1.阿基米德折弦定理-中考复习之与圆有关的模型（苏教版）

与圆有关的模型之阿基米德折弦定理 阿基米德折弦定理：一个圆中一条折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。 如图，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，AB>BC，点M是弧ABC的中点，过点M作MD⊥AB于点D,则AD=DB+BC，AB-BC=2DB。 常见证明方法： 1）截长法：如图，在AD上取一点E，使AE=BC 2）补短法：延长AB至点E，使BE=BC 3）垂线法：过点M作BC垂线交BC延长线于点E 4）作辅助圆法：连接AM、CM，以点M为圆心，MA为半径作⊙M,延长AB交⊙M于点E，连接CE 45．（2020·陕西西安·西北工业大学附属中学校考一模）如图，已知在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD交于点E，EC＝2AE＝4，若BE＝2ED，则BD的最大值为 ．    【答案】 【分析】如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OA，OC，OE，过点O作OH⊥AC于H．解直角三角形求出OE，OB，求出BE的最大值即可解决问题． 【详解】解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OA，OC，OE，过点O作OH⊥AC于H．    ∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝60°， ∴∠AOC＝120°， ∵EC＝2AE＝4， ∴AE＝2， ∴AC＝AE+EC＝6， ∵OA＝OC，OH⊥AC， ∴AH＝HC＝3，EH＝AH﹣AE＝1， ∵∠OAC＝∠OCA＝30°， ∴OH＝AH•tan30°＝， ∴OE＝＝＝2，OA＝2OH＝2， ∴OB＝OA＝2， ∵BE≤OB+OE， ∴BE≤2+2， ∴BE的最大值为2+2， ∵BE＝2DE， ∴DE的最大值为1+， ∴BD的最大值为3+3． 故答案为3+3． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，综合性比较强，能够转化为圆的问题是解题的关键． 46．（2023·陕西咸阳·校考二模）【问题提出】（1）如图①，为的一条弦，圆心O到弦的距离为4，若的半径为7，则上的点到弦的距离最大值为_______； 【问题探究】（2）如图②，在中，为边上的高，若，求面积的最小值； 【问题解决】（3）“双减”是党中央、国务院作出的重大决策部署，实施一年多来，工作进展平稳，取得了阶段性成效，为了进一步落实双减政策，丰富学生的课余生活，某校拟建立一块综合实践基地，如图③，为基地的大致规划示意图，其中，平分交于点，点为上一点，学校计划将四边形部分修建为农业实践基地，并沿铺设一条人行走道，部分修建为兴趣活动基地．根据规划要求，米，．且农业实践基地部分（四边形）的面积应尽可能小，问四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）11；（2）；（3）四边形的面积存在最小值，最小值为平方米 【分析】（1）根据圆的性质直接可得答案； （2）作的外接圆，连接，过点O作于点，设，则，根据垂线段最短可得R的最小值，从而得出的最小值，进而得出答案； （3）过点作于点于点，则，在上截取，连接，利用证明，则，要使四边形的面积最小，只需的面积最小，由（2）同理求出面积的最小值即可． 【详解】解：（1）∵圆心O到弦的距离为4，若的半径为7， ∴上的点到弦的距离最大值为， 故答案为：11； （2）作的外接圆，连接，过点O作于点，如图．        ． 设，则， 由，得，即， ∴， ， ． 即面积的最小值为 （3）过点作于点于点， ∵平分， ∴． 又， ． 米，，， 为等腰直角三角形， ∴米， （平方米）， 平方米． 在上截取，连接，如图．    ， ， ， 要使四边形的面积最小，只需的面积最小． ， ， 作的外接圆，如图，连接，作于点， 则， ∴． 设，则． 由，得，解得， 米， （平方米）， （平方米）． 即四边形的面积存在最小值，最小值为平方米． 【点睛】本题考查了圆的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，交平分线的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，将四边形面积最小问题转化为三角形面积最小是解题的关键． 47．（2020·陕西·统考二模）问题探究 （1）如图1．在中，，为上一点，．则面积的最大值是_______． （2）如图2，在中，，为边上的高，为的外接圆，若，试判断是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．          问题解决： 如图3，王老先生有一块矩形地，，，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘，且满足点在上，，点在上，且，点在上，点在上，，这个四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】问题探究：（1）24；（2）存在，的最小值为；问题解决：存在，144 【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）如图2中，连接，，，作于．设．求出的最小值即可解决问题； （3）如图3中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆．由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大． 【详解】解：（1）当时，面积的最大， 则面积的最大值是， 故答案为：24； （2）如图中，连接，，，作于．设， ∵，，， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为1， ∵， ∴的最小值为； （3）如图中，连接，，延长交的延长线于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将顺时针旋转得到，作的外接交于， 连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴， 由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积的最大值 ． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 48．（2023·重庆·模拟预测）在直角中，，，点D是外一点，连接，以为边作等边． (1)如图1，当点F在线段上，交于点M，且平分，若，求的面积； (2)如图2，连接并延长至点E，使得，连接、、，证明：； (3)如图3，旋转使得落在的角平分线上，M、N分别是射线、上的动点，且始终满足，连接，若，请直接写出的面积最小值． 【答案】(1)； (2)见解析； (3) 【分析】（1）过点M作交于点N，设，则，，解得，从而求得； （2）延长至M，使得，连接，，证，，则，，从而证得； （3）过点D作于点H，过点D作于点G，过点D作交延长线于点K，证，运用定角定高模型进行分析． 【详解】（1）解：如图1，过点M作交于点N， ∴是等边三角形，， ∴． ∵在直角中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 设， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故． （2）证明：如图2，延长至M，使得，连接，， 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即． 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图3，过点D作于点H，过点D作于点G，过点D作交延长线于点K， ∵，平分，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴． 在中， ∵，，， ∴， ∵，，， 过点A作于点Q， ∴，， ∴，． 对于，， ∵， ∵， ∴当有最小值时，即最小， ∵， ∴最小，也即最小． ∵，， ∴当过外接圆圆心时，有最小值，即有最小值，也即有最小值，此时， ∵，， ∴， 即当是等边三角形时，的面积最小，为． 此时，由图形对称性可得，， 故的面积最小值为． 【点睛】本题是图形综合题，考查了锐角的三角函数值，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，定角定高模型，综合运用以上几何性质是解题关键． 49．（2016上·江苏无锡·九年级阶段练习）若一个三角形的三个顶点均在一个图形的不同的边上，则称此三角形为该图形的内接三角形． （1）在图①中画出△ABC的一个内接直角三角形； （2）如图②，已知△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AB＝8，AD为BC边上的高，探究以D为一个顶点作△ABC的内接三角形，其周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； （3）如图③，△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝６，试探究：△ABC的内接等腰直角三角形的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析（2）存在，（3） 【详解】试题分析：（1）根据要求画图即可，体现内接的特点； （2）如解图②，分别作点D关于AB、AC的轴对称点、，连接，交AB、AC于点E、F， 连接DE、DF，则△DEF即为周长最小的内接三角形，然后过点A作AH⊥EF于点H，根据对称性求解即可； （3）分两种情况讨论：①当内接等腰直角三角形的直角顶点在斜边AB上时；②当内接等腰直角三角形的直角顶点在直角边上时． 试题解析：（1）如解图①，△DEF为所求作的三角形（答案不唯一）； （2）存在． 如解图②，分别作点D关于AB、AC的轴对称点、，连接，交AB、AC于点E、F， 连接DE、DF，则△DEF即为周长最小的内接三角形， 的长即为最小周长． ∵AB＝８，∠Ｂ＝45°，AD⊥BC，∴AD＝AB·si45°＝． ∵点D关于AB、AC的轴对称点分别为、， ∴AD′＝＝AD＝，∠＝2∠BAC＝120°, 过点A作AH⊥EF于点H， 在Rt△中，∠＝30°, ∴＝·cos30°＝, ∴△DEF周长的最小值为； （3）分类讨论： ①当内接等腰直角三角形的直角顶点在斜边AB上时， 如解图③，∵∠ACB＝∠EDF＝90°， 以EF为直径画圆，则点Ｃ、Ｄ在圆上， 连接CD，∵DE＝DF， ∴∠ACD＝∠BCD，又∵AC＝BC， ∴CD是AB边上的中线，点D是AB边的中点， 过点D作DE′⊥AC，DF′⊥BC，此时，DE′、DF′最短． 当点E与E′重合，点F与F′重合时，△DEF的面积最小， 此时四边形CEDF为矩形． 设DE＝x，则BC＝2DE＝2x＝6， ∴x＝3，∴S最小＝； ②当内接等腰直角三角形的直角顶点在直角边上时，如解图④， 过点F作FG⊥BC于点G，设DG＝y，GF＝x，易证△CDE≌△GFD， ∴CD＝FG＝x， ∵∠B＝45°，FG⊥BC， ∴GB＝GF＝x， ∴BC＝CD＋DG＋GB＝2x＋y＝6，即y＝6－2x． 故当x=时， ∵, ∴△DEF的面积存在最小值，其最小值为． 考点：1．三角形的内接三角形，2．二次函数及最值问题 50．（2022·陕西西安·统考二模）【问题研究】 （1）若等边边长为4，则的面积为______； （2）如图1，在中，，为边上的高，若，试判断的面积是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【问题解决】 （3）如图2，四边形中，，，，，点E、F分别为边上的动点，且，求四边形面积的最大值．    【答案】（1）（2）存在最小值，最小值是（3） 【分析】（1）过点C作于D，等边边长为4，可得，在中，由勾股定理，求出，利用面积公式计算即可； （2）由为边上的高，，设，，，过A作于D，利用面积可得，由三角函数求，，，在中由勾股定理得，仅当时取等号，即为等边三角形时即可； （3）延长至M，使得，连接，过点作于点H，证明，得，，，由角的和差得，则，延长交于点G，过点G作于K，根据，由，当最小时，最大，作的外接圆，连接，过点O作于R，求出面积的最小值，即可得四边形面积的最大值． 【详解】解：（1）过点C作于D，      等边边长为4， ， 在中，由勾股定理得，即， 解得：， ， 故答案为：； （2）为边上的高，若， 设，，，过A作于E，      ， ， 又，， ， 在中， 由勾股定理得，即， ， 仅当时取等号，即为等边三角形时， ， ， ； （3）延长至M，使得，连接，过点作于点H，    ， ， ， ， ， ， ，，， ，即， ， ， ， ， 延长交于点G，过点G作于K，    ，，， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ∴当最小时，最大，作的外接圆，连接，过点O作于R，    ， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 面积的最小值为， 四边形面积的最大值为 【点睛】本题属于四边形综合题，考查等边三角形的面积，三角形面积最小值，四边形面积最大值，涉及的知识多，等边三角形性质，三角函数综合，三角形全等判定与性质，图形旋转变换，不等式性质，直角三角形性质，勾股定理，三点共线，难度相当大，利用辅助线准确作出图形是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$