3.定弦定角-中考复习之与圆有关的模型（苏教版）

与圆有关的模型之定弦定角 【模型介绍】因为同圆或等圆中等弦所对的圆周角相等，所以当弦的长度保持不变和弦所对应的角度大小固定时，动点的轨迹就是圆或者圆弧. 【模型解析】两定(A，B)一动(P)，AB长固定，∠APB固定 如图，已知AB为定线段，P为动点，且∠APB=α，则A、B、P三点必共圆，或称为点P一定在以AB为弦的某一个圆上，且这个圆是固定的，圆心在线段AB的垂直平分线上，动点P的运动轨迹为关于线段AB对称的圆弧上（①∠APB<90°，在线段AB对称的优弧上运动 ②∠APB>90°，在线段AB对称的劣弧上运动），但不包括A、B两点. 定弦定角问题常应用于求线段的“最值”，问题的关键就在于找到运动过程中必存在的定线段，及这条线段关于某一动点的张角为定值，由张角的变化，去寻找这三点所构成的定圆. 【解题技巧】 1）找到不变的张角(∠APB)所对的-定弦(AB); 2）定角定弦定圆心和半径; 3）作出外接圆; 4）计算半径并分析. 5）当△ABP是以AB为底的等腰三角形时, △ABP的面积和周长最大. [口诀] 见定长→找所对定角→知定圆→找圆心→现“圆”形(一找、二定、三画、四析). 【证明】在△ABP中, ∠P=α,AB=2x. 1）求△ABP中AB边所对的高的最值. 2）求△ABP面积的最值. 【提示】这个模型就是我们所谓的定角定弦模型,也就是在一个三角形中一个角和它的对边保持不变,在AB边固定的同时,虽然∠P的大小不变,但顶点P的位置可以发生变化P,由于同弧所对的圆周角不变,故顶点P可以在△ABP的外接圆的AB这段弦所对的圆弧上运动（不包括A,B点）.当高线PC过圆心时有最大的高,即h≤P1D=OP1+OD.(此时P,O,D三点共线) 【证明过程】 作△ABP的外接圆圆O，连接AO，BO，PO,过点O作AB⊥OD于点D ∵∠APB=α ∴∠AOB=2α 而△AOD≌△BOD ∴∠AOD=∠BOD=α AD=BD=x 在Rt△AOD中，AO=DO= 又∵AO=OP1 PC≤P1D=OP1+OD==(1+cos) （当P与P1重合时等号成立） S△ABP=PC•AB≤P1D•AB=(1+cos)=(1+cos) 典型例题讲解 1．（2023·浙江杭州·统考二模）如图，已知内接于，，，点P为的重心，当点A到的距离最大时，线段的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意作出对应的图形，连接，，得，由垂径定理得，再由，，，，半径相等，，再由点P为的重心，可知，得，最后列式即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点O作于H，连接，，如图所示，设点A到的距离为h：    ∵， ∴当点A到的距离最大时，三点共线， ∴，， ∵， ∴，，， ∵在，，， ∴，， ∵， ∴，， ∵点P为的重心， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是解直角三角形以及三角形的重心，正确掌握三角形的重心是三条中线的交点是解题的关键． 2．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）如图，在中，是边上的中线，，． （1）当时， ； （2）当面积最大时，则 ． 【答案】 45 【分析】当时，根据三线合一和勾股定理，得出等腰直角三角形，从而可得；再根据面积公式分析得出当边上的高最大时，面积最大，判断出点A的位置，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）当时， ∵是边上的中线， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）在中，以为底，， 则当边上的高最大时，面积最大， 如图，点A在以点C为圆心，为半径的圆上， 故当时，高最大，即为， 此时， 故答案为：45，． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，圆的性质，解题的关键是根据面积最大分析出的位置． 3．（2020·四川德阳·统考一模）如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心，1为半径的圆上一动点，连接、，当的面积最大时，点的坐标为 ． 【答案】(−,) 【分析】过C作CM⊥AB于M，交x轴于E，连接AC，MC的延长线交⊙C于D，作DN⊥x轴于N，则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，可知圆C上点到直线y=x-3的最长距离是DM，当P点在D这个位置时，△PAB的面积最大，先证得△COE∽△CMB，求得OE、CE，再通过证得△COE∽△DNE，求得DN和NE，由此求得答案． 【详解】过C作CM⊥AB于M，交x轴于E，连接AC，MC的延长线交⊙C于D，作DN⊥x轴于N， ∵直线与x轴、y轴分别交于A，B两点， 令x=0，得y=-3， 令y=9，得x=4 ∴A(4,0)，B(0,−3)， ∴OA=4，OB=3， ∴AB= 则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC， ∴×5×CM=×4×(1+3)， ∴CM= ∴BM= ∴圆C上点到直线的最大距离是DM=1+= 当P点在D这个位置时，△PAB的面积最大， ∵∠CMB=∠COE=90°，∠OCE=∠MCB， ∴△COE∽△CMB， ∴ ∴ ∴OE=，CE=， ∴ED=1+= ∵DN⊥x轴， ∴DN∥OC， ∴△COE∽△DNE， ∴，即 ∴DN=，NE= ∴ON=NE−OE=−= ∴D(−,) ∴当△PAB的面积最大时，点P的坐标为(−,) 故答案为：(−,) 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据两个三角形相似可得出对应边成比例，是求线段长度的方法之一，已知一次函数的解析式，可求得函数与x轴，y轴的截距． 4．（2023·河南安阳·统考二模）如图，⊙O的半径为2cm，弦，C是弦AB所对的优弧上一个动点，则图中阴影部分的面积之和的最小值是 cm2． 【答案】/ 【分析】过点C作于E，由，得当最大时，最小，此时，经过圆心O，即垂直平分，点C为优弧的中点，连接，由垂径与勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：过点C作于E， ∵， ∴当最大时，最小，此时，经过圆心O，即垂直平分，点C为优弧的中点，连接， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理，不规则图形面积，三角形面积，勾股定理，根据图形面积关系，得出点C为优弧的中点时，阴影面积最小是解题的关键． 5．（2023上·江苏扬州·九年级校考期末）【学习心得】 小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则． (1)【初步运用】如图，在四边形中，，，求的度数； (2)【方法迁移】如图，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； (3)【问题拓展】 ①如图，已知矩形，，，为上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______． ②如图，在中，，是边上的高，且，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）如图所示，取中点E，连接，，则，即可得到A、B、C、D在以E为圆心，为半径的圆心，则； （2）先作等边三角形，再以O为圆心，的长为半径画弧与直线l的交点即为所求； （3）①如图所示，在上截取一点F使得，连接，以为直径作圆O，过点F作交于E，过点O作交于H交圆O于G，过点G作圆O的切线分别交，于K、Q，则当时满足题意，据此求解即可；②如图所示，作的外接圆，过圆心O作于E，于F，连接，，，则四边形是矩形，分别求出、即可得到答案． 【详解】（1）如图所示，取中点E，连接，， ∵，E为的中点， ∴， ∴A、B、C、D在以E为圆心，为半径的圆心， ∴； （2）如图所示，、即为所求； （3）①如图所示，在上截取一点F使得，连接，以为直径作圆O，过点F作交于E，过点O作交于H交圆O于G，过点G作圆O的切线分别交，于K、Q，则四边形为正方形 ∵四边形是矩形， ∴， ∴B在圆O上，， ∴， ∵OH⊥EF， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． ②如图所示，作的外接圆，过圆心O作于E，于F，连接，，，则四边形是矩形 ∵， ∴， 在直角中， ∴， ∵OE⊥BC， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，直角三角形斜边上的中线，矩形的性质与判定，勾股定理等等，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键． 6．（2023·广东深圳·校考模拟预测）【问题情境】 （1）爱探究的小明在做数学题时遇到这样一个问题：如图，是的直径，是上的一动点，若，则面积的最大值为 ．请帮小明直接填空； 【模型归纳】 （2）小明在完成填空后，对上面问题中模型进行如下归纳：如图，是的弦，是优弧上的一动点，过点作于点，当且仅当经过圆心时，最大．请帮助小明完成这个结论的证明； 【模型应用】 （3）如图是四边形休闲区域设计示意图，已知，，休闲区域内原有一条笔直小路的长为米，现为了市民在该区域内散步方便，准备再修一条长为米的小路，满足点在边上，点在小路上．按设计要求需要给图中阴影区域（即与四边形，小路宽度忽略不计）种植花卉，为了节约成本且满足设计需求，阴影部分的面积要尽可能的小．请问，是否存在符合设计要求的方案？若存在，请直接写出阴影部分面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，且最小值为平方米． 【分析】（）过P作，当点运动到弧的中点时，，此时边上的高最大，即的面积最大，根据三角形的面积公式求解即可； （）当经过圆心时，把此时的记作，过点作于点，连接，证明四边形为矩形，则，由中， ，证明即可； （）根据题意，只需求出的最大值即可．根据圆周角定理可得，作的外接圆，设圆心为，则，过作于，求解、，由（）中结论可求解面积的最大值，再利用旋转性质求解四边形的面积即可求解． 【详解】（）解：如图，过作，当点运动到弧的中点时，，此时边上的高最大，即的面积最大，最大值为， 故答案为：； （）证明：如图，当经过圆心时，把此时的记作，过点作于点，连接， ∵，，， ∴四边形为矩形． ∴． ∵在中，，且， ∴， ∴，即， 故当且仅当经过圆心时，最大； （）解：存在，且最小值为平方米． 