专题17 几何图形初步【九大题型】 -2025年中考数学一轮复习（全国通用版）

专题17 几何图形初步 1 直线、射线与线段 1.1 直线、射线与线段的联系与区别 名称 不同点 联系 共同点 延伸性 端点数 线段 不能延伸 2 线段向一方延长就成射线，向两方延伸就成直线 都是直的线 射线 只能向一方延伸 1 直线 可向两方无限延伸 无 1.2 线段的性质 （1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短； （2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离； （3）线段的大小关系和它们的长度的大小关系一致的； （4）线段的比较：① 目测法；② 叠合法；③ 度量法。 1.3 线段的中点 点把线段分成相等的两条相等的线段与，点叫做线段的中点。 2 角 2.1 概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。（或者看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形） 两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边. 2.2 角的度量 角的度量有如下规定：把一个平角等分，每一份就是度的角，单位是度，用“”表示，度记作，度记作。 把的角等分，每一份叫做分的角，分记作； 把的角等分，每一份叫做秒的角，分记作； ，。 2.3 角的平分线 （1）从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这角射线叫做这个角的平分线； （2）角的平分线上的点到角两边的距离相等； （3）角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上。 2.4 余角和补角 （1）如果两个角的和等于（直角），这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。 用数学语言表示，如果，那么和互余；反过来，如果和互余，那么； （2）如果两个角的和等于，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。 用数学语言表示，如果，那么和互补；反过来，如果和互补，那么； （3）同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等. 3 平行线 3.1 定义 两直线，永不相交，我们说直线与互相平行，记作。 3.2 平行公理 同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 也就是说，如果，，那么。 3.3 平行线的判定 ① 同位角相等，两直线平行；即如果，则； ② 内错角相等，两直线平行；即如果，则； ③ 同旁内角互补，两直线平行；即如果，则. 3.4 平行线的性质 ① 两直线平行，同位角相等；即如果，则； ② 两直线平行，内错角相等；即如果，则； ③ 两直线平行，同旁内角互补；即如果，则. 【题型1】 从不同方向看几何体 【典题1】 （2023·湖南·中考真题）作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了从三个方面看物体，准确把握从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形是解决问题的关键．从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】 解：从左面看，得到的平面图形是 ， 故选：B． 【巩固练习】 1.从上面看下面的三个几何体，所得到的平面图形相同的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从上面看下面，得到是俯视图，逐个得出几何体的俯视图，再进行对比，即可作答． 【详解】解：∵从上面看下面以上几何体 ∴①的俯视图是圆，无中心点； ②和③俯视图是圆，有中心点； ∴所得到的平面图形相同的是②③ 故选：B 2.（2024·山东济南·模拟预测）如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体从正面看到的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三视图的知识，要求同学们掌握主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：从正面看，共有三列，左边一列是三个小正方形，中间和右边一列分别是一个小正方形． 故选：B． 3.（2023·河南·模拟预测）有块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，块的涂法完全相同．现把它们摆放成不同的位置如图，请你根据图形判断涂成黄色一面的对面涂的颜色是（    ） A．白 B．蓝 C．绿 D．黑 【答案】C 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，根据正方体表面中“对面”“邻面”的关系进行判断即可． 【详解】解：由题意可知， “白”的邻面有“黑、绿、红、黄”，因此“白”的对面是“蓝”， “绿”的邻面有“黑、白、红、蓝”，因此“绿”的对面是“黄”， 于是“红”的对面是“黑”， 故选：C． 【题型2】 几何体的展开图 【典题1】 （2024·河北邯郸·模拟预测）用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形： 下列说法正确的是（　　） A．方案 1中的 B．方案2中的 C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同 【答案】C 【分析】本题考查图形的展开与折叠，考查学生的运算能力、推理能力、空间观念．分别求出a和b的值，方案1和方案2的容积即可得到答案． 【详解】解：方案1：，故A选项错误， 所折成的无盖长方体的底面积为． 容积为． 方案2：，故B选项错误， 所折成的无盖长方体的底面积为． 容积为． ∴方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积， 故选：C． 【巩固练习】 1.把一个立体图形展开成平面图形，其形状如图所示，则这个立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据立体图形展开成的平面图形底面是三角形，侧面是长方形判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：三棱柱的展开图底面是三角形，侧面是长方形，和给出的立体图形展开成的平面图形一致， 故选：． 2.（2024·江苏常州·中考真题）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．根据棱锥的侧面展开图的特征即可得到答案． 【详解】 解：棱锥的侧面是三角形，故四棱锥的侧面展开图的是 故选：B． 3.（2024·浙江绍兴·一模）如图，桌上的一个圆柱形玻璃杯（无盖）高为6厘米，底面周长为 16 厘米，在杯口内壁离杯口1.5 厘米的 A 处有蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5 厘米，则小虫爬到蜜糖 A处的最短路程为（   ） A．6 厘米 B．7 厘米 C．8 厘米 D．10 厘米 【答案】D 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 将杯子侧面展开，作关于杯口的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示：将杯子侧面展开，作关于杯口的对称点，连接， 最短距离为的长度， 厘米， 最短路程为厘米． 故选：D． 【题型3】 两点之间的距离 【典题1】（2023·广西桂林·三模）如图，C是线段上一点，若线段，且，O是的中点，则线段的长度为 ． 【答案】16 【分析】此题主要考查了与线段中点有关的计算，线段间的和差，理清题意是解答本题的关键．根据线段的和差关系进行解答即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵O是的中点， ∴， 故答案为：16． 【巩固练习】 1.（2024·四川泸州·一模）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是，点B是AC的中点，线段，则点C表示的数是（   ）    A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，先根据点B是AC的中点，线段，得出，结合点A表示的数是，以及数轴信息，得出，即可作答． 【详解】解：∵点B是AC的中点，线段， ∴， ∵点A表示的数是，且点C在点A的右边， ∴， 即点C表示的数是， 故选：B． 2.（2021·内蒙古·中考真题）已知线段，在直线AB上作线段BC，使得．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（   ） A．1 B．3 C．1或3 D．2或3 【答案】C 【分析】先分C在AB上和C在AB的延长线上两种情况，分别画出图形，然后运用中点的定义和线段的和差进行计算即可． 【详解】解：如图：当C在AB上时，AC=AB-BC=2, ∴AD=AC=1    如图：当C在AB的延长线上时，AC=AB+BC=6, ∴AD=AC=3    故选C． 【点睛】本题主要考查了线段的和差、中点的定义以及分类讨论思想，灵活运用分类讨论思想成为解答本题的关键． 3.（2023·广西桂林·二模）如图，线段，C是线段的中点，点D在线段上，且，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了两点间距离，根据题目的已知并结合图形分析是解题的关键．根据线段中点的性质先求出，再根据已知，求出即可． 【详解】解：∵，C是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 【题型4】 角度的计算 【典题1】 （2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，点B在直线上，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据求出，再根据角平分线求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故选：A． 【巩固练习】 1.（2024·河北唐山·二模）如图，直线，相交于点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是对顶角的性质，角的和差运算，先求解，再利用角的和差运算可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选B 2.（2024·河南新乡·模拟预测）如图，直线，相交于点O，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差，对顶角的性质，由角的和差得，由对顶角的性质即可求解；掌握对顶角的性质，能用角的和差表示出所求的角是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， ； 故选：D． 3.（2024·河南焦作·一模）如图，直线相交于点平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算，利用邻补角和角平分线的定义进行求解即可. 【详解】解： 平分， 故选：A 4.（2024·湖南·二模）如图，，是的平分线，是的平分线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了角平分线的相关计算，根据角平分线的定义依次求出，，即可求出的度数. 【详解】解：∵，是的平分线， ∴ ∵是的平分线， ∴， ∴ 故选：D． 5.如图，为直线上一点，平分，． (1)若，求的度数； (2)试判断和有怎样的数量关系，说说你的理由． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】本题考查了角的计算，利用角的和差是解题关键． （1）根据角平分线的定义，邻补角的定义，可得答案； （2）利用等角的余角相等证明． 【详解】（1）解：由角平分线的定义，得， ． 由邻补角的定义，得， ； （2）解：，理由如下： 平分， ， ， ，， ． 【题型5】 与余角、补角有关的计算 【典题1】 若一个角的一半比它的补角小，则这个角的度数为 °． 【答案】100 【分析】此题考查了补角的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握互补两角之和为． 设这个角是，则它的补角为，根据两个角的和等于，则这两个角互补，列方程求解即可． 【详解】解：设这个角是，则它的补角为，根据题意，得 ， 解得：， 故答案为：100． 【巩固练习】 1.如图：O为直线上的一点，为一条射线，平分平分，图中与互余的角共有（    ） A．1个 B．2个 C．4个 D．6个 【答案】B 【分析】此题考查了余角的定义，角平分线的概念等知识，解题的关键是熟练掌握余角的定义．余角：如果两个角相加等于，那么这两个角互为余角．根据余角的定义求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， 又∵，即， ∴，， ∴与互余的角共有2个． 故选：B． 2.一个角的补角比这个角的余角的倍少，这个角的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，余角、补角的定义，设这个角的度数为，根据题意列出方程即可求解，掌握余角、补角的定义是解题的关键． 【详解】解：设这个角的度数为， 由题意得，， 解得， 故选：． 3.如图，点O是直线上一点，平分，，平分，与互余，则 °． 【答案】45 【分析】本题主要考查余角与补角，角平分线的定义，由题意可得，从而可求得，进而得到，再由角平分线定义得，根据计算即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：45． 4.已知与互为补角，并且的2倍比大，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，互为补角的和为得性质，首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 根据题意列出方程，求解即可． 【详解】解：的2倍比大， ， 与互为补角， 即， ． 故答案为：． 【题型6】 平行线的判定 【典题1】如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，互余，平行线的判定： （1）根据角平分线的定义和平角的定义，即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【巩固练习】 1.如图，，平分，与相交于，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质（两直线平行同位角相等），平行线的判定（内错角相等两直线平行）等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可证得，于是可得，进而可得结论． 【详解】证明：平分， ， ，， ， ， ． 2.已知如图所示，，点、、在同一条直线上，，且平分，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定．根据题意可得，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出，即可得出，根据内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 3.如图，中，E是上一点，过D作交于E点，F是上一点，连接．若． (1)求证：． (2)若，DF平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，掌握题中各角之间的位置关系和数量关系是解题的关键． （1）根据可得，又因为，等量代换得，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明结论； （2）根据可得，再根据平分，得出，最后在中利用三角形内角和等于即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵DF平分， ∴ 在中， ∵， ∴． 答：的度数为． 【题型7】 根据平行线性质或判定求角度 【典题1】 如图，直线，的顶点A在直线上，，，分别交直线于点和点，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题本题主要考查了平行线．熟练掌握两直线平行，内错角相等，等边对等角，三角形外角性质，直角三角形两锐角互余，是解决问题的关键． 先根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出的度数，再根据平行线的性质求出的度数，再由得出的度数，根据平角的定义即可得出结论． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【巩固练习】 1.如图，直线，于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，先根据平行线的性质得，则有，再根据垂直的定义得，然后利用，计算的度数即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2.如图，已知直线，直线与直线分别交于点，交直线于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，直角三角形的性质，平行线的性质，由垂直可得，即得，再根据平行线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 3.（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角性质，平行的性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据可得，，根据三角形外角性质结合可得，即可求得的度数． 【详解】解：∵， ． 又∵，， ， ． 故选：C． 【题型8】根据平行线性质或判定证明 【典题1】已知直线，一块含角的直角三角板（，），顶点G在直线上． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，向上平移直线，使直线过点，，，若是的倍，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，垂直的判定，熟练运用平行线的性质求角度，利用垂直的定义证明两直线互相垂直是解题的关键． （1）由可得，再根据可得，结合可解得． （2）由平行线的性质得，由，是的倍可求出，因此，得证． 【详解】（1）解：如图中，， ， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ，是的倍， ， ， ， ， ． 【巩固练习】 1.如图，在中，，D是边上的中点，连接，平分交于点E． (1)过点E作交于点F，求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解答 (2)的度数是 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理． （1）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，即可求证； （2）易得，根据三角形的内角和定理，即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，D是边上的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数是． 2.已知：如图，在中，点在上，连接，点、分别在、上，连接，且满足，． (1)判断和的位置关系，并说明理由； (2)证明：． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质结合“同角的补角相等”求得，即可推出； （2）根据平行线的判定与性质证明，即可推出． 【详解】（1）解：，理由如下： （已知）， 又（邻补角定义）， （同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）； （2）证明：∵， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， （等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． 【题型9】根据平行线性质或判定探究角的关系 【典题1】 已知：，点 ， 分别在 ， 上，点 为 ， 之间的一点，连接． (1)如图 ，求证：； (2)如图 ，，，， 分别为 ，，， 的角平分线，求证 与 互补；    (3)在（）的条件下，如图 ，过点 作 的垂线交 于点 ，点 在 上，， 的延长线交 的延长线于点 ，若 ，猜想 与 的倍数关系并证明．    【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)，证明见详解 【分析】（1）过点C作，根据平行线的性质以及角的和差关系进行推导即可； （2）利用，，， 分别为 ，，， 的角平分线推导角的关系，推出，，根据四边形的内角和为可得结论； （3）想办法求出两个角的度数即可解决问题，由，，可得，根据，可求出的值，结合，可求得，已知，因此， ，结合，可得，因此得证． 【详解】（1）证明：如图1，过点C作，   ， ， ， ， 即； （2）证明：    ， 分别为 ， 的角平分线， ， ， 同理可得：， ， ， 即与互补； （3）猜想：，理由如下： 由（1）可知， 同理可得：， 由（2）可知 ，分别为 ，的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形外角性质以及四边形内角和的综合应用，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 【巩固练习】 1.如图，，，则，，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线是解题的关键．分别过点C、D作的平行线，即，根据平行线的性质得，，由，得，再由，即可得到． 【详解】如图，分别过点C、D作的平行线，即， 根据平行线的性质得，， ， ， 又， ， 即， 故选：A． 2.小明在学习中遇到这样一个问题：如图①，在中，，平分，于点D，猜想的数量关系． (1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的特殊值求值并寻找它们的数量关系，得到下面几组对应值： 上表中______，猜想与的数量关系是______； (2)小明继续研究，在图②中，，其他条件不变，若把“于点D”改为“点F是线段上任意一点，于点D”，求的度数．小明通过“过点A作于点G，求出的度数”，使问题得到解决，请你按照小明的思路写出解答过程； (3)在中，，平分，若点F是线段延长线上一点，于点D，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题主要考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形的外角性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． （1）根据得，根据角平分线定义得 ，根据得，再根据三角形外角性质得，则由此可求出的值； （2）根据，得，则，由（1）的结论得，进而得，由此可得的度数； （3）过点A作于H，则，进而得，再由（1）的结论得，由此可得与之间的数量关系． 【详解】（1）解：根据表格中对应值的规律得：，猜想：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵平分，， ∴由（1）的结论得：， ∴， ∵， ∴； （3）解：与之间的数量关系是：，理由如下： 过点A作于H，如图所示： ∵ ∴， ∴， ∵是的平分线，， ∴由（1）的结论得：， ∴． 3.如图，将含角的三角板（）放置在相互平行的直线和所在平面内． (1)将三角板如图①放置，交于点，交于点，分别交，于点，．写出与的数量关系：___________． (2)如图②，为上一点，连点，若，探究与之间的关系． (3)旋转三角板至如图③位置，为上一点，连接，当时，（n为常数），则_______．（直接填结果） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键． （1）如图4，过点C作．得出．根据平行线的性质即可求解； （2）设，如图5，过点C作．得出．根据平行线的性质得．根据，即可得出．结合，即可求解； （3）设，，．如图6，过点A作．得出．根据平行线的性质得．由已知，得．结合，，即可求解； 【详解】（1）解：． 如图4，过点C作． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）解：设． 如图5，过点C作． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， 即． （3）解：设，，． 如图6，过点A作． ∵， ∴． ∴． 由已知，得． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 4.如图1， 直线， 点B， C分别在和上，，平分． (1)求证： ； (2)如图2， 于点 G， 求证：； (3)在 （2） 的条件下， 如图3，平分交于点H， 设， 请直接写出的度数．（用含α的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义． （1）依据平行线的性质得到，，再根据平角得到，进而得到，即可得到； （2）依据，，可得，，进而得出，由角平分线可得，即可得到； （3）由（2）可得，，再由角平分线可得，得到，即可得到，代入计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴ 又∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即； （3）由（2）可得，， ∴ ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 几何图形初步 1 直线、射线与线段 1.1 直线、射线与线段的联系与区别 名称 不同点 联系 共同点 延伸性 端点数 线段 不能延伸 2 线段向一方延长就成射线，向两方延伸就成直线 都是直的线 射线 只能向一方延伸 1 直线 可向两方无限延伸 无 1.2 线段的性质 （1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短； （2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离； （3）线段的大小关系和它们的长度的大小关系一致的； （4）线段的比较：① 目测法；② 叠合法；③ 度量法。 1.3 线段的中点 点把线段分成相等的两条相等的线段与，点叫做线段的中点。 2 角 2.1 概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。（或者看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形） 两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边. 2.2 角的度量 角的度量有如下规定：把一个平角等分，每一份就是度的角，单位是度，用“”表示，度记作，度记作。 把的角等分，每一份叫做分的角，分记作； 把的角等分，每一份叫做秒的角，分记作； ，。 2.3 角的平分线 （1）从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这角射线叫做这个角的平分线； （2）角的平分线上的点到角两边的距离相等； （3）角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上。 2.4 余角和补角 （1）如果两个角的和等于（直角），这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。 用数学语言表示，如果，那么和互余；反过来，如果和互余，那么； （2）如果两个角的和等于，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。 用数学语言表示，如果，那么和互补；反过来，如果和互补，那么； （3）同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等. 3 平行线 3.1 定义 两直线，永不相交，我们说直线与互相平行，记作。 3.2 平行公理 同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 也就是说，如果，，那么。 3.3 平行线的判定 ① 同位角相等，两直线平行；即如果，则； ② 内错角相等，两直线平行；即如果，则； ③ 同旁内角互补，两直线平行；即如果，则. 3.4 平行线的性质 ① 两直线平行，同位角相等；即如果，则； ② 两直线平行，内错角相等；即如果，则； ③ 两直线平行，同旁内角互补；即如果，则. 【题型1】 从不同方向看几何体 【典题1】 （2023·湖南·中考真题）作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1.从上面看下面的三个几何体，所得到的平面图形相同的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2.（2024·山东济南·模拟预测）如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体从正面看到的图形是（　　） A． B． C． D． 3.（2023·河南·模拟预测）有块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，块的涂法完全相同．现把它们摆放成不同的位置如图，请你根据图形判断涂成黄色一面的对面涂的颜色是（    ） A．白 B．蓝 C．绿 D．黑 【题型2】 几何体的展开图 【典题1】 （2024·河北邯郸·模拟预测）用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形： 下列说法正确的是（　　） A．方案 1中的 B．方案2中的 C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同 【巩固练习】 1.把一个立体图形展开成平面图形，其形状如图所示，则这个立体图形是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·江苏常州·中考真题）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（    ） A． B．C． D． 3.（2024·浙江绍兴·一模）如图，桌上的一个圆柱形玻璃杯（无盖）高为6厘米，底面周长为 16 厘米，在杯口内壁离杯口1.5 厘米的 A 处有蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5 厘米，则小虫爬到蜜糖 A处的最短路程为（   ） A．6 厘米 B．7 厘米 C．8 厘米 D．10 厘米 【题型3】 两点之间的距离 【典题1】（2023·广西桂林·三模）如图，C是线段上一点，若线段，且，O是的中点，则线段的长度为 ． 【巩固练习】 1.（2024·四川泸州·一模）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是，点B是AC的中点，线段，则点C表示的数是（   ）    A．2 B． C． D． 2.（2021·内蒙古·中考真题）已知线段，在直线AB上作线段BC，使得．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（   ） A．1 B．3 C．1或3 D．2或3 3.（2023·广西桂林·二模）如图，线段，C是线段的中点，点D在线段上，且，则的长为 ． 【题型4】 角度的计算 【典题1】 （2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，点B在直线上，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1.（2024·河北唐山·二模）如图，直线，相交于点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2.（2024·河南新乡·模拟预测）如图，直线，相交于点O，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3.（2024·河南焦作·一模）如图，直线相交于点平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4.（2024·湖南·二模）如图，，是的平分线，是的平分线，则（    ） A． B． C． D． 5.如图，为直线上一点，平分，． (1)若，求的度数； (2)试判断和有怎样的数量关系，说说你的理由． 【题型5】 与余角、补角有关的计算 【典题1】 若一个角的一半比它的补角小，则这个角的度数为 °． 【巩固练习】 1.如图：O为直线上的一点，为一条射线，平分平分，图中与互余的角共有（    ） A．1个 B．2个 C．4个 D．6个 2.一个角的补角比这个角的余角的倍少，这个角的度数是（    ）． A． B． C． D． 3.如图，点O是直线上一点，平分，，平分，与互余，则 °． 4.已知与互为补角，并且的2倍比大，则 ． 【题型6】 平行线的判定 【典题1】如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【巩固练习】 1.如图，，平分，与相交于，．求证：． 2.已知如图所示，，点、、在同一条直线上，，且平分，证明：． 3.如图，中，E是上一点，过D作交于E点，F是上一点，连接．若． (1)求证：． (2)若，DF平分，求的度数． 【题型7】 根据平行线性质或判定求角度 【典题1】 如图，直线，的顶点A在直线上，，，分别交直线于点和点，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1.如图，直线，于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2.如图，已知直线，直线与直线分别交于点，交直线于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3.（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线．若，，则（   ） A． B． C． D． 【题型8】根据平行线性质或判定证明 【典题1】已知直线，一块含角的直角三角板（，），顶点G在直线上． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，向上平移直线，使直线过点，，，若是的倍，求证：． 【巩固练习】 1.如图，在中，，D是边上的中点，连接，平分交于点E． (1)过点E作交于点F，求证：． (2)若，求的度数． 2.已知：如图，在中，点在上，连接，点、分别在、上，连接，且满足，． (1)判断和的位置关系，并说明理由；(2)证明：． 【题型9】根据平行线性质或判定探究角的关系 【典题1】 已知：，点 ， 分别在 ， 上，点 为 ， 之间的一点，连接． (1)如图 ，求证：； (2)如图 ，，，， 分别为 ，，， 的角平分线，求证 与 互补；    (3)在（）的条件下，如图 ，过点 作 的垂线交 于点 ，点 在 上，， 的延长线交 的延长线于点 ，若 ，猜想 与 的倍数关系并证明．    【巩固练习】 1.如图，，，则，，的关系是（   ） A． B． C． D． 2.小明在学习中遇到这样一个问题：如图①，在中，，平分，于点D，猜想的数量关系． (1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的特殊值求值并寻找它们的数量关系，得到下面几组对应值： 上表中______，猜想与的数量关系是______； (2)小明继续研究，在图②中，，其他条件不变，若把“于点D”改为“点F是线段上任意一点，于点D”，求的度数．小明通过“过点A作于点G，求出的度数”，使问题得到解决，请你按照小明的思路写出解答过程； (3)在中，，平分，若点F是线段延长线上一点，于点D，请直接写出与之间的数量关系． 3.如图，将含角的三角板（）放置在相互平行的直线和所在平面内． (1)将三角板如图①放置，交于点，交于点，分别交，于点，．写出与的数量关系：___________． (2)如图②，为上一点，连点，若，探究与之间的关系． (3)旋转三角板至如图③位置，为上一点，连接，当时，（n为常数），则_______．（直接填结果） 4.如图1， 直线， 点B， C分别在和上，，平分． (1)求证： ； (2)如图2， 于点 G， 求证：； (3)在 （2） 的条件下， 如图3，平分交于点H， 设， 请直接写出的度数．（用含α的式子表示） 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$