精品解析：浙江省宁波市海曙区2024—-2025学年上学期九年级期末考试数学试卷

2024学年第一学期海曙区九年级期末调研 数学试题卷 温馨提示： 1． 本试卷分试题卷和答题卷两部分，考试时间120分钟，满分120分． 2． 答题前，请在答题卷相应区域内填写学校、班级、姓名以及填涂考生号等． 3． 不能使用计算器． 4． 所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，注意试题序号与答题序号相对应． 一、选择题（每小题 3 分， 共 30 分． 在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求） 1. 同一平面内，已知的半径，点到直线的距离，则与直线的位置关系是（　　） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆心到直线的距离，直线与圆相离即可求解，掌握直线和圆的位置与和之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为，点到直线的距离为， ∴， ∴与的位置关系是相离， 故选：A． 2. 数学家皮尔逊为了研究概率问题，进行了大量重复抛硬币试验，并用频率来估计概率．当他把一枚硬币抛掷24000次时，则下列正面朝上的次数与该实验结果比较符合的是（　　） A. 11011 B. 12012 C. 13013 D. 14014 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可．熟练掌握大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率是解答本题的关键． 【详解】解：当重复实验够多时，正面朝上的概率为， ， 12012与12000最接近，该实验结果比较符合， 故选：B． 3. 若把连接一个三角形的三边中点形成的三角形称为该三角形的中位线三角形，则中位线三角形面积与原三角形面积之比为（　　） A. B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，由三角形的中位线等于第三边的一半，可知三角形的中位线三角形与原三角形相似，且相似比为，则中位线三角形面积与原三角形面积之比为，于是得到问题的答案．推导出三角形的中位线三角形与原三角形相似，且相似比为是解题的关键． 【详解】解：三角形的中位线等于第三边的一半， 三角形的中位线三角形的三边与原三角形的三边成比例， 三角形的中位线三角形与原三角形相似，且相似比为， 中位线三角形面积与原三角形面积之比为， 故选：C． 4. 为使抛物线与抛物线重合，下列平移能实现的是（　　） A. 把先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 B. 把先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 C. 把先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D. 把先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是．则由抛物线的图象向左平移2个单位，向下平移4个单位即可得到二次函数的图象． 故选：A． 5. 中，，，下列结论：①；②；③，其中结论正确的个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义即：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．设，则，根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义解答． 【详解】解：在中，，， 设，则， ∴， ①，②；③． 故选：B． 6. 如图，是的直径，点在的延长线上，与相切，切点为点，如果，那么（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，连接，由切线的性质推导出，而，所以，于是得到问题的答案．正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 与相切，切点为点， ， ， ， ， ， 故选：A． 7. 已知二次函数中自变量和函数的部分对应值如下表： 则方程 的一个解 的取值范围下列可能的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，先根据表格数值可得二次函数的对称轴为直线，又由表可知，当时，随的增大而增大，据此即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵或时，， ∴二次函数的对称轴为直线， 又由表可知，当时，随的增大而增大， ∴当时，其中一个解， 故选：． 8. 如图，是半圆的直径，半径的中垂线交于点，连结，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，找中点F，连接和，则，结合等腰三角形的性质得，结合圆的内接四边形得，即可判断A正确；根据题意得，则可得，则，可判定B正确；由，得，则，可判断C正确；由得，利用三角形三边关系得，即可得，故D错误． 【详解】解：连接，找中点F，连接和，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， 则，故A正确； ∵的中垂线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 则，故B正确； ∵， ∴， 则，故C正确； ∵， ∴， 在中，， ∴， 则，故D错误； 故选:D． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，涉及内接四边形、同弧所对圆周角相等、等边三角形的判定和性质和三角形三边关系的应用，解题的关键是熟悉圆的性质和等边三角形的性质． 9. 若函数的图象经过点和，则当时，函数的最大值与最小值之和是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，依据题意，由函数的图象经过点和，从而，可得，从而函数为，再由二次函数的性质，结合，进而可以判断得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：由题意，函数的图象经过点和， ． ． 函数为． 当时，当时，最大值为1；当时，取最小值为． 函数的最大值与最小值之和是：． 故选：B． 10. 如图，正十边形内接于，，交于点，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，相似三角形的判定和性质，连接，．首先证明，设，，利用相似三角形的性质求出可得结论．解题的关键是学会利用参数，正确寻找相似三角形解决问题． 【详解】解：如图，连接，． 正十边形内接于， ，， ， ， ， ，， ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， （负根已经舍去）， ，， ． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 在件样品中，有一等品件，二等品件，三等品件．从中任取件，结果为三等品的概率为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的求法，用三等品的件数除以所有样品的总数即可求得答案． 【详解】解：∵共20件样品，三等品有3件， ∴从中任取1件，结果为三等品的概率为， 故答案为：． 12. 如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为．则四边形的周长为___． 【答案】50 【解析】 【分析】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 根据位似图形的周长比等于相似比（位似比）可直接进行求解． 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，位似比为， ∴四边形与四边形的周长比为， ∵四边形的周长为， ∴四边形的周长为； 故答案为． 13. 已知与轴交于点，与轴交于点，则圆心的坐标是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质，根据点的坐标，画出图形，利用垂径定理及中点坐标公式求出点的坐标即可．画出图形是解答本题的关键． 【详解】解：如图，垂直平分线为直线，的垂直平分线为直线， 由垂径定理可知点的横坐标为，纵坐标为， ． 故答案为：． 14. 已知扇形的半径为6，弧长为，则扇形的面积为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积公式及弧长公式，根据扇形面积公式，计算即可．解题关键是找到弧长公式与面积公式之间得关系． 【详解】解：扇形面积． 故答案为：． 15. 已知，且，则的值为___． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据已知条件得出再把三式相加得出，然后分两种情况讨论，即可得出k的值． 【详解】解：由已知得， ∴， ∴当时，得， 当时，则 ∴， ∴k的值为1或． 故答案为：1或． 16. 如图，是的角平分线，过点的圆与相切，与边分别交于点．若，，，则的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，作圆O的直径，连接，证明，同理，连接，，是的角平分线，是的切线，得，证明，对应边成比例得，证明，求出，再证明，求出，进而可得BC． 【详解】解：如图，作圆O的直径，连接， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理，， 连接， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（第17–21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．直接把各特殊角度的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 在的方格纸中，每个小正方形的边长为，的三个顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺按要求分别画出图形． （1）在图1中作射线交于点，使； （2）在图2中作直线交于点，使． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题主要考查复杂作图，涉及正方形的性质和相似三角形的性质， （1）根据正方形的性质连接对角线即可； （2）根据相似三角形的判定和性质即可知点E的位置， 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 解：如图， 19. 如图，建筑物垂直于地面，测角机器人在点测得建筑物顶端的仰角为，向前走9米到点，测得建筑物顶端的仰角为．求该建筑物的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，设米，则米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解: 由题意得: 米, 设 米, 在 中, ,则 米 米, 中, , 解得: ， 经检验， 是方程的解，且符合题意． 答: 建筑物 的高度约为 21 米． 20. 如图，圆形转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角都是，指针绕着圆心自由转动2次． （1）直接写出第一次转动时指针落在蓝色区域的概率　　　； （2）求指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，熟练利用列表法求概率是解题的关键． （1）用蓝色区域得面积除以圆形转盘得面积即可； （2）把圆形转盘分成相同的4等份，其中黄色扇形占2份，画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：由题意第一次转动时指针落在蓝色区域的概率为， 【小问2详解】 解：把黄色区域看作两份，画树状图为： ， 共有16种等可能的结果，其中指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的结果数为4， 所以指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率为． 4 21. 如图，中，，上一点，作半切于点，交于点，连结． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)连结，则，即可得，有，结合半径相等得，即可得结论； (2)作于得，由平行得，即可判定，则，即可解得． 【小问1详解】 证明∶连结，如图， 切于点， ， 又， ∴， ， ， ， ， 即平分； 小问2详解】 解∶作于，如图， ， ， ， 又， ， ， 即， ． 【点睛】本题主要考查平行线的判定、切线的性质、等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉圆的性质和相似三角形的性质． 22. 用12米长的铝合金型材制成如图1所示的矩形窗框（铝合金型材宽度不计）． （1）窗框的宽为多少米时，窗户的透光面积最大？最大透光面积是多少？ （2）若制成如图2所示的窗框（上部分为半圆，下部分为矩形），求该窗户的最大透光面积（π取3）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用配方法求出顶点坐标是解题关键． （1）设窗框的宽为，则长为（米），表示出面积利用二次函数最值求法得出即可； （2）设半圆半径为r米，透光面积为平方米，列出函数解析式，根据函数的性质求最值． 【小问1详解】 解：设窗框的宽为 米，则长为 米，设面积为 平方米，根据题意可得： 当 时, ， 答: 当宽是2米时,窗户的透光面积最大， 最大透光面积是6 平方米； 【小问2详解】 解：设半圆半径为 米，透光面积为平方米，则 ， 当 时, ， 答: 该窗户的最大透光面积是 平方米. 23. 如图，为等边三角形，分别在边上，沿折叠，点落在边上的点处，连接，已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质． （1）过点作于，设，，则，推导出，，，进而得到； （2）由折叠的性质得：，推导出，进一步得到，利用即可得解． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ，， ，设，， ， 如图，过点作于， ， ，，， ； 【小问2详解】 解：由折叠的性质得：， ，，， ， ， 又， ， ． 24. 如图，四边形内接于，，于点． （1）直接写出的值为　　　； （2）求证： ； （3）若，求值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造等腰三角形． （1）作射线，交于，连接，，根据，，得出，，由得出，由得出，从而得出，进一步得出结果； （2）作射线，交于，连接，连接，，由（1）知：是的垂直平分线，可推出，进一步得出结论； （3）作射线，交于，交于，连接，连接，，可推出，从而得出，设，则，，，从而得出，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：如图1， 作射线，交于，连接，， ，， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2； 【小问2详解】 证明：如图2， 作射线，交于，连接，连接，，， 由（1）知，，是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ∴垂直平分， ， ； 【小问3详解】 解：如图3， 作射线，交于，交于，连接，连接，， 由（1）（2）知， ，，，， ， ， ， 设，则，，， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期海曙区九年级期末调研 数学试题卷 温馨提示： 1． 本试卷分试题卷和答题卷两部分，考试时间120分钟，满分120分． 2． 答题前，请在答题卷相应区域内填写学校、班级、姓名以及填涂考生号等． 3． 不能使用计算器． 4． 所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，注意试题序号与答题序号相对应． 一、选择题（每小题 3 分， 共 30 分． 在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求） 1. 同一平面内，已知的半径，点到直线的距离，则与直线的位置关系是（　　） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 2. 数学家皮尔逊为了研究概率问题，进行了大量重复抛硬币试验，并用频率来估计概率．当他把一枚硬币抛掷24000次时，则下列正面朝上的次数与该实验结果比较符合的是（　　） A. 11011 B. 12012 C. 13013 D. 14014 3. 若把连接一个三角形的三边中点形成的三角形称为该三角形的中位线三角形，则中位线三角形面积与原三角形面积之比为（　　） A. B. C. D. 不确定 4. 为使抛物线与抛物线重合，下列平移能实现的是（　　） A. 把先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 B. 把先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 C. 把先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D. 把先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 5. 中，，，下列结论：①；②；③，其中结论正确的个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 如图，是的直径，点在的延长线上，与相切，切点为点，如果，那么（　　） A. B. C. D. 7. 已知二次函数中自变量和函数部分对应值如下表： 则方程 的一个解 的取值范围下列可能的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，是半圆的直径，半径的中垂线交于点，连结，则下列结论错误的是（　　） A B. C. D. 9. 若函数图象经过点和，则当时，函数的最大值与最小值之和是（　　） A B. C. D. 10. 如图，正十边形内接于，，交于点，则的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 在件样品中，有一等品件，二等品件，三等品件．从中任取件，结果为三等品的概率为___． 12. 如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为．则四边形的周长为___． 13. 已知与轴交于点，与轴交于点，则圆心的坐标是___． 14. 已知扇形的半径为6，弧长为，则扇形的面积为___． 15. 已知，且，则的值为___． 16. 如图，是的角平分线，过点的圆与相切，与边分别交于点．若，，，则的长为___． 三、解答题（第17–21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分．） 17. 计算：． 18. 在的方格纸中，每个小正方形的边长为，的三个顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺按要求分别画出图形． （1）在图1中作射线交于点，使； （2）在图2中作直线交于点，使． 19. 如图，建筑物垂直于地面，测角机器人在点测得建筑物顶端的仰角为，向前走9米到点，测得建筑物顶端的仰角为．求该建筑物的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 20. 如图，圆形转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角都是，指针绕着圆心自由转动2次． （1）直接写出第一次转动时指针落在蓝色区域的概率　　　； （2）求指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率． 21. 如图，中，，为上一点，作半切于点，交于点，连结． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 22. 用12米长的铝合金型材制成如图1所示的矩形窗框（铝合金型材宽度不计）． （1）窗框的宽为多少米时，窗户的透光面积最大？最大透光面积是多少？ （2）若制成如图2所示的窗框（上部分为半圆，下部分为矩形），求该窗户的最大透光面积（π取3）． 23. 如图，为等边三角形，分别在边上，沿折叠，点落在边上的点处，连接，已知． （1）求的值； （2）求的值． 24. 如图，四边形内接于，，于点． （1）直接写出值为　　　； （2）求证： ； （3）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$