根据题意，要使阴影面积最小，只需的面积最大即可，连接， ∵四边形中，，， ∴点、、、四点共圆，，， ∴， 作的外接圆，设圆心为，则， ∴为等腰直角三角形， 过作于， ∵米， ∴ 米，米， 由（）模型归纳可得的最大面积为（平方米）， 将绕着点逆时针旋转得到， 则米，，， ∵， ∴，即、、共线， ∴四边形的面积的面积（平方米）， ∴阴影部分面积的最小值为（平方米）． 【点睛】此题考查了与圆有关的知识、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、线段垂直平分线的性质、旋转的性质、三角形的面积公式等知识，涉及知识点较多，解答的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决最值问题． 7．（2022·陕西西安·校考模拟预测）【学习新知】 （1）如图，已知半径为的外，有一点，满足，则点与上任意一点的连线最小值为______，最大值为______． （2）如图，在中，，，求的最大面积． 【应用新知】 （3）如图，在等边中，，点为中点，点、分别在、上，且，连接、，，请问在内部是否存在一个点，使得，且满足到点A的距离最小，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由．    【答案】（1）学习新知：1；7；（2）；（3）存在，的最小值为 【分析】（1）观察图形可得答案； （2）以为边作等边，使、在的同侧，以为圆心，为半径作，则在上，连接交于，根据等边三角形，得，，即有，是满足条件的点，要使面积最大，只要边上的高取最大值，此时动点运动到优弧的中点位置，可得，，在中，，故CH，从而，即的最大面积为； （3）以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，过作于，过A作于，取中点，以为圆心，为半径作，连接交于，证明∽，可得，又，是等边三角形，即得、、、四点共圆，有，是满足条件的点，当A、、共线时，最小，根据已知可得，，，即可得，，故，即的最小值为． 【详解】解：学习新知： （1）点与上任意一点的连线最小值为，最大值为， 故答案为：；． （2）以为边作等边，使、在的同侧，以为圆心，为半径作，则在上，连接交于，如图：    等边三角形， ，， ，即是满足条件的点， 要使面积最大，只要边上的高取最大值，此时动点运动到优弧的中点位置， ∴， 过圆心， ，， 在中，， ， ， 即的最大面积为； 应用新知： （3）在内部存在一个点，使得，且满足到点A的距离最小，理由如下： 以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，过作于，过A作于，取中点，以为圆心，为半径作，连接交于，如图所示：    是等边三角形， ， ， ， ， ， ∽， ， ，点为中点，， ，， ，即， 为中点， ， ， 是等边三角形， ， ， 、、、四点共圆， ， ，即是满足条件的点， 当A、、共线时，最小， 在中，，， ， ，是中点， ， ， 在中，，， ， ， ， 即的最小值为． 【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及三角形面积，锐角三角函数，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造满足条件的圆，本题难度较大． 8．（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）问题提出 （1）如图1，内接于，，，则的半径为 　　． 问题探究 （2）如图2，已知矩形，，，是矩形内一点，且，连接，求的最小值． 解决问题 （3）如图3，小乐家有一个四边形菜地，他打算种植油菜花，为了提高产量，他计划改造四边形菜地，在改造的过程中始终要满足米，，，且，求改造后四边形菜地面积的最大值．    【答案】（1）；（2）；（3）改造后四边形菜地面积的最大值为24平方米 【分析】（1）作的直径，连接，利用圆周角定理，直角三角形的边角关系定理求得直径的长，则结论可求； （2）利用（1）的条件可得：点在以为弦，所对的圆周角为的圆上运动，设该圆的圆心为，作出，连接，，，与交于点，则当点于点重合时，取得最小值；过点作于点，则，过点作于点，则四边形为矩形，利用垂径定理和矩形的性质得到，的长，再利用勾股定理解答即可得出结论； （3）连接，利用等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质可得：点在以为直径的圆上运动，设，则，，利用三角形的面积公式求得四边形的面积，再利用非负数的性质解答即可得出结论． 【详解】解：（1）作的直径，连接，如图，    为的直径， ， ，， ． 在中， ， ， 的半径为． 故答案为：； （2）， 点在以为弦，所对的圆周角为的圆上运动，设该圆的圆心为，作出，连接，，，与交于点，如图，    则当点于点重合时，取得最小值． 由（1）知：的半径为， ． ，， ， ， ． 过点作于点，则，过点作于点，则四边形为矩形， ，． ， ， ， ， 的最小值； （3）连接，如图，    ，且， ， ， ， 点在以为直径的圆上运动． 设，则，， ，， ． ， ， ， 的最大值为64，当且仅当时， 当时，取得最大值为64， 改造后四边形菜地面积的最大值． 答：改造后四边形菜地面积的最大值为24平方米． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的边角关系定理，矩形的性质，函数的极值，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$