精品解析：江苏省苏州市相城区苏州国裕外语学校2024-2025学年高二下学期3月阶段检测数学试题

苏州国裕2024-2025学年第二学期3月阶段检测 高二数学 总 分：150 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 3. 从集合非空子集中随机选择两个不同的集合，则的种数为（ ） A. 8 B. 3 C. 6 D. 7 4. 如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金､木､水､火､土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生水，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ） A. 3125 B. 1000 C. 1040 D. 1020 7. 若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 罗尔中值定理是微分学中的一个重要定理，与拉格朗日中值定理和柯西中值定理一起并称微分学三大中值定理.罗尔中值定理：若定义域为的函数的导函数记为，且函数满足条件①在闭区间上连续；②在开区间内可导；③.那么至少存在一个使得.已知函数，在区间内有零点，其中，是自然对数的底数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数那么下列说法正确的是（ ） A. ，在点处有相同的切线 B. 函数有一个极值点 C. 对任意恒成立 D. ，的图象有且只有两个交点 10. 在1，2，3，…，10中随机选出两个不同的数字a，b，则（ ） A. 被3整除的概率为 B. 被3整除的概率为 C. 被3整除概率为 D. 被3整除的概率为 11. 已知函数的极值点从小到大依次为，，，，是的导函数，则（    ） A. B. C. 是的极小值点 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，，则的最小值为________________. 13. 已知曲线上一点，则过点曲线的切线方程为________. 14. 已知函数，且，则实数的取值范围是_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 已知函数，且当时，有极值－5． （1）求的值； （2）求在上的值域． 16. 用0、1、2、3、4、5这六个数字，组成没有重复数字的五位数，在下列情况中，各有多少个？ （1）奇数； （2）能被5整除； （3）比35142小． 17. 已知函数是偶函数，且经过点. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设曲线在点处的切线与轴交于点，与轴交于点为坐标原点，求的最小值. 18. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线平行于直线．求； （2）若且函数只有一个极值点.求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 19. 设函数． （1）求函数的单调区间； （2）若有两个零点，， ①求a取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州国裕2024-2025学年第二学期3月阶段检测 高二数学 总 分：150 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导函数，再根据计算可得. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故选：A 2. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的运算法则以及复合函数求导法则可求出原函数的导数. 【详解】 ． 故选：B. 3. 从集合的非空子集中随机选择两个不同的集合，则的种数为（ ） A. 8 B. 3 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合的非空子集再分当和时分类求解. 【详解】集合的非空子集有共7个， 从7个中选两个不同的集合A，B，共有种选法， 因为， 当时，则可为共3种， 当时，共1种， 同理当时，则可为共3种， 当时，共1种， 则符合的共有种， 故选：A. 4. 如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图设溶液高度和液面半径，用表示液体体积得到方程，求出，依题，对其求导，赋值即得时液体高度的瞬时变化率. 【详解】 设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为，液面半径为，如图可得， ,则，即， 则由，解得. 由，当时，， 即时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为. 故选：A. 5. 已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值列出不等式求参数范围. 【详解】对函数求导得，，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且时时， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A. 6. 五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金､木､水､火､土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生水，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ） A. 3125 B. 1000 C. 1040 D. 1020 【答案】D 【解析】 【分析】根据不邻区域是否同色进行分类，确定涂色顺序再分步计数即可. 【详解】五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件. 五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色. 故问题转化为如图五个区域， 有种不同的颜色可用，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即色区域的环状涂色问题. 分为以下两类情况： 第一类：三个区域涂三种不同的颜色， 第一步涂区域， 从种不同的颜色中选种按序涂在不同的个区域上，则有种方法， 第二步涂区域，由于颜色不同，有种方法， 第三步涂区域，由于颜色不同，则有种方法， 由分步计数原理，则共有种方法； 第二类：三个区域涂两种不同颜色， 由于不能涂同一色，则涂一色，或涂同一色，两种情况方法数相同. 若涂一色， 第一步涂区域，可看成同一区域，且区域不同色， 即涂个区域不同色， 从种不同的颜色中选种按序涂在不同的个区域上，则有种方法， 第二步涂区域，由于颜色相同，则有种方法， 第三步涂区域，由于颜色不同，则有种方法， 由分步计数原理，则共有种方法； 若涂一色，与涂一色的方法数相同， 则共有种方法. 由分类计数原理可知，不同的涂色方法共有种. 故选：D. 7. 若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数导数，利用导函数小于0在上有解求解即得. 【详解】函数，求导得， 由函数在上存在单调递减区间，得在上有解， 即不等式在上有解， 而函数在上单调递减，当时，，则， 所以的取值范围是. 故选：D 【点睛】结论点睛：若函数在区间上存在单调递增区间，则，使得成立；若函数在区间上存在单调递减区间，则，使得成立. 8. 罗尔中值定理是微分学中的一个重要定理，与拉格朗日中值定理和柯西中值定理一起并称微分学三大中值定理.罗尔中值定理：若定义域为的函数的导函数记为，且函数满足条件①在闭区间上连续；②在开区间内可导；③.那么至少存在一个使得.已知函数，在区间内有零点，其中，是自然对数的底数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由和，根据罗尔中值定理可知，存在，，使，，故在上至少有两个不等实根，令，分类讨论函数零点个数，从而得解. 【详解】依题意设在区间内的零点为，则有, 由罗尔中值定理可知，存在，使， 同理，由及罗尔中值定理可知，存在，使， 故在上至少有两个不等实根， 令， 则，显然在上单调递增, 当，时，，此时在上单调递增， 故在上至多只有一个实根； 同理可知，当，时，，此时在上单调递减， 故在上至多只有一个实根； 当时，令，可得， 易知，且在上单调递减，在单调递增， 故当且时，； 又， 故， 则由零点存在性定理知，故. 故选：D 【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数那么下列说法正确的是（ ） A. ，在点处有相同的切线 B. 函数有一个极值点 C. 对任意恒成立 D. ，的图象有且只有两个交点 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用导数证明切线斜率不同否定即可，对于B，构造新函数，用导数判断极值点即可，对于C，举反例否定即可，对于D，先将交点问题转化为零点问题，求出确定的零点，并证明其唯一性，再利用零点存在性定理找到另一个零点即可. 【详解】对于A，，，，故A错误. 对于B，令，， 令，，令，， 所以在上单调递减；在上单调递增， 所以有极小值，无极大值， 故函数有一个极值点，故B正确: 对于C，，显然，故C错误: 对于D，若，的图象有且只有两个交点，则有2个零点， ，结合， 显然，故是函数的一个零点，而易知， 且在上单调递减，故在该区间上不存在其它零点， 而易知在上单调递增，且， 故由零点存在性定理得一定存在作为零点， 综上有2个零点，也即，的图象有且只有两个交点，故D正确. 故选：BD 10. 在1，2，3，…，10中随机选出两个不同的数字a，b，则（ ） A. 被3整除的概率为 B. 被3整除的概率为 C. 被3整除的概率为 D. 被3整除的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】在1，2，3，…，10中，把数分成被3整除、被3除余1和被3除余2三个类型，由被3整除和被3整除，分类讨论取值的类型，利用古典概型的概率公式计算. 【详解】在1，2，3，…，10中，被3整除的有3个，被3除余1 的有4个，被3除余2的有3个， 在1，2，3，…，10中随机选出两个不同的数字a，b，基本事件总数 种， 被3整除，则都能被3整除或一个被3除余1 一个被3除余2，共种选法， 被3整除的概率为，故A选项正确，B选项错误； 在1，2，3，…，10中选出数字a，当a被3整除，有被3整除，其余情况被被3除余1，则中，被3整除的3个，被3除余1 的有7个， 被3整除，则都能被3整除或被3除余1且被3除余2，共种选法， 被3整除的概率为，故C选项正确，D选项错误； 故选：AC 11. 已知函数的极值点从小到大依次为，，，，是的导函数，则（    ） A. B. C. 是的极小值点 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对函数求导，为研究导函数的正负，构造函数，通过对其求导，分段讨论研究函数的单调性，进而研究函数的极值点，判断各个选项即可. 【详解】，定义域为， 则，. 因为，所以，而， 所以，故选项A正确； 令，则. ①考虑的情况： 当时，；当时，； 则函数在上单调递增，在上单调递减. 又，，当且时，， 则存在，使得， 当时，， 此时，则，故； 当时，， 此时，则，故. ②考虑的情况： 当时，，，且等号不能同时取得， 则，此时. 结合①可知，在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，可知，故选项B错误； ③考虑的情况： 当时，；当时，； 则函数在上单调递增，在上单调递减， ，，当且时，， 则存在，使得， 当时，， 此时，则，此时； 当时，， 此时，则，此时； ④考虑的情况： 当时，，，且等号不能同时取得， 则，此时； 结合③可知，在上单调递减，在上单调递增， 综上，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 可知，即是的极小值点，故选项C正确； ⑤考虑的情况： 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 同①可知，存在，使得， 当时，，此时； 当时，，此时； 综合可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 可知. 由题可知，，. 令，， 则，可得， ，可得， 由可得，则， 则，即， . 又，则，，， 可得，即， 则， 即，即， 可得. 又，，函数在上单调递减， 所以，即， 可得，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，，则的最小值为________________. 【答案】 【解析】 【分析】求导后结合正弦函数的取值分析即可. 【详解】因为，令，可得，而，， 所以，，函数单调递减；，，函数单调递增， 所以时函数最小为值， 所以函数在的最小值分别为. 故答案为：. 13. 已知曲线上一点，则过点的曲线的切线方程为________. 【答案】和 【解析】 【分析】设过点的切线与曲线相切于点，然后根据曲线在点处切线的斜率列出切线方程，根据切线过点，求出切点坐标，从而可求出切线方程． 【详解】，设过点的切线与曲线相切于点， 曲线在点处切线斜率为， 可得切线的方程为，代入点， 可得， 解得，或， 故切点分别为和， 过点的切线方程为或， 所以过点的切线方程有两条：和． 故答案为和 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查了计算能力和转化的思想，解曲线的切线问题要特别注意是“在”还是“过”点，属于中档题． 14. 已知函数，且，则实数的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】令，先求出为奇函数，再求导，然后令，求导分析其单调性进而得到的单调性，最后解抽象函数不等式即可. 【详解】令，定义域为， ， 所以为奇函数， 又， 当时，令， 则有， 因为，所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以，所以在上单调递增， 又因为为奇函数，所以在上单调递增， 所以， 所以， 所以，即，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够发现为奇函数，并利用导数来分析其单调性. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，且当时，有极值－5． （1）求的值； （2）求在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求导函数，再根据极值点列方程求解即可； （2）求出导函数，根据导函数正负得出单调性写出极值和最值即可得出值域. 【小问1详解】 由，得， 又当时，有极值－5，所以，解得 所以，当时，单调递减；当时，单调递增． 所以当时，有极小值． 所以． 【小问2详解】 由（1）知． 令，得， 的值随的变化情况如下表： －4 －1 3 4 + 0 － 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值－5 单调递增 由表可知在上的最大值为，最小值为， 即在上的值域为． 16. 用0、1、2、3、4、5这六个数字，组成没有重复数字的五位数，在下列情况中，各有多少个？ （1）奇数； （2）能被5整除； （3）比35142小． 【答案】（1）288 （2）216 （3）347 【解析】 【分析】（1）由分步计算原理，分别求出各步的方法种数，然后得到结果； （2）由分类计数原理，先求出各类方法种数，然后得到结果； （3）由分类和分步计算原理，求出各类情况方法种数，然后得到结论. 【小问1详解】 得到一个五位奇数，可以分3步： 第一步，定个位数，从1、3、5中任选一个，有3种方法； 第二步，定首位，从余下除0外的4个数中任选一个，有4种方法； 第三步，定其余位数，从余下4个数中任选3个按序排上，有种方法. 由分步计数原理得，共有个这样的五位数. 【小问2详解】 被5整除且无重复数字的五位数，个数上的数有2类情况： 第一类，当个数上的数字是0时，其他数位上的数有个； 第二类，当个数上的数字是5时，先确定最高数位上的数，有种方法，而后确定其他三个数位上的数有种方法，所以共有个数， 由分类计算原理共有个这样的五位数． 【小问3详解】 得到比35142小的一个五位数，可分4类： 第一类，首位比3小的，即首位为1或2， 其余位置从5个中任选4个排列，有个， 第二类，首位是3，千位比5小的，即千位为1、2、3、4任选1个， 其余位置从4个数中任选3个排列，有个， 第三类，当首位为3千位为5，且百位比1小的，即百位为0， 从余下3数中任选2个按序排在个位与十位，则有个， 第四类，当首位为3千位为5百位为1， 满足题意的数有35140，35124，35120，35102，35104，共5个， 由分类计数原理，所以共有个这样的五位数． 17. 已知函数是偶函数，且经过点. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设曲线在点处的切线与轴交于点，与轴交于点为坐标原点，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数及函数经过的点求解函数解析式；然后利用导数求解切线斜率，进而求解切线方程； （2）首先借助导数求解切线方程，表示出、点的坐标，进而可得三角形面积表达式，然后分及两种情况分类讨论，借助导数求解面积的最小值即可. 【小问1详解】 由是偶函数，可得：，即，可得； 又及，解得：， 所以，所以. 由，可知切线斜率，又， 所以切线方程为，整理得：. 【小问2详解】 由（1）可知， 所以曲线在点处的切线斜率是. 又，所以切线方程为，即， 所以，所以. ①当时，，记，则. 当时，，此时在区间上单调递减； 当时，，此时在区间上单调递增. 所以. ②当时，，记，则. 当时，，此时在区间上单调递增； 当时，，此时在区间上单调递减. 所以. 综上所述，当时，的最小值为. 18. 已知函数． （1）若曲线在点处切线平行于直线．求； （2）若且函数只有一个极值点.求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义列方程求解即可； （2）化简得，根据和分类讨论单调性，时，在上单调的递增，不存在极值；时，利用导数研究其单调性，结合极值点的定义即可求解； （3）参变分离得，设，则，同构后换元，利用导数法求得的最小值为0，即可求解， 【小问1详解】 由题意，得，则， 由题意，解得； 【小问2详解】 当时，， ， 令，则， 当时，，则在上单调的递增，所以函数不存在极值； 当时，令即，得，令， 则恒成立，则在上单调的递增，又，，所以存在唯一的，使得， 当时，，即，所以函数单调递减， 当时，，即，所以函数单调递增， 所以仅在处取到极小值，符合题意. 综上，函数只有一个极值点时，实数的取值范围为. 【小问3详解】 由，参变分离得，设，则，因为，所以， 令，因为，所以，设，则，， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 所以，即的最小值为0，即，所以，即，故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 19. 设函数． （1）求函数的单调区间； （2）若有两个零点，， ①求a的取值范围； ②证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）（1）对求导数，分和两类情况讨论，得到函数的单调区间； （2）由（1）得a的取值范围，构造，证明不等式， 通过证明，证明. 【小问1详解】 由，，可得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 所以在单调递减，在单调递增； 【小问2详解】 ①因为函数有两个零点，由（1）得， 此时的递增区间为，递减区间为，有极小值 当，，当，在上有一个零点， 当，，当，在上有一个零点， 所以由可得 ②证明：由（1）可得的极小值点为，则不妨设． 设，， 可得，， 所以在上单调递增，所以， 即，则，， 所以当时，，且． 因为当时，单调递增，所以，即 设，，则，则，即． 所以，． 设，则，所以在上单调递减， 所以，所以，即． 综上， 【点睛】方法点睛：构造，应用单调性证明不等式，再通过证明，证明即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $