专题05 复数（期末真题汇编，山东专用）高一数学下学期

**基本信息** 复数专题期末试题汇编，精选2024-2025年山东多地市高一期末真题，覆盖复数概念、运算、几何意义及创新应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|22|复数实虚部、模、复平面坐标|基础概念辨析，如虚部判断、复平面象限定位| |多选题|13|共轭复数、纯虚数性质、欧拉公式|结合数学文化（欧拉公式），考查性质综合应用| |填空题|7|复数方程根、模的最值|实系数方程虚根成对，模的几何意义求最值| |解答题|3|复向量新定义、复数方程应用|引入复向量数量积与平行概念，体现创新思维|

专题05 复数 1大高频考点概览 考点01复数 地 城 考点01 复数 一、单选题 1．（2025高一下·山东青岛·期末）在复平面中，为坐标原点，，，Z所对应的复数分别为，，，且，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一下·山东聊城·期末） （    ） A． B． C． D． 3．（2025高一下·山东临沂·期末）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一下·山东枣庄·期末）复数的虚部为（ ） A．1 B． C．3 D． 5．（2025高一下·山东东营·期末）已知复数（其中i为虚数单位），则z的虚部为（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一下·山东潍坊·期末）已知，则（   ） A． B．i C．-1 D．1 7．（2025高一下·山东济南·期末）若复数满足（i是虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 8．（2025高一下·山东德州·期末）已知，其中为虚数单位，是的共轭复数，的虚部是（   ） A． B．2 C． D． 9．（2025高一下·山东淄博·期末）复数的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 10．（2024高一下·山东聊城·期末）若复数z满足 （i为虚数单位），则（    ） A．1 B．2 C． D．4 11．（2024高一下·山东临沂·期末）若，则在复平面对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．（2024高一下·山东枣庄·期末）已知复数，则（    ） A．的实部为 B． C．为纯虚数 D．在复平面内对应的点位于第四象限 13．（2024高一下·山东枣庄·期末）复数（    ） A． B． C． D． 14．（2024高一下·山东济南·期末）已知为虚数单位，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 15．（2024高一下·山东东营·期末）已知，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 16．（2024高一下·山东淄博·期末）已知复数，则的实部为（    ） A．2 B． C．5 D． 17．（2024高一下·山东菏泽·期末）已知复数满足，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 18．（2024高一下·山东济宁·期末）已知复数z满足，则复数z在复平面内的对应点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 19．（2024高一下·山东青岛·期末）已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 20．（2024高一下·山东潍坊·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 21．（2025高一下·山东济宁·期末）设复数满足，则复数的虚部为（    ） A．4 B． C． D． 22．（2025高一下·山东泰安·期末）在复平面内复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、多选题 23．（2025高一下·山东青岛·期末）已知，下列说法中正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 24．（2025高一下·山东聊城·期末）欧拉公式是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，若，则（    ） A．的虚部为1 B． C． D． 25．（2025高一下·山东滨州·期末）已知复数，则下列说法正确的是（   ） A．z的虚部为1 B．z的共轭复数为 C． D．z在复平面内对应的点位于第二象限 26．（2025高一下·山东枣庄·期末）已知复数，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若z是纯虚数，则 C．若，则 D．若，则，或 27．（2025高一下·山东东营·期末）已知复数z，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 28．（2025高一下·山东潍坊·期末）已知，则（   ） A．为纯虚数 B． C． D．在复平面内对应的点在第二象限 29．（2025高一下·山东德州·期末）若复数，则（   ） A． B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．复数满足，则的最小值为 30．（2024高一下·山东青岛·期末）设为复数，.下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 31．（2024高一下·山东聊城·期末）复数z在复平面内对应的点为，且（i为虚数单位）的实部为4，则（    ） A．复数z的虚部为2 B．复数z的共轭复数对应的点在第四象限 C．若，则的最大值为 D．复数z是方程的一个根 32．（2024高一下·山东潍坊·期末）已知复数（）的实部为，则（    ） A．复数的共轭复数 B． C． D．在复平面内对应的点位于第三象限 33．（2024高一下·山东济南·期末）已知为虚数单位，复数，，则下列结论正确的是（    ） A．所对应的点在第一象限 B．所对应的点在第二象限 C． D． 34．（2024高一下·山东滨州·期末）设为复数（为虚数单位），下列结论正确的是（    ） A．对任意复数，，有 B．对任意复数，，若，则 C．设，若，则复数在复平面内对应的点位于第一象限 D．设，在复平面内对应的点为，满足条件的点的集合所构成区域的面积为 35．（2025高一下·山东济宁·期末）关于x的方程的复数解为，，则（    ） A． B．与互为共轭复数 C．若，则满足的复数z在复平面内对应的点在第二象限 D．若，则的最小值是3 三、填空题 36．（2025高一下·山东临沂·期末）若是关于x的方程的一个根，则_______. 37．（2025高一下·山东济南·期末）若复数z满足（为虚数单位），则的最大值为________． 38．（2025高一下·山东青岛·期末）已知i是虚数单位，则 ________． 39．（2024高一下·山东聊城·期末）复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数________. 40．（2024高一下·山东临沂·期末）若，则的最大值为_________． 41．（2024高一下·山东菏泽·期末）若虚数是关于的实系数方程的一个根，则______． 42．（2024高一下·山东枣庄·期末）已知，把下列式子分解成一次因式的积：________. 四、解答题 43．（2025高一下·山东泰安·期末）复向量是指元素为复数的向量，即把有序复数对看作一个向量，记作．我们把两复向量，的数量积记作．对于，，，，，，满足如下运算法则： ①  ②， ③   ④复向量的模 已知为虚数单位，，，，，． (1)求复向量，的模； (2)证明：若，，则； (3)对两个复向量与，若，则称与平行．是否存在，使与平行，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 44．（2024高一下·山东东营·期末）已知复数满足． (1)求； (2)若是方程的一个根，求的值． 45．（2024高一下·山东济宁·期末）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． (1)设，，求复向量与的模； (2)已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号； ①求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立； (3)当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数z的值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 复数 1大高频考点概览 考点01复数 地 城 考点01 复数 一、单选题 1．（2025高一下·山东青岛·期末）在复平面中，为坐标原点，，，Z所对应的复数分别为，，，且，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可设，与相交于点，则，利用三点共线可得即可求解. 【详解】设，与相交于点， 又，所以， 则，又三点共线， 所以，则， 所以，即的面积为. 故选：B. 2．（2025高一下·山东聊城·期末） （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数代数形式的运算法则进行计算. 【详解】. 故选：B 3．（2025高一下·山东临沂·期末）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用共轭复数的定义求解即可. 【详解】复数对应的点的坐标是， 故， 所以. 故选：C 4．（2025高一下·山东枣庄·期末）复数的虚部为（ ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】由复数的除法结合虚部的概念可得. 【详解】， 所以虚部为3. 故选：C. 5．（2025高一下·山东东营·期末）已知复数（其中i为虚数单位），则z的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合复数的运算求得，即可得z的虚部. 【详解】由题意可得：， 所以z的虚部为. 故选：D. 6．（2025高一下·山东潍坊·期末）已知，则（   ） A． B．i C．-1 D．1 【答案】A 【分析】根据复数的除法法则计算即可. 【详解】由题可知：，所以. 故选：A 7．（2025高一下·山东济南·期末）若复数满足（i是虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数除法运算即可求解. 【详解】由题意. 故选：C. 8．（2025高一下·山东德州·期末）已知，其中为虚数单位，是的共轭复数，的虚部是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的运算法则和共轭复数的意义即可得出． 【详解】由，则， 所以，所以复数的虚部为. 故选：A. 9．（2025高一下·山东淄博·期末）复数的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】直接由复数的乘法运算把给出的复数化简为的形式，则复数的虚部可求． 【详解】因为，虚部为. 故选：B. 10．（2024高一下·山东聊城·期末）若复数z满足 （i为虚数单位），则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】根据题意可得，代入结合复数的模长公式运算求解. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 11．（2024高一下·山东临沂·期末）若，则在复平面对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数除法运算以及共轭复数的概念、复数的几何意义即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 所以在复平面对应点的坐标为. 故选：B. 12．（2024高一下·山东枣庄·期末）已知复数，则（    ） A．的实部为 B． C．为纯虚数 D．在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】BD 【分析】求出，即可判断A、B，根据复数代数形式的乘法运算判断C，根据复数的几何意义判断D. 【详解】因为，所以，则的实部为，故A错误； ，故B正确； ， 所以为实数，故C错误； 在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确. 故选：BD 13．（2024高一下·山东枣庄·期末）复数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的四则运算求解即可. 【详解】 故选：B. 14．（2024高一下·山东济南·期末）已知为虚数单位，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的除法运算和虚部概念即可求解. 【详解】由，则它的虚部是， 故选：D. 15．（2024高一下·山东东营·期末）已知，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】代入复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意可知，. 故选：C 16．（2024高一下·山东淄博·期末）已知复数，则的实部为（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先化简复数，再求出实部即可. 【详解】, 的实部为. 故选：D. 17．（2024高一下·山东菏泽·期末）已知复数满足，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断其虚部. 【详解】因为， 所以，故的虚部为. 故选：A. 18．（2024高一下·山东济宁·期末）已知复数z满足，则复数z在复平面内的对应点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由题意，根据复数的四则运算、共轭复数的定义与复数的几何意义计算，即可求解. 【详解】设R)，则， 由，得， 即，所以， 解得，故， 所以复数z在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B 19．（2024高一下·山东青岛·期末）已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由复数的运算和模长计算求出即可. 【详解】， 所以， 所以， 故选：B. 20．（2024高一下·山东潍坊·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的四则运算求解即可. 【详解】由得，，所以. 故选：A. 21．（2025高一下·山东济宁·期末）设复数满足，则复数的虚部为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用复数的四则运算得到，然后根据复数虚部的概念求解即可． 【详解】由，得，所以复数的虚部为. 故选：B． 22．（2025高一下·山东泰安·期末）在复平面内复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】求解出复数，写出对应点的坐标，根据坐标得出象限. 【详解】解：， 故复数对应点的坐标为， 故复数对应点在第二象限. 故选：B. 二、多选题 23．（2025高一下·山东青岛·期末）已知，下列说法中正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 【答案】BCD 【分析】设，根据赋值的四则运算即模长公式等可逐项判断. 【详解】设， ， ， ， 即或，故A错误； ，， 即， 所以，故B正确； ， ， 则或， 所以，则或，故C正确； ，， 即，故D正确； 故选：BCD. 24．（2025高一下·山东聊城·期末）欧拉公式是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，若，则（    ） A．的虚部为1 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】A选项，计算出，得到虚部；B选项，，由共轭复数的定义可知B正确；C选项，计算出，C正确；D选项，通过计算可得的一个周期为6，且，通过周期可得答案. 【详解】A选项，因为，所以，故虚部为，A错误； B选项，，故，B正确； C选项，， ， 故，，C正确； D选项，，， ， ， 故的一个周期为6， 且 ， 故 ，D正确. 故选：BCD 25．（2025高一下·山东滨州·期末）已知复数，则下列说法正确的是（   ） A．z的虚部为1 B．z的共轭复数为 C． D．z在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】BC 【分析】利用复数除法求出，再逐项判断即得. 【详解】复数， 对于A，z的虚部为，A错误； 对于B，z的共轭复数为，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，z在复平面内对应的点位于第三象限，D错误. 故选：BC 26．（2025高一下·山东枣庄·期末）已知复数，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若z是纯虚数，则 C．若，则 D．若，则，或 【答案】ACD 【分析】先由复数的幂求出复数的表达式，然后复数为实数，纯虚数，复数的模，以及共轭复数的概念逐项判断可得. 【详解】因为，所以，所以， 对于A，因为，所以，解得，故A正确； 对于B，若z是纯虚数，则，即，故B错误 对于C，若，则，则，故C正确； 对于D，若，即，则，或，故D正确. 故选：ACD 27．（2025高一下·山东东营·期末）已知复数z，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】BC 【分析】对于A，由已知可得，则复数不确定，即可判断；对于B，由于，可得，即可判断；对于C，由， 可得在复平面内复数z对应的点的集合为以原点为圆心，以1为半径的圆，即单位圆，由表示单位圆上的点与点的距离，即可求得的范围，即可判断；对于D，设，计算求得及，即可判断. 【详解】根据题意，对于选项A，设，由于， 所以，则复数不确定，故选项A不正确； 对于选项B，设，由于， 所以，则，所以，，则，故选项B正确； 对于选项C，设，由于，所以， 所以在复平面内复数z对应的点的集合为以原点为圆心，以1为半径的圆，即单位圆， 因为表示单位圆上的点与点的距离， 所以的最小值为，最大值为， 所以，故选项C正确； 对于选项D，设，， ， 当时，， 例如，，，， 所以选项D错误. 故选：BC． 28．（2025高一下·山东潍坊·期末）已知，则（   ） A．为纯虚数 B． C． D．在复平面内对应的点在第二象限 【答案】BC 【分析】利用复数的运算得，即可判断A的正误，利用共轭复数的定义即可判断B的正误，利用复数的几何意义，即可判断C和D的正误. 【详解】因为，所以选项A错误， 又，所以选项B正确， 对于选项C，因为，则，所以C正确， 对于选项D，在复平面内对应的点为，在第一象限，所以D错误， 故选：BC. 29．（2025高一下·山东德州·期末）若复数，则（   ） A． B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．复数满足，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用复数的除法求出，再结合复数的模、共轭复数及复数的几何意义逐项判断. 【详解】， 对于A，，故A正确； 对于B，复数在复平面内对应的点位于第四象限，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，由，得复数在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上， 表示该圆上的点与点的距离，其最小值为圆心到点的距离减1，即，故D正确. 故选：ACD. 30．（2024高一下·山东青岛·期末）设为复数，.下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据复数模的概念判断A，利用复数的乘法运算判断B，根据共轭复数的性质及乘法运算判断C，根据特例法判断D. 【详解】由复数模的概念可知，不能得到， 例如，A错误； 由可得，因为，所以，即，B正确； 因为，而，所以，所以，C正确； 取，显然满足，但，D错误. 故选：BC 31．（2024高一下·山东聊城·期末）复数z在复平面内对应的点为，且（i为虚数单位）的实部为4，则（    ） A．复数z的虚部为2 B．复数z的共轭复数对应的点在第四象限 C．若，则的最大值为 D．复数z是方程的一个根 【答案】BC 【分析】对于A：由题意可知：，根据复数的运算可得，进而分析判断；对于B：根据共轭复数以及复数的几何意义分析判断；对于C：根据复数模长的几何意义分析判断；对于D：直接解实数系方程即可. 【详解】对于选项A：由题意可知：，则， 可得，即复数的虚部为4，故A错误； 对于选项B：复数z的共轭复数为，对应的点为，在第四象限，故B正确； 对于选项C：设复数在复平面内对于的点分别为， 则，则， 且， 所以的最大值为，故C正确； 对于选项D：因为，则，解得， 所以复数z不是方程的一个根，故D错误； 故选：BC. 32．（2024高一下·山东潍坊·期末）已知复数（）的实部为，则（    ） A．复数的共轭复数 B． C． D．在复平面内对应的点位于第三象限 【答案】BD 【分析】首先化简复数，根据实部为，求，再根据复数的相关概念，判断选项. 【详解】因为复数的实部是，所以，解得：，所以， A：复数的共轭复数，错误； B：，正确； C：，错误； D：在复平面内对应的点是，位于第三象限，正确. 故选：BD. 33．（2024高一下·山东济南·期末）已知为虚数单位，复数，，则下列结论正确的是（    ） A．所对应的点在第一象限 B．所对应的点在第二象限 C． D． 【答案】BC 【分析】利用复数的运算和模的运算，即可判断各选项. 【详解】由复数，，则，它对应的点为，故A错误； 由复数，，则，它对应的点为，故B正确； 由复数，则所以，故C正确； 由复数，则故D错误； 故选：BC. 34．（2024高一下·山东滨州·期末）设为复数（为虚数单位），下列结论正确的是（    ） A．对任意复数，，有 B．对任意复数，，若，则 C．设，若，则复数在复平面内对应的点位于第一象限 D．设，在复平面内对应的点为，满足条件的点的集合所构成区域的面积为 【答案】AC 【分析】根据复数的模及代数形式的乘法判断A，利用特殊值判断B，根据复数代数形式的除法化简，即可得到其共轭复数，再由复数的几何意义判断C，根据复数模的几何意义判断D. 【详解】对于A：设、， 则 ， ， 故，故A正确； 对于B：令，，则，， 所以，， 满足，但是，故B错误； 对于C：因为， 所以，则， 所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C正确； 对于D：设，因为，所以， 则，表示以为圆心，大圆的半径，小圆的半径的圆环（不包含小圆上的点）， 所以满足条件的点的集合所构成区域的面积为，故D错误. 故选：AC 35．（2025高一下·山东济宁·期末）关于x的方程的复数解为，，则（    ） A． B．与互为共轭复数 C．若，则满足的复数z在复平面内对应的点在第二象限 D．若，则的最小值是3 【答案】BD 【分析】根据给定条件，求出，再逐项计算、判断作答. 【详解】因为，因此不妨令方程的复数解， 对于A，，A错误； 对于B，与互为共轭复数，B正确； 对于C，，由，得， 则复数z在复平面内对应的点在第四象限，C错误； 对于D，设，由，得，显然有，由选项A知， 因此，当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BD 三、填空题 36．（2025高一下·山东临沂·期末）若是关于x的方程的一个根，则_______. 【答案】3 【分析】由题意也是关于x的方程的一个根，结合韦达定理求得即可. 【详解】若是关于x的方程的一个根， 则也是关于x的方程的一个根， 所以， 解得， 所以. 故答案为：3. 37．（2025高一下·山东济南·期末）若复数z满足（为虚数单位），则的最大值为________． 【答案】/ 【分析】根据可得z的轨迹为以为圆心，以3为半径的圆，表示点到的距离，结合几何意义可得结果. 【详解】设，因为即， 所以z的轨迹为以为圆心，以3为半径的圆， 所以，其表示上述圆上的点到点的距离， 所以其最大值为到的距离加半径，为. 故答案为：. 38．（2025高一下·山东青岛·期末）已知i是虚数单位，则 ________． 【答案】 【分析】先由复数除法运算化简，再由复数模长公式即可计算求解. 【详解】先由题得，所以. 故答案为： 39．（2024高一下·山东聊城·期末）复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数________. 【答案】1 【分析】根据纯虚数的定义列式求解. 【详解】由题意可得：，解得. 故答案为：1. 40．（2024高一下·山东临沂·期末）若，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】设，根据复数模长的几何意义，将题意转化为圆上的点到的距离，进而可得结果. 【详解】设，则， 因为表示以为圆心，为半径的圆， 所以可理解为圆上的点到的距离， 故的最大值为． 故答案为：. 41．（2024高一下·山东菏泽·期末）若虚数是关于的实系数方程的一个根，则______． 【答案】 【分析】根据虚根成对原理可知方程的另一个虚根为，再由韦达定理计算可得. 【详解】因为是关于的实系数方程的一个根， 所以方程的另一个虚根为， 所以，解得，. 故答案为：. 42．（2024高一下·山东枣庄·期末）已知，把下列式子分解成一次因式的积：________. 【答案】 【分析】由，则，运用平方差公式进行因式分解即可. 【详解】. 故答案为：. 四、解答题 43．（2025高一下·山东泰安·期末）复向量是指元素为复数的向量，即把有序复数对看作一个向量，记作．我们把两复向量，的数量积记作．对于，，，，，，满足如下运算法则： ①  ②， ③   ④复向量的模 已知为虚数单位，，，，，． (1)求复向量，的模； (2)证明：若，，则； (3)对两个复向量与，若，则称与平行．是否存在，使与平行，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）先根据复向量数量积的运算法则得出复向量，的坐标，进而得出， 的值；再根据复向量的模的计算公式可求解. （2）先设出复向量的坐标，其中，， ，，，；再根据题目条件得出，得出即可证明. （3）先根据复向量数量积的运算法则得出复向量，，；再假设与平行列出等式，得出 ；最后根据，得出方程无解，假设错误，从而不存在实数，使得与平行. 【详解】（1），， ， ， ， ，. （2）设，， ，，，；设. ， ， . （3），， ， ， ，，. 假设与平行， 则，即， 两端平方得：，即， ， 方程无解， 故不存在实数，使得与平行. 44．（2024高一下·山东东营·期末）已知复数满足． (1)求； (2)若是方程的一个根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的除法得，再利用共轭复数概念即可； （2）根据复数根的共轭关系结合韦达定理即可解出，则得到的值. 【详解】（1）由得：， 则； （2）由（1）知：， ，解得：， ． 45．（2024高一下·山东济宁·期末）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． (1)设，，求复向量与的模； (2)已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号； ①求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立； (3)当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数z的值． 【答案】(1)， (2)①证明见解析；②证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题目中复向量的模长公式计算即可； （2）①实向量，，根据条件，即可得证； ②因为，由复数的三角不等式，分别计算即可得证； （3）②考虑①中等号成立的条件知，结合题意即可求出和的值． 【详解】（1）因为，所以， 所以的模为； 因为，所以， 可得的模为； （2）①设实向量，， 则，， 而， 根据已知，当且仅当与平行时取等号，即， 所以，当且仅当时等号成立； ②因为，所以， 由复数的三角不等式， 由，得，所以， 所以， 综上所知， （3）②考虑①中等号成立的条件知，结合复数的三角不等式， 复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得， 根据题意，若复向量与平行， 则， 根据中等号成立的条件， 应有， 则， 结合，得，解得； 所以，所以． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $