2.垂径定理-中考复习之与圆有关的模型（苏教版）

与圆有关的模型之垂径定理 模型一：垂径定理及其推论 如图，可得①AB过圆心 ②AB⊥CD ③CE=DE ④⑤ 【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的弦不是直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理. 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分. 【1-1】（2023·浙江金华·中考真题）如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点．   (1)求证：四边形为矩形． (2)已知的半径为4，，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可． （2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可． （1）证明：∵与轴相切于点， ∴轴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）如图，连接．   四边形是矩形， ． 在中，， ． 点为圆心，， ． 【点拨】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关键． 【1-2】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接，先证明，，再进一步的利用勾股定理计算即可； 解：如图，连接， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴，而， ∴， ∴， 解得：， ∴拱门所在圆的半径为； 故选B 【1-3】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，是的直径，于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用垂径定理成为解题的关键． 由垂径定理可得,根据直角三角形的性质可得，然后运用勾股定理求得,进而完成解答． 解：∵是的直径，于点， ∴， ∵， ， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 经典题目 1．（2022·河南许昌·统考一模）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（    ） A．AE＝BE B．OE＝DE C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理即可判断． 【详解】解：是的直径，弦于点， ，， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 2．（2023·浙江·模拟预测）如图，是是直径，是弦且不是直径，，则下列结论不一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于, 根据垂径定理有, , 不能得出, 圆的半径都相等. 【详解】解：如图所示， ∵, ∴, , 的半径都相等，那么 , 不能得出. 故选:. 【点睛】本题考查了垂径定理.解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容. 3．（2022·广东佛山·统考一模）如图，⊙O中，半径OC＝2，弦AB垂直平分OC，则AB的长是（　　） A．3 B．4 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据AB垂直平分OC可知OE=OC，由勾股定理即可得到AE，从而得到AB的长； 【详解】如图；连接OA 由圆的性质可知，OA=OC=2 ∵AB垂直平分OC ∴OE=OC=×2=1 根据勾股定理， 由垂径定理可知AE=BE ∴ 【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理等相关知识是解题的关键． 4．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨风华中学校考模拟预测）如图，在中，于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（    ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】B 【分析】根据垂径定理求出AD=BD=3cm即可． 【详解】解：∵AB为非直径的弦，， ∴AD=BD=3cm， ∴AB=AD+BD=6cm． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，掌握垂径定理是解题关键． 5．（2019·新疆乌鲁木齐·校联考一模）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（　　） A． B．2 C．2 D．3 【答案】C 【分析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出△ODB是等腰直角三角形，进而得出答案． 【详解】解：∵半径OC⊥弦AB于点D， ∴， ∴∠E=∠BOC=22.5°， ∴∠BOD=45°， ∴△ODB是等腰直角三角形， ∵AB=4， ∴DB=OD=2， 则半径OB等于：． 故选C． 【点睛】此题主要考查了垂径定理和圆周角定理，正确得出△ODB是等腰直角三角形是解题关键． 6．（2022·河南南阳·统考一模）如图，的半径为4．将的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．则这条劣弧的弧长为 ． 【答案】 【分析】过O作垂直于AB的半径OC，设交点为D，连接,根据折叠的性质可求出OD的长；根据勾股定理可求出AD的长，由垂径定理知AB=2AD，解，求得,即可求得，进而求得劣弧的长． 【详解】解：过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA， Rt△OAD中，OD=CD=OC=2，OA=4， 根据勾股定理，得：AD= =2 ， 故答案 ： 【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、解直角三角形，求弧长，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键 7.22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，的直径垂直弦于点，是圆上一点，是的中点，连结交于点，连结 ． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理． （1）利用证明，即可得到； （2）设，，，在中，利用勾股定理列式计算求得，在中，利用勾股定理即可求解． 解：（1）证明：∵是的中点， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵的直径垂直弦，且， ∴， 设， ∴，， 在中，，即， 解得（负值已舍），即， 在中，． 8.（2023九年级下·全国·专题练习）如图，将半径为的沿折叠，使得折痕垂直半径，当恰好经过的三等分点（靠近端点）时，折痕长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆的基础知识，垂径定理，勾股定理，折叠的性质．根据点经过的三等分可求出、的长，延长交于点，连接，根据折叠的性质可求出的长，根据垂径定理，勾股定理即可求解． 解：延长交于点，连接， ， 为的中点， ，， ，，， ， ， 在中， ， ， ， 故选：A． 9.（2019·四川成都·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC过圆心O，且AC⊥BD，P为BC延长线上一点，PD⊥BD，若AC＝10，AD＝8，则BP的长为 ． 【答案】12． 【分析】根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，根据勾股定理得到CD＝＝6，推出点C是PB的中点，根据直角三角形的性质即可得到结论． 解：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∵AC＝10，AD＝8， ∴CD＝＝6， ∵AC⊥BD， ∴AC平分BD， ∵PD⊥BD， ∴AC∥PD， ∴点C是PB的中点， ∴PB＝2CD＝12， 故答案为12． 【点拨】考查了圆周角定理，垂径定理，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 10.（2023·广东清远·二模）如图，的直径和弦垂直相交于点，，于点，交于点，且，则的半径长为 ．    【答案】 【分析】连接，，，根据垂径定理和圆周角定理得到，，，求出，根据等腰三角形的性质得到，，设，根据勾股定理得，求出即可． 解：连接，，，   的直径和弦垂直相交于点，， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， 即的半径长为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$