精品解析：浙江省宁波市鄞州区2025-2026学年第一学期九年级期末考试数学试题

鄞州区2025学年第一学期九年级期末考试 数学试题 考生须知： 1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷共6页，有三个大题，24个小题．满分为120分，考试时间为120分钟． 2．请将姓名、准考证号分别填写在答题卷的规定位置上． 3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置，用2B铅笔涂黑、涂满．将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效． 试题卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，正确理解二次函数的定义是关键．形如（a，b，c是常数，）的函数为二次函数．根据二次函数的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：选项A、，属于二次函数，符合题意； 选项B、是正比例函数，不符合题意； 选项C、是一次函数，不符合题意； 选项D、是反比例函数，不符合题意． 故选：A． 2. 已知的半径为4．若点P在外，则的长可能是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是关键．当点在圆外时，点到圆心的距离大于圆的半径，据此判断选项即可． 【详解】解：的半径为4，点P在外， ． 故选：D． 3. “在一副除去大小王的扑克牌中，抽取一张扑克牌恰好是红桃”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．根据确定事件和随机事件的定义来判断即可． 【详解】“在一副除去大小王的扑克牌中，抽取一张扑克牌恰好是红桃”这一事件是随机事件 故选：C． 4. 在中，，，，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，在中，利用勾股定理求斜边，再根据余弦定义求． 【详解】解：，，， ， ． 故选：A． 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，若点的对应点为，当时，则线段的长度是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似图形的相似比． 根据题意可得与的相似比，即可得线段的长度． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，点的对应点为， ∴与的相似比为， ∵， ∴线段的长度是， 故选：C． 6. 下列是4个已知角度的三角函数，值最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，特殊角三角函数值，熟练掌握锐角三角函数的增减性及特殊角三角函数值是关键．根据锐角三角函数的增减性及特殊角三角函数值，先判断，再判断，再结合， 即可判断答案． 【详解】解：锐角的余弦值随角度增大而减小，且， ， 锐角的正弦值随角度增大而增大， ， 锐角的正切值随角度增大而增大，且， ， 综上所述，的值最大． 故选：B． 7. 抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，恰好经过点，则a的值是（ ） A. B. 2023 C. 2026 D. 2029 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线的平移规律，熟练掌握抛物线的平移规律是关键．利用“左加右减，上加下减”的平移规律得到平移后的抛物线解析式，再将已知点代入求解a的值即可． 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的解析式为， 平移后的抛物线经过点， ， 解得． 故选：D． 8. 如图，将直角三角板的角顶点A放在上，边，分别交于点E，D，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、弧长公式． 利用圆周角定理得到，，再利用弧长公式（n为圆心角的度数）求解即可． 【详解】解：连接，，作于点，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴点是的中点， ∴， ∴点在半径上， ∵，， ∴，， ∴的长为， 故选：B． 9. 如图，菱形菱形，且相似比为2，则下列说法错误的是（ ） A. B，E，F，D四点共线 B. E为的重心 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似图形的性质，重心的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 根据菱形的性质，相似图形的性质，重心的性质，勾股定理等知识点，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵四边形与为菱形， ∴对角线互相垂直平分， 即垂直平分线段，垂直平分线段， ∴B，E，F，D四点共线， 故该选项正确，不符合题意； B.如图所示，连接交于点，连接， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， ∵菱形菱形，且相似比为2， ∴， ∴， 不满足三角形重心的性质， ∴点E不是的重心， 故该选项错误，符合题意； C. 