专题10 整式（测试）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题10 整式专题测试卷 一．选择题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．如图，长方形内的阴影部分是由四个半圆围成的图形，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 2．同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a，第二次提价的百分率为b；乙商场：两次提价的百分率都是（a＞0，b＞0，且a≠b）；丙商场：第一次提价的百分率为b，第二次提价的百分率为a，则提价最多的商场是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定 3．已知0，a2+b2+c2＝1，则a+b+c的值等于（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．O 4．若x、y、z满足x+y＝6且z2＝xy﹣9，则z的值是（　　） A．±1 B．0 C．1 D．﹣1 5．计算12﹣22+32﹣42+52﹣62+…+992﹣1002的值是（　　） A．5050 B．﹣5050 C．100 D．﹣100 6．如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时刻，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆数如图所示．图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段AB，BC，CA的机动车辆数（假设单位时间内在上述路段中同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则有（　　） A．x1＞x2＞x3 B．x1＞x3＞x2 C．x2＞x3＞x1 D．x3＞x2＞x1 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．计算：　 　． 8．当a时，2a﹣（1﹣2a+a2）﹣（﹣1+3a﹣a2）＝　 　． 9．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为a+b的正方形，需要B类卡片　 　张． 10．已知实数a、b、c满足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝6，则a的最大值为 　 　． 11．已知4x2﹣3x+1＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c对任意数x成立，则4a+2b+c＝　 　． 12．多项式x4+4x3﹣ax2﹣4x﹣1被x+3除，余数为2，则a＝　 　． 三．解答题（共5小题，满分60分） 13．（10分）求证：20232+20232×20242+20242是一个完全平方数． 14．（12分）已知多项式（2mx2﹣x2+3x+1）﹣（5x2﹣4y2+3x）化简后不含x2项．求多项式2m3﹣[3m3﹣（4m﹣5）+m]的值． 15．（12分）如果﹣0.3mxn3与的和是单项式，那么代数式（﹣5x2y﹣4y3﹣2xy2+3x3）﹣（2x3﹣5xy2﹣3y3﹣2x2y）的值是多少？ 16．（12分）（1）已知恒等式x3﹣x2﹣x+1＝（x﹣1）（x2+kx﹣1），求k的值； （2）若x是整数，求证：是整数． 17．（14分）阅读与理解：对一个关于x的多项式求导数，多项式中xn的导数等于nxn﹣1，常数项的导数为0．已知ax2+bx+c是关于x的多项式，记为P（x）．我们规定：P（x）的导出多项式为2ax+b，记为Q（x）．例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，则P（x）的导出多项式Q（x）＝2×3x﹣2＝6x﹣2；若P（x）＝4x3﹣3x2+2（2x﹣1），要求P（x）的导出多项式，先化简P（x）＝4x3﹣3x2+4x﹣2，则P（x）的导出多项式Q（x）＝3×4x2﹣2×3x+4＝12x2﹣6x+4．根据以上材料，回答问题： （1）若P（x）＝x2+4x+3，则它的导出多项式Q（x）＝ 　 　； （2）设Q（x）是P（x）的导出多项式． ①若P（x）＝4x2+3（9x﹣5），求关于x的方程Q（x）＝3的解； ②已知P（x）＝（a﹣1）x2﹣8x+7是关于x的二次多项式，且关于x的方程Q（x）＝﹣2x的解为整数，求正整数a的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题10 整式专题测试卷 一．选择题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．如图，长方形内的阴影部分是由四个半圆围成的图形，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【分析】观察图形可知：阴影部分的面积＝大圆的面积﹣小圆的面积，大圆的直径＝a，小圆的半径，再根据圆的面积公式求解即可． 【解答】解：据题意可知：阴影部分的面积S＝大圆的面积S1﹣小圆的面积S2， ∵据图可知大圆的直径＝a，小圆的半径， ∴阴影部分的面积S＝π（）2﹣π（）2π（2ab﹣b2）． 故选：A． 【点评】此题主要考查学生的观察能力，只要判断出两圆的直径，问题就迎刃而解．本题涉及到圆的面积公式、整式的混合运算等知识点，是整式的运算与几何相结合的综合题． 2．同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a，第二次提价的百分率为b；乙商场：两次提价的百分率都是（a＞0，b＞0，且a≠b）；丙商场：第一次提价的百分率为b，第二次提价的百分率为a，则提价最多的商场是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定 【分析】设售价为1，根据题意可表示出三个商场提价后的售价，由此可得出提价最多的商场． 【解答】解：假设该商品售价为1个单位， 甲商场最终售价为：1×（1+a）×（1+b）＝1+a+b+ab， 乙商场最终售价为：11+a+b（a+b）2， 丙商场最终售价为：1×（1+b）×（1+a）＝1+a+b+ab， 比较（a+b）2与ab的大小： 作差法：比较（a+b）2﹣ab， ∵a＞0，b＞0，a≠b， ∴（a+b）2＞0， ∴（a+b）2＞ab， 所以乙商场最终售价＞甲商场最终售价＝丙商场售价． ∴提价最多的商场是乙． 故选：B． 【点评】本题考查整式的加减，有一定的难度，注意正确表示出提价后的售价是关键． 3．已知0，a2+b2+c2＝1，则a+b+c的值等于（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．O 【分析】先对已知条件进行通分、计算，然后求出bc+ac+ab＝0；再根据a2+b2+c2＝1、bc+ac+ab＝0两式计算（a+b+c）2的值；最后开平方即可． 【解答】解：∵0， ∴bc+ac+ab＝0， 又∵（a+b+c）2， ＝a2+b2+c2+2（bc+ac+ab）， ＝1+0， ＝1； ∴a+b+c＝±1． 故选：C． 【点评】本题考查了完全平方公式．解答此题的难点是根据完全平方公式计算（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（bc+ac+ab），在计算时，先把（a+b）看成一个整体，然后再展开完全平方式． 4．若x、y、z满足x+y＝6且z2＝xy﹣9，则z的值是（　　） A．±1 B．0 C．1 D．﹣1 【分析】利用完全平方公式，得（x﹣y）2≥0，则xyxy，则xy≤9，从而得到z2＝xy﹣9≤0，进而求解． 【解答】解：∵（x﹣y）2≥0， ∴xyxy， 即xy≤9， ∴z2＝xy﹣9≤0， 又z2≥0， ∴z＝0． 故选：B． 【点评】此题考查了完全平方公式的运用和平方数的性质，即任何数的平方都是非负数． 5．计算12﹣22+32﹣42+52﹣62+…+992﹣1002的值是（　　） A．5050 B．﹣5050 C．100 D．﹣100 【分析】分组使用平方差公式，再运用求和公式即可． 【解答】解：原式＝（12﹣22）+（32﹣42）+（52﹣62）+…+（992﹣1002）， ＝﹣（1+2）﹣（3+4）﹣（5+6）﹣…﹣（99+100）， ＝﹣（1+2+3+4+5+6+…+99+100）， ＝﹣5050． 故选：B． 【点评】本题考查了平方差公式的运用，注意分组后两数的差都为﹣1，所有两数的和组成自然数求和． 6．如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时刻，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆数如图所示．图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段AB，BC，CA的机动车辆数（假设单位时间内在上述路段中同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则有（　　） A．x1＞x2＞x3 B．x1＞x3＞x2 C．x2＞x3＞x1 D．x3＞x2＞x1 【分析】给出一个交通环岛，通过图形给出一些数据，其实问题就是加减法，但要抓住主线，即车辆的来源．据此列方程比较其大小一眼可见． 【解答】解：依题意，有x1＝50+x3﹣55＝x3﹣5，推出x1＜x3， 同理，x2＝30+x1﹣20＝x1+10，推出x1＜x2， 同理，x3＝30+x2﹣35＝x2﹣5，推出x3＜x2． 故选：C． 【点评】段上的车辆数x1有两部分组成，一是从A口进来的50辆，二是从段上分流过来的x3﹣55，于是有x1＝50+x3﹣55＝x3﹣5，所以x1＜x3，同理得x3＜x2，答案为C． 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．计算：　　． 【分析】观察分数上下的平方数可知，它们都相差1，设20012000＝x，则另外几个数都可用含x的式子表示，使用完全平方公式解题． 【解答】解：设20012000＝x，则 原式． 故本题答案为． 【点评】用字母表示较大的数，把分数问题转化为完全平方公式计算． 8．当a时，2a﹣（1﹣2a+a2）﹣（﹣1+3a﹣a2）＝　　． 【分析】先去括号，然后合并同类项，将整式化为最简，最后将a的值代入即可得出答案． 【解答】解：原式＝2a﹣（1﹣2a+a2）﹣（﹣1+3a﹣a2）， ＝2a﹣1+2a﹣a2+1﹣3a+a2， ＝a， ∴当a时，原式＝a． 故答案为． 【点评】本题考查了整式的化简求值，化简求值是课程标准中所规定的一个基本内容，它涉及对运算的理解以及运算技能的掌握两个方面，也是一个常考的题材． 9．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为a+b的正方形，需要B类卡片　2　张． 【分析】要拼成边长为a+b的正方形，可先求出其面积，再分别计算每一类图形的面积，进而求出各种类型所需要的张数． 【解答】解：要拼成的边长为（a+b）的正方形的面积是：（a+b）2＝a2+b2+2ab； 图中所示A类的面积为：a×a＝a2； C类的面积为：b×b＝b2； B类的面积为：a×b＝ab； 由上述分析可得出，拼成边长为（a+b）的正方形需要B卡片2张，A类1张，C类1张． 故答案为2． 【点评】本题考查了完全平方公式，立意较新颖，注意对此类问题的深入理解，本题只要读懂题意，然后根据各图形的面积即可找出其中的关系． 10．已知实数a、b、c满足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝6，则a的最大值为 　2　． 【分析】由a+b+c＝0，得c＝﹣（a+b），代入a2+b2+c2＝6，得b2+ab+（a2﹣3）＝0，把它看成关于b的一元二次方程，要使其有解，则△≥0，据此求解． 【解答】解：∵a+b+c＝0， ∴c＝﹣（a+b）， ∴a2+b2+[﹣（a+b）]2＝6， ∴b2+ab+（a2﹣3）＝0， ∴Δ＝a2﹣4（a2﹣3）＝﹣3a2+12≥0， 解得，﹣2≤a≤2， ∴a的最大值为2． 故答案为：2． 【点评】此题考查完全平方公式的应用，注意根据已知条件变形，难度较大． 11．已知4x2﹣3x+1＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c对任意数x成立，则4a+2b+c＝　28　． 【分析】将a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c展开后合并同类项与4x2﹣3x+1各项的系数相同，进而求得a、b、c的值，代入4a+2b+c求出即可． 【解答】解：∵a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c ＝a（x2﹣2x+1）+bx﹣b+c ＝ax2﹣2ax+a+bx﹣b+c ＝ax2﹣（2a﹣b）x+a﹣b+c ＝4x2﹣3x+1 ∴a＝4、﹣（2a﹣b）＝﹣3、a﹣b+c＝1， 解得：a＝4、b＝5、c＝2， ∴4a+2b+c ＝4×4+2×5+2 ＝16+10+2 ＝28 故答案为：28． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是将多项式展开后合并同类项，两个二次三项式相等，就是他们的各项的系数相等． 12．多项式x4+4x3﹣ax2﹣4x﹣1被x+3除，余数为2，则a＝　﹣2　． 【分析】由题意，可知[（x4+4x3﹣ax2﹣4x﹣1）﹣2]能够被（x+3）整除，即（x4+4x3﹣ax2﹣4x﹣3）含有因式（x+3）． 则当x＝﹣3时，x4+4x3﹣ax2﹣4x﹣3＝0．将x＝﹣3代入，得到关于a的一元一次方程，解此方程，即可求出a的值． 【解答】解：∵多项式x4+4x3﹣ax2﹣4x﹣1被x+3除，余数为2， ∴[（x4+4x3﹣ax2﹣4x﹣1）﹣2]能够被（x+3）整除， 即（x4+4x3﹣ax2﹣4x﹣3）含有因式（x+3）， 则当x＝﹣3时，x4+4x3﹣ax2﹣4x﹣3＝0． 将x＝﹣3代入，得81﹣108﹣9a+12﹣3＝0， 解得a＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查了整式乘除法与因式分解的关系，待定系数法在因式分解中的应用，属于竞赛题型，有一定难度．本题的关键是能够通过整式乘除法与因式分解的关系得出（x4+4x3﹣ax2﹣4x﹣3）含有因式（x+3），从而运用待定系数法得出x＝﹣3时，多项式x4+4x3﹣ax2﹣4x﹣3的值为0，进而列出方程，求出a的值． 三．解答题（共5小题，满分60分） 13．（10分）求证：20232+20232×20242+20242是一个完全平方数． 【分析】设a＝2023，则2024＝a+1，将原式换元成a2+a2（a+1）2+（a+1）2，通过展开组合变成（a2+1）2+2a（a2+1）+a2，由完全平方公式可得证明． 【解答】证明：设a＝2023，则2024＝a+1， ∴20232+20232×20242+20242 ＝a2+a2（a+1）2+（a+1）2 ＝a2+a2（a2+2a+1）+（a2+2a+1） ＝a4+2a3+3a2+2a+1 ＝（a4+2a2+1）+2a（a2+1）+a2 ＝（a2+1）2+2a（a2+1）+a2 ＝（a2+a+1）2 ＝（20232+2023+1）2． ∴20232+20232×20242+20242＝（20232+2023+1）2． 即20232+20232×20242+20242是一个完全平方数． 【点评】本题考查了完全平方公式及有理数的混合运算，将a4+2a3+3a2+2a+1转化成（a4+2a2+1）+2a（a2+1）+a2是解答本题的关键． 14．（12分）已知多项式（2mx2﹣x2+3x+1）﹣（5x2﹣4y2+3x）化简后不含x2项．求多项式2m3﹣[3m3﹣（4m﹣5）+m]的值． 【分析】化简2mx2﹣x2+3x+1﹣5x2+4y2﹣3x得（2m﹣6）x2+4y2+1，不含x的二次项，∴2m﹣6＝0，由此可以求出m，然后即可求出代数式的值． 【解答】解：原式＝2mx2﹣x2+3x+1﹣5x2+4y2﹣3x ＝（2m﹣6）x2+4y2+1 ∵不含x的二次项 ∴2m﹣6＝0 ∴m＝3 ∴2m3﹣[3m3﹣（4m﹣5）+m] ＝2m3﹣3m3+4m﹣5﹣m ＝﹣m3+3m﹣5 ＝﹣27+9﹣5 ＝﹣23． 【点评】本题考查了多项式的化简，关键是利用不含的x2项是该项系数为0，求出m的值． 15．（12分）如果﹣0.3mxn3与的和是单项式，那么代数式（﹣5x2y﹣4y3﹣2xy2+3x3）﹣（2x3﹣5xy2﹣3y3﹣2x2y）的值是多少？ 【分析】根据同类项的相同字母的指数相同可得出x和y的值，先去括号，然后合并同类项得出最简整式，然后将x和y的值代入可得出答案． 【解答】解：原式＝﹣5x2y﹣4y3﹣2xy2+3x3﹣2x3+5xy2+3y3+2x2y， ＝﹣3x2y+3xy2+x3﹣y3 ＝（x﹣y）3． 又﹣0.3mxn3与的和是单项式， ∴可得两单项式为同类项，故x＝4，y＝3， 当x＝4，y＝3时，原式＝（4﹣3）3＝1． 【点评】本题考查整式的化简求值及同类项的知识，有一定难度，注意在解答时要细心． 16．（12分）（1）已知恒等式x3﹣x2﹣x+1＝（x﹣1）（x2+kx﹣1），求k的值； （2）若x是整数，求证：是整数． 【分析】（1）先将等式右边展开计算，再根据多项式恒等的性质，两边对应项系数相等，列出关于k的方程，从而求出k的值； （2）把（1）中k的值代入，可将x3﹣x2﹣x+1因式分解，再进行分式的除法运算，可求出的结果，然后根据条件x是整数，即可得证． 【解答】解：（1）由题设知，（x﹣1）（x2+kx﹣1）＝x3+（k﹣1）x2﹣（k+1）x+1， 所以x3﹣x2﹣x+1＝x3+（k﹣1）x2﹣（k+1）x+1， 从而有k﹣1＝﹣1，﹣k﹣1＝﹣1， 解得k＝0． 故所求k的值为0； （2）由（1）知k＝0，则x3﹣x2﹣x+1＝（x﹣1）（x2﹣1）＝（x﹣1）2（x+1）， ∴x+1． 又∵x是整数， ∴x+1是整数． 故是整数． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的法则，因式分解及分式的除法．由于多项式除以多项式的内容在初中教材大纲中不学习，故本题第二问有一定难度，属于竞赛题型．解决第一问的关键是根据多项式乘多项式的法则，利用两边对应项系数相等，列出关于k的方程；解决第二问的关键是利用（1）的结论，将多项式x3﹣x2﹣x+1因式分解． 17．（14分）阅读与理解：对一个关于x的多项式求导数，多项式中xn的导数等于nxn﹣1，常数项的导数为0．已知ax2+bx+c是关于x的多项式，记为P（x）．我们规定：P（x）的导出多项式为2ax+b，记为Q（x）．例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，则P（x）的导出多项式Q（x）＝2×3x﹣2＝6x﹣2；若P（x）＝4x3﹣3x2+2（2x﹣1），要求P（x）的导出多项式，先化简P（x）＝4x3﹣3x2+4x﹣2，则P（x）的导出多项式Q（x）＝3×4x2﹣2×3x+4＝12x2﹣6x+4．根据以上材料，回答问题： （1）若P（x）＝x2+4x+3，则它的导出多项式Q（x）＝ 　2x+4　； （2）设Q（x）是P（x）的导出多项式． ①若P（x）＝4x2+3（9x﹣5），求关于x的方程Q（x）＝3的解； ②已知P（x）＝（a﹣1）x2﹣8x+7是关于x的二次多项式，且关于x的方程Q（x）＝﹣2x的解为整数，求正整数a的值． 【分析】（1）利用题目已知的规定求解即可； （2）①先把P（x）＝4x2+3（9x﹣5）化简，根据题目已知的规定求出Q（x），再根据Q（x）＝3列方程求解即可； ②根据题目已知的规定，求出P（x）＝（a﹣1）x2﹣8x+7导出的多项式Q（x），再根据关于x的方程Q（x）＝﹣2x的解为整数，进行计算即可． 【解答】解：（1）∵P（x）＝x2+4x+3， ∴Q（x）＝2x+4， 故答案为：2x+4； （2）①∵P（x）＝4x2+3（9x﹣5）＝4x2+27x﹣15， ∴Q（x）＝2×4x+27＝8x+27， ∵Q（x）＝3， ∴8x+27＝3， 解得x＝﹣3； ②∵P（x）＝（a﹣1）x2﹣8x+7是关于x的二次多项式， ∴a≠1， ∵P（x）＝（a﹣1）x2﹣8x+7， ∴Q（x）＝2（a﹣1）x﹣8， ∵Q（x）＝﹣2x， ∴2（a﹣1）x﹣8＝﹣2x， ∴ax＝4， ∵Q（x）＝﹣2x有整数解， ∴a≠0， 且为整数， ∵a为正整数，且a≠1， ∴a的值为2或4． 【点评】本题考查了新定义，一元一次方程的解法，根据题目的已知理解P（x），Q（x）是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$