专题04 三角形的中位线与反证法（六大题型）（题型专练）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（浙教版）

一元二次方程 专题04 三角形的中位线与反证法（六大题型） 【题型1 与三角形中位线有关的求解问题】 【题型2三角形中位线与三角形面积问题】 【题型3与三角形中位线有关的证明】 【题型4 三角形中位线的实际应用】 【题型5 反证法证明中假设】 【题型6 用反证法证明命题】 【题型1 与三角形中位线有关的求解问题】 1．如图，在中，D和E分别为所在边的中点，若，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，掌握“三角形中位线平行且等于底边的一半”是解题关键．利用中位线的性质求解即可． 【详解】解：在中，D和E分别为所在边的中点， 是的中位线， ， ， ， 故选：A． 2．已知D，E，F分别为三边的中点，若的周长为3，则的周长为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理，进行求解即可． 【详解】解：∵D，E，F分别为三边的中点， ∴为的中位线， ∴分别为三边长的一半， ∵的周长为3， ∴， ∴的周长； 故选C． 3．如图，在中，是的垂直平分线，分别交、于点、，且是边长为6的等边三角形，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形中位线的性质，先根据垂直平分线得到，，然后根据等边三角形得到，即可得到，然后根据三角形的内角和定理解题即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， 故选：C． 4．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点分别是边的中点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由题意可得是的中位线，是的中位线，得到，，即得，进而得到，据此即可求解，掌握了三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是对角线的中点，点分别是边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5．如图，，分别是的边，的中点，点是线段上的一点，且，若，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，进而求出，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：在中，，是的中点，， ， ， ，分别是的边，的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 6．如图，在中，，点D，点E分别是边上的动点，连结，点F，点M 分别是的中点，则的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质及三角形中位线定理，正确得出的最小值是解题的关键．过点B作于H，连接；当取最小值时，的值最小，由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小，利用等腰三角形三线合一的性质求出的长，进而利用三角形等面积法求解即可． 【详解】解：如图，过点B作于H，连接；    ∵F，M分别是的中点， ∴， 当取最小值时，的值最小， 由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，在中，，分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得，，得出，得出． 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 8．如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，角平分线的性质等知识点，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，得到，根据等腰三角形的判定得出，即可求出，能熟记三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解决问题的关键． 【详解】∵是的中位线，，， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【题型2三角形中位线与三角形面积问题】 9．如图在中，，，，、、分别是、、的中点，则的面积是（    ） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形的中位线先证明，同理求解， 再利用三角形的内角和定理及勾股定理即可得解． 【详解】解：∵、分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 同理可得，是的中位线， ∴，， ∴， ∴， 过点作的延长线于点，则 ∴ ∴ ∴的面积为： 故选：． 【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的内角和定理，平行线的性质，平角的定义，掌握以上知识是解题的关键． 10．如图，在中，，点D在边上，，点E是内部一点，，延长交于点F，连接，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，由三角形内角和定理可求，由，可得，由，可求，则，即为的中点，，由勾股定理得，，由为的中点，可得，可求，则，根据求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即为的中点， ∴， 由勾股定理得，， 又∵为的中点， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，中位线等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，中位线是解题的关键． 11．如图，在中，分别是的中点，F是边上的一个动点，连结．若的面积为20，则的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的面积计算，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 连接，根据三角形的面积公式求出的面积，根据三角形中位线定理得到，得到的面积的面积，得到答案． 【详解】解：连接， ∵点E是的中点，的面积的为20， ∴的面积的面积， ∵点D是的中点， ∴的面积的面积， ∵D，E分别是的中点， ， ∴的面积的面积， 故选：C． 12．如图，在中，已知点D，E，F分别是的中点，且的面积为16，则的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形面积的等积变换，因为点F是的中点，所以的底是的底的一半，高等于的高；同理，D、E分别是的中点，与同底，△EBC的高是高的一半；利用三角形的等积变换可解答． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴的底是，的底是，即，高相等； ∴， 同理得，， ∴， ∴，且， ∴， 即阴影部分的面积为4． 故选：B． 12．如图，已知在中，点，分别是边，的中点若的面积等于，则三角形的面积等于（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，利用三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：点是边的中点，的面积等于， ， 故选：A． 13．如图，在中，E、D、F分别是的中点，，，则四边形的面积是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，过点E作，垂足为M，在中，E、D、F分别是的中点，得，，，是的中位线，，，则，，可得，三角形是等腰三角形，根据得，在中，根据勾股定理得，即可得，利用证明，则，在中，根据勾股定理得，可得，即可得． 【详解】解：如图所示，连接，过点E作，垂足为M，    ∵在中，E、D、F分别是的中点，， ∴，，，是的中位线，，， ∴，， ∴， ∴三角形是等腰三角形， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴四边形的面积是：， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，添加辅助线． 14．如图，点D，E，F分别是三角形的三条边的中点，若的面积是1，则的面积是(   ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据三角形中位线定理可证得四边形ADEF是平行四边形，从而可得，同理，，即． 【详解】解：∵点D，E，F分别是三角形的三条边的中点， ∴DEAF，且DE=AF， ∴四边形ADEF是平行四边形， ∴， 同理，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形中位线定理及平行四边形的判定与性质，解题关键是掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 15．如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，与三角形中线、中位线有关的面积计算，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据中线的性质，可得，同理，，根据三角形中位线的性质可得，即可得到的面积． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 又∵点是 的中点， ∴，， ∴． 又∵、是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 16．如图，是边长为1的等边三角形，取边中点作， ，得到四边形，它的面积记作，取中点作，，得到四边形，它的面积记作……，照此规律作下去，则 ． 【答案】 【分析】过点作于点，过点作于点，根据题意易得为的中位线，进而可得，的值，再证明四边形为平行线四边形，可得，的值，再解得的值，可求得，同理可得，…，即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作于点，过点作于点， ∵是边长为1的等边三角形， ∴，， ∵点为中点，且， ∴为的中位线， ∴，， 又∵， ∴四边形为平行线四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， …， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形规律探索、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线的性质等知识，准确找到图形变化规律是解题关键． 17．如图，已知在中，．，分别是的中点，连接．若，则的面积是 ．    【答案】24 【分析】根据三角形中位线定理求出，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根据三角形的面积公式计算，即可得到答案． 【详解】解： 分别是的中点，， ， ， ， 是直角三角形， ， 故答案为：24． 【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握三角形的中位线定理，勾股定理的逆定理，是解题的关键． 18．如图，在四边形中，，，，，点和点分别是和的中点，连接，，，若，则的面积是 ． 【答案】 【分析】先根据三角形的中位线定理与直角三角形的性质，可得，然后过点作于，根据等腰三角形性质与直角三角形性质可得和的长度，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于． ，，， ， 点和点分别是和的中点， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质与三角形面积公式等知识，熟练掌握相关的定理、性质与公式是解题的关键． 【题型3与三角形中位线有关的证明】 19．如图，中，点D、E分别为的中点，延长到点F，使得，连接．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形判定，平行四边形的判定的综合，掌握全等三角形判定，平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）根据点是的中点，可得，由“边角边”即可求证； （2）由推出，得到，根据中位线定理，结合四边形的判定“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，由此即可求解． 【详解】（1）证明：点是的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：点，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 20．知识回顾：已知，如图（1）中，点是边的中点，点是边的中点，连接．则与的关系为：_____（用符号语言表达）． 知识应用：已知，如图（2），四边形中，，点，分别为，的中点，连接．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 【答案】知识回顾：，；知识应用：，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 知识回顾：根据三角形的中位线的性质可得结论； 知识应用：连接并延长交的延长线于点G，证明，可得，，再结合三角形的中位线的性质可得结论． 【详解】解：知识回顾：由题意可得：与的关系为：，； 知识应用： ，理由如下： 连接并延长交的延长线于点G，      ∵， ∴，， ∵N是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴． 21．【课本再现】 （1）如图1，线段，相交于点，，．求证： ①； ②； 【迁移应用】 （2）如图2，在四边形中，，，分别是边，的中点，连接，猜想，，三条线段的数量关系，并证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2），证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理： （1）①证明，即可得出结论； ②由得，再由平行线的判定即可证明； （2）连接，取的中点，连接，利用三角形的中位线定理，结合勾股定理即可得出结论． 【详解】解：（1）① ，，， ， ； ②由①知，， ， ； （2），证明如下： 连接，取的中点，连接， ∵，分别是边，的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．【问题初探】 （1）李老师给出如下问题：如图1，在平行四边形中，，且，点E是的中点，点F为对角线上的点，且，连接线段，若，求的长． 小鹏同学考虑到点E是的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以想到连接，与交于点O．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题． 【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答． （2）如图2，在中，平分，过点A作延长线的垂线，垂足为点D，，求证：． 【学以致用】 （3）如图3，在中，，点D在上，，点E，F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）连接，交于点O，易得为的中位线，根据平行四边形的性质，结合勾股定理求出的长，即可求出的长； （2）延长交的延长线于点G，证明，得到，取的中点F，连接，证明，得到，进而得到，即可得证； （3）连接，取中点H，连接，根据三角形的中位线定理，推出是等边三角形，进而推出是等边三角形，得到，进而得到，等边对等角求出，进而推出，即可得证． 【详解】解：（1）连接，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）如图，延长交的延长线于点G， ∵平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 取的中点F，连接，则有，且， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）如图，连接，取中点H，连接， ∵E，F分别为和中点， ∴和分别为和的中位线， ∴且，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造三角形的中位线，是解题的关键． 23．如图，已知的中线、相交于点，、分别为、的中点． (1)求证：和互相平分； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)16 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、完全平方公式，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键． （1）先根据三角形的中位线定理可得，，，，再证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证； （2）先求出，再利用勾股定理可得，然后利用完全平方公式变形求值可得的值，最后利用三角形的面积公式计算即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的中线，点是的中点， ∴，， 同理可得：，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴和互相平分． （2）解：由（1）已证：和互相平分， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 24．如图，在中，点D在上，且于点E，点F是的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的中位线定理，根据题意可推出点是的中点，结合点F是的中点可得是的中位线，据此即可求证． 【详解】证明：∵ ∴点是的中点． ∵点F是的中点． ∴是的中位线， ∴ 25．如图，在四边形中，，M、N分别是的中点，延长与分别交于点E、F．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了三角形中位线的性质．熟练掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确作出辅助线是解决问题的关键． 取中点G，连接，根据三角形中位线定理可得到，由平行线的性质可得，从而可推出为等腰三角形，从而证得． 【详解】证明：连接，取中点G，连接， ∵点M，N分别是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型4 三角形中位线的实际应用】 26．如图，在一次数学实践活动中，同学们为估测被花坛隔开的A，B两处之间的距离，先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出DE的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用．由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：∵点D，E，分别为的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选：B． 27．如图，，两地被古城墙阻隔，为测量， 两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点 ， 连接 ， ， 分别取 ， 的中点 ， ，连接．若 的长为， 则， 两地间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：点，分别为，的中点， ， 故答案为：． 28．阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． 29．如图，在中，，，点，分别在，上，且．连接，，，分别为，的中点．    (1)如图1，请直写出与的数量关系； (2)如图2，将若旋转至如图位置时，（1）中结论是否依然成立？并说明理由； (3)若，，直接写出将绕点在平面内旋转过程中的最大值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）由，，可得，根据中位线的判定和性质可得，故； （2）根据全等三角形的判定和性质可得，根据中位线的判定和性质可得，故； （3）将绕点在平面内旋转过程中，同（2）可证，，由，，可知当，，共线，且在的延长线上时，最大，的最大值即为， 即可求得的最大值是． 【详解】（1）解：；理由如下： ∵，， ∴。 即， ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴ ∴ ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故． （3）解：如图：      将绕点在平面内旋转过程中，同（2）可证， ∴当最大时，最大， ∵，， ∴当，，共线，且在的延长线上时，最大，的最大值即为， 如图：      此时， ∴的最大值是． 【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 30．[教材呈现]如图是人教版八年级下册数学教材P48页的部分内容：如图，，分别是的边，的中点，求证：，且． [定理证明]乐乐给出如下部分证明： 证明：如图1，延长至点，使得，连接…… (1)请你根据乐乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线） (2)[定理应用]如图2，在四边形中，，，，，点，，分别是，，的中点，求的长： (3)如图3，在四边形中，点，，，分别是，， 的中点，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）如图1，延长至点，使得，连接，先利用证明，再证明四边形是平行四边形，可证明结论； （2）如图2，根据点，，分别是，，的中点，可得出，，，，再根据，，由平行的性质可求出，再利用勾股定理即可求出的长； （3）如图3，连接，根据点，，，分别是，， 的中点，可得，；，，由平行线的性质和等量代换可推出，，最后利用平行四边形的判定即可证明结论． 【详解】（1）证明：如图1，延长至点，使得，连接， ∴， ∵点是的边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵点是的边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 即，． （2）解：∵如图2，点，，分别是，，的中点，，，，， ∴，， ，， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，． ∴的长为． （3）证明：如图3，连接， ∵点，，，分别是，， 的中点， ∴，， ，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查四边形综合题，考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质，邻补角的定义等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题． 【题型5 反证法证明中假设】 31．“证明：若，则”，用反证法证明这个结论时，应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．根据反证法的步骤，直接得出答案即可． 【详解】用反证法证明若，则”时，应先假设． 故选B． 32．用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设（   ） A．底角大于 B．底角等于 C．底角小于 D．底角大于等于 【答案】D 【分析】本题考查了反证法，解此题，关键要懂得反证法的意义和步骤，在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设底角大于等于， 故选： D． 33．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，第一步应先假设（   ） A．三角形中有一个内角小于60° B．三角形中有一个内角大于60° C．三角形的三个内角都小于60° D．三角形的三个内角都大于60° 【答案】C 【详解】提示：用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，第一步应先假设在三角形中，没有一个内角大于或等于60°，即三角形的三个内角都小于60°． 34．用反证法证明，若，则时，应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：反证法证明命题“若，则”时， 应假设， 故选：C． 35．用反证法证明命题“钝角三角形中至少有一个内角不小于时，首先应该假设这个三角形中（    ） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于或等于 D．每一个内角都大于或等于 【答案】B 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：反证法证明命题“钝角三角形中至少有一个内角不小于”时，首先应该假设这个钝角三角形中每一个内角都小于， 故选：B 36．玲玲在用反证法证明“中至少有一个内角小于或等于”时，她应先假设这个三角形中（    ） A．有一个内角大于 B．有一个内角大于等于 C．每一个内角都大于 D．每一个内角都小于 【答案】C 【分析】本题考查了反证法 ，“至少有一个”的否定为“没有一个”，据此即可求解． 【详解】解：∵“至少有一个”的否定为“没有一个”， ∴应假设这个三角形中没有一个内角小于或等于， 即：这个三角形中每一个内角都大于， 故选：C 【题型6 用反证法证明命题】 37．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空）． 已知：如图，直线，被直线所截； ． 求证：直线与 ． 证明：假设 ， 则 ． 这与 矛盾，故 不成立． 所以 ． 【答案】 不平行 （两直线平行，同旁内角互补） 假设 直线与不平行 【分析】先作出假设，根据平行线的性质得到这与矛盾，则假设不成立即可得到结论． 【详解】解；已知：如图，直线，被直线所截；． 求证：直线与不平行． 证明：假设， 则（两直线平行，同旁内角互补）． 这与矛盾，故假设不成立． 所以直线与不平行． 故答案为：；不平行；；；两直线平行，同旁内角互补；；假设；直线与不平行． 【点睛】本题主要考查了反证法，平行线的性质，熟知反证法的步骤是解题的关键． 38．如图，在同一平面内，已知直线于点与直线相交（且不垂直）于点．求证：与必相交． 证明：假设与不相交，则______________________． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交___________． 与___________． 【答案】，，不成立，必相交 【分析】本题考查反证法，根据反正法假设结论成立，推出与已知矛盾，进行作答即可． 【详解】证明假设与不相交，则． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交不成立． 与必相交． 39．反证法是数学证明的一种重要方法．请将下面运用反证法进行证明的过程补全． 已知：在中，．求证：． 证明：假设_____________________． ∵， ∴， ∴， 这与_______________________． ∴_______________________不成立． ∴ 【答案】；三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾；此假设 【分析】根据反证法的证明步骤分析即可． 【详解】解：证明：假设 ∵， ∴， ∴， 这与三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾． ∴此假设不成立． ∴， 故答案为：；三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾；此假设． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，等边对等角及反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 40．在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充完整： 已知：如图1，直线，直线分别与、交于点O，． 求证：． (1)完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）： 证明：假设____________． 如图2，过点O作直线，使 ∴（ ） 又∵，且直线经过点O ∴过点O存在两条直线、与直线平行 这与基本事实矛盾，假设不成立 ∴． (2)上述证明过程中提到的基本事实是_________．（填序号） ①两点确定一条直线；②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【答案】(1)；同位角相等，两直线平行 (2)② 【分析】根据反证法的证明步骤分析即可． 【详解】（1）证明：假设． 如图2，过点O作直线，使， （同位角相等，两直线平行） 又，且直线经过点O ∴过点O存在两条直线、与直线平行 这与基本事实矛盾，假设不成立 故答案为∶ ；同位角相等，两直线平行； （2）解：上述证明过程中提到的基本事实是过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； 故答案为：② 【点睛】本题考查了反证法，熟练掌握假设原命题的结论不成立（即提出与原命题相反的结论），从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，判定假设不正确，肯定原命题的结论正确是解题的关键． 41．用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于．” 已知：，，是的内角． 求证：，，中至少有一个内角小于或等于． 【答案】见解析 【分析】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立． 【详解】证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于， ， 这与三角形的三内角和为相矛盾． 假设不成立， 三角形三内角中至少有一个内角小于或等于度． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理考查反证法，解题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$一元二次方程 专题04 三角形的中位线与反证法（六大题型） 【题型1 与三角形中位线有关的求解问题】 【题型2三角形中位线与三角形面积问题】 【题型3与三角形中位线有关的证明】 【题型4 三角形中位线的实际应用】 【题型5 反证法证明中假设】 【题型6 用反证法证明命题】 【题型1 与三角形中位线有关的求解问题】 1．如图，在中，D和E分别为所在边的中点，若，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．已知D，E，F分别为三边的中点，若的周长为3，则的周长为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 3．如图，在中，是的垂直平分线，分别交、于点、，且是边长为6的等边三角形，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D．4 4．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点分别是边的中点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，，分别是的边，的中点，点是线段上的一点，且，若，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 6．如图，在中，，点D，点E分别是边上的动点，连结，点F，点M 分别是的中点，则的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 7．如图，在中，，分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为 ． 8．如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，，则的长为 ． 【题型2三角形中位线与三角形面积问题】 9．如图在中，，，，、、分别是、、的中点，则的面积是（    ） A．12 B． C． D． 10．如图，在中，，点D在边上，，点E是内部一点，，延长交于点F，连接，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在中，分别是的中点，F是边上的一个动点，连结．若的面积为20，则的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 12．如图，在中，已知点D，E，F分别是的中点，且的面积为16，则的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 12．如图，已知在中，点，分别是边，的中点若的面积等于，则三角形的面积等于（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 13．如图，在中，E、D、F分别是的中点，，，则四边形的面积是（   ）    A． B． C． D． 14．如图，点D，E，F分别是三角形的三条边的中点，若的面积是1，则的面积是(   ) A．4 B．3 C．2 D．1 15．如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 ． 16．如图，是边长为1的等边三角形，取边中点作， ，得到四边形，它的面积记作，取中点作，，得到四边形，它的面积记作……，照此规律作下去，则 ． 17．如图，已知在中，．，分别是的中点，连接．若，则的面积是 ．    18．如图，在四边形中，，，，，点和点分别是和的中点，连接，，，若，则的面积是 ． 【题型3与三角形中位线有关的证明】 19．如图，中，点D、E分别为的中点，延长到点F，使得，连接．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 20．知识回顾：已知，如图（1）中，点是边的中点，点是边的中点，连接．则与的关系为：_____（用符号语言表达）． 知识应用：已知，如图（2），四边形中，，点，分别为，的中点，连接．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 21．【课本再现】 （1）如图1，线段，相交于点，，．求证： ①； ②； 【迁移应用】 （2）如图2，在四边形中，，，分别是边，的中点，连接，猜想，，三条线段的数量关系，并证明． 22．【问题初探】 （1）李老师给出如下问题：如图1，在平行四边形中，，且，点E是的中点，点F为对角线上的点，且，连接线段，若，求的长． 小鹏同学考虑到点E是的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以想到连接，与交于点O．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题． 【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答． （2）如图2，在中，平分，过点A作延长线的垂线，垂足为点D，，求证：． 【学以致用】 （3）如图3，在中，，点D在上，，点E，F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，求证：． 23．如图，已知的中线、相交于点，、分别为、的中点． (1)求证：和互相平分； (2)若，，，求的面积． 24．如图，在中，点D在上，且于点E，点F是的中点．求证：． 25．如图，在四边形中，，M、N分别是的中点，延长与分别交于点E、F．求证：． 【题型4 三角形中位线的实际应用】 26．如图，在一次数学实践活动中，同学们为估测被花坛隔开的A，B两处之间的距离，先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出DE的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（   ） A． B． C． D． 27．如图，，两地被古城墙阻隔，为测量， 两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点 ， 连接 ， ， 分别取 ， 的中点 ， ，连接．若 的长为， 则， 两地间的距离为 ． 28．阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 29．如图，在中，，，点，分别在，上，且．连接，，，分别为，的中点．    (1)如图1，请直写出与的数量关系； (2)如图2，将若旋转至如图位置时，（1）中结论是否依然成立？并说明理由； (3)若，，直接写出将绕点在平面内旋转过程中的最大值． 30．[教材呈现]如图是人教版八年级下册数学教材P48页的部分内容：如图，，分别是的边，的中点，求证：，且． [定理证明]乐乐给出如下部分证明： 证明：如图1，延长至点，使得，连接…… (1)请你根据乐乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线） (2)[定理应用]如图2，在四边形中，，，，，点，，分别是，，的中点，求的长： (3)如图3，在四边形中，点，，，分别是，， 的中点，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 【题型5 反证法证明中假设】 31．“证明：若，则”，用反证法证明这个结论时，应先假设（   ） A． B． C． D． 32．用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设（   ） A．底角大于 B．底角等于 C．底角小于 D．底角大于等于 33．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，第一步应先假设（   ） A．三角形中有一个内角小于60° B．三角形中有一个内角大于60° C．三角形的三个内角都小于60° D．三角形的三个内角都大于60° 34．用反证法证明，若，则时，应假设（    ） A． B． C． D． 35．用反证法证明命题“钝角三角形中至少有一个内角不小于时，首先应该假设这个三角形中（    ） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于或等于 D．每一个内角都大于或等于 36．玲玲在用反证法证明“中至少有一个内角小于或等于”时，她应先假设这个三角形中（    ） A．有一个内角大于 B．有一个内角大于等于 C．每一个内角都大于 D．每一个内角都小于 【题型6 用反证法证明命题】 37．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空）． 已知：如图，直线，被直线所截； ． 求证：直线与 ． 证明：假设 ， 则 ． 这与 矛盾，故 不成立． 所以 ． 38．如图，在同一平面内，已知直线于点与直线相交（且不垂直）于点．求证：与必相交． 证明：假设与不相交，则______________________． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交___________． 与___________． 39．反证法是数学证明的一种重要方法．请将下面运用反证法进行证明的过程补全． 已知：在中，．求证：． 证明：假设_____________________． ∵， ∴， ∴， 这与_______________________． ∴_______________________不成立． ∴ 40．在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充完整： 已知：如图1，直线，直线分别与、交于点O，． 求证：． (1)完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）： 证明：假设____________． 如图2，过点O作直线，使 ∴（ ） 又∵，且直线经过点O ∴过点O存在两条直线、与直线平行 这与基本事实矛盾，假设不成立 ∴． (2)上述证明过程中提到的基本事实是_________．（填序号） ①两点确定一条直线；②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行． 41．用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于．” 已知：，，是的内角． 求证：，，中至少有一个内角小于或等于． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$