BC-2OC-2,M为AB上靠近点B的一个三 等分点,P为线段BC上的一个动点 (1)用OA和OC表示OM; (2)设OB-&CA十OP,求a·u的取值范围 19.(本小题满分17分) 记△ABC的内角A,B.C的对边分别为a.b,c,已知(a+b)(sinA-sinB)=c(sinC-sinB),6bcosC+ 6ccosB-a2. (1)求角A与a; (2)若点O为△ABC的所在平面内一点,且满足(OA+OB)·AB-(OB+OC)·BC-0,求lAOl 的值; (3)若点M为△ABC的重心,且AM-2,求△ABC的面积 【高一3月联考·数学 第4页(共4页)】 洛阳强基联盟高一3月联考·数学 参考答案、提示及评分细则 1.C 复数。一(一3十Di一-1一3i在复平面内对应的点为(一1,一3),位于第三象限.故选C 2.C 由+2x-3<0,得-3 1,所以A-[-3,1],所以AOB--1.0).故选$C 3.A 4.B 因为在△ABC中,AB·BC>0.则|ABl·[BCI·cos(x-B)>0.即cos(-B)>0.cosB<o,又0<B<x,所以 角B为钝角,所以三角形为钝角三角形,故选B 5.D 因为lal=1,|b -2,向量a与b的夹角为60{,所以a·b-|al |blcos 60*-1,所以|4a-b|= (4a-b^}= 16a-8a·b+b- 16-8+4-2v3.故选D 6. B 设AB=x.由AB1BC,AB1BD. ACB=30”,ADB=45{,知BC-3x,BD=x.在△BCD中,cosCBD= 3 CD一100/2来,由余弦定理,得 7.A 不妨设zi=a+bi,=c+di(a,b,c,deR),所以zz=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i.所以lzil= (ac-d)十(ad十b)= a+b+ad+P,又l:l,lI=+.+d= +a++,所以lzl=l,若=,则l|=,所以ll-l,所以l| l|,所以“=”是”||=l”的充分条件;若=1+i,=1-i,此时l|=l,但是=(1+i)=2, 一(1-D)--2i,此时i≠,所以“i-”不是“||-|”的必要条件,所以“=”是“| |-|”的充分不 必要条件.故选A. 8.D 由已知可得AC1BD,可建立如图所示平面直角坐标系,设B(一a.0).D(a,0).A(0.b). Co.-b),P(x,y,则PA-(-x.b-y.PD-(a-r.-y).PB-(-a-x.-y).PC=(-.-b-y,所 以PA+PD-(a-2x.b-2y).PB+PC-(-a-2x.-b-2y,则(PA+PD).(PB+P)- ($-2r)(-a-2x)+(-2y)(-b-2y)=4+4y-->--=-AB,故-AB= -9.所以AB一3.故选D 9.AB a+b<al十b,当且仅当a,b方向相同或a,b中至少有一个零向量时等号成立,A正确;当a-b时,a b|,B正确;若a>b.a和b无法比较大小,C错误;当b一0时,a与c可能不共线,D错误.故选AB $0. BCD 对于A:若a-6.c-9.B-60{},由余弦定理得b- a^+c-2cacos B-v6+9-2X6X9cos 60{-3v/7,故符 合条件的△ABC有且仅有一个,故A错误;对于B:若sinB>sinC,由正弦定理得/c.根据三角形内大边对大角可 2b 故<C<n,所以△ABC为钝角三角形,故C正确;对于D:若△ABC为锐角三角形,则A十B>,所以>A>是 【高一3月联考·数学参考答案 第1页(共4) -B>0.因为y=sinx在(o.吾)上单调递增,所以sinA>sin(吾一B)=cosB.故D正确.故选BCD. 11. AB:f(x)-ln(1xrl+1)+sn-ln(Lxl+1)-c0+./(-)-ln(1-l+1)-co(-)+1 2 f(-3)=f(3),由0 1<2<3 t.结合函数f(x)的单调性可得A正确;当0 x1时,有1x0,结合函数 f(x)的单调性可得f(x)>f(v),故B正确;函数/(x)为偶函数,易知C错误;当<r<2时,有22x-1<3,又 选ABD. 12.(-) #33.所以坐生标为}(1.1)一(-). 13.[-4.3]因为函数y-cosx在[0,吾]上单调递减,所以y--4cosx在[o.]上单调递增,又函数y-sinx在 [0.]上单调递增,所以/(x)-3sinx-4cosx在[o.]上单调递增,所以/(x)=f(0)=-4.f(x)x= f()-3.所以/(x)的值域为[-4.3]. 14.12计8/② 2art 4(a+e)(2+1)-4(3+2+)→4(3+2 2c,)-12+8v2,当且仅当2-.即c-4v2+4.a-8+4v2 时等号成立,所以a十c的最小值为12+8② 15.解...........................................................................................1分 3-0. 由(1-3i)-(a+bi)(1一3i)-(a+3b)+(b-3a)i为纯虚数,得 ① .................................. (-30. 由一,--2i--2i,得-2--2.② ........................... 由①②...............................................................5分. 所以.........................................................分.. 计3 一i 由..............-...2....................................................................11分 【高一3月联考·数学参考答案 第2页(共4) 整理,得-6n十5-0. .......................................................................................分.. 解得一1或n-5 故实数................................................................分 16.解;(1)由a(3,2).b-(-2,-1),得c-a+2b-(3,2)+2(-2,-1)-(-1.0).............................·2分 所以..-...........2...n.-......................................................................4分 由(a-b./.十n)......-..-2-.n)................................................................6分 解得二一 ...................................................................................分.... (2)设d-(x,y),得a+d-(3十x,2+y),c-d-(-1-x.-y). 所以(a+d).(c-d)-(3+x.2+y)·(-1-x,-y)----4r-2y-3. -................................................................分.. 由(a+d).(c-d)--,得---4x-2y-3---y. 所以4r+2+3-0.① 由dl(ab),得.(.+b)=0.,又a+b-(.1.1),所以(i,y)·.1.1)-0,则x十y-0.②........ 13分 由①②得-}-} 故d-(-). 15分 17.(1)证明:△ABC的面积S- #besinA.,又s-(-c)sinA,所以tbesnA=(r-)sinA. 又Ae(co.),所以sinAo,所以一-②。 .........................................................分 所以(...2..............................................7分 48 2 ...............................................................分 #所以#+-e4+---所以-3。# ........................................................... 2 12分 2-士一 所以cosC十-e_ .5 _8 2 ................................................................分 2x3② 2_x2 _ __ __ __ ,_ 因P是线段BC上动点,设CP-xoA(o<). .......................................................... .分. 【高一3月联考·数学参考答案 第3页(共4)- CP)三(.......-..................1分 --1, --1. 又OC,OA不共线,根据平面向量基本定理,则有 → ........................................... 12分 =- -2+2” ##1I4+1#}→<# 1_ ....................................... 14分 #.-(-1)-(-)-1在[1.3]上递增 ........ 所以-1时,·)=0 r-时,(·)mx3. ........... 故入·的取值范围是[o.3]. ..................................................... 1分 19.解:(1)因为(a十b)(sinA一sinB)一c(sinC-sinB),由正弦定理可得(a+b)(a-b)=c(c-b). ..................分 士2-a{1 整理得^十一a-bc,由余弦定理可得cosA一 2 ........................................................2分 ...................................................................................分.. 又因为6bcosC+6ccosB-a*. 所以由 正弦定理.. 6sin .cos .6in .cos ...in ........................................................4分 即 6sin......... ..................................................................................5分 因为.....所s...B.....京.... ...-..所以..美6..............................6分 (2)又由(OA+OB)·AB-(OB+OC)·BC-0. _- → _ 可得(OA+OB)·(OB-OA)=(OB+OC).(OC-OB)=0. _ ___ ___ 解得OA-OB,OB-OC*,即OA-OBl-OCl,所以O为△ABC的外心。 .......................................分 -6-43,所以/A0-23. 由正弦定理得2OAl- sinA in (3)设AM的延长线交BC于点D,因为点M为△ABC的重心:所以点D为BC中点 又因为AM-2③,所以AD-3v③ .................................... 在△ABC中,由十-a-b和a-6,可得b-+*-36. 在△ABD和ACD中.有cos ADB一一cos/ADC. 由余弦定理可得+(3③)一3-+(33)- 2X3X3③ 2X3X3③ 故十-72....... 所以bc-+-36-72-36-36 所以△ABC的面积为besinA-1x36xsin"-9v3. ....................... 【高一3月联考·数学参考答案 第4页(共4页