培优专题7-1：复数及其应用（3知识点+8题型+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

培优专题7-1：复数的概念与运算 复数的概念 1、复数的有关概念 （1）定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是. （2）虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． （3）表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． （4）复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 2、复数的分类：对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. 【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 3、复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. 4、共轭复数 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi. 示例：z＝2＋3i的共轭复数是＝2－3i. 【注意】（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝，也就是，任一实数的共轭复数是它本身；（2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等． （23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期中）已知复数（i为虚数单位），求适合下列条件的实数m的值； (1)z为实数； (2)z为虚数； (3)z为纯虚数. 复数的几何意义 1、复平面定义：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数， 原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 3、复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． （23-24高一下·湖南·月考）已知是虚数单位，当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 复数的四则运算 1、复数的加法 （1）加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数． 注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形， 即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni， 则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i. （2）加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C， 有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 2、复数的减法 （1）相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义，存在唯一的复数－a－bi， 使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数． （2）减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i，即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数． 3、复数的乘法 （1）运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1，并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)， 则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，显然两个复数的积仍是复数． （2）复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有 ①z1·z2＝z2·z1(交换律)；②(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)；③z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)． （3）复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有 zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)． 4、复数的除法 规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0） 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式， 再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果． 【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数． （2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段． （23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）计算： (1) (2) (3) 复数的概念与分类 例1．（24-25高一上·浙江湖州·月考）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的虚部为 D．的虚部为1 【变式1-1】（23-24高一下·河南驻马店·月考）已知复数，（，为虚数单位），且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·贵州贵阳·月考）复数是实数，则 . 【变式1-3】（23-24高一下·江苏宿迁·月考）已知复数为纯虚数（其中为虚数单位），则 . 【解题方法总结】 判断复数的实部、虚部的关键：（1）看形式：看复数的表示是否是的形式；（2）看属性：看，是否都是实数；（3）看符号：复数的实部和虚部的符号是易错点． 复数与复平面内的点一一对应 例2．（23-24高一下·天津宝坻·月考）已知复数，复平面内对应点的坐标为 . 【变式2-1】（23-24高一下·安徽·月考）复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第―象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-2】（23-24高一下·湖北·期末）当时，复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-3】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知复数，若复数在复平面上对应的点位于第二象限，则的取值范围为 ． 【解题方法总结】 复数 复数与复平面内的向量一一对应 例3．（23-24高一下·广东广州·期中）已知复平面内的点，分别对应的复数为和，则向量对应的复数为 . 【变式3-1】（23-24高一下·河北张家口·月考）设复数，在复平面内对应的向量分别为、，则向量对应的复数所对应的点的坐标为 . 【变式3-2】（23-24高一下·江苏南京·月考）如图，复数对应的向量为，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一下·广西崇州·月考）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数． 复数的四则运算综合 例4．（24-25高一上·浙江湖州·月考）复数 . 【变式4-1】（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一下·内蒙古·月考）若，则z的共轭复数为（    ） A．3＋i B．3－i C．1＋3i D．1－3i 【变式4-3】（23-24高一下·青海西宁·月考）（多选）已知为虚数单位，复数，则（    ） A．与互为共轭复数 B． C．为纯虚数 D． 【解题方法总结】 复数运算的几个重要结论： （1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)；（2）·z＝|z|2＝||2. （3）若z为虚数，则|z|2≠z2；（4）(1±i)2＝±2i；（5）＝i；＝－i． 复数的高次方运算 例5．（23-24高一下·上海·月考）设复数满足（为虚数单位），则 . 【变式5-1】（23-24高一下·海南·月考） 为虚数单位， . 【变式5-2】（23-24高一下·吉林四平·月考）设复数，，则 . 【变式5-3】（23-24高一下·青海海东·月考）已知是虚数单位，则复数（    ） A． B．1 C． D． 【解题方法总结】 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1． 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i． 复数范围内因式分解与解方程 例6．（23-24高一下·广西柳州·月考）已知关于的方程有实根，则实数 ． 【变式6-1】（23-24高一下·福建·月考）设，，为虚数单位，若是关于的二次方程一个虚根，则 ． 【变式6-2】（23-24高一下·安徽亳州·月考）已知，是方程的两根，则 ， . 【变式6-3】（23-24高一下·辽宁辽阳·月考）（多选）已知复数，是关于的方程（，，）的两个复数根，且，，则（    ） A．与互为共辄复数 B． C． D． 【解题方法总结】 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法：①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． 复数的模长及其应用 例7．（23-24高一下·贵州铜仁·月考）复数的模为（    ） A． B．2 C． D．3 【变式7-1】（23-24高一下·福建福清·月考）设复数的共轭复数为，若，则 . 【变式7-2】（23-24高一下·广西南宁·月考）在复平面内，已知复数满足，且，则 . 【变式7-3】（23-24高一下·广东广州·期中）（多选）已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值； （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|； （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 与复数模有关的最值问题 例8．（24-25高一下·浙江宁波·月考）设z为复数，若=1，则的最大值为 . 【变式8-1】（23-24高一下·云南红河·月考）已知复数满足，当的实部取最大值时， ． 【变式8-2】（23-24高一下·福建厦门·月考）已知i为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是 ． 【变式8-3】（23-24高一下·四川巴中·月考）已知三个复数，，，且，，，所对应的向量，满足；则的最大值为 . 【解题方法总结】 1、复数的模的几何意义 （1）复数的模就是复数在复平面内对应的点到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义． （2）复数在复平面内对应的点为，表示一个大于0的常数，则满足条件的点组成的集合是以原点为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部． 2、两个复数差的模的几何意义 （1）表示复数，对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式． （2）表示以对应的点为圆心，为半径的圆． （3）涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． 一、单选题 1．（24-25高一下·河南郑州·月考）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·四川巴中·月考）已知复数，则对应的点在复平面的（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（23-24高一下·贵州贵阳·月考）已知复数，则复数z的共轭复数（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·云南丽江·月考）已知复数且，其中为虚数单位，则（    ） A．－4 B．－3 C．－2 D．0 5．（23-24高一下·江苏盐城·月考）若复数为纯虚数，则复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·四川眉山·月考）设在复平面内，复数和对应的点分别为，则向量表示的复数所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（24-25高三上·福建漳州·一模）已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 8．（23-24高一下·陕西西安·月考）已知，则的值为（    ） A．i B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·浙江宁波·月考）设复数，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·广东深圳·月考）已知复数，其中为实数，为虚数单位，则（    ） A．若为纯虚数，则或 B．若复平面内表示复数的点位于第四象限，则 C．若，则的虚部为 D．若，则 11．（23-24高一下·陕西咸阳·月考）欧拉公式(其中为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式，下列结论中正确的是（    ） A．的实部为0 B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．的共轭复数为1 三、填空题 12．（24-25高一下·河北·月考）已知复数满足，则 . 13．（23-24高一下·湖北·期末）若，则复平面内满足的点Z的集合的图形面积是 . 14．（24-25高一下·浙江杭州·月考）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式求的最大值为 . 四、解答题 15．（23-24高一下·安徽·月考）复数，其中. (1)若复数z为实数，求a的值； (2)若复数z为虚数，求a的取值范围； (3)若复数z为纯虚数，求a的值 16．（24-25高一下·浙江宁波·月考）已知复数为虚数单位)， z在复平面上对应的点在第四象限，且满足. (1)求实数b的值； (2)若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值. 17．（23-24高一下·安徽安庆·期中）已知复平面内表示复数（）的点为. (1)若点在函数图像上，求实数的值； (2)若为坐标原点，点，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 18．（23-24高一下·河南濮阳·月考）已知复数在复平面内对应的点位于第三象限，，且的虚部是实部的2倍. (1)求； (2)若复数使得为纯虚数，则在复平面内对应的点的集合是什么图形？ 19．（23-24高一下·河北保定·月考）材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.进而，一元次多项式方程有个复数根（重根按重数计）.下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程在复数集内的根为，容易得到. 设实系数一元三次方程① 在复数集内的根为，可以得到，方程①可变形为展开得：② 比较①②可以得到根与系数之间的关系：， 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： (1)对于方程在复数集内的根为，求的值； (2)如果实系数一元四次方程在复数集内的根为，根据材料二，试找到该四次方程根与系数之间的关系并说明原因； (3)已知函数，对于方程在复数集内的根为，当时，求的最大值. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题7-1：复数的概念与运算 复数的概念 1、复数的有关概念 （1）定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是. （2）虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． （3）表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． （4）复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 2、复数的分类：对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. 【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 3、复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. 4、共轭复数 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi. 示例：z＝2＋3i的共轭复数是＝2－3i. 【注意】（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝，也就是，任一实数的共轭复数是它本身；（2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等． （23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期中）已知复数（i为虚数单位），求适合下列条件的实数m的值； (1)z为实数； (2)z为虚数； (3)z为纯虚数. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）若z为实数，则，解得. （2）若z为虚数，则，解得. （3）若z为纯虚数，则，解得. 复数的几何意义 1、复平面定义：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数， 原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 3、复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． （23-24高一下·湖南·月考）已知是虚数单位，当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】， 又，，所对应的点在第一象限.故选：A. 复数的四则运算 1、复数的加法 （1）加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数． 注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形， 即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni， 则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i. （2）加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C， 有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 2、复数的减法 （1）相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义，存在唯一的复数－a－bi， 使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数． （2）减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i，即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数． 3、复数的乘法 （1）运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1，并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)， 则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，显然两个复数的积仍是复数． （2）复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有 ①z1·z2＝z2·z1(交换律)；②(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)；③z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)． （3）复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有 zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)． 4、复数的除法 规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0） 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式， 再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果． 【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数． （2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段． （23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)0；(2)；(3) 【解析】（1）； （2）； （3）. 复数的概念与分类 例1．（24-25高一上·浙江湖州·月考）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的虚部为 D．的虚部为1 【答案】C 【解析】复数的实部为1，虚部为，ABD错误，C正确.故选：C 【变式1-1】（23-24高一下·河南驻马店·月考）已知复数，（，为虚数单位），且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由复数，（，为虚数单位）， 因为，可得，则，解得.故选：D. 【变式1-2】（23-24高一下·贵州贵阳·月考）复数是实数，则 . 【答案】 【解析】根据题意且， 所以且，即， 所以或（舍），故答案为： 【变式1-3】（23-24高一下·江苏宿迁·月考）已知复数为纯虚数（其中为虚数单位），则 . 【答案】 【解析】由题意，，且，所以，且； 又，所以. 【解题方法总结】 判断复数的实部、虚部的关键：（1）看形式：看复数的表示是否是的形式；（2）看属性：看，是否都是实数；（3）看符号：复数的实部和虚部的符号是易错点． 复数与复平面内的点一一对应 例2．（23-24高一下·天津宝坻·月考）已知复数，复平面内对应点的坐标为 . 【答案】 【解析】复数在复平面对应的点为. 【变式2-1】（23-24高一下·安徽·月考）复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第―象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第二象限.故选：B. 【变式2-2】（23-24高一下·湖北·期末）当时，复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】, 所以该复数在复平面所对应的点的坐标为， 又，所以， 所以点位于第四象限.故选：D 【变式2-3】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知复数，若复数在复平面上对应的点位于第二象限，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】依题意得：，得，∴. 【解题方法总结】 复数 复数与复平面内的向量一一对应 例3．（23-24高一下·广东广州·期中）已知复平面内的点，分别对应的复数为和，则向量对应的复数为 . 【答案】 【解析】因为复平面内的点，分别对应的复数为和， 所以，， 所以， 所以向量对应的复数为. 【变式3-1】（23-24高一下·河北张家口·月考）设复数，在复平面内对应的向量分别为、，则向量对应的复数所对应的点的坐标为 . 【答案】 【解析】因为，在复平面内对应的向量分别为、， 所以，， 则， 所以向量对应的复数所对应的点的坐标为. 【变式3-2】（23-24高一下·江苏南京·月考）如图，复数对应的向量为，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题图可知，，则， 解得（舍去）， 所以，，则向量在向量上的投影向量为， 所以其坐标为．故选：D 【变式3-3】（23-24高一下·广西崇州·月考）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，点A的坐标为，则点B的坐标为， 故向量对应的复数为.故选：C. 【解题方法总结】 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数． 复数的四则运算综合 例4．（24-25高一上·浙江湖州·月考）复数 . 【答案】 【解析】复数. 【变式4-1】（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故， .故选：B 【变式4-2】（23-24高一下·内蒙古·月考）若，则z的共轭复数为（    ） A．3＋i B．3－i C．1＋3i D．1－3i 【答案】A 【解析】， 故，．故选：A 【变式4-3】（23-24高一下·青海西宁·月考）（多选）已知为虚数单位，复数，则（    ） A．与互为共轭复数 B． C．为纯虚数 D． 【答案】BD 【解析】对于A，因为的共轭复数为，所以与不互为共轭复数，所以不正确； 对于B，因为，所以B正确； 对于C，因为，为实数，所以C不正确； 对于D，因为，所以，所以D正确.故选：BD 【解题方法总结】 复数运算的几个重要结论： （1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)；（2）·z＝|z|2＝||2. （3）若z为虚数，则|z|2≠z2；（4）(1±i)2＝±2i；（5）＝i；＝－i． 复数的高次方运算 例5．（23-24高一下·上海·月考）设复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】 【解析】由，得， 所以. 【变式5-1】（23-24高一下·海南·月考） 为虚数单位， . 【答案】i 【解析】. 【变式5-2】（23-24高一下·吉林四平·月考）设复数，，则 . 【答案】1 【解析】， 则， 所以. 【变式5-3】（23-24高一下·青海海东·月考）已知是虚数单位，则复数（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以.故选：B. 【解题方法总结】 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1． 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i． 复数范围内因式分解与解方程 例6．（23-24高一下·广西柳州·月考）已知关于的方程有实根，则实数 ． 【答案】 【解析】设为方程有实根， 则，即， 所以，解得，故答案为：. 【变式6-1】（23-24高一下·福建·月考）设，，为虚数单位，若是关于的二次方程一个虚根，则 ． 【答案】7 【解析】因为是关于的二次方程一个虚根， 所以， 即， 可得，解得， 则. 【变式6-2】（23-24高一下·安徽亳州·月考）已知，是方程的两根，则 ， . 【答案】； 【解析】因为，是方程的两根，又， 即或， 不妨令， 所以； 又，所以. 故答案为：； 【变式6-3】（23-24高一下·辽宁辽阳·月考）（多选）已知复数，是关于的方程（，，）的两个复数根，且，，则（    ） A．与互为共辄复数 B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为是关于的方程的两个复数根， 所以， 所以， 又因为， 所以，解得， 因为，所以. 对于A，由，得，， 所以与互为共轭复数，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由A选项知，， 所以，故D错误.故选：AB. 【解题方法总结】 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法：①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． 复数的模长及其应用 例7．（23-24高一下·贵州铜仁·月考）复数的模为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解析】，．故选:C 【变式7-1】（23-24高一下·福建福清·月考）设复数的共轭复数为，若，则 . 【答案】 【解析】设，则. 因为，所以， 所以解得所以，所以. 【变式7-2】（23-24高一下·广西南宁·月考）在复平面内，已知复数满足，且，则 . 【答案】 【解析】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为，且， 所以为等腰直角三角形，且. 作正方形AOBC，如图所示， 则对应的复数为，故. 【变式7-3】（23-24高一下·广东广州·期中）（多选）已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】设复数，且， ，A正确； ，B正确； ， ， 所以与不一定相等，C错误； 令，则，D错误．故选：AB 【解题方法总结】 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值； （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|； （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 与复数模有关的最值问题 例8．（24-25高一下·浙江宁波·月考）设z为复数，若=1，则的最大值为 . 【答案】3 【解析】设，则，即， ，∴， ∵在上单调递增， ∵，， ∴当时，取最大值3. 【变式8-1】（23-24高一下·云南红河·月考）已知复数满足，当的实部取最大值时， ． 【答案】 【解析】设，， 则，在复平面中在以为圆心，3为半径的圆上运动， 所以实部，此时，故． 【变式8-2】（23-24高一下·福建厦门·月考）已知i为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由，得复数在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆， 是点到定点的距离，而，因此，， 所以的取值范围是. 【变式8-3】（23-24高一下·四川巴中·月考）已知三个复数，，，且，，，所对应的向量，满足；则的最大值为 . 【答案】 【解析】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，， 因为且，所对应的向量，满足，即， 不妨令，，则，， 又，设，即 则， 所以 ， 所以当时取得最大值，即. 【解题方法总结】 1、复数的模的几何意义 （1）复数的模就是复数在复平面内对应的点到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义． （2）复数在复平面内对应的点为，表示一个大于0的常数，则满足条件的点组成的集合是以原点为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部． 2、两个复数差的模的几何意义 （1）表示复数，对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式． （2）表示以对应的点为圆心，为半径的圆． （3）涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． 一、单选题 1．（24-25高一下·河南郑州·月考）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以，所以.故选：A 2．（23-24高一下·四川巴中·月考）已知复数，则对应的点在复平面的（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】因为， 所以对应的点在复平面的第三象限，故选：C 3．（23-24高一下·贵州贵阳·月考）已知复数，则复数z的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以.故选：D. 4．（23-24高一下·云南丽江·月考）已知复数且，其中为虚数单位，则（    ） A．－4 B．－3 C．－2 D．0 【答案】A 【解析】， 因为，即， 所以，即， 所以．故选：A． 5．（23-24高一下·江苏盐城·月考）若复数为纯虚数，则复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为纯虚数， 所以，解得， 所以，所以.故选：B 6．（23-24高一下·四川眉山·月考）设在复平面内，复数和对应的点分别为，则向量表示的复数所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由复数的几何意义知，，故， 所以表示的复数所对应的点位于第四象限.故选：D 7．（24-25高三上·福建漳州·一模）已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【解析】因为，所以点 因为点与点关于直线对称，所以. 所以故选:A. 8．（23-24高一下·陕西西安·月考）已知，则的值为（    ） A．i B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以故选：B 二、多选题 9．（24-25高一下·浙江宁波·月考）设复数，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】，∴， ∴，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项正确； ∵，，，， ，∴， ∴，D选项错误.故选：BC. 10．（23-24高一下·广东深圳·月考）已知复数，其中为实数，为虚数单位，则（    ） A．若为纯虚数，则或 B．若复平面内表示复数的点位于第四象限，则 C．若，则的虚部为 D．若，则 【答案】BD 【解析】A.若为纯虚数，则，得，故A错误； B. 若复平面内表示复数的点位于第四象限，则， 解得：，故B正确； C. 若，则，则，所以的虚部为，故C错误； D. 若，则，得，所以， 则，故D正确.故选：BD 11．（23-24高一下·陕西咸阳·月考）欧拉公式(其中为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式，下列结论中正确的是（    ） A．的实部为0 B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．的共轭复数为1 【答案】BC 【解析】对于A，，所以的实部为，故A错误； 对于B，，在复平面内对应的点为，为第二象限点，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D， ，其共轭复数为，故D错误，故选：BC. 三、填空题 12．（24-25高一下·河北·月考）已知复数满足，则 . 【答案】 【解析】依题意，， 所以. 13．（23-24高一下·湖北·期末）若，则复平面内满足的点Z的集合的图形面积是 . 【答案】 【解析】复平面内满足的点Z在以点为圆心，为半径的圆及内部， 所以点Z的集合的图形面积是. 14．（24-25高一下·浙江杭州·月考）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式求的最大值为 . 【答案】2 【解析】由题设， 当，即时，的最大值为2. 四、解答题 15．（23-24高一下·安徽·月考）复数，其中. (1)若复数z为实数，求a的值； (2)若复数z为虚数，求a的取值范围； (3)若复数z为纯虚数，求a的值 【答案】(1)或；(2)且；(3) 【解析】（1）由复数z为实数，得，解得或 （2）由复数z为虚数，得，解得且 （3）由复数z为纯虚数，得，解得. 16．（24-25高一下·浙江宁波·月考）已知复数为虚数单位)， z在复平面上对应的点在第四象限，且满足. (1)求实数b的值； (2)若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）依题点 在第四象限，则，由，得，即，所以, （2）由(1)知，，由复数z是关于x的方程的根， 得， 整理得，而， 因此, 解得所以 17．（23-24高一下·安徽安庆·期中）已知复平面内表示复数（）的点为. (1)若点在函数图像上，求实数的值； (2)若为坐标原点，点，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1)3；(2) 【解析】（1）因为点在函数图像上， 所以，解得. （2），， 因为与的夹角为钝角，所以， 所以， 即，即， 当两向量共线且反向时，设， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 18．（23-24高一下·河南濮阳·月考）已知复数在复平面内对应的点位于第三象限，，且的虚部是实部的2倍. (1)求； (2)若复数使得为纯虚数，则在复平面内对应的点的集合是什么图形？ 【答案】(1)；(2)直线去掉点 【解析】（1）因为的虚部是实部的2倍， 所以设， 又，即，所以， 因为复数在复平面内对应的点位于第三象限， 所以，即，所以； （2）设复数， 因为为纯虚数， 所以， 当时，解得， 所以等价于且， 所以复数在复平面内的图象为去掉一个点的直线. 19．（23-24高一下·河北保定·月考）材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.进而，一元次多项式方程有个复数根（重根按重数计）.下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程在复数集内的根为，容易得到. 设实系数一元三次方程① 在复数集内的根为，可以得到，方程①可变形为展开得：② 比较①②可以得到根与系数之间的关系：， 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： (1)对于方程在复数集内的根为，求的值； (2)如果实系数一元四次方程在复数集内的根为，根据材料二，试找到该四次方程根与系数之间的关系并说明原因； (3)已知函数，对于方程在复数集内的根为，当时，求的最大值. 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3) 【解析】（1）由阅读材料可知：，且， 有：； （2）由材料可知：一元四次方程可改写为展开得： ， 故可得：. （3）由题有的三个实根为. 设， 展开得， 故， 则， 又，故， 综上：当时，的最大值为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$