精品解析：山西大学附属中学校2024-2025学年高二下学期3月月考（总第二次）数学试题

山西大学附中 2024～2025学年高二年级第二学期3月月考（总第二次） 数 学 试 题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知等差数列中，，，则公差（    ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用等差数列通项公式求公差即可. 【详解】等差数列中，，， 由等差数列的通项公式，可得，解得， 故选：C 2. 据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的物理意义，利用求导法则，可得答案. 【详解】由题意可得“高原版”复兴号动车的加速度， 将代入上式，可得（）. 故选：B. 3. 等比数列中，若，则的公比为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列性质即可求出公比. 【详解】因为数列为等比数列，则， 即，解得. 故选：D. 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的函数的图象，可判断函数的单增区间与单减区间，可得结论. 【详解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，所以在上单调递减，可排除AC； 当时，，所以在上单调递增，可排除B； 当时，，所以在上单调递减，D均符合，故D正确. 故选：D. 5. 设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，可以判断数列的特点，确定何时最大. 【详解】因为数列为等差数列， 由； 由 所以. 所以等差数列是首项为正数的递减数列，且前6项为正，从第7项开始为负数. 所以最大. 故选：B 6. 在上的导函数为，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件构造函数，利用导数判断其单调性，从而得到不等关系，即可判断. 【详解】令， 则， ，， 在上单调递增， ，即， . 故选：A. 7. 设数列 满足，，，令，则数列的前100项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，求出数列的通项公式，进而求出，再利用分组求和法求解即得. 【详解】数列满足，，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即， 因此，显然周期为4， 则 ， 令，则有， 因为， 所以数列是等差数列， 所以数列的前100项和，即数列的前25项和为. 故选：B. 8. 若直线与函数和的图象分别相切于点，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设切点，再求导函数得出点斜式即切线方程，结合公切线列方程求解得出点，最后应用两点间距离求解. 【详解】设，， 因为，， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 因为直线是两函数图象的公切线，所以， 由①可得，代入②得， 因为，所以，所以，， 所以. 故选：C． 二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列函数的求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】直接利用导数的运算法则与基本初等函数的导函数逐一求解得答案. 【详解】对于A,，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC. 10. 已知数列的通项公式为．则下列说法正确的是（ ） A. 这个数列的第10项为 B. 是该数列中的项 C. 数列中的各项都在区间内 D. 数列是单调递减数列 【答案】BC 【解析】 【分析】先化简通项公式，赋值法判断A，B，再结合函数单调性及值域判断C，D. 【详解】． 令，得，故选项A不正确； 令，得，故是该数列中的第33项，故选项B正确， 因为，又，所以数列是单调递增数列， 所以，所以数列中的各项都在区间内，故选项C正确，选项D不正确． 故选：BC. 11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序排列，构成的数列记为，数列的前项和为，数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据斐波那契数列的排列规则可得数列，根据周期性即可求解AB，根据斐波那契数列的定义，结合迭代法即可根据求CD. 【详解】对于A, 根据题意可知，斐波那契数列的排列规则为：奇数，奇数，偶数，奇数，奇数，偶数，…，进而可知数列为1，1，0，1，1，0，…， 故数列为周期数列，且周期为，所以，A正确， 对于B，，，，，,故由解得或，B错误， 对于C， ，C正确， 对于D， ，D正确， 故选：ACD 【点睛】结论点睛：斐波那契数列有以下性质：（1）从第二项开始，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1；（2）奇数项之和，偶数项之和；（3）每项平方之和；（4）；（5）.；（6）前项和. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在等比数列中，若、是方程的两根，则的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】分析出，利用韦达定理结合等比中项的性质可求得的值. 【详解】对于方程，， 设等比数列的公比为，则，即、同号， 由韦达定理可得，则、均为负数，，， 由等比中项的性质可得，. 故答案为：. 13. 若是函数的一个极大值点，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知求出导函数再应用极大值点计算求参，最后计算求解函数值. 【详解】因为函数，所以， 因为是函数的一个极大值点，所以， 所以，计算得， 则． 故答案为：. 14. 已知实数a、b、c、d满足，则的最小值为______． 【答案】##4.5 【解析】 【分析】将看作是到的距离的平方，P在曲线上，Q在直线上，利用导数求解函数的单调性，结合点到直线的距离即可求解. 【详解】∵，∴， ， 设，，则点P在曲线上，Q在直线上， 设曲线上切线斜率为1的切点为， ，当时，，此时函数递增，当时，，函数递减，故当时，， 直线在曲线上方，由，即， 记，显然在上是增函数，而，∴是的唯一解． ，，点到直线的距离为， ∴的最小值为． 【点睛】处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. （3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最小值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 （2）1 【解析】 【分析】(1)先求函数定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值; (2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，从而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值. 【小问1详解】 函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最小值为. 因为，所以， 所以函数在上的最小值为1. 16. 已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】根据条件先求出的通项公式，再求出的通项公式即可. 【小问1详解】 设公差为，则，即 解得或 ，所以或； 【小问2详解】 因为数列为递增数列，，，， 所以 ； 所以. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若函数的最小值是1，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出切线斜率，再求切点坐标，利用直线点斜式方程即可求解； （2）利用导数求出函数极值，根据题意，极小值即为最小值，建立方程得解. 【小问1详解】 当时，. ， ，即切线斜率. 所以切线方程为，即 【小问2详解】 函数的定义域为. 当时，.所以在上单调递减，无最小值. 当时，令，得；令，得. 所以在单调递减，在单调递增， 所以最小值为. 所以，即. 综上所述. 18. 已知函数，， （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导分与的大小关系讨论即可； （2）由题意在上恒成立，再根据函数的性质求解即可. 【小问1详解】 ， 则， 当时，， 故在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 当时，令有，，且， 故在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 在上，，单调递减. 当时，，在单调递减； 当时，在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 在上，，单调递减. 【小问2详解】 ， 由题意在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，故，即. 所以a的取值范围为. 19. 人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如． （1）求的值； （2）已知数列满足，求的前项和； （3）若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据欧拉函数的定义直接计算即可； （2）利用错位相减法求和，即可得出结果； （3）由（2）可知，求出 ，将不等式 化简，分离参数，研究数列的单调性，求出其最大项的值，即可得出结果. 【小问1详解】 因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以 因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以 正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个，所以； 【小问2详解】 所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，，共个， 所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个， 即， 两式相减得 【小问3详解】 由（2）可知 ， 得 恒成立， 令 ， 则 ， 可得 ； 当 时，，当时，， 所以的最大值为， 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山西大学附中 2024～2025学年高二年级第二学期3月月考（总第二次） 数 学 试 题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知等差数列中，，，则公差（    ） A. B. 1 C. D. 2. 据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（ ） A. B. C. D. 3. 等比数列中，若，则公比为（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C D. 5. 设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（ ） A B. C. D. 6. 在上的导函数为，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 设数列 满足，，，令，则数列的前100项和为（ ） A. B. C. D. 8. 若直线与函数和的图象分别相切于点，则（ ） A. 2 B. C. D. 二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列函数的求导运算正确的是（ ） A. B. C D. 10. 已知数列的通项公式为．则下列说法正确的是（ ） A. 这个数列的第10项为 B. 是该数列中的项 C. 数列中的各项都在区间内 D. 数列是单调递减数列 11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序排列，构成的数列记为，数列的前项和为，数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在等比数列中，若、是方程的两根，则的值是______. 13. 若是函数的一个极大值点，则____________． 14. 已知实数a、b、c、d满足，则的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最小值. 16. 已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若函数的最小值是1，求的值. 18. 已知函数，， （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在上单调递减，求a的取值范围． 19. 人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如． （1）求的值； （2）已知数列满足，求的前项和； （3）若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$