如图所示，连接交于点，连接， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， 假设，由选项B可得，，， 由勾股定理得，， ∴， 故该选项正确，不符合题意； D. 如图所示，连接交于点，连接，延长交于点， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， ∵菱形菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 10. 如图1，在中，，点I为内心．动点D以的速度从点C出发，沿折线运动．线段的长y（单位：cm）与点D的运动时间x（单位：s）的关系如图2所示．其中，点是两段曲线的连接点，则下列说法正确的是（ ） A. 图象最低点的纵坐标为3或5 B. 图象上纵坐标为5的点有3个 C. 图象最高点的横坐标为25 D. 的面积为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内心的性质，勾股定理，函数的图象等知识，过点I作于M，于N，于Q，连接，，，根据内心的性质可证明四边形是正方形，得出，由函数图象可知，点P表示点D和点B重合，则可求出，设，则，在中，根据勾股定理得出，解得，，当时，在中，根据勾股定理得出，解得；当时，在中，根据勾股定理得出在中，，解得，不符合题意，舍去；则，然后逐项分析即可． 【详解】解：过点I作于M，于N，于Q，连接，，， 则四边形是矩形， ∵I是内心， ∴，，， ∴矩形是正方形， ∴， 由图2知，当点D运动时，点D和点B重合，此时， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， 当时，，， ∴，， 在中，， ∴， 解得； 当时，，， ∴，， 在中，， ∴， 解得，不符合题意，舍去； ∴， ∴，， ∴，故选项D错误； 当点D和M或N或Q重合时，最小，最小值为，故选项A错误； ∵，，，，， ∴在上存在一个位置，使；在上存在两个位置，使；在上存在一个位置，使； ∴一共存在四个位置使， ∴图象上纵坐标为5的点有4个，故选项B错误； 当点D和A重合时，最大，此时，故选项C正确， 故选：C． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查把给出的等式改写成比例式的方法，在改写时，要注意：相乘的两个数要作内项就都作内项，要作外项就都作外项．根据比例的性质，把所给的等式，改写成一个外项是x，一个内项是y的比例，则和x相乘的数2就作为比例的另一个外项，和y相乘的数5就作为比例的另一个内项，据此写出结果即可． 【详解】解：因为，所以． 故答案为：． 12. 某校篮球队进行篮球训练，某队员投篮的统计结果如下表，根据表中数据可知该队员一次投篮命中的概率大约是_____．（精确到0.01） 投篮次数（单位：次） 10 50 100 150 200 500 1000 2000 命中次数（单位：次） 9 40 70 108 143 361 721 1440 命 中 率 0.90 0.80 0.70 0.72 0.715 0.722 0.721 0.72 【答案】0.72 【解析】 【分析】利用频率估计概率时，要进行大量试验，实验次数越多，用频率估计概率就越精确． 【详解】解：根据上表可知该队员一次投篮命中的概率大约是0.72， 故答案为：0.72． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 13. 如果正多边形的一个内角为，那么这个正多边形的边数为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角计算，熟练掌握正多边形的内角计算方法是关键．根据正多边形内角公式建立方程，求解边数即可． 【详解】解：设正多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得， 经检验，是方程的根． 故答案为：9． 14. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以点O为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则图2中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求扇形面积，利用扇形面积公式，根据即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 15. 已知二次函数，当时，函数的最大值为，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是对函数最值的讨论；由二次函数解析式可知开口向上，且当 时函数值为，根据图象及性质求解． 【详解】解：∵ 开口向上， ∴对称轴为：直线， ∵当 时，， ∴当时，， 即：是抛物线上的一对对称点， ∵当时，函数的最大值为， ∴， 即： 故答案为： ． 16. 如图1，将矩形分割为三块，拼成如图2所示的矩形．若点M在图2矩形的一条对角线上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的拼接问题，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定与性质是关键．连接对角线，则点M在上，设，，，先证明，列方程求得，然后证明，求得，再结合列方程求解即可． 【详解】解：如图②，连接对角线， 则点M在上， 设，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 方程可整理为， 解得或（舍去）， 即． 故答案为：． 三、解答题（第17～21每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. （1）计算：． （2）已知、满足，且，求的值． 【答案】 （1）； （2）的值为． 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，比例的性质． （1）代入特殊角的三角函数值，按照运算法则计算即可； （2）设，则，，代入，可得的值，即可得的值． 【详解】（1） ． （2）设，则，， 由题意得， 解得， ∴， ∴的值为． 18. 如图是由16个小正方形组成的的方格纸，其中点A，B，C都在格点上． （1）在图1中作出线段绕着点C逆时针旋转后的线段； （2）在图2中作一个，使与相似（非全等），要求点M，N是格点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作旋转图象，作相似三角形，解题的关键是掌握旋转的性质以及相似三角形的判定定理． （1）根据旋转的性质画图即可； （2）根据相似三角形的判定定理画图即可． 【小问1详解】 解：如图1所示，线段即为所求； 【小问2详解】 解：如图2所示，或均可． 根据勾股定理得， ∴，， 根据三条边对应成比例的三角形相似即可得出与相似，与相似． 19. 宁波市中考体育随机选测从以下6个项目中抽取： 项目序号 项目① 项目② 项目③ 项目④ 项目⑤ 项目⑥ 项目名称 50米跑 立定跳远 跳绳 （60秒） 掷实心球 （2千克） 篮球运球投篮 男生引体向上 女生仰卧起坐（60秒） 抽签时，使用电动摇号机从项目编号①～⑥的球中随机抽取，每次抽取1个球，记录编号后不放回，重复抽取直至选出3个随机选测项目． （1）若仅抽取一次，求抽到“项目⑤”的概率； （2）在正式抽签中，已知第一次抽到“项目⑥”，求接下来两次抽取中，抽到“项目①和项目②”的概率．请画树状图或列表求解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用列举法求事件的概率，熟练掌握用列举法求事件的概率的方法是关键．先列表求出随机抽取两项的所有等可能结果有20种，其中抽到项目①和项目②的等可能结果有2种，再根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：使用电动摇号机从项目编号①～⑥的球中随机抽取，若仅抽取一次，抽到“项目⑤”的概率为； 【小问2详解】 解：从剩余5个项目中，随机抽取两项的所有可能结果是： ① ② ③ ④ ⑤ ① ①② ①③ ①④ ①⑤ ② ②① ②③ ②④ ②⑤ ③ ③① ③② ③④ ③⑤ ④ ④① ④② ④③ ④⑤ ⑤ ⑤① ⑤② ⑤③ ⑤④ 由上表可知，随机抽取两项的所有等可能结果有20种，其中抽到项目①和项目②的等可能结果有2种，所以接下来两次抽取中，抽到“项目①和项目②”的概率． 20. 某校数学兴趣小组为测量湖中间两座灯塔A和B之间的距离，在沿湖笔直公路l上取点C，D进行测量．为方便计算，点C，D分别位于灯塔A，B的正南方向．现测得灯塔A位于点D北偏西方向，灯塔B位于点C北偏东方向．已知m． （参考数据：，，，，，） （1）分别求点C距离灯塔A的距离和点D距离灯塔B的距离； （2）求A，B两座灯塔间的距离． 【答案】（1）点C距离灯塔A的距离为，点D距离灯塔B的距离为 （2）A，B两座灯塔间的距离为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确理解题意是关键． （1）在和中，根据三角函数的定义求解即可； （2）连结，过点A作于点E，先证明四边形是矩形，得到，，再根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：点C，D分别位于灯塔A，B的正南方向， ，， ， ，， ，， （m），（m）， 点C距离灯塔A的距离为，点D距离灯塔B的距离为； 【小问2详解】 解：连接，过点A作于点E， ，， 四边形是矩形， ，， （m）， （m）． ，B两座灯塔间的距离为． 21. “如何仅用直尺和圆规过圆上一点作已知圆的切线？”．小明提出一种想法：如图，设点P为上一点，先作射线交于点Q，再以上一点A为圆心（点A不与点P，Q重合），以长为半径画圆弧，交射线于点B，交射线于点C，连结． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵，点B、A、C在同一条直线上， ∴为的直径， ∴，即． 而为的半径， ∴为的切线． （2）的半径为9 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线判定、直径所对圆周角为直角、等腰三角形性质及锐角三角函数的应用，解题的关键是利用推出，再结合角度等量代换与三角函数求解半径． （1）由及、、共线，得为直径，故，即，结合为半径，证得为切线； （2）连结，由等腰三角形性质与直角三角形两锐角互余，得，再由及，求出，进而得半径为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，由得， 又∵， ∴． ∴．即． ∵， ∴，即的半径为9． 22. 如图1是某款正在研发的无人机的一个操作按钮，当输入不同的a，b，c数值时，无人机会沿着对应的图象飞行． （1）输入a，b，c的值，使得无人机飞行的轨迹是一条以为起点，过点的射线．你输入的值是：______，______，______． （2）某次无人机按钮输入一组数，，，． ①求无人机飞行的最大高度； ②如图2是一个建筑物，它的主视图可以看成由3个矩形拼成的图形，其中，，，，建筑物一侧距离飞行起点的水平距离为，若要求无人机飞行过程中距离建筑物示意图的顶点E、F、G、H的水平距离不少于，竖直距离不少于，按钮设置的这条曲线符合条件吗？请通过计算作出判断并说明理由． 【答案】（1），， （2）①无人机飞行的最大高度为；②按钮设置的这条曲线符合条件，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，再利用待定系数法求解即可； （2）①化成顶点式，利用二次函数的性质即可求解； ②求得点E与点F，点G与点H均关于抛物线的对称轴直线对称，只需验证点E，G即可． 【小问1详解】 解：∵无人机飞行的轨迹是一条射线， ∴，则解析式为， ∵以为起点，且过点， ∴， 解得， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：①当，，时， 则， 当时，无人机飞行的最大高度为； ②由题可得，在平面直角坐标系中，点，， 而点E与点F，点G与点H均关于抛物线的对称轴直线对称． 所以只需验证点E，G即可． 当时，，， 当时，，，． 当时，，， 而点G到抛物线的水平距离大于长，即大于5． 所以按钮设置的这条曲线符合条件． 23. 如图，四边形内接于，，连接并延长交于点E，交弦于点F． （1）若，，求的半径； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）的半径为 （2）证明过程见解析； （3）的长为． 【解析】 【分析】（1）连接，由直径所对的圆周角是直角，结合，可得，即可得的半径； （2）连接，由，可得，可得，由，可得，可得，即可证得结论； （3）由，可得，设与相交于点H，可得，，连接，根据勾股定理可得，，连接交于点G，连接，可得，可得，由，可得，由等腰三角形的性质，可得，即可得的长． 【小问1详解】 解：连接， 由是的直径得． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴的半径为． 【小问2详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∴直径， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴． 设与相交于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，连接，． ∴． 连接交于点G，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． ∵， ∴， 又，． ∴． ∴的长为． 【点睛】本题考查直径所对的圆周角是直角，锐角三角函数，垂径定理推论，等弦所对的圆周角相等，等角的余角相等，等角对等边，勾股定理，等腰三角形的判定和性质． 24. 【阅读理解】若抛物线的顶点落在直线上，称这样的抛物线为平衡抛物线，如的顶点为落在直线上，是平衡抛物线． 【提出问题】若抛物线，都是平衡抛物线，抛物线的对称轴为直线．抛物线的对称轴为直线．点在抛物线上，点在抛物线上，点C与点B关于直线对称．设． 【解决问题】（1）求抛物线的解析式； （2）若． ①判断线段的中点M是否一定落在直线上？请你作出判断并说明理由； ②当时，求d的取值范围； 【拓展思考】（3）在点A的运动过程中，若d的最小值大于或等于6，求n的取值范围． 【答案】 （1）； （2）①线段的中点M落在直线上，理由见解析；②； （3）或． 【解析】 【分析】（1）由平衡抛物线的定义，结合已知可得的顶点坐标，即可得抛物线的解析式； （2）①由已知可得点，点的坐标，由点C与点B关于直线对称，可得点的坐标，从而可得中点坐标，即可求解；由①可得的表达式，由二次函数的图象和性质，即可得当时，的取值范围； （3）根据题意可得的表达式，由二次函数的图象和性质可得当时，，利用图象法，即可得的取值范围． 【详解】（1）解：由已知可得过点， ∴． （2）解：若，则． ①线段的中点落在直线上． 点，点， ∴，， ∵点C与点B关于直线对称， ∴点． ∴中点为． ∴线段的中点落在直线上． ②， 当时，， ∴． ∴的范围是． （3）解：， 当时，， 利用图象法可得，当时，或． 【点睛】本题考查二次函数的顶点式，待定系数法求二次函数的解析式，关于直线对称的点的坐标特征，中点坐标，二次函数的图象和性质，二次函数的最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鄞州区2025学年第一学期九年级期末考试 数学试题 考生须知： 1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷共6页，有三个大题，24个小题．满分为120分，考试时间为120分钟． 2．请将姓名、准考证号分别填写在答题卷的规定位置上． 3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置，用2B铅笔涂黑、涂满．将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效． 试题卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为4．若点P在外，则的长可能是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5 3. “在一副除去大小王的扑克牌中，抽取一张扑克牌恰好是红桃”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件 4. 在中，，，，则的值为( ) A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，若点的对应点为，当时，则线段的长度是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 6. 下列是4个已知角度的三角函数，值最大的是（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，恰好经过点，则a的值是（ ） A. B. 2023 C. 2026 D. 2029 8. 如图，将直角三角板的角顶点A放在上，边，分别交于点E，D，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形菱形，且相似比为2，则下列说法错误的是（ ） A. B，E，F，D四点共线 B. E为的重心 C. D. 10. 如图1，在中，，点I为内心．动点D以的速度从点C出发，沿折线运动．线段的长y（单位：cm）与点D的运动时间x（单位：s）的关系如图2所示．其中，点是两段曲线的连接点，则下列说法正确的是（ ） A. 图象最低点的纵坐标为3或5 B. 图象上纵坐标为5的点有3个 C. 图象最高点的横坐标为25 D. 的面积为 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 如果，那么______． 12. 某校篮球队进行篮球训练，某队员投篮的统计结果如下表，根据表中数据可知该队员一次投篮命中的概率大约是_____．（精确到0.01） 投篮次数（单位：次） 10 50 100 150 200 500 1000 2000 命中次数（单位：次） 9 40 70 108 143 361 721 1440 命 中 率 0.90 0.80 0.70 0.72 0.715 0.722 0.721 0.72 13. 如果正多边形的一个内角为，那么这个正多边形的边数为______． 14. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以点O为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则图2中阴影部分的面积为______．（结果保留） 15. 已知二次函数，当时，函数的最大值为，则的取值范围为______． 16. 如图1，将矩形分割为三块，拼成如图2所示的矩形．若点M在图2矩形的一条对角线上，则的值为______． 三、解答题（第17～21每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. （1）计算：． （2）已知、满足，且，求的值． 18. 如图是由16个小正方形组成的的方格纸，其中点A，B，C都在格点上． （1）在图1中作出线段绕着点C逆时针旋转后的线段； （2）在图2中作一个，使与相似（非全等），要求点M，N是格点． 19. 宁波市中考体育随机选测从以下6个项目中抽取： 项目序号 项目① 项目② 项目③ 项目④ 项目⑤ 项目⑥ 项目名称 50米跑 立定跳远 跳绳 （60秒） 掷实心球 （2千克） 篮球运球投篮 男生引体向上 女生仰卧起坐（60秒） 抽签时，使用电动摇号机从项目编号①～⑥的球中随机抽取，每次抽取1个球，记录编号后不放回，重复抽取直至选出3个随机选测项目． （1）若仅抽取一次，求抽到“项目⑤”的概率； （2）在正式抽签中，已知第一次抽到“项目⑥”，求接下来两次抽取中，抽到“项目①和项目②”的概率．请画树状图或列表求解． 20. 某校数学兴趣小组为测量湖中间两座灯塔A和B之间的距离，在沿湖笔直公路l上取点C，D进行测量．为方便计算，点C，D分别位于灯塔A，B的正南方向．现测得灯塔A位于点D北偏西方向，灯塔B位于点C北偏东方向．已知m． （参考数据：，，，，，） （1）分别求点C距离灯塔A的距离和点D距离灯塔B的距离； （2）求A，B两座灯塔间的距离． 21. “如何仅用直尺和圆规过圆上一点作已知圆的切线？”．小明提出一种想法：如图，设点P为上一点，先作射线交于点Q，再以上一点A为圆心（点A不与点P，Q重合），以长为半径画圆弧，交射线于点B，交射线于点C，连结． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 22. 如图1是某款正在研发的无人机的一个操作按钮，当输入不同的a，b，c数值时，无人机会沿着对应的图象飞行． （1）输入a，b，c的值，使得无人机飞行的轨迹是一条以为起点，过点的射线．你输入的值是：______，______，______． （2）某次无人机按钮输入一组数，，，． ①求无人机飞行的最大高度； ②如图2是一个建筑物，它的主视图可以看成由3个矩形拼成的图形，其中，，，，建筑物一侧距离飞行起点的水平距离为，若要求无人机飞行过程中距离建筑物示意图的顶点E、F、G、H的水平距离不少于，竖直距离不少于，按钮设置的这条曲线符合条件吗？请通过计算作出判断并说明理由． 23. 如图，四边形内接于，，连接并延长交于点E，交弦于点F． （1）若，，求的半径； （2）求证：； （3）若，求的长． 24. 【阅读理解】若抛物线的顶点落在直线上，称这样的抛物线为平衡抛物线，如的顶点为落在直线上，是平衡抛物线． 【提出问题】若抛物线，都是平衡抛物线，抛物线的对称轴为直线．抛物线的对称轴为直线．点在抛物线上，点在抛物线上，点C与点B关于直线对称．设． 【解决问题】（1）求抛物线的解析式； （2）若． ①判断线段的中点M是否一定落在直线上？请你作出判断并说明理由； ②当时，求d的取值范围； 【拓展思考】（3）在点A的运动过程中，若d的最小值大于或等于6，求n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $