精品解析：陕西省商洛市商南县丹南三校联考2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

八年级下学期第一次月考试题 一、选择题（共8个，每个3分） 1. 二次根式有意义的条件是( ) A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 6，8，10 D. 1，，2 3. 下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，7，8 C. 8，15，17 D. 5，12，13 4. 下列计算正确的是（　　） A. 3 B. C. D. （）2＝2 5. 下列命题中，正确的是（ ） A. 直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B. 在中，的对边分别是，若，则 C. 在中，的对边分别是，若，则 D. 如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 6. 实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 7. 下列条件：①；②；③；④．其中能判定是直角三角形的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8. 已知，则的值是（ ） A. 5 B. C. 4 D. 二、填空题（共5个，每个3分） 9. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_______． 10. 若，则的值为______． 11. 如图所示，为直角三角形，半圆内的数字分别为所在半圆的面积，则图中字母A所代表的半圆的面积为______． 12. 如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要_______米． 13. 已知，则___________． 三、简答题（共11个，81分） 14. 在数轴上做出表示的点．（保留作图痕迹） 15. 化简计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 16. 写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假． （1）如果，那么； （2）两个锐角的和是钝角． 17. 如图，已知，，，，求AC． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，M，N均在格点上，P为线段上的一个动点 （1）的长等于_______， （2）当点P在线段上运动，且使取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点P的位置，并简要说明你是怎么画的，（不要求证明） 19. 已知，求下列代数式的值： （1）； （2）． 20. 已知，求代数式的值． 21. 如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金购买草皮？ 22. 经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离（米）和下落时间（秒）可以用公式来估计． （1）一个物体从米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？ （2）一个物体从高空某处落到地面用了2秒，问物体下落前离地面高多少米？ 23. 已知：如图，在中，，，的周长为30． （1）证明：是直角三角形； （2）过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点． ①证明：； ②求线段的长． 24. 【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为______． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是______．（杯壁厚度不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下学期第一次月考试题 一、选择题（共8个，每个3分） 1. 二次根式有意义的条件是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，解不等式即可． 【详解】二次根式有意义的条件是被开方数． 解得． 故选：B． 2. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 6，8，10 D. 1，，2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义．勾股数必须满足都是正整数，同时还需满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，据此注意判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6，不是勾股数，不符合题意； B、，这两个数都不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； C、∵， ∴6，8，10是勾股数，符合题意； D、不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 3. 下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，7，8 C. 8，15，17 D. 5，12，13 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形． 【详解】解：A、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度； B、，不符合勾股定理的逆定理，不能作为直角三角形三边长度； C、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度； D、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 4. 下列计算正确的是（　　） A. 3 B. C. D. （）2＝2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和二次根式的加法法则和除法法则逐一进行计算，从而得出答案； 【详解】解：，选项A错误； 与不是同类二次根式，不能合并，选项B错误； ，选项C错误； （）2＝2，选项D正确； 故选：D 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 5. 下列命题中，正确的是（ ） A. 直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B. 在中，的对边分别是，若，则 C. 在中，的对边分别是，若，则 D. 如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断，熟悉勾股定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，A错误； 在中，的对边分别是，若，则错误； 在中，的对边分别是，若，则错误； 如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，D正确， 故选：D． 6. 实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴与实数，二次根式的性质，先由数轴得，则，故，即可作答． 【详解】解：由数轴得， ∴， 则 ， 故选：C． 7. 下列条件：①；②；③；④．其中能判定是直角三角形的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形内角和定理．由直角三角形的定义，只要验证最大角是否是；由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴能判定是直角三角形； ②∵， ∵， ∴能判定是直角三角形； ③∵， ∴， ∴， ∴能判定是直角三角形； ④∵，， ∴， ∴能判定是直角三角形； 综上所述，能判定是直角三角形的有4个． 故选：A． 8. 已知，则的值是（ ） A. 5 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算．先把原式变形为，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：． 当时， 原式． 故选：D． 二、填空题（共5个，每个3分） 9. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据最简二次根式和同类二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 解得． 故答案为：6． 10. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件以及非负数的性质，可得，，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图所示，为直角三角形，半圆内的数字分别为所在半圆的面积，则图中字母A所代表的半圆的面积为______． 【答案】100 【解析】 【分析】此题考查了圆的面积公式以及勾股定理．根据勾股定理求出面积是A的半圆的直径的平方，进而即可求得半圆的面积A． 【详解】解：∵以为直径的半圆的面积等于400，即， ∴， ∵以为直径的半圆的面积为300， ∴， ∴， 又∵为直角三角形，根据勾股定理得： ， ∴， 则半圆的面积为：． 故答案为：100． 12. 如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要_______米． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可． 【详解】解：根据勾股定理，楼梯水平长度为米， 则红地毯至少要米长， 故答案为：17． 13. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化，完全平方公式，进行解答，即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 三、简答题（共11个，81分） 14. 在数轴上做出表示的点．（保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，解题的关键是掌握实数与数轴上的点是一一对应关系． 画以1和1为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是，再以为圆心，以为半径画弧，其和数轴的正半轴的交点即为所求． 【详解】解：如图，点A即为所作： 15. 化简计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，正确计算化简是解题的关键． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式； （1）先计算除法和化简二次根式，再合并同类二次根式； （3）先利用分配律进行乘法运算，再化简二次根式，再进行加减计算； （4）分别计算零指数幂，乘法和负整数指数幂，再进行加法计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 16. 写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假． （1）如果，那么； （2）两个锐角的和是钝角． 【答案】（1）逆命题：如果，那么．原命题为假命题，逆命题为真命题． （2）逆命题：如果两个角的和是钝角，那么这两个角都是锐角．原命题和逆命题都为假命题． 【解析】 【分析】本题主要考查真假命题及逆命题，熟练掌握真假命题及逆命题是解题的关键； （1）根据逆命题的定义写出原命题的逆命题，然后判断真假即可； （2）先写出原命题的逆命题，然后再判断真假即可 【小问1详解】 原命题的逆命题为如果，那么．原命题为假命题，逆命题为真命题． 【小问2详解】 原命题的逆命题：如果两个角的和是钝角，那么这两个角都是锐角．原命题和逆命题都为假命题． 17. 如图，已知，，，，求AC． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．先求出，然后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴为直角三角形． ∵， ∴由勾股定理知：． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，M，N均在格点上，P为线段上的一个动点 （1）的长等于_______， （2）当点P在线段上运动，且使取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点P的位置，并简要说明你是怎么画的，（不要求证明） 【答案】（1） （2） 取格点S，T，得点R；取格点E，F，得点Q，连接交于点P ． 【解析】 【分析】本题考查了作图－应用与设计作图，轴对称——最短距离问题，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得到结论； （2）取格点S，T，得点R；取格点E，F，得点Q；连接交于点P即可得到结果． 【小问1详解】 解：∵每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，M，N均在格点上， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 19. 已知，求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）99 （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，代数式求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． （1）先求出，．再计算，然后整体代入计算即可； （2）先求出，．再计算，然后整体代入计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ． ∴． 【小问2详解】 解：， ， ． ∴． 20. 已知，求代数式的值． 【答案】95 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化、代数式求值、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 通过分母有理化可得、，进而得到，然后将原式化为，最后整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 21. 如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金购买草皮？ 【答案】7200元 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接，在直角三角形中可求得的长，由、、的长度关系可得三角形为一直角三角形，为斜边；由此得四边形由和构成，即可求解． 【详解】解：连接， 在 中，， 在中，，且， 即， ， ， ， 所以需费用（元）． 22. 经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离（米）和下落时间（秒）可以用公式来估计． （1）一个物体从米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？ （2）一个物体从高空某处落到地面用了2秒，问物体下落前离地面高多少米？ 【答案】（1）5秒 （2）米 【解析】 【分析】本题考查有关二次根式运算的运用： （1）将代入求解即可得到答案； （2）将代入求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：当米时， 答：落到地面需要5秒； 【小问2详解】 解：当秒时， 解得：， 答：物体下落前离开地面米． 23. 已知：如图，在中，，，的周长为30． （1）证明：是直角三角形； （2）过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点． ①证明：； ②求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】此题重点考查勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地求出的长，并且推导出是解题的关键． （1）由，，的周长为30，求得，则，所以是直角三角形； （2）①由，得，由于点，得，则，由，得，所以，而，则，所以； ②由，，且，得，则，由，，证明，则，所以． 【小问1详解】 证明：，，的周长为30， ， ，， ， 是直角三角形． 【小问2详解】 ①证明：， ， 于点， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， ， ． ②解：，，且， ， ， ，， ， ， ， ， ， 线段的长为． 24. 【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为______． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是______．（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）蚂蚁爬行的最短距离为；（3） 【解析】 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 蚂蚁爬行的最短距离为； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，， ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $