精品解析：上海市民办上宝中学2024-2025学年九年级下学期数学第一次月考试题

25届初三（下）数学巩固练习1 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列根式中，的同类二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查同类二次根式，解题关键在于先化简． 化简各选项后根据同类二次根式的定义判断． 【详解】解：A． 与被开方数不同，故不是同类二次根式； B． 与被开方数不同，故不是同类二次根式； C． 与被开方数相同，故是同类二次根式； D． 与被开方数不同，故不是同类二次根式． 故选C． 2. 已知，下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，易错在不等式的基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．不等式性质：基本性质1．不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变．基本性质2．不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变．基本性质3．不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据性质逐一分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故不符合题意； B． ∵， ∴， ∴，故符合题意； C．∵， ∴，故不符合题意； D． ∵， ∴，故不符合题意． 故选：B． 3. 当k＜0，b＜0时，一次函数y=kx+b的图像不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先根据k判断是经过一三象限还是二四象限，然后再根据b的值判断在y轴的哪半轴，从而得出结果． 【详解】解：∵k＜0， ∴函数图像经过第二四象限， ∵b＜0， ∴图像与y轴负半轴相交， ∴图像经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，解题的关键是根据一次函数的解析式判断其经过的象限． 4. 已知一组数据a，2，4，1，6的中位数是4，那么a可以是（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中位数的定义，属于基本题型，熟知中位数的概念是解题的关键．根据中位数的定义先确定从小到大排列后a的位置，再解答即可． 【详解】解：根据题意，a的位置按照从小到大的排列是：1，2，4，a，6或1，2，4，6，a； ∴． ∴D符合题意 故选D． 5. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 四条边相等的四边形是正方形 B. 四个内角相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项不符合题意； B、四个内角相等的四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是是菱形，不一定是正方形，故本选项不符合题意； D、对角线互相垂直的矩形是正方形，命题正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，半径为1的圆O1与半径为3的圆O2相内切，如果半径为2的圆与圆O1和圆O2都相切，那么这样的圆的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】分析： 过O1、O2作直线，以O1O2上一点为圆心作一半径为2的圆，将这个圆从左侧与圆O1、圆O2同时外切的位置（即圆O3）开始向右平移，观察图形，并结合三个圆的半径进行分析即可得到符合要求的圆的个数. 详解：如下图，（1）当半径为2的圆同时和圆O1、圆O2外切时，该圆在圆O3的位置； （2）当半径为2的圆和圆O1、圆O2都内切时，该圆在圆O4的位置； （3）当半径为2的圆和圆O1外切，而和圆O2内切时，该圆在圆O5的位置； 综上所述，符合要求的半径为2的圆共有3个. 故选C. 点睛：保持圆O1、圆O2的位置不动，以直线O1O2上一个点为圆心作一个半径为2的圆，观察其从左至右平移过程中与圆O1、圆O2的位置关系，结合三个圆的半径大小即可得到本题所求答案. 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式的除法，熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是关键． 根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 在实数范围内因式分解__________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案是：． 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，掌握是解题的关键． 9. 函数的定义域是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式即可． 【详解】解：根据题意可得，＞0， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，解题关键是熟练运用相关性质列不等式，确定自变量的取值范围． 10. 若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 11. 布袋中有大小、质地完全相同的5个小球，每个小球上分别标有数字1，2，3，4，5，如果从布袋中随机抽一个小球，那么这个小球上的数字是合数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．求出事件全部结果数及摸出的小球所标数字是合数的全部结果数，由概率计算公式即可求得答案． 【详解】解：∵共五个数，合数为4，共1个， ∴从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是合数的概率为， 故答案为：． 12. 根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为x，根据题意可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据上海市2021年及2023年我国国民生产总值，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故答案为：． 13. 近年来越来越多的“社区食堂”出现在街头巷尾，它们是城市服务不断丰富的缩影．已知某社区食堂推出了15元、18元、20元三种价格的套餐，每人限购一份．据统计，3月16日该食堂销售套餐共计160份，其中15元的占总份数的40%，18元的卖出40份，其余均为20元，那么食堂这一天卖出一份套餐的平均价格是______元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是加权平均数的含义，用各自的单价乘以各自的权重即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴20元的占比， ∴食堂这一天卖出一份套餐的平均价格是 （元）， 故答案为： 14. 如图，在中，，的垂直平分线交边于点D，如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，求解锐角的正切，如图，连接，设，可得，求解，再利用正切的定义可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，设， ∴， ∵的垂直平分线交边于点D， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为． 15. 如图，已知一张正方形纸片边长为6厘米，将这个正方形纸片剪去四个角后成为一个正八边形，那么这个正八边形的边长是______厘米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，读懂题目信息，根据正方形的边长列出方程是解题的关键． 设正八边形的边长为，表示出剪掉的等腰直角三角形的直角边，再根据正方形的边长列出方程求解即可． 【详解】解：如图 设正八边形的边长为，则剪掉的等腰直角三角形的直角边为， 正方形的边长为， ， 解得， 故答案为：． 16. 如图，在中，上的中线相交于点F，如果，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，先证明，再证明，则，证明，则， 设，则，得到（负值舍去），进一步得到，则，即可得到答案． 【详解】解：过点E作于点H， ∴， ∵上的中线相交于点F， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ 设，则， ∴， ∴（负值舍去）， ∴ ∴， ∴ ∴ 故答案为： 17. 在中，，D为边上一动点，将绕点D旋转，使点A落在边上的点E处，过点E作交边于点F，连接，当是等腰三角形时，线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，先求解，，再判断为等腰三角形时，只有，再证明，再利用勾股定理建立方程可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵为直角三角形， ∴当为等腰三角形时，只有， 如图，设时，而， ∴，， 由旋转可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，即； 故答案为：． 18. 已知矩形中，，以为半径的圆A和以为半径的圆C相交于点D、E，如果点E到直线的距离不超过3，设的长度为m，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，当在的左侧时，连接，，，过作于，作于，如图，当在的右侧时，连接，，，过作于， 交于，再分别求解的值，从而可得答案． 【详解】解：如图，当在的左侧时，连接，，，过作于，作于， ∵矩形，，， ∴四边形为矩形，，， ∴，， ∴， ∵，为圆心， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 解得：； 如图，当在的右侧时，连接，，，过作于， 交于， ∵矩形，，， ∴，，四边形为矩形， ∴， 同理可得： ，， ∵， ∴， ∴， ∵ 在中，， ∴， 综上：点E到直线的距离不超过3，则； 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，勾股定理的应用，两圆的位置关系，线段的垂直平分线的性质，确定临界点是解本题的关键． 三、解答题（本大题共7题，19-22每题10分，23-24每题12分，25题14分，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分数指数幂的运算，二次根式的混合运算，整数指数幂的运算，掌握运算法则是解本题的关键，先计算负整数指数幂，零次幂，分数指数幂，化简绝对值，再合并即可． 详解】解： ； 20. 解方程组：． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是二元二次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，先把方程组化为或，再解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 由②得：， ∴， ∴或， ∴或， 解得：或． 21. 如图，已知是的直径，弦与相交于点E，． （1）求的值； （2）求点A到弦距离． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，过点O作，根据圆周角定理及直角三角形斜边中线的性质与垂径定理得出，再由相似三角形的判定和性质确定，，由正弦函数的定义求解即可； （2）过点A作，利用相似三角形的判定和性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接，过点O作， ∵是的直径，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 过点A作， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴求点A到弦的距离为6． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理，会利用相似三角形的判定与性质求线段长是解答的关键． 22. 小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图1、图2所示，花洒安装在离地面高度厘米的A处，花洒的长度为厘米． （1）已知花洒与墙面所成的角，求当花洒喷射出的水流与花洒成的角时，水流喷射到地面的位置点C与墙面的距离．（结果保留根号） （2）某店铺代理销售这种花洒，上个月的销售额为元，这个月由于店铺举行促销活动，每个花洒的价格比上个月便宜0元，因此比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了元，求这个此款花洒的原价是多少元？ 【答案】（1） （2）120元 【解析】 【分析】（1）过点A作AH⊥CD于点H，过点B作于点E，构造出矩形ABHE，，然后解直角三角形求解， （2）设此款花洒的原价是元，根据比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了400元列分式方程即可求解． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为点，过作，垂足为点， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中， ， ， ∴，， 在中，， ∴流喷射到地面的位置点C与墙面的距离， 【小问2详解】 设此款花洒的原价是元，根据比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了400元，列方程得： ， 解得：， 经检验：是方程的解， 答：这个此款花洒的原价是120元． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用和分式方程的应用，熟记理解题意，明确每一个量的意义是解题的关键． 23. 如图，在扇形中，点、在上，，点、分别在半径、上，，连接、． （1）求证：； （2）设点为的中点，连接、、，线段交于点、交于点．如果，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先证出，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先证出，从而可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，同理可得，根据平行线的判定可得，然后根据矩形的判定即可得证． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即， ∴， 由圆的性质得：， 在和中， ， ∴， ∴． 小问2详解】 证明：由题意，画出图形如下： ∵点为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）已得：， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一、矩形的判定等知识，熟练掌握弧与圆心角的关系是解题关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点、，与x轴的负半轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式及点C的坐标； （2）设点D在该抛物线上（位于对称轴右侧部分），连接． ①如果与线段交于点E，且，求的正切值； ②如果与y轴交于点F，以为半径的，与以为半径的外切，求点D的坐标． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）把点、代入抛物线解析式可求解，然后令可求点C的坐标； （2）①根据题意作图，则过点E作于点G，然后可得，则根据相似三角形的性质可得点E坐标，进而问题可求解；②由题意可知，然后过点D作于点H，设点，则有，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：把点、代入抛物线解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 令，则有， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：①如图所示： 过点E作于点G， ∴， ∴， ∴， ∵点、， ∴，即是等腰直角三角形， ∵， ∴，即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴； ②如图所示： ∵以为半径的与以为半径的外切， ∴与相切于点F，即， 过点D作于点H， ∴，， ∴， ∴， 设点，则有，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 当点D在x轴的下方时，显然，所以以为半径的与以为半径的不会外切． 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系及二次函数的综合，熟练掌握圆与圆的位置关系及二次函数的综合问题是解题的关键． 25. 如图，在梯形中，,,,,点为边上一动点，作⊥,垂足在边上，以点为圆心，为半径画圆，交射线于点. （1）当圆过点时，求圆的半径； （2）分别联结和，当时，以点为圆心，为半径的圆与圆相交，试求圆的半径的取值范围； （3）将劣弧沿直线翻折交于点,试通过计算说明线段和的比值为定值，并求出次定值. 【答案】（1）x=3 （2） （3） 【解析】 【分析】(1)作AM⊥BC、联结AP，由等腰梯形性质知BM=4、AM=3，据此知tanB=tanC= ，从而可设PH=3k，则CH=4k、PC=5k，再表示出PA的长，根据PA=PH建立关于k的方程，解之可得； (2)由PH=PE=3k、CH=4k、PC=5k及BC=9知BE=9−8k，由△ABE∽△CEH得 ，据此求得k的值，从而得出圆P的半径，再根据两圆间的位置关系求解可得； (3)在圆P上取点F关于EH的对称点G，联结EG，作PQ⊥EG、HN⊥BC，先证△EPQ≌△PHN得EQ=PN，由PH=3k、HC=4k、PC=5k知sinC= 、cosC= ，据此得出NC= k、HN=k及PN=PC−NC=k，继而表示出EF、EH的长，从而出答案． 【详解】(1)作AM⊥BC于点M，联结AP，如图1， ∵梯形ABCD中，AD//BC，且AB=DC=5、AD=1、BC=9， ∴BM=4、AM=3， ∴tanB=tanC=， ∵PH⊥DC， ∴设PH=3k，则CH=4k、PC=5k， ∵BC=9， ∴PM=BC−BM−PC=5−5k， ∴AP=AM+PM=9+(5−5k) ， ∵PA=PH， ∴9+(5−5k) =9k， 解得：k=1或k=， 当k= 时，CP=5k= >9，舍去； ∴k=1， 则圆P的半径为3． (2)如图2， 由(1)知，PH=PE=3k、CH=4k、PC=5k， ∵BC=9， ∴BE=BC−PE−PC=9−8k， ∵△ABE∽△CEH， ∴ ，即 ， 解得：k= ， 则PH= ，即圆P的半径为， ∵圆B与圆P相交，且BE=9−8k= ， ∴<r<； (3)在圆P上取点F关于EH的对称点G，联结EG，作PQ⊥EG于G，HN⊥BC于N， 则EG=EF、∠1=∠3、EQ=QG、EF=EG=2EQ， ∴∠GEP=2∠1， ∵PE=PH， ∴∠1=∠2， ∴∠4=∠1+∠2=2∠1， ∴∠GEP=∠4， ∴△EPQ≌△PHN， ∴EQ=PN， 由(1)知PH=3k、HC=4k、PC=5k， ∴sinC= 、cosC= ， ∴NC= k、HN= k， ∴PN=PC−NC= k， ∴EF=EG=2EQ=2PN= k，EH= ， ∴， 故线段EH和EF的比值为定值． 【点睛】此题考查全等三角形的性质，相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，解题关键在于作辅助线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 25届初三（下）数学巩固练习1 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列根式中，的同类二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，下列不等式成立的是（ ） A B. C. D. 3. 当k＜0，b＜0时，一次函数y=kx+b的图像不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知一组数据a，2，4，1，6的中位数是4，那么a可以是（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 5 5. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 四条边相等的四边形是正方形 B. 四个内角相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 6. 如图，半径为1圆O1与半径为3的圆O2相内切，如果半径为2的圆与圆O1和圆O2都相切，那么这样的圆的个数是 （ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：______． 8. 在实数范围内因式分解__________ 9. 函数的定义域是__________． 10. 若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是________． 11. 布袋中有大小、质地完全相同的5个小球，每个小球上分别标有数字1，2，3，4，5，如果从布袋中随机抽一个小球，那么这个小球上的数字是合数的概率是______． 12. 根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为x，根据题意可列方程______． 13. 近年来越来越多的“社区食堂”出现在街头巷尾，它们是城市服务不断丰富的缩影．已知某社区食堂推出了15元、18元、20元三种价格的套餐，每人限购一份．据统计，3月16日该食堂销售套餐共计160份，其中15元的占总份数的40%，18元的卖出40份，其余均为20元，那么食堂这一天卖出一份套餐的平均价格是______元． 14. 如图，在中，，的垂直平分线交边于点D，如果，那么______． 15. 如图，已知一张正方形纸片的边长为6厘米，将这个正方形纸片剪去四个角后成为一个正八边形，那么这个正八边形的边长是______厘米． 16. 如图，在中，上的中线相交于点F，如果，那么的值为______． 17. 在中，，D为边上一动点，将绕点D旋转，使点A落在边上的点E处，过点E作交边于点F，连接，当是等腰三角形时，线段的长为______． 18. 已知矩形中，，以为半径的圆A和以为半径的圆C相交于点D、E，如果点E到直线的距离不超过3，设的长度为m，则m的取值范围是______． 三、解答题（本大题共7题，19-22每题10分，23-24每题12分，25题14分，满分78分） 19. 计算：． 20. 解方程组：． 21. 如图，已知是的直径，弦与相交于点E，． （1）求的值； （2）求点A到弦的距离． 22. 小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图1、图2所示，花洒安装在离地面高度厘米的A处，花洒的长度为厘米． （1）已知花洒与墙面所成角，求当花洒喷射出的水流与花洒成的角时，水流喷射到地面的位置点C与墙面的距离．（结果保留根号） （2）某店铺代理销售这种花洒，上个月的销售额为元，这个月由于店铺举行促销活动，每个花洒的价格比上个月便宜0元，因此比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了元，求这个此款花洒的原价是多少元？ 23. 如图，扇形中，点、在上，，点、分别在半径、上，，连接、． （1）求证：； （2）设点为的中点，连接、、，线段交于点、交于点．如果，求证：四边形是矩形． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点、，与x轴的负半轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式及点C的坐标； （2）设点D在该抛物线上（位于对称轴右侧部分），连接． ①如果与线段交于点E，且，求的正切值； ②如果与y轴交于点F，以为半径的，与以为半径的外切，求点D的坐标． 25. 如图，在梯形中，,,,,点为边上一动点，作⊥,垂足在边上，以点为圆心，为半径画圆，交射线于点. （1）当圆过点时，求圆的半径； （2）分别联结和，当时，以点为圆心，为半径的圆与圆相交，试求圆的半径的取值范围； （3）将劣弧沿直线翻折交于点,试通过计算说明线段和的比值为定值，并求出次定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$