解答题02 一次函数，反比例函数与二次函数综合（13大题型+好题必刷）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

大题02 一次函数、反比例函数与二次函数综合 （13大题型） 一次函数和反比例函数、二次函数综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容,每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟等原因导致失分. 从考点频率看，一次函数、反比例函数、二次函数的图像和性质是考查的基础也是高频考点、必考点. 从题型角度看，一次函数与反比例函数、二次函数常结合特殊四边形综合，难度较高，解题时要全面考虑，避免遗漏可能出现的情况. 题型一： 动点问题的函数图像 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当与重合时，及当时图象的走势，和当时图象的走势即可得到答案． 【详解】解：当与重合时，设，由题可得： ∴，， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∵， ∴图象为开口向上的抛物线的一部分， 当在下方时，设，由题可得： ∴，， ∵，, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∵， ∴图象为开口向下的抛物线的一部分， 综上所述：A正确， 故选：A． 2．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，先求得菱形的面积为，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点， ∵菱形，， ∴ 又∵， ∴是等边三角形， ∵，， ∴ ∴ ∴ 当时，重合部分为， 如图所示， 依题意，为等边三角形， 运动时间为，则， ∴ 当时，如图所示， 依题意，，则 ∴ ∴ ∵ ∴当时， 当时，同理可得， 当时，同理可得， 综上所述，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为一条线段，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线； 故选：D． 类型一 动点与函数图像判断的解题策略 方法一：趋势判断法.根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图像的增减变化趋势； 方法二：解析式计算法.根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图像进行判断； 方法三：定点求值法.结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除； 方法四：范围排除法.根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除． 类型二 动点与函数图像计算的解题策略 一看图：注意函数图像横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图像的拐点、最值点等； 二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况； 三结合：几何动点与函数图像相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值； 四计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解． 1．（2025·山东济南·模拟预测）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（　　） A． B． C．平行四边形的周长为44 D．当时，的面积为20 【答案】D 【分析】本题考查了动点函数图象、平行四边形的性质和勾股定理，解题关键是准确从图象中获取信息，应用相关知识求解即可． 【详解】解：当点P运动到点B处时，，即，当点P运动到点D处时，，所以，故A正确，不符合题意； 当点P运动到点D处时，，即，故B正确，不符合题意； ∴平行四边形的周长为，故C正确，不符合题意； 当时，点P在中点处，如图， 此时的面积是面积的一半， 作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为，故D错误，符合题意． 故选：D． 2．（2023·江苏南通·二模）如图，在中，，，，为的中点，是边上一个动点，连接，过点作，交边于点．设的长为，的面积为，，则与的函数图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】先求出，则，，，过点作于，过点作于，延长到，使，连接，，则，，设，则，，，证和全等得，再利用勾股定理得，，再证，进而求得，，根据列出函数关系式，进而根据函数的解析式及题目中的选项即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 为的中点， ， 又，， 过点作于，过点作于，延长到，使，连接，，如图： 在中，，， ， ， 设，则， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ，， 为线段的垂直平分线， ， ， ， ， ，， ， 而， ， 即， 整理得：， ， ， 当时，，当时，，顶点坐标为， 该函数图象是抛物线，与轴交于点，顶点为，且过点， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象与性质，勾股定理，解直角三角形，掌握以上知识点是解答本题的关键． 题型二： 判断函数图像 1．（2024·山东青岛·中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第二象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴在x轴正半轴上； ∵二次函数顶点在第二象限， ∴当时，， ∵二次函数与x轴无交点， ∴， ∴点在第二象限， ∴经过点和点的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 2．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，再根据二次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，即， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线， 故选：D． 根据函数性质判断图像的方法: 1）一次函数： y=kx+b，k的正负决定直线的升降，b的正负决定与y轴交点的位置。 2）反比例函数：，k的正负决定双曲线所在象限。 3）二次函数：，a的正负决定抛物线开口方向，a和b的正负决定对称轴位置，△的正负决定与x轴的交点个数。 1．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， ∴的取值范围是， 故选：C． 2．（2024威海市模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（    ）   A．  B．  C．  D．   【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及反比例函数的图象与性质，先通过二次函数的图象确定、、的正负，再利用代入解析式，得到的正负即可判定两个函数的图象所在的象限，即可得出正确选项． 【详解】解：由图象可知：图象开口向下，对称轴位于轴左侧，与轴正半轴交于一点， 可得： 又由于当时， 因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于一、三象限； 故选：A． 题型三： 已知函数值的大小，求取值范围 1．（2024·山东泰安·中考真题）直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，请直接写出满足条件的的取值范围； (3)过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题、根据函数图像求不等式解集、三角形的面积等知识点，掌握运用待定系数法求解析式及数形结合思想是解题的关键． （1）分别将点、点代入，求出m、n的值，再分别代入中即可解答； （2）根据函数图像确定不等式的解集即可； （3）先把代入中，求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：分别将点、点代入中，可得：，，解得：，， 点坐标为，点坐标为， 把A点坐标，点坐标分别代入,可得，解得： ， 一次函数表达式为． （2）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点， ∴由图象可知，当时，或． （3）解：把时代入中，得， 点坐标为，即， ． 2．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意， ∴当直线与直线平行时，， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，， ∴m的取值范围为． 以反比例函数与一次函数为例： 从图像可以看出,在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方,所以的解集为或 ；在②，④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 1．（2025·河北沧州·模拟预测）问题：探究函数的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： （1）在函数中，自变量x可以是任意实数； （2）下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 4 … y … 1 0 0 m … ①求m的值； ②若，为该函数图象上不同的两点，求的值． （3）在如图所示的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；根据函数图象可得： ①求该函数的最小值； ②已知直线与函数的图象交于，点，直接写出当时x的取值范围． 【答案】（2）    （3）图见解析       【分析】（2）①把代入，得，由此即可求出的值；②把代入，得，解方程即可求出与的值，进而可求出的值； （3）在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象即可；①由函数图象即可直接得出该函数的最小值；②在同一平面直角坐标系中画出直线，由函数图象即可直接得出时的取值范围． 【详解】解：（2）①把代入，得： ； ②把代入，得： ， 解得：或， ； （3）画出该函数的图象如下： ①由函数图象可知：该函数的最小值为； ②在同一平面直角坐标系中画出直线， 由函数图象可知：时的取值范围是：． 【点睛】本题主要考查了用描点法画函数图象，从函数的图象获取信息，根据两条直线的交点求不等式的解集，代数式求值，求函数值，用表格表示变量间的关系，绝对值方程等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 题型四： 函数间的交点问题 1．（2023·山东济南·中考真题）综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，；（4） 【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答； （2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成； （3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值； （4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围． 【详解】解：（1）∵反比例函数，直线：， ∴联立得：， 解得：，， ∴反比例函与直线：的交点坐标为和， 当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，． 故答案为：4；2． （2）不能围出． ∵木栏总长为， ∴，则， 画出直线的图象，如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线所示，即为图象， 将点代入，得：， 解得；    （4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题， 即方程有实数根， 整理得：， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴反比例函数图象经过点， 把代入得：，解得：， ∴反比例函数图象经过点， 令，，过点，分别作直线的平行线， 由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；    把代入得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据． 2．（2022·湖北宜昌·中考真题）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．直线由直线平移得到，与轴交于点．四边形的四个顶点的坐标分别为，，，． (1)填空：______，______； (2)若点在第二象限，直线与经过点的双曲线有且只有一个交点，求的最大值； (3)当直线与四边形、抛物线都有交点时，存在直线，对于同一条直线上的交点，直线与四边形的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标． ①当时，直接写出的取值范围； ②求的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时，可以取得最大值，最大值为2 (3)①的取值范围为：或；②的取值范围： 【分析】（1）将点，代入函数解析式得，解之即可； （2）设直线的解析式为，将点和代入得，求出直线的解析式；再求出直线的解析式为，根据反比例函数图象上点的坐标特征得，再由直线与双曲线有公共点，由直线与双曲线有且只有一个交点得，进而可求得； （3）当直线与抛物线有交点时，联立直线与抛物线的解析式，得，可求得；当时，直线与抛物线有且只有一个交点；①当时，四边形的顶点分别为，，，．第一种情况：如图2，时，直线与四边形，抛物线都有交点，且满足直线与矩形的交点的纵坐标都不大于与抛物线的交点的纵坐标．第二种情况：当直线经过点时，如图3所示，，解得，，当直线经过点时，如图4所示得，，最终可得的取值范围为：或． ②（Ⅰ）当的值逐渐增大到使矩形的顶点在直线上时，直线与四边形、抛物线同时有交点，且同一直线与四边形的交点的纵坐标都小于它与抛物线的交点的纵坐标，得解得，． （Ⅱ）如图5，当的值逐渐增大到使矩形的顶点在这条开口向上的抛物线上（对称轴左侧）时，存在直线（即经过此时点的直线）与四边形、抛物线同时有交点，且同一直线与四边形的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标，，解之可求出m；综合（Ⅰ）到（Ⅱ），得的取值范围：． 【详解】（1）将点，代入函数解析式得 解得 故答案为：，； （2）设直线的解析式为， ∵直线经过和， ∴，解得， ∴直线：． ∵直线平移得到直线，且直线与轴交于点， ∴直线：， ∵双曲线经过点， ∴， ∴． ∵直线与双曲线有公共点， 联立解析式得：， ∴， 整理得：， ∵直线与双曲线有且只有一个交点， ∴， 即， 整理得：， 化简得：， ∴， ∵点在第二象限， ∴， 解得，． ∴当时，可以取得最大值，最大值为2． （3）如图1，当直线与抛物线有交点时，联立直线与抛物线的解析式. 得：， 得：， 整理得：， ∴， 即， ∴， 当时，直线：与抛物线有且只有一个交点． ①当时，四边形的顶点分别为，，，． 第一种情况：如图2，当直线经过时，此时与重合. ∴时，直线与四边形，抛物线都有交点，且满足直线与矩形的交点的纵坐标都不大于与抛物线的交点的纵坐标． 第二种情况：当直线经过点时，如图3所示. ，解得，， 当直线经过点时，如图4所示 ，解得，， ∴， 综上所述，的取值范围为：或． ②（Ⅰ）当的值逐渐增大到使矩形的顶点在直线上时，直线与四边形、抛物线同时有交点，且同一直线与四边形的交点的纵坐标都小于它与抛物线的交点的纵坐标． ， 解得，． （Ⅱ）如图5，当的值逐渐增大到使矩形的顶点在这条开口向上的抛物线上（对称轴左侧）时，存在直线（即经过此时点的直线）与四边形、抛物线同时有交点，且同一直线与四边形的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标． ， 化简，得：． 解得，（舍），， 从（Ⅰ）到（Ⅱ），在的值逐渐增大的过程中，均存在直线，同时与矩形、抛物线相交，且对于同一条直线上的交点，直线与矩形的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标． 综上所述，的取值范围：． 【点睛】本题考查二次函数与反比例函数、一次函数的综合题，属中考压轴题，难度大，根据题中条件正确分类是解题关键． 以反比例函数与一次函数为例： 已知反比例函数与一次函数，将两个方程联立，构造一元二次方程，无需求解方程，只需求出一元二次方程根的判别式的值，由判别式判断交点个数.即：. 1．（2025·江苏宿迁·模拟预测）【阅读理解】： 关于x的函数（m为常数，且），经过某个定点，请求出定点的坐标． 方法一：先将等式化为的形式，再根据时有m无数多个解，求得定点的坐标为； 方法二：当时，；当时，； 解方程组解得， ∴求得定点的坐标为； 【模仿练习】 关于x的二次函数（ 为常数，且），是否经过定点，如果是，请选择一种方法求出定点的坐标；如果不是，请说明理由． 【尝试应用】某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： （1）计算x与y的几组对应值，其中 ； 列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 m 0 1 0 … （2）如图，在直角坐标系中用描点法画出函数这个图象； （3）若直线与函数的图象只有一个交点，请结合函数图象，求出t的取值范围． 【答案】【模仿练习】过定点，理由见解析；【尝试应用】（1）；（2）见解析；（3）或 【分析】本题为二次函数综合题，主要考查与二次函数有关的新定义的概念，关键是要理解新定义的函数的特点，对于过定点的问题，一般要先写出解析式，然后取适当的x求出对应的y． 模仿练习：将二次函数整理为：，即可求解； 尝试应用：（1）当时，； （2）根据表格数据描点、连线、绘制函数图象即可； （3）当直线在l和q之间及在p位置时，两个函数只有一个交点，进而求解． 【详解】解：模仿练习：过定点，理由： 将二次函数整理为：， 则当或时，或， 即过定点； 尝试应用： （1）当时，， 故答案为：； （2）根据表格数据描点、连线、绘制函数图象如下： （3）当时，函数表达式为：，如图， 由直线得：， 则该直线过点，如图， 设直线p和该抛物线有一个交点，直线l为：，直线q过点和， 当直线在l和q之间及在p位置时，两个函数只有一个交点， ①由和得，直线q的表达式为： ，即； ②直线p和抛物线只有一个交点， 则联立和并整理得：， 则， 解得：（不合题意的值已舍去）； 综上，或． 题型五：几何图形的面积 1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)最大值为8 【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键． （1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c； （2）由（1）可得：，设，作交于E，则，则，得出面积，即可解答． 【详解】（1）解：当时，；当时，， 则，， 则， 解得：； （2）解：由（1）可得：，设，作交于E， 则，则， ∴， 当时，最大值为8． 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； (3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形： （1）先求出得到，再解直角三角形得到，则，据此利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析式即可； （2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据，求解面积即可； （3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：联立 解得或， ∴； 设， 由题意得，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， ∴关于的不等式的解集为或． 解题思路： 1.设动点P的坐标为，过点P做辅助线； 2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式(一般为二次函数的形式)； 3.写出表示面积的二次函数的顶点式,求出最值,即可得到三角形面积的最大值. 1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当的面积最大时，边上的高的值为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与图形的面积，掌握待定系数法是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出直线的解析式，然后过点P作轴交于点D，设点P的坐标为，则点D的坐标为，根据求出面积的最大值，然后求高即可． 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：令，则，解得：，， ∴点B的坐标为， ∴， 设直线的解析式为，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 过点P作轴交于点D， 设点P的坐标为，则点D的坐标为， ∴， ∴， ∴最大为， ∴． 2．（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C 的坐标为， (1)求直线的函数表达式． (2)点D是x轴上一动点，连接，当的面积是面积的时，求点D的坐标． (3)点E坐标为连接，点P为直线上一点，若，求点P坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先求得，再结合点C的坐标，运用待定系数法求解即可； （2）先求出，进而得到的面积为6，如图：设D的坐标为，则，然后根据三角形的面积公式求解即可； （3）由题意可得： ，如图：过C作且，，再证明可得，即，即；再求出直线的解析式为，再与直线即可确定点P的坐标； 如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为，再求出直线的解析式为，再与直线即可确定点P的坐标． 【详解】（1）解：∵直线 交x轴于点A，交y轴于点B， ∴， ∵点C 的坐标为， ∴设直线的函数表达式为， 则，解得：， ∴直线的函数表达式为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 如图：设D的坐标为，则， 则，解得：或4． ∴点D的坐标为或． （3）解：∵，， ∴，， 如图：过C作且， ∴是等腰三角形，即, 过G作轴，垂足为D， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴直线与直线的交点即为所求点P； 如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴直线与直线的交点即为所求点P． 综上，点P的坐标为或． 3．（2025·河北·模拟预测）如图，已知二次函数． (1)求证：无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点； (2)当时，函数值y随x的增大而减小，求a的取值范围； (3)以二次函数图象的顶点A为一个顶点作该二次函数图象的内接正三角形（M，N两点在二次函数的图象上），请问：的面积是与a无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的面积是与a无关的定值，该定值为 【分析】（1）根据根的判别式进行证明即可； （2）求出二次函数的对称轴，由于抛物线的开口向下，在对称轴的右边y随x的增大而减小，可以求出a的取值范围； （3）由二次函数解析式得到顶点A的坐标为，设抛物线对称轴交于点B，设，根据等边三角形得到，从而，把点M代入解析式，解得，从而可求出的面积，即可解答． 【详解】（1）解：令，则， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点． （2）解：∵， ∴该抛物线的开口向下，对称轴为， ∵当时，函数值y随x的增大而减小， ∴． （3）解：∵， ∴抛物线顶点A的坐标为， 设抛物线对称轴交于点B，则， ∵是抛物线的内接正三角形， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点M在抛物线上， ∴， 整理得， 解得或（不合题意，舍去） ∴，， ∴， ∴的面积是与a无关的定值，该定值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，涉及二次函数图象与x轴的交点，二次函数的图象及性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 题型六： 函数的整点问题 1．（2023·云南·中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象． (1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或或或 【分析】（1）分与两种情况讨论论证即可； （2）当时，不符合题意，当时，对于函数，令，得，从而有或，根据整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数，从而有或或或或或或或，解之即可． 【详解】（1）解：当时，，函数为一次函数，此时，令，则，解得， ∴一次函数与轴的交点为； 当时，，函数为二次函数， ∵， ∴ ， ∴当时，与轴总有交点， ∴无论取什么实数，图象与轴总有公共点； （2）解：当时，不符合题意， 当时，对于函数， 令，则， ∴， ∴或 ∴或， ∵，整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数， ∴或或或或或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）或或或（舍去）或（舍去）， ∴或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系以及二次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质以及数形相结合的思想是解题的关键． 2．（2024·河北保定·一模）如图，在平而直角坐标系中，记函数的图象为G，直线经过点，与图象G交于B，C两点．    (1)求b的值，并在图中画出直线l； (2)当点B与点A重合时，点在第一象限内且在直线l上，过点P作轴于点Q． ①求点C的坐标； ②连接．若，求m的取值范围； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l所围成的封闭区域（含边界）为W．当区域W的边界上有5个整点时，请直接写出满足条件的整数k的个数． 【答案】(1)4，画图见解析 (2)①；② (3)3 【分析】（1）把代入，即可求出b，然后描点、连线画出直线l即可； （2）①先求出反比例函数解析式，然后联立方程组，解方程组，即可求出点C的坐标； ②根据点P在直线l上，可得出，结合条件得出，整理得，得出不等式组或，然后解不等式组即可； （3）分别画出，，，，的图象，观察图象找出区域W内整点的个数，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴， 画图，如下：   ； （2）解：点B与点重合时， ∴， ∴， 由（1）知：直线l解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴点C的坐标为； ②∵点在第一象限内且在直线l上， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 整理得，即 ∴或， ∴； （3）解：函数的图象G与直线所围成的封闭区域（含边界）为W，当区域W的边界上有5个整点时， 当时，图象如下： 区域的边界上有4个整点，即，不符合题意； 当时，图象如下： 区域的边界上有5个整点，即，符合题意； 当时，图象如下： 区域的边界上有5个整点，即，符合题意； 当时，图象如下： 区域W的边界上有5个整点，即，符合题意； 当时，图象如下： 区域W的边界上有4个整点，即，不符合题意； ∴时，区域W的边界上有5个整点， ∴符合条件的整数k只有3个． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，解一元二次方程，解不等式组等知识，待定系数法求一次函数（反比例函数）解析式，确定临界点是解题的关键． 函数已知，找整点个数 根据整点情况求未知参数 第一步 寻找已知函数图像上的整点作为边界点(线) 分类讨论，找临界状态时未知参数的取值 第二步 准确画图，确定区域 画临界状态时的图像找整点，再根据情况画参数取值在临界状态两侧时的图像的大致范围，看整点情况 第三步 关注是否包含边界上的整点 关注是否包含边界上的整点，确定未知参数的值或范围 注意事项 规范作图，防止画图错误导致点错位的情况发生. 找整点个数时的临界状态，若求无整点时的情况，可以找一个整点时的临界状态. 1．（2023·安徽合肥·二模）如图，直线和直线分别与轴交于点，点，顶点为的抛物线与轴的右交点为点． (1)若，求的值和抛物线的对称轴； (2)当点在下方时，求顶点与距离的最大值； (3)在和所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”，求出时“整点”的个数． 【答案】(1)，对称轴 (2)1 (3)4048个 【分析】（1）先求得，根据即可得出，然后确定抛物线的对称轴即可； （2）设点与的距离为，求出与的函数关系式，即可确定顶点与距离的最大值； （3）求出抛物线与直线的交点，在其范围内，根据抛物线解析式和直线解析式的特点确定“整点”的个数． 【详解】（1）解：当时，可有， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为； （2）设点与的距离为， ∵抛物线， ∴的顶点， ∵点在下方， ∴与的距离为， ∴当时，点与距离的最大值为1； （3）当时，抛物线解析式， 直线解析式， 联立上述两个解析式，得，， ∴抛物线与直线的交点为和， ∴每一个整数的值都对应一个整数值，且和2023之间（包括和2023）共有2025个整数， ∵所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线， ∴线段和抛物线上各有2025个整数点， ∴总计4050个点， ∵这两段图像交点有2个点重复， ∴ “整点”的个数：个． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了新定义“整点”、 坐标与图形、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，理解题意，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． 2．（2024·河北邯郸·三模）如图，双曲线 （）经过点 和点 ，经过双曲线上的点且平行于的直线与轴交于点，点在点左上方，设为轴、直线、双曲线 （）及线段之间的部分 （阴影部分），解决下列关于 （不包括边界）内的整点（横、纵坐标都为整数）的问题： （1）内整点的个数最多有 个； （2）若内整点的个数为，则点的纵坐标的取值范围是 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题； （1）取点，观察函数图象，数出整点个数，即可求解； （2）根据题意求得的解析式，根据平行于，设的解析式为，根据内整点的个数为，找到特殊点，，待定系数法的求得的值，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，取点， ∵双曲线 （）经过点 点 ， ∴，反比例函数解析式为， ∴， 当点在的左侧时， 内整点的个数最多有共5个点 故答案为：． （2）∵，设直线的解析式为，则 ∴， ∵平行于 设的解析式为 若内整点的个数为，则点在点的右侧，或与点重合，即 当经过点时，，解得： 当经过点时，，解得： ∵整点有4个，则不经过 ∴ 故答案为：． 题型七： 函数的定点问题 1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)当时，若的面积与的面积相等，求的值； (3)延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)抛物线与交于定点 【分析】（1）根据题意可得，整理得，即可知则有； （2）由题意得抛物线：，则设 ，可求得，结合题意可得直线解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点E，则，即可求得，进一步解得点，过D作于点H，则，即可求得； （3）设可求得直线解析式为，过点D作，可得，结合题意得 设抛物线解析式为，由于过点，可求得抛物线解析式为，根据解得，即可判断抛物线与交于定点． 【详解】（1）解：∵抛物线：与轴交于A，B两点， ∴，整理得，解得 ∴ 则； （2）当时，抛物线：， 则 设 ，则， 设直线解析式为， ∵点D在直线上， ∴，解得， 则直线解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点E，则， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴，解得， ∴点， 过点D作于点H，则， 则； （3）设直线解析式为， 则，解得， 那么直线解析式为， 过点D作，如图， 则， ∵， ∴， ∵将沿方向平移得到， ∴ 由题意知抛物线平移得到抛物线，设抛物线解析式为， ∵点，都落在抛物线上   ∴ 解得， 则抛物线解析式为 ∵ 整理得，解得， ∴抛物线与交于定点． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、两点之间的距离、一次函数的性质、求正切值、二次函数的平移、等腰三角形的性质和抛物线过定点，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移过程中数形结合思想的应用． 2．（2025·云南·模拟预测）已知函数（k为正整数）． (1)若函数的图象与坐标轴有3个不同的交点，且交点的横、纵坐标均为整数，求此函数的解析式； (2)无论k为何值，该函数都经过定点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，幂的混合运算等知识． （1）先解，解出，．根据已知条件即可得出，进而求出函数的解析式． （2）由二次函数与y轴的交点可知函数图象经过定点，结合条件可得出，再计算幂的混合运算，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，令，则， 解得，． ∵函数图象与坐标轴有3个不同的交点，且交点的横、纵坐标均为整数，k为正整数， ∴， ∴该函数的解析式为． （2）解：∵当时，， ∴函数图象经过定点， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【命题预测】函数的解析式中除自变量外，还有待定的系数，此时函数的图像会随着待定的系数的变化而变化，图像变化过程中,有时始终会经过某个固定的点. 定点问题常出现在各地考试中，难度中上，掌握好定点问题的本质即可快速解决. 解题方法（以一次函数定点问题为例）：将一次函数化成即经过的顶点坐标为（a，b）. 1．（2023·湖北武汉·一模）已知二次函数的图象经过点，直线AB与抛物线相交于A、B两点．   　　   (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若直线AB的解析式为，且的面积为35，求k的值； (3)如图2，若，则直线AB必经过一个定点C，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把代入函数解析式即可得到答案； （2）先求出，可得，结合，可得方程，结合，即可求解； （3）设，，过点P作直线轴，分别过A、B两点作PN的垂线，垂足分别为N、M，由可得，联立方程组，可得，，进而即可求解. 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）如图1，已知直线AB的解析式为， 令，则， ∴直线AB过定点， ∵， ∴轴，， ∴， ∴， 令，整理得， ∴，， ∴， 整理得， 解得或； （3）设，， 如图2，过点P作直线轴，分别过A、B两点作PN的垂线，垂足分别为N、M，设直线AB的解析式为， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴①， 联立方程组， ∴， ∴，②， 将②代入①，得化简，得， ∴直线AB的解析式为，即， ∴直线AB经过定点．   　　   【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，掌握待定系数法，把函数问题化为一元二次方程问题是关键. 题型八： 函数的定值问题 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是定值，． 【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出，再根据平移规律即可求出抛物线的表达式； （2）设点P的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，联立与得到，解得，即可求出答案； （3）由（1）可得，，与联立得到，求出点C的坐标为，又由点M的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式为，与联立得到，则，得到，即可得到，得到定值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴， 解得， ∴， ∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线， ∴ 即 （2）解：设点P的坐标为，设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 联立与得到 ， 解得， 则 （3）解：由（1）可得，，与联立得到，， 解得， 此时 ∴点C的坐标为， ∵点M的横坐标为m，且在上， ∴ 即点M的坐标为 设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 与联立得到， ， 整理得到， 则， 即， 即， 即为定值． 2．（2024·湖南·中考真题）已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值； (3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)为定值3，证明见解析 (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，，则，，表示出，，代入即可求解； （3）设，则，求出直线的解析式，把代入即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）∵二次函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴； （2）当时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，． ∴， ∴的值为定值； （3）设，则， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴当时，线段长度的最大值． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 【解题方法】二次函数中的定值问题常与几何知识综合考查，常见的有线段和(差)面积，比值等.利用二次函数求解这些几何线段所代表的代数式定值问题属于定量问题，一般采用参数计算法，即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)，设出参数，将要求的代数式用含参数的形式表示出来，消去参数后即得定值. 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点为抛物线上一点，点为轴上一点，当以为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求点的坐标； (3)若为线段的中点，为抛物线的顶点，直线交抛物线于两点，直线交轴于点，直线交轴于点．试探究：是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，中点坐标公式，二次函数一次函数结合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意求出，将三个点代入函数表达式求解即可； （2）根据题意设，，分两种情况进行讨论，当为平行四边形对角线时；以及为平行四边形对角线时，即可得到答案． （3）设，，求出，根据题意求出，，即可求出答案． 【详解】（1）解： ， 将代入， ，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：点为抛物线上一点， 设， 点为轴上一点， 设， 当以为顶点的四边形是以为边的平行四边形时， ①为平行四边形对角线时，对角线交点即为中点，利用中点坐标公式， ， 解得， ， ②为平行四边形对角线时， ， 解得， ， 此时点和点重合，故该情况不成立， 综上所述，点的坐标； （3）解：设的值为定值， 为抛物线上两点， 设，， 为直线与抛物线的交点， 联立得：， 得：， ， 为抛物线的顶点， ， ， 表示为：， 得， 直线交轴于点， 令，得，解得， ， ， 表示为：， 得， 令，得，解得， ， 为线段的中点， ， ， ， ， 故的值为定值，为． 题型九： 最值问题 1．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）： ①________；②________；③________． (2)若，，求b的取值范围； (3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】(1)；；； (2) (3)b的值为或． 【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数图像与性质，不等式性质，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数图像与性质． （1）根据根与系数的关系得到，以及，即可判断①，利用二次函数的图像与性质得到，进而得到，利用不等式性质变形，即可判断②③． （2）根据题意得到，结合进行求解，即可解题； （3）根据题意得到抛物线顶点坐标为，对称轴为；当时，，当时，，由最大值与最小值的差为，分以下三种情况：①当在取得最大值，在取得最小值时，②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解： 与x轴交点的坐标分别为，，且， ，且抛物线开口向上， 与x轴交点的坐标分别为，，且． 即向上平移1个单位， ，且， ① ； ， ，即② ； ，即③ ． 故答案为；；；； （2）解： ，， ， ， ； （3）解：抛物线顶点坐标为， 对称轴为； 当时，， 当时，， ①当，则， 那么，在取得最大值，在取得最小值时， 有，解得 （不符合题意，舍去）； ②当，解得， 那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）或， ③当，解得， 那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）或； 综上所述，b的值为或． 2．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 2 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 【答案】（1）①；②当时，有最小值为（2）见解析（3）正确， 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）①把代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可； （2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可； （3）将一般式转化为顶点式，表示出的最大值，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：（1）①把代入，得： ； ∴； ②∵， ∴当时，有最小值为； （2）∵， ∵抛物线的开口向上， ∴当时，有最小值； ∴甲的说法合理； （3）正确； ∵， ∴当时，有最小值为， 即：， ∴当时，有最大值，为． 以定轴定区间最值问题为例 解题方法：对于二次函数在m≤x≤n上的最值问题(其中 a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值. 1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在x=时，取到最小值，无最大值. 2）若m≤≤n，n时，如图②，当，当 3) 若m≤≤n，n时，如图③，当，当 4) 若m≤x≤n＜时，如图④，当，当 5) 若＜m≤x≤n时，如图⑤，当，当 1．（2024·贵州遵义·二模）已知二次函数的图象经过点，，对称轴为直线． (1)直接写出　　　　，　　　　，　　　　； (2)当时，求二次函数的最值； (3)当时，二次函数的最小值为，求n的值． 【答案】(1)，， (2)时有最大值，时有最小值 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的图形和性质，待定系数法求出二次函数是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质，结合得到当时取最小值； （3）根据题意分三种情况进行分类讨论，分别根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，， ， 解得， 二次函数为， 对称轴为直线， ， 故答案为：，，； （2）解：抛物线开口向上，对称轴为直线， 在内，当时有最大值， 当时有最小值； （3）解：抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，时有最小值，即， 解得或（舍去）； 当时，时有最小值，即． 解得或（舍去）； 当时，时有最小值，即， 解得（舍去）； 综上所述，的值为或． 2．（2024·山西晋城·二模）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成下列任务． 问题背景： 数学兴趣小组的同学们在学习了完全平方公式之后，发现由于，故，于是他们对两个正数之和与这两个正数之积的关系展开了探究． 探索发现： 发现结论：如果，那么（当且仅当时等号成立） 解释证明： 当时， 当时， 如果，那么（当且仅当时等号成立） 任务： (1)对于函数，当等于___________时，函数有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________； (2)对于函数，当等于___________时，函数有最___________值，这个最值是___________； (3)某植物园利用一面足够长的围墙和木栏围成一个矩形花圃，中间用一排木栏隔开，如图所示，总共用了100米的木栏，当长为多少时，矩形花圃的面积最大?最大面积是多少?请你利用材料中的结论或所学知识求解该问题． 【答案】(1)，小， (2)大，； (3)当长为米时，矩形花圃的面积最大，最大面积是平方米 【分析】本题考查了二次函数的几何应用，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干提供的解题过程，模仿即可作答； （2）先整理原式得，计算化简得，结合题干的结论，即可作答． （3）设的长为米，建立，根据二次函数的性质，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，得 当时，即（负值已舍去），有最小值， 把代入 得； 故答案为：，小， （2）解：依题意 ∵ ∴ 当时，有最大值，且 此时， 解得（舍去） 故答案为：大，； （3）解：设的长为米， 则 ∴ 则 ∵ ∴开口向下，在时有最大值 把代入 得 ∴当长为米时，矩形花圃的面积最大，最大面积是平方米． 题型十： 最值问题（线段和/差，周长，面积） 1．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由； (3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)存在最大值；最大值为 (3)点M的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入抛物线求出a、b的值，即可得出抛物线的解析式； （2）先求出点C的坐标为，连接、、，根据轴对称的性质得出，，得出当最大时，最大，根据当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大，求出最大值即可； （3）过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，设点M的坐标为：，得出，，证明，得出，从而得出，分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别求出点M的坐标即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：存在最大值； 把代入得：， ∴点C的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接、、，如图所示： ∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∴当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大， ∴最大值为：． （3）解：过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴， 设点M的坐标为：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，，则： ， 解得：（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 综上分析可知：点M坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，解直角三角形的相关计算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 2．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； (3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)点的坐标为 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论； （2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点P的坐标为； （3）将直线向下平移a个单位长度后得直线的解析式为，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，， ， ， 反比例函数的表达式为， 把代入得， ， ， ， 把，代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 此时，的周长最小， 点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （3）解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点， 直线的解析式为， ，， ， ， 解得或． 3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．      (1)求m，k的值； (2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2)最大值是，此时 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数表达式，把D的坐标代入直线的函数表达式求出m，再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可； （2）延长交y轴于点Q，交于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出，设点P的坐标为，，则可求出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： ，， ． 又， ． ， 点． 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 将点代入，得． ． 将代入，得． （2）解：延长交y轴于点Q，交于点L．   ，， ． 轴， ，． ， ， ， ． 设点P的坐标为，，则，． ． ． 当时，有最大值，此时． 1）线段和最小问题 图形 条件 如图，A，B两定点分布在直线m两侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 如图，A，B两定点分布在直线m同侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 结论 当A，D，B三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB的长. 当A，D，B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB'的长. 2）线段差最大问题 图形 条件 如图，A，B两点分布在直线m同侧，点D为直线m 上一动点,求|AD-BD|的最大值. 如图，A，B两点分布在直线m两侧，点D为直线m 上一动点,求|AD-BD|的最大值. 结论 当A，B，D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB的长 当A、B'、D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB'的长 3) 无论是线段和的最小值或是周长的最小值，还是两条线段差的最大值等，解决该类问题的最基本依据就是“两点之间，线段最短”,基本模型就是最短路径问题，即“将军饮马问题”.解题方法就是通过轴对称作出对称点加以解决，若需要三边和最小，则需过两定点(即已知定长线段的两顶点)分别作出关于x轴与y的对称点，从而将三边转化到同一条直线上. 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交x轴于点D，且． (1)求的值并直接写出点的坐标； (2)点、是轴上的动点(在上方)且满足，连接，，求的最小值； (3)点是双曲线上一个动点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)点P的横坐标为：，， 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，相似三角形的性质与判定； （1）运用一次函数与反比例函数的交点坐标即可求解； （2）根据，求得点的坐标，再把将军饮马模型在坐标系中直接运用，根据勾股定理求解即可； （3）根据题意画图分析，根据平行求相关函数关系式，再求两条线的交点解方程组，即可得解． 【详解】（1）解：根据题意可知点，在直线和双曲线的图象上， ，解得， 点的坐标为，代入双曲线得： ， 由图象可知点与点关于原点对称， ∴； （2）过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，作点关于轴的对称点点，并向下平移一个单位记为，连接， 则，， ， ， ，，，， ，， ，即点的纵坐标为， 点在反比例函数的图象上， ，， 的最小值即为； （3）当时，当在轴下方时，， 设直线的解析式为， 由（2）可知：，， 解得， ， 当时，，解得， ， ，直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入得：， ， ， 由是直线与反比例函数的交点可得： 解得， 此时点在第三象限，不符合题意， 当在轴上方时，则与下方的关于轴对称， 可得直线的解析式为：， 联立得， 此时点在第一象限，两个都符合题意， 点的横坐标为：． 题型十一： 特殊三角形存在性问题 1．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为或 (3)的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解； （3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于，如图：    由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； （3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ，， 由，得直线解析式为， 设，， 过作轴于，过作轴于， ①， 当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：    此时； ②当在第一象限，在第四象限时，   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（小于0，舍去）或， ， 的坐标为； ③当在第四象限，在第三象限时，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 同理可得， 解得或（大于0，舍去）， ， 的坐标为； ④当在第四象限，在第一象限，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（舍去）或， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 2．（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)或或或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得的坐标，根据勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，进而根据得出，连接，设交轴于点，则得出是等腰直角三角形，进而得出，则点与点重合时符合题意，，过点作交抛物线于点，得出直线的解析式为，联立抛物线解析式，即可求解； （3）勾股定理求得，根据等腰三角形的性质，分类讨论解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点， ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为； （2）由，当时，，则 ∵，则，对称轴为直线 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 当时，，则 ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∴ 连接，设交轴于点，则 ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又 ∴ ∴ ∴点与点重合时符合题意， 如图所示，过点作交抛物线于点， 设直线的解析式为，将代入得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：， ∴ 综上所述，或； （3）解：∵，， ∴ ∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中 ∴， ①当时，，解得：或 ②当时，，解得： ③当时，，解得：或（舍去） 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 1．（2025·广东清远·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点的坐标； (3)以点为圆心，画半径为的圆，为上一个动点，请求出的最小值． 【答案】(1) (2)存在，或或 (3) 【分析】（1）根据题意，可求出点的坐标，再运用待定系数法即可求解； （2）根据直角三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；分别求出直线的解析式，再联立二次函数为二元一次方程组求解即可； （3）如图，在上取点，使，连接，可证，得，当点三点共线时，的值最小，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴，， ∴ ，． ∴将代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：存在点，理由如下： 直线的解析式为，将代入得 解得： ∴直线的解析式为： ∵抛物线对称轴与轴交于点， ∴当时，， ∴， ①当时，设直线交对称轴于点， ∵，，二次函数对称轴为， ∴，，轴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴点坐标为， 设直线的解析式为，将点坐标代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 解方程组， 得或， ∴点的坐标为； ②∵，， ∴ ∴ ∴是直角三角形， 当时，根据点关于抛物线对称轴对称， 则直线经过点坐标为， 设直线的解析式为，将点坐标代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 解方程组， 解得或， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或； （3）解：已知，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点， 如图，在上取点，使，连接， ， ∴， ， ， 又， ， ，即， 当点三点共线时，的值最小，即为线段的长， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与特殊三角形，圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，特殊三角形的性质，最短路径的计算方法是解题的关键． 题型十二： 特殊平行四边形存在性问题 1．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； (3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，；时，；时， (3)存在，或或或或或 【分析】（1）将点A和点B的坐标代入，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式； （2）根据题意得出，，再用作差法得出，进行分类讨论即可； （3）求出直线的函数解析式为，然后进行分类讨论：当为正方形的边时；当为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为； （2）解：∵，都在该二次函数的图象上， ∴，， ∴， 当时，即时，； 当时，即时，； 当时，即时，； （3）解：设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 当为正方形的边时， ①∵， ∴， 过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作的垂线，垂足为点H， ∵轴， ∴， ∴，则， 设，则， ∴， ∴点N的纵坐标为， 即， ∵以，，，为顶点的四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； ②如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ③如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ④如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； 当为正方形对角线时， ⑤如图：构造矩形，过点P作于点K， 易得， ∴， 设，则， 和①同理可得：， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，则， ∴， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ⑥如图：构造， 同理可得：， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； 综上：或或或或或 ． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答． 2．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：； 故； （3）存在； 当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中存在两条抛物线，抛物线交轴于点，，顶点坐标为．抛物线交轴于点，，顶点坐标为，（）． (1)求线段的长； (2)若点在抛物线上，点在抛物线上．试讨论和大小； (3)若点，在抛物线上，且满足，求的取值范围； (4)若S、T分别为、上的动点，当为菱形时，是否存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出S和T的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)不存在，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的综合应用： （1）根据对称性，求出两个函数的对称轴，求出的横坐标，进而求出线段的长即可； （2）两点式设出两个抛物线的解析式，根据两个顶点的纵坐标相同，求出两个函数的二次项的系数之间的关系，进而求出，比较大小即可； （3）根据增减性，得到点距离对称轴近，列出不等式进行求解即可； （4）根据菱形的性质，求出的坐标，进而求出两条抛物线的解析式，分为矩形的边和矩形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线， ∴，， ∴； （2）设抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为：， ∵，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：， ∵点在抛物线上，点在抛物线上， ∴，， ∵两条抛物线的开口向上， ∴， ∴； （3）∵抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，在抛物线上，且满足， ∴点距离对称轴近， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，解得：或， ∵抛物线的开口向下， ∴当时，或； ∴当或时，； （4）不存在，理由如下： ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由图象可知：， ∴， ∴，， 把，，分别代入和， 得：， ∴抛物线的解析式为， 抛物线的解析式为 当以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形时，分两种情况： ①当为边时，不存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形； ②当为对角线时，则的中点也是的中点， ∵，设的中点为，则：， 以为圆心，的长为半径画圆，当以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形时，则：都在圆上，且也为圆的直径， 如图：    由图可知，不存在点分别在两条抛物线上且为圆的直径， 故不存在以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形； 综上：不存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，二次函数的图象和性质，利用二次函数求不等式的解集，圆周角定理，等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 题型十三： 特殊角度存在性问题 1．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点或或或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）先求出点，再分类求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ∵，故有最大值， 此时，则， 即点； （3）解：存在，理由： 设直线的表达式为， 由点的坐标得，，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，，故， 过点作轴交轴于点，则， ， 则， 即直线和关于直线对称，故， 设直线的表达式为， 代入，，得， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：(舍去)或5， 即点； 设点，由的坐标得，， 当时，则， 解得：，即点或； 当或时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或或； 综上，点或或或或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 2．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时．求点的坐标； (3)在（2）的条件下，连接，在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）根据抛物线过点，对称轴为直线，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意求得，，求得，则，进而求得直线的解析式为，过点作轴，交于点，证明，根据已知条件得出设，则，将点代入，即可求解． （3）根据题意可得，以为对角线作正方形，则，进而求得的坐标，待定系数法求得的解析式，联立解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，则对称轴为直线， ∴， 解得： ∴抛物线解析式为； （2）解：由，当时，， 解得：， ∴， 当时，，则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，则， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 如图所示，过点作轴，交于点，    ∵， ∴ ∵ ∴，则 设，则即， 将点代入 即 解得：或（舍去） 当时，， ∴； （3）∵，， 则，是等腰直角三角形， ∴，由（2）可得， ∵ ∴， 由（2）可得， 设直线的解析式为，则 解得： ∴直线的解析式为 如图所示，以为对角线作正方形，则，    ∵，则，则，， 设，则， 解得：，， 则，， 设直线的解析式为，直线的解析式为 则，， 解得：，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， ∴解得：，则， 解得：,则， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 角度存在性问题的解题步骤 已知特殊角度求解 已知角度关系求解 第一步 读题、画图、理解题意 第二步 分析动点、定点，找不变特征 第三步 确定分类特征，进行分类讨论 第四步 已知特殊角度，构造一线三垂直、一线三等角、直角三角形，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解. 将角度进行转化:利用锐角三角函数、相似三角形或等腰三角形的性质、外角的性质等转化为常见的类型，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解. 【温馨提示】 1）角相等：若无明显条件，首选利用锐角三角函数值构造相等角( 先求已知角); 2）角度和差：可通过外角的性质、相似三角形的性质转化为相等角; 3）倍角：可通过外角的性质、等腰三角形的性质转化为相等角: 1．（2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求抛物线解析式及，两点坐标； (2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标； (3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，， (2)或或 (3) 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令，即可求得两点的坐标； （2）分三种情况讨论，当，为对角线时，根据中点坐标即可求解； （3）根据题意，作出图形，作交于点，为的中点，连接，则在上，根据等弧所对的圆周角相等，得出在上，进而勾股定理，根据建立方程，求得点的坐标，进而得出的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于， ∴ 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴， 当时， 解得：， ∴ （2）∵，，， 设， ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形 当为对角线时， 解得：， ∴； 当为对角线时， 解得： ∴ 当为对角线时， 解得： ∴ 综上所述，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，或或 （3）解：如图所示，作交于点，为的中点，连接，    ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴在上， ∵，， ∴，， ∵， ∴在上， 设，则 解得：（舍去） ∴点 设直线的解析式为 ∴ 解得：. ∴直线的解析式 ∵，， ∴抛物线对称轴为直线， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆周角角定理，勾股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1．（2024·广东深圳·三模）如图，在中，，，，和分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是每秒个单位长度，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图像大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意分别求出各种情况下的函数关系式，依照关系式判断图象即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，作， ∴， ∵点是中点， ∴，， 当时，点在上，点在上，， ∴； 如图，当时，点在上，点在上， ∵， ∴，，， ∴ ； 如图，当时，点都在上， ∴， 综上判断选项的图象符合题意， 故选：． 2．（2024·河南郑州·二模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点． (1)求k，m的值； (2)已知点P为直线在第一象限上的一个动点，且点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，当时，求a的值； (3)观察图象，直接写出当时，a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式， （1）将点坐标代入求出m，将坐标代入反比例函数解析式求出k值即可； （2）由（1）可知，反比例函数解析式为，设点P坐标为，则，列出关于a的方程解答即可； （3）数形结合得到时，a的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴． （2）由（1）可知，反比例函数解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∴， 解得：或（舍去）或或（舍去）， ∴或， （3）由图象可知，当时，或． 3．（2025·广东揭阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，点A在第一象限，点B在x轴上，C为斜边上一点且，过点C作（点D在直线的右侧），已知，点D在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点A． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)求k的值； (3)取的中点E，证明：直线与反比例函数的图象仅有一个交点A． 【答案】(1)见详解 (2) (3)见详解 【分析】（1）运用 证明，得出，再结合等边对等角 ，则，故四边形是平行四边形； （2）先证明四边形是矩形，因为点D在反比例函数的图象上，所以矩形的面积是2，故矩形的面积是1，因为反比例函数的图象过点A．则； （3）先设，再分别表示，，，再运用待定系数法求出直线解析式为，依题意，得，整理得，得，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形； ∴， 延长交轴于一点，过点作轴，如图所示： ∵， ∴， ∵轴，，， ∴四边形是矩形， 同理，得证四边形是矩形， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积是2， ∴， ∵， ∴， 即， ∴矩形的面积是1； ∵反比例函数的图象过点A． ∴； （3）解：依题意，反比例函数的图象过点A． 设， ∴， ∵四边形是平行四边形； ∴， ∴点D的纵坐标为， ∵点D在反比例函数的图象上， 把代入，得， 解得， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 设直线的解析式为， 把，分别代入， 得 解得， ∴直线解析式为， 依题意，得， ∴， 整理得 ∴， ∴直线与反比例函数的图象仅有一个交点 ∵反比例函数的图象过点A． ∴直线与反比例函数的图象仅有一个交点A． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何综合，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，反比例函数的值与面积关系，一元二次方程的判别式的应用，求一次函数的解析式 ，难度较大，综合性强 ，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4．（2025·陕西咸阳·一模）综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，是第一象限抛物线上的一个动点，若点的横坐标为，连接，，，． (1)求，，三点的坐标，并求直线的函数表达式； (2)当四边形的面积有最大值时，求出的值． 【答案】(1)，，，直线的解析式为； (2)m的值为2； 【分析】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积等知识，运用了数形结合思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）分别令和即可求出，，三点的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线的函数表达式； （2）过作轴的垂线交于，设，则，根据题意表示出四边形的面积，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）令，得， 解得或， ∴，， 令，得， ∴； 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：如图，过作轴的垂线交于， 设，则， ∴四边形的面积 ， ∵， ∴当时，四边形的面积最大， ∴当四边形的面积最大时，的值为； 5．（2025·湖南娄底·一模）如图，点是坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第一象限．，，． (1)求点的坐标； (2)点P是轴上的一个动点，当点处于何位置时，的值最小？ 【答案】(1) (2)当点P运动到这个位置时，的值最小 【分析】（1）过点C作轴交x轴于点E，证明，得出，解直角三角形得出， ，求出，即可得出答案； （2）作点B关于y轴的对称点为D，则，连接，与y轴交于点P，连接，根据两点之间线段最短，得出此时点P即为所求作的点，先求出直线 ，然后求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：过点C作轴交x轴于点E，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴点C的坐标为； （2）解：如图，作点B关于y轴的对称点为D，则，连接，与y轴交于点P，连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴此时点P即为所求作的点， 设直线的解析式为：， 则 ， 解得： ∴ 当时， ∴当点P运动到这个位置时，的值最小． 【点睛】本题主要考查了一次函数的几何综合，解直角三角形的相关计算，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握待定系数法，作出辅助线． 6．（2024·湖北恩施·三模）如图，二次函数的图像与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且顶点为，连接．   (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，在的上方抛物线上存在一点P，已知P点的横坐标为t，过点P作交于点Q，则是否存在最大值，若存在求出最大值，若不存在请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点M，使得，如果存在，请求出直线与x轴的交点坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)最大值； (3)或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、一次函数的图象和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点P作x轴的垂线交于点D，交x轴于点E，求出  ，求出直线的解析式为，由题意知，，，得到，即可得到答案； （3）分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为 设该抛物线解析式为： ∵点在抛物线上 ∴ 解得： ∴抛物线解析式为： （2）如图，过点P作x轴的垂线交于点D，交x轴于点E    令则 解得：， ∴   设直线的解析式为， 则 解得 ∴ 由题意知，， 所以， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴当时，的值最大，最大值是 （3）①如图，取点A关于y轴的对称点，连接，    直线与抛物线在第四象限的交点即为点M ∵ ∴且 ∴ ∴直线与x轴的交点坐标为 ②如图，    ∵ 若，则 将绕着C点逆时针旋转得到线段， 则直线与抛物线在第一象限的交点即为点M，过点M作轴于点N， 则， ∴， ∴ ∴， 设点M的坐标为，则， ∴ ∴ 解得或 则， 设直线的解析式为 则 解得 ∴的解析式为： 令，则 ∴直线与x轴的交点坐标为 综上可知，直线与x轴的交点坐标为或 7．（23-24九年级上·浙江金华·期中）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标为．    (1)求抛物线的解析式及B、C两点的坐标． (2)若点M是线段上一个动点（不与A、C重合），点N是线段上一个动点，设 ①如图1，当点N运动到的中点时，作轴交于点M，求证：． ②当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得且恰好平分？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①见解析；②存在，，点G的坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法先求出函数解析式，再根据函数图象与坐标轴的交点坐标的特征即可求解． （2）①设直线的函数解析式为：，利用待定系数法求出的解析式，由中点的性质可求得，进而可求得点，即，由，则，根据，，，可得，再由平行线的性质可得，进而可得，进而可求解；②过点G作轴于点H，设点，利用相似三角形的判定及性质可得，解出方程即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：， 把代入得：， ∴； 把代入得：， 解得：， ∴． （2）①如图：    设直线的函数解析式为：， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为：， ∵，，点N运动到的中点， ∴， 把代入得：， ∴，则， ∵，， ∴，则， ∵，，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴； ②过点G作轴于点H，    由①可得：， ∴， ∴，则， 设点， ∵， ∴，，则， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵，   ∴， ∴，即， 整理得：， 令，则， 解得：， 当时，不符合题意，舍去； 当时，解得：，， 此时，或（舍）， 综上：存在，，点G的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用、相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，借助恰当的辅助线，构造相似三角形解决问题． 1．（2023·辽宁·中考真题）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，到点停止运动，同时动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．在的右侧以为边作菱形，点在射线．设点的运动时间为，菱形与的重叠部分的面积为，则能大致反映与之间函数关系的图象是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】先证明菱形是边长为x，一个角为的菱形，找到临界点，分情况讨论，即可求解． 【详解】解：作于点D，作于点E，    由题意得，， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴，， 当点M运动到直线上时，    此时，是等边三角形， ∴，； 当点Q、N运动到与点重合时，    ∴，； 当点P运动到与点重合时， ∴，； ∴当时，， 当时，如图，作于点G，交于点R，    则，，， ∴， 当时，如图，作于点I，    则，， ∴， 综上，与之间函数关系的图象分为三段，当时，是开口向上的一段抛物线，当时，是开口向下的一段抛物线，当时，是开口向上的一段抛物线， 只有选项A符合题意， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数的图象，二次函数的图形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论的思想方法解答和熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 2．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的函数值的取值范围； (3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为： 【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可； （2）求解的对称轴为直线，而，再利用二次函数的性质可得答案； （3）求解，，可得，求解直线为，及，证明在直线上，如图，过作于，连接，过作于，可得，，证明，可得，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵的对称轴为直线，而， ∴函数最小值为：， 当时，， 当时，， ∴函数值的范围为：； （3）解：∵， 当时，， ∴， 当时， 解得：，， ∴， ∴， 设直线为， ∴， ∴， ∴直线为， ∵拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，而顶点为， ∴， ∴在直线上， 如图，过作于，连接，过作于， ∵，， ∴，， ∵对称轴与轴平行， ∴， ∴， ∴， 由抛物线的对称性可得：，， ∴， 当三点共线时取等号， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解线段和的最小值，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键． 3．（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）过点作 轴，过点作于点，过点作于点，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【详解】（1）解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， （2）解：如图，设点，那么点，    由可得， 所以， 解得（舍）， ; （3）解：如图，过点作 轴，过点作于点，过点作于点，   ， 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， 点， ， 解得， 点或（舍），此时点． 4．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的表达式； (2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，交于点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出，再用待定系数法求出直线的解析式为：，可得出，，从而可得，再求出自变量取值范围即可； （3）分四种情形：当时，作，交于，可得出，从而，进而得出，进一步得出结果；当，和时，可得出没有最大值． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得， 该抛物线的解析式为：； （2）解：二次函数中，令，则， ， 设直线的解析式为：．将，代入得到： ，解得， 直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t， ，， ， 点在直线下方的抛物线上， ； （3）解：如图1，    当时， 作，交于， ， ， 把代入得， ， ， ， 当时，， ， ， 如图2， 当时， 此时， ， 时，随着的增大而增大， 没有最大值， 没有最大值， 如图3， 当时， ， 当时，随着的增大而减小， 没有最大值， 没有最大值， 如图4，    当时， 由上可知， 没有最大值， 综上所述：当时，． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①当时，有最大值为；②当P的坐标为或时，与相似 【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系数法求出直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标； （2）①根据P、D的坐标求出，然后根据二次函数的性质求解即可； ②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出，然后分，两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可． 【详解】（1）解：把，，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； （2）解：①设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为； ②∵，， ∴， 又， ∴， 又轴， ∴轴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴轴， ∴P的纵坐标为3， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴， ∴P的坐标为； 当时，如图，过B作于F， 则，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴P的坐标为 综上，当P的坐标为或时，与相似． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 6．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，线段的长是一元二次方程的一个根．请解答下列问题： (1)求点D的坐标； (2)若线段的垂直平分线交直线于点E，交x轴于点F，交于点G，点E在第一象限，，连接，求的值； (3)在（2）的条件下，点M在直线上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，12个， 【分析】（1）先解方程求出，然后求出直线解析式即可求得点D的坐标； （2）过点E作于点H，求出，然后证明，即可得到，然后求出得正切值即可； （3）利用分类讨论画出图形，利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）解：解方程得，， ∴，即点A的坐标为， 把代入得， ∴，点D的坐标为； （2）解：过点E作于点H， ∵， ∴，， ∴， 又∵是平行四边形， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当时，有个， 解：∵， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴点N得坐标为； 当时，有个，如图， 当时，有个，如图， ∵， ∴， ∴， ∴点与O重合， 故点得坐标为， 综上所述，点的个数为个，和点N的坐标为或． 【点睛】本题考查解一元二次方程，直线的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大题02 一次函数、反比例函数与二次函数综合 （13大题型） 一次函数和反比例函数、二次函数综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容,每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟等原因导致失分. 从考点频率看，一次函数、反比例函数、二次函数的图像和性质是考查的基础也是高频考点、必考点. 从题型角度看，一次函数与反比例函数、二次函数常结合特殊四边形综合，难度较高，解题时要全面考虑，避免遗漏可能出现的情况. 题型一： 动点问题的函数图像 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（    ） A．B．C．D． 2．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 类型一 动点与函数图像判断的解题策略 方法一：趋势判断法.根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图像的增减变化趋势； 方法二：解析式计算法.根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图像进行判断； 方法三：定点求值法.结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除； 方法四：范围排除法.根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除． 类型二 动点与函数图像计算的解题策略 一看图：注意函数图像横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图像的拐点、最值点等； 二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况； 三结合：几何动点与函数图像相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值； 四计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解． 1．（2025·山东济南·模拟预测）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（　　） A． B． C．平行四边形的周长为44 D．当时，的面积为20 2．（2023·江苏南通·二模）如图，在中，，，，为的中点，是边上一个动点，连接，过点作，交边于点．设的长为，的面积为，，则与的函数图象大致为（   ） A．B．C．D． 题型二： 判断函数图像 1．（2024·山东青岛·中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 根据函数性质判断图像的方法: 1）一次函数： y=kx+b，k的正负决定直线的升降，b的正负决定与y轴交点的位置。 2）反比例函数：，k的正负决定双曲线所在象限。 3）二次函数：，a的正负决定抛物线开口方向，a和b的正负决定对称轴位置，△的正负决定与x轴的交点个数。 1．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024威海市模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（    ）   A．  B．  C．  D．   题型三： 已知函数值的大小，求取值范围 1．（2024·山东泰安·中考真题）直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，请直接写出满足条件的的取值范围； (3)过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积． 2．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 以反比例函数与一次函数为例： 从图像可以看出,在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方,所以的解集为或 ；在②，④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 1．（2025·河北沧州·模拟预测）问题：探究函数的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： （1）在函数中，自变量x可以是任意实数； （2）下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 4 … y … 1 0 0 m … ①求m的值； ②若，为该函数图象上不同的两点，求的值． （3）在如图所示的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；根据函数图象可得： ①求该函数的最小值； ②已知直线与函数的图象交于，点，直接写出当时x的取值范围． 题型四： 函数间的交点问题 1．（2023·山东济南·中考真题）综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 2．（2022·湖北宜昌·中考真题）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．直线由直线平移得到，与轴交于点．四边形的四个顶点的坐标分别为，，，． (1)填空：______，______； (2)若点在第二象限，直线与经过点的双曲线有且只有一个交点，求的最大值； (3)当直线与四边形、抛物线都有交点时，存在直线，对于同一条直线上的交点，直线与四边形的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标． ①当时，直接写出的取值范围； ②求的取值范围． 以反比例函数与一次函数为例： 已知反比例函数与一次函数，将两个方程联立，构造一元二次方程，无需求解方程，只需求出一元二次方程根的判别式的值，由判别式判断交点个数.即：. 1．（2025·江苏宿迁·模拟预测）【阅读理解】： 关于x的函数（m为常数，且），经过某个定点，请求出定点的坐标． 方法一：先将等式化为的形式，再根据时有m无数多个解，求得定点的坐标为； 方法二：当时，；当时，； 解方程组解得， ∴求得定点的坐标为； 【模仿练习】 关于x的二次函数（ 为常数，且），是否经过定点，如果是，请选择一种方法求出定点的坐标；如果不是，请说明理由． 【尝试应用】某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： （1）计算x与y的几组对应值，其中 ； 列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 m 0 1 0 … （2）如图，在直角坐标系中用描点法画出函数这个图象； （3）若直线与函数的图象只有一个交点，请结合函数图象，求出t的取值范围． 题型五：几何图形的面积 1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； (3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 解题思路： 1.设动点P的坐标为，过点P做辅助线； 2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式(一般为二次函数的形式)； 3.写出表示面积的二次函数的顶点式,求出最值,即可得到三角形面积的最大值. 1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当的面积最大时，边上的高的值为______． 2．（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C 的坐标为， (1)求直线的函数表达式． (2)点D是x轴上一动点，连接，当的面积是面积的时，求点D的坐标． (3)点E坐标为连接，点P为直线上一点，若，求点P坐标． 3．（2025·河北·模拟预测）如图，已知二次函数． (1)求证：无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点； (2)当时，函数值y随x的增大而减小，求a的取值范围； (3)以二次函数图象的顶点A为一个顶点作该二次函数图象的内接正三角形（M，N两点在二次函数的图象上），请问：的面积是与a无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 题型六： 函数的整点问题 1．（2023·云南·中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象． (1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 2．（2024·河北保定·一模）如图，在平而直角坐标系中，记函数的图象为G，直线经过点，与图象G交于B，C两点．    (1)求b的值，并在图中画出直线l； (2)当点B与点A重合时，点在第一象限内且在直线l上，过点P作轴于点Q． ①求点C的坐标； ②连接．若，求m的取值范围； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l所围成的封闭区域（含边界）为W．当区域W的边界上有5个整点时，请直接写出满足条件的整数k的个数． 函数已知，找整点个数 根据整点情况求未知参数 第一步 寻找已知函数图像上的整点作为边界点(线) 分类讨论，找临界状态时未知参数的取值 第二步 准确画图，确定区域 画临界状态时的图像找整点，再根据情况画参数取值在临界状态两侧时的图像的大致范围，看整点情况 第三步 关注是否包含边界上的整点 关注是否包含边界上的整点，确定未知参数的值或范围 注意事项 规范作图，防止画图错误导致点错位的情况发生. 找整点个数时的临界状态，若求无整点时的情况，可以找一个整点时的临界状态. 1．（2023·安徽合肥·二模）如图，直线和直线分别与轴交于点，点，顶点为的抛物线与轴的右交点为点． (1)若，求的值和抛物线的对称轴； (2)当点在下方时，求顶点与距离的最大值； (3)在和所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”，求出时“整点”的个数． 2．（2024·河北邯郸·三模）如图，双曲线 （）经过点 和点 ，经过双曲线上的点且平行于的直线与轴交于点，点在点左上方，设为轴、直线、双曲线 （）及线段之间的部分 （阴影部分），解决下列关于 （不包括边界）内的整点（横、纵坐标都为整数）的问题： （1）内整点的个数最多有 个； （2）若内整点的个数为，则点的纵坐标的取值范围是 ． 题型七： 函数的定点问题 1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)当时，若的面积与的面积相等，求的值； (3)延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 2．（2025·云南·模拟预测）已知函数（k为正整数）． (1)若函数的图象与坐标轴有3个不同的交点，且交点的横、纵坐标均为整数，求此函数的解析式； (2)无论k为何值，该函数都经过定点，且，求的值． 【命题预测】函数的解析式中除自变量外，还有待定的系数，此时函数的图像会随着待定的系数的变化而变化，图像变化过程中,有时始终会经过某个固定的点. 定点问题常出现在各地考试中，难度中上，掌握好定点问题的本质即可快速解决. 解题方法（以一次函数定点问题为例）：将一次函数化成即经过的顶点坐标为（a，b）. 1．（2023·湖北武汉·一模）已知二次函数的图象经过点，直线AB与抛物线相交于A、B两点．   　　   (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若直线AB的解析式为，且的面积为35，求k的值； (3)如图2，若，则直线AB必经过一个定点C，求点C的坐标． 题型八： 函数的定值问题 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 2．（2024·湖南·中考真题）已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值； (3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值． 【解题方法】二次函数中的定值问题常与几何知识综合考查，常见的有线段和(差)面积，比值等.利用二次函数求解这些几何线段所代表的代数式定值问题属于定量问题，一般采用参数计算法，即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)，设出参数，将要求的代数式用含参数的形式表示出来，消去参数后即得定值. 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点为抛物线上一点，点为轴上一点，当以为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求点的坐标； (3)若为线段的中点，为抛物线的顶点，直线交抛物线于两点，直线交轴于点，直线交轴于点．试探究：是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由． 题型九： 最值问题 1．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）： ①________；②________；③________． (2)若，，求b的取值范围； (3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 2．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 2 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 以定轴定区间最值问题为例 解题方法：对于二次函数在m≤x≤n上的最值问题(其中 a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值. 1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在x=时，取到最小值，无最大值. 2）若m≤≤n，n时，如图②，当，当 3) 若m≤≤n，n时，如图③，当，当 4) 若m≤x≤n＜时，如图④，当，当 5) 若＜m≤x≤n时，如图⑤，当，当 1．（2024·贵州遵义·二模）已知二次函数的图象经过点，，对称轴为直线． (1)直接写出　　　　，　　　　，　　　　； (2)当时，求二次函数的最值； (3)当时，二次函数的最小值为，求n的值． 2．（2024·山西晋城·二模）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成下列任务． 问题背景： 数学兴趣小组的同学们在学习了完全平方公式之后，发现由于，故，于是他们对两个正数之和与这两个正数之积的关系展开了探究． 探索发现： 发现结论：如果，那么（当且仅当时等号成立） 解释证明： 当时， 当时， 如果，那么（当且仅当时等号成立） 任务： (1)对于函数，当等于___________时，函数有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________； (2)对于函数，当等于___________时，函数有最___________值，这个最值是___________； (3)某植物园利用一面足够长的围墙和木栏围成一个矩形花圃，中间用一排木栏隔开，如图所示，总共用了100米的木栏，当长为多少时，矩形花圃的面积最大?最大面积是多少?请你利用材料中的结论或所学知识求解该问题． 题型十： 最值问题（线段和/差，周长，面积） 1．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由； (3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标． 2．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； (3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．      (1)求m，k的值； (2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 1）线段和最小问题 图形 条件 如图，A，B两定点分布在直线m两侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 如图，A，B两定点分布在直线m同侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 结论 当A，D，B三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB的长. 当A，D，B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB'的长. 2）线段差最大问题 图形 条件 如图，A，B两点分布在直线m同侧，点D为直线m 上一动点,求|AD-BD|的最大值. 如图，A，B两点分布在直线m两侧，点D为直线m 上一动点,求|AD-BD|的最大值. 结论 当A，B，D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB的长 当A、B'、D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB'的长 3) 无论是线段和的最小值或是周长的最小值，还是两条线段差的最大值等，解决该类问题的最基本依据就是“两点之间，线段最短”,基本模型就是最短路径问题，即“将军饮马问题”.解题方法就是通过轴对称作出对称点加以解决，若需要三边和最小，则需过两定点(即已知定长线段的两顶点)分别作出关于x轴与y的对称点，从而将三边转化到同一条直线上. 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交x轴于点D，且． (1)求的值并直接写出点的坐标； (2)点、是轴上的动点(在上方)且满足，连接，，求的最小值； (3)点是双曲线上一个动点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 题型十一： 特殊三角形存在性问题 1．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2025·广东清远·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点的坐标； (3)以点为圆心，画半径为的圆，为上一个动点，请求出的最小值． 题型十二： 特殊平行四边形存在性问题 1．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； (3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中存在两条抛物线，抛物线交轴于点，，顶点坐标为．抛物线交轴于点，，顶点坐标为，（）． (1)求线段的长； (2)若点在抛物线上，点在抛物线上．试讨论和大小； (3)若点，在抛物线上，且满足，求的取值范围； (4)若S、T分别为、上的动点，当为菱形时，是否存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出S和T的横坐标；若不存在，请说明理由． 题型十三： 特殊角度存在性问题 1．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时．求点的坐标； (3)在（2）的条件下，连接，在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 角度存在性问题的解题步骤 已知特殊角度求解 已知角度关系求解 第一步 读题、画图、理解题意 第二步 分析动点、定点，找不变特征 第三步 确定分类特征，进行分类讨论 第四步 已知特殊角度，构造一线三垂直、一线三等角、直角三角形，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解. 将角度进行转化:利用锐角三角函数、相似三角形或等腰三角形的性质、外角的性质等转化为常见的类型，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解. 【温馨提示】 1）角相等：若无明显条件，首选利用锐角三角函数值构造相等角( 先求已知角); 2）角度和差：可通过外角的性质、相似三角形的性质转化为相等角; 3）倍角：可通过外角的性质、等腰三角形的性质转化为相等角: 1．（2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求抛物线解析式及，两点坐标； (2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标； (3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2024·广东深圳·三模）如图，在中，，，，和分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是每秒个单位长度，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图像大致为（    ） A．B．C．D． 2．（2024·河南郑州·二模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点． (1)求k，m的值； (2)已知点P为直线在第一象限上的一个动点，且点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，当时，求a的值； (3)观察图象，直接写出当时，a的取值范围． 3．（2025·广东揭阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，点A在第一象限，点B在x轴上，C为斜边上一点且，过点C作（点D在直线的右侧），已知，点D在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点A． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)求k的值； (3)取的中点E，证明：直线与反比例函数的图象仅有一个交点A． 4．（2025·陕西咸阳·一模）综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，是第一象限抛物线上的一个动点，若点的横坐标为，连接，，，． (1)求，，三点的坐标，并求直线的函数表达式； (2)当四边形的面积有最大值时，求出的值． 5．（2025·湖南娄底·一模）如图，点是坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第一象限．，，． (1)求点的坐标； (2)点P是轴上的一个动点，当点处于何位置时，的值最小？ 6．（2024·湖北恩施·三模）如图，二次函数的图像与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且顶点为，连接．   (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，在的上方抛物线上存在一点P，已知P点的横坐标为t，过点P作交于点Q，则是否存在最大值，若存在求出最大值，若不存在请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点M，使得，如果存在，请求出直线与x轴的交点坐标，不存在，请说明理由． 7．（23-24九年级上·浙江金华·期中）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标为．    (1)求抛物线的解析式及B、C两点的坐标． (2)若点M是线段上一个动点（不与A、C重合），点N是线段上一个动点，设 ①如图1，当点N运动到的中点时，作轴交于点M，求证：． ②当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得且恰好平分？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由． 1．（2023·辽宁·中考真题）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，到点停止运动，同时动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．在的右侧以为边作菱形，点在射线．设点的运动时间为，菱形与的重叠部分的面积为，则能大致反映与之间函数关系的图象是（　　）    A．   B．   C．   D．   2．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的函数值的取值范围； (3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 3．（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 4．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的表达式； (2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，交于点，求的最大值． 5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，线段的长是一元二次方程的一个根．请解答下列问题： (1)求点D的坐标； (2)若线段的垂直平分线交直线于点E，交x轴于点F，交于点G，点E在第一象限，，连接，求的值； (3)在（2）的条件下，点M在直线上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$