精品解析：浙江省杭州市西湖区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024年西湖区九年级上册期末数学试卷 一．选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，五线谱由等距离的五条平行横线组成，现有一条截线与五线谱交于点，，．若线段，则线段的长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 9 3. 如图，在中，弦，半径于点，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 5 4. 一个箱子里有7个白球，2个红球，1个黑球，它们除颜色外其余均相同．从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 杭扇，素称“杭州雅扇”，与杭州丝绸、龙井茶被誉为“杭产三绝”．如图，某款杭扇完全打开后的展开图为扇形，该扇形圆心角为，半径是，则扇形的面积为（ ）． A B. C. D. 6. 二次函数（为常数，）部分，的对应值如表： … 0 1 3 4 … … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 当时，随的增大而增大 C. 当时， D. 最小值为 7. 如图，绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，则度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知A，B，C，D是上依逆时针顺序排列的四个点，且满足，设弦，若的半径为10，则在x，y值的变化过程中，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数（为常数，），当时，，则二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点及点，都是格点，与格线交于点，与交于点．则有以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①④ C. ③④ D. ①②③ 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 若，则______． 12. 在分别写有数字2，3，5的三张小卡片中（卡片只有数字不同，其余完全一样），随机抽出两张卡片，则卡片上数字和为偶数的概率为______． 13. 如图，已知正方形与正五边形都内接于，则的度数为______． 14. 如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则______． 15. 已知两个不同的点，都在二次函数．的图象上，则代数式的值为______． 16. 如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与，分别交于点，，连接，则______．若，则______． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 已知二次函数的图象经过点． （1）求的值和二次函数的对称轴． （2）若把该函数图象向上平移个单位长度后与轴恰好只有一个交点，求的值． 18. 如图，在中，点，分别在边，上，连接．有以下四个条件：①；②；③；④． （1）请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． 注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分． （2）在（1）的前提下，若点为中点，，求线段的长． 19. 某校开设了内容丰富的社团活动，大受同学们的欢迎． （1）若小丽和小红在“．快乐农场”、“．鲁班传人”、“．花式编织”这三个社团中各随机选择1个，求她们选到相同社团的概率．（社团名称可用，，表示） （2）小亮参加了“快乐农场”社团，准备种植一批油麦菜，他经过大量的种子发芽实验对种子的发芽率进行了统计，得到数据如表： 实验种子数量（粒） 100 200 300 600 800 1200 发芽种子数量（粒） 93 185 283 569 761 1139 种子发芽率（精确到0.001） 0930 0.925 0.943 0.948 0.951 0.949 ①根据表中数据，估计这批油麦菜种子的发芽率为______（精确到0.01）． ②社团成员在农场播种2000粒该批种子，估计大约能有多少粒种子发芽？ 20. 已知二次函数的图象与直线经过轴上的同一点． （1）求二次函数的表达式． （2）判断二次函数图象的顶点是否在直线上，并说明理由． （3）若，请直接写出的取值范围． 21. 某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图①，图②为示意图．已知，小静的身高，于点，． （1）如图①，当点为中点时，分别求线段，的长． （2）如图②，当点不是中点时，设，求线段的长．（用含有的代数式表示） （3）由此，你觉得与存在怎样的数量关系？ 22. 综合与实践 【问题提出】 我们知道，过任意一个三角形三个顶点能作一个圆．那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 【实验探究】 （1）获得猜想 观察图①至图④，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想：过______的四边形的四个顶点能作一个圆．（请填写序号） ①对边相等；②一组对边平行；③对角线相等；④对角互补； （2）推理证明 已知：在四边形中， 求证：过点可作一个圆． 证明：假设过点不能作一个圆． 如图⑤，过三点作，点不圆上． 若点在外，与交于点，连接，则① ， 而是的外角， ② ．出现矛盾，故假设不成立． 所以点在过三点的圆上． 同理可证点在内的情况． 【应用结论】 （3）如图⑥，四边形中，对角线交于点，，平分． ①若，求的度数． ②若，，求线段的长． 23. 已知二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1． （1）求的值． （2）已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上． ①若，求的最大值． ②若，且时，始终有，求的值． 24. 如图，在正方形中，点分别在边上，，连接交于点，过点的圆交于点，连接交于点． （1）证明：． （2）证明：． （3）当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年西湖区九年级上册期末数学试卷 一．选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：B． 2. 如图，五线谱由等距离的五条平行横线组成，现有一条截线与五线谱交于点，，．若线段，则线段的长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作过点的横线于，交过点的横线于， ∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 3. 如图，在中，弦，半径于点，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，由垂径定理可得，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵在中，弦，半径于点， ∴， ∴， 故选：D． 4. 一个箱子里有7个白球，2个红球，1个黑球，它们除颜色外其余均相同．从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，用红球的个数除以球的总数即可得解． 【详解】解：∵一个箱子里有7个白球，2个红球，1个黑球， ∴从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为， 故选：B． 5. 杭扇，素称“杭州雅扇”，与杭州丝绸、龙井茶被誉为“杭产三绝”．如图，某款杭扇完全打开后的展开图为扇形，该扇形圆心角为，半径是，则扇形的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式，根据扇形面积公式计算即可得解，熟练掌握扇形面积公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：扇形的面积为， 故选：C． 6. 二次函数（为常数，）部分，的对应值如表： … 0 1 3 4 … … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 当时，随的增大而增大 C. 当时， D. 最小值为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质并结合表格的数据逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由表格可得，该二次函数图象的对称轴为直线，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，故函数图象的开口向上，A错误； 当时，随的增大而增大，B正确； 当时，或，C错误； 当时，取得最小值，这个最小值小于，D错误； 故选：B． 7. 如图，绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：绕点逆时针旋转得到， ， ． 故选C． 8. 如图，已知A，B，C，D是上依逆时针顺序排列的四个点，且满足，设弦，若的半径为10，则在x，y值的变化过程中，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作直径，过点作的直径，连接，，依题意得，则，由此可依据“”判定和全等，则，然后在中，由勾股定理即可得出答案． 【详解】解：过点作直径，过点作的直径，连接，，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵是的直径，的半径是10， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， 即， ∴在x，y值的变化过程中，代数式的值不变． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，理解圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 9. 已知二次函数（为常数，），当时，，则二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 首先得到抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为和，进而解答即可． 【详解】解：∵二次函数，当时，， ∴抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为和， 故A、B、D选项错误， 故选：C． 10. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点及点，都是格点，与格线交于点，与交于点．则有以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①④ C. ③④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理得出，，即可判断①；连接、，则，，证明，由相似三角形性质即可判断②；取格点、，连接、、，则，，证明，得出，求出，结合，得出，即可判断③；由勾股定理逆定理得出是直角三角形，且，推出，即可判断④． 【详解】解：由勾股定理可得：，， ∴， ∴，故①正确； 如图，连接、，则，， ， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 取格点、，连接、、，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 取格点、，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质计算即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：． 12. 在分别写有数字2，3，5的三张小卡片中（卡片只有数字不同，其余完全一样），随机抽出两张卡片，则卡片上数字和为偶数的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表得： 2 3 5 2 3 5 共有6种等可能出现的结果，其中卡片上数字和为偶数的结果有，，共2种 ， ∴卡片上数字和为偶数的概率为， 故答案为：． 13. 如图，已知正方形与正五边形都内接于，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形与圆，熟练掌握正五边形和正方形的性质是解题的关键．根据题意得到，求得，得到，即可得到结论． 【详解】解：正方形与正五边形都内接于， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 14. 如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线间的距离，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 设的距离为，则，即，证明，则，计算求解即可． 【详解】解：设的距离为， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 已知两个不同的点，都在二次函数．的图象上，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据题意得到，，由二次函数得到，即可得到答案． 【详解】解：点，都在二次函数．的图象上， 是方程， ， 点，纵坐标相等， ， 即， 点，都在二次函数．的图象上， ， 即， ． 故答案为：． 16. 如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与，分别交于点，，连接，则______．若，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由折叠的性质可得垂直平分线段，，即，由题意可得，推出，进而可得，由中位线定理可得，设，则，再由平行线分线段成比例定理计算即可得解． 【详解】解：∵将沿直线翻折得到， ∴垂直平分线段， ∴， ∵为上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 已知二次函数的图象经过点． （1）求的值和二次函数的对称轴． （2）若把该函数图象向上平移个单位长度后与轴恰好只有一个交点，求的值． 【答案】（1），二次函数的对称轴为直线 （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数与一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出的值以及二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得出对称轴； （2）由平移的性质可得平移后的二次函数的解析式为，再由题意可得，计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式， ∵， ∴二次函数的对称轴为直线； 【小问2详解】 解；把该函数图象向上平移个单位长度后得到的二次函数的解析式为， ∵平移后的解析式与轴恰好只有一个交点， ∴， 解得：． 18. 如图，在中，点，分别在边，上，连接．有以下四个条件：①；②；③；④． （1）请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． 注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分． （2）在（1）的前提下，若点为中点，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理逐项分析即可得证； （2）由题意可得，，再由相似三角形的性质可得，代入计算即可得解． 【小问1详解】 解：若选择①， ∵，， ∴； 若选择②， ∵，， ∴， ∵， ∴； 若选择③， ∵， ∴， ∵， ∴； 若选择④， ∵，而夹角不一定相等， ∴与不一定相似； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 某校开设了内容丰富的社团活动，大受同学们的欢迎． （1）若小丽和小红在“．快乐农场”、“．鲁班传人”、“．花式编织”这三个社团中各随机选择1个，求她们选到相同社团概率．（社团名称可用，，表示） （2）小亮参加了“快乐农场”社团，准备种植一批油麦菜，他经过大量的种子发芽实验对种子的发芽率进行了统计，得到数据如表： 实验种子数量（粒） 100 200 300 600 800 1200 发芽种子数量（粒） 93 185 283 569 761 1139 种子发芽率（精确到0.001） 0.930 0.925 0.943 0.948 0.951 0.949 ①根据表中数据，估计这批油麦菜种子的发芽率为______（精确到0.01）． ②社团成员在农场播种2000粒该批种子，估计大约能有多少粒种子发芽？ 【答案】（1） （2）①；②大约能有粒种子发芽 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，用频率估计概率，由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． （2）①当实验的种子越来越多时，这批油麦菜种子的发芽率越接近，由此即可得解；②用2000乘以①中得到的发芽率即可得解． 【小问1详解】 解：画树状图为： 共有种等可能出现的结果，其中她们选到相同社团的情况有种， 故她们选到相同社团的概率为； 【小问2详解】 解：①根据表中数据，估计这批油麦菜种子的发芽率为； ②（粒）， 故大约能有粒种子发芽． 20. 已知二次函数的图象与直线经过轴上的同一点． （1）求二次函数的表达式． （2）判断二次函数图象的顶点是否在直线上，并说明理由． （3）若，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）在，理由见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，一次函数与二次函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出二次函数的图象与直线交于点，再代入，进行计算，即可作答． （2）先求出二次函数顶点坐标，再把代入，得，即可作答． （3）结合二次函数的图象与直线相交于和，且二次函数的开口向上，即可作答． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与直线经过轴上的同一点． ∴令，则， 解得， 即把代入， 得， 解得； ∴； 【小问2详解】 解：在，理由如下： ∵二次函数， ∴令，则， ∴ ∴对称轴是直线， 把代入， 顶点坐标为， 把代入， 得， ∴二次函数图象的顶点在直线上， 【小问3详解】 解：由（2）得二次函数的图象与直线相交于和，且二次函数的开口向上， ∴当时，则． 21. 某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图①，图②为示意图．已知，小静的身高，于点，． （1）如图①，当点为中点时，分别求线段，的长． （2）如图②，当点不是中点时，设，求线段的长．（用含有的代数式表示） （3）由此，你觉得与存在怎样的数量关系？ 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，再由平行线分线段成比例定理计算即可得解； （2）先由，得出，，从而求出，再由，得出，计算即可得解； （3）连接，则四边形为平行四边形，得出，，证明，得出，结合题意可得，即可得解． 【小问1详解】 解：∵，点为中点时， ∴， 由题意可得：， ∴，， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 小问3详解】 解：， 如图，连接， ， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 综合与实践 【问题提出】 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 【实验探究】 （1）获得猜想 观察图①至图④，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想：过______的四边形的四个顶点能作一个圆．（请填写序号） ①对边相等；②一组对边平行；③对角线相等；④对角互补； （2）推理证明 已知：在四边形中， 求证：过点可作一个圆． 证明：假设过点不能作一个圆． 如图⑤，过三点作，点不在圆上． 若点在外，与交于点，连接，则① ， 而是的外角， ② ．出现矛盾，故假设不成立． 所以点在过三点的圆上． 同理可证点在内的情况． 【应用结论】 （3）如图⑥，四边形中，对角线交于点，，平分． ①若，求的度数． ②若，，求线段的长． 【答案】（）④；（），；（）①；② 【解析】 【分析】（）菱形、矩形、等腰梯形、直角三角形的性质即可求解； （）假设过点，，，不能作一个圆，过，，三点作，点不在圆上，若点在外，设与交于点，连接，由圆内接四边形性质可得，进而由补角性质可得，又由三角形外角性质得到，出现矛盾，故假设不成立，即得点在过，，三点的圆上，同理可证点在内的情况，即可求证； （）①由得四点共圆， 即可得，再根据圆周角定理即可求解；②证明得，据此解答即可求解． 本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】（）对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆， 故答案为：④； （）证明：假设过点，，，不能作一个圆， 如图，过，，三点作，点不在圆上， 若点在外， 设与交于点，连接，则， ， ， 而是的外角， ，出现矛盾，故假设不成立， ∴点在过，，三点的圆上， 同理可证点在内的情况， 故答案为：，； （）解：①∵ ， ∴四点共圆， ∵平分，， ∴， ∴； ②由①可知，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 23. 已知二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1． （1）求的值． （2）已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上． ①若，求的最大值． ②若，且时，始终有，求的值． 【答案】（1） （2）①有最大值；② 【解析】 【分析】本题考查了把二次函数的解析式化为顶点式、二次函数的图象与性质、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将二次函数的解析式化为顶点式可得二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为，结合题意得出，计算即可得解； （2）①由题意可得，，结合，得出，最后由二次函数的性质即可得解；②由题意可得，从而可得，整理可得，解得，，结合时，始终有，即可得解． 【小问1详解】 解：∵二次函数，， ∴二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为， ∵二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最大值为； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理可得：， 解得：，， ∵时，始终有， ∴的值不会随的变化而变化， ∴． 24. 如图，在正方形中，点分别在边上，，连接交于点，过点的圆交于点，连接交于点． （1）证明：． （2）证明：． （3）当时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意证明，，从而得到，即可得到结论； （2）作，推出，根据相似三角形的性质即可证明结论； （3）延长，交于点，作，证明，设，则，证明，求出，即可求出答案． 【小问1详解】 证明：四边形是圆的内接四边形， ， 四边形是正方形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：作，交于， ， ， 由（1）可得：， ， ， ； 【小问3详解】 解：延长，交于点，作于点， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 是圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$