精品解析：江苏省江阴市第二中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

江阴市第二中学2024级高一数学阶段性检测 2025.3.15 一.选择题 1. ①平行向量就是共线向量；②若向量与是共线向量，则、、、四点共线；③若非零向量与满足，则、互为相反向量.其中正确的有（ ）个. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线向量、相反向量的定义判断即可. 【详解】对于①：平行向量就是共线向量，故①正确； 对于②：若向量与是共线向量，则直线直线或、、、四点共线，故②错误； 对于③：若非零向量与满足，即，所以、互为相反向量，故③正确. 故选：C 2. 在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形结合向量的线性运算求解. 【详解】因为为的中点，为的中点， 所以. 故选：C. 3. 已知平面向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件求得，再由平面向量的夹角公式即可求解. 【详解】由，， ． 故选：D． 4. 已知向量若，则m等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以，又，， 所以，解得. 故选：A. 5. 已知向量与的夹角为，，，若，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直，即可利用数量积求解. 【详解】． 故选：A； 6. 设为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为在方向上的投影向量为， 所以， 所以有， 故选：D 7. 在中，角所对的边分别为，表示的面积，若 ，则 A. 90 B. 60 C. 45 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinA＝1，即A＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C，从而得到B的值． 【详解】由正弦定理及得 ,因为，所以； 由余弦定理、三角形面积公式及，得, 整理得，又,所以,故. 故选D 【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题． 8. 在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可得的值，进而可求得、的值，结合余弦定理可得，由等面积法可求得. 【详解】由题意知，设，则，如图所示， 由可得， 整理得，即， 又因为，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 由可得，解得. 故选：B. 二.多选题 9. 下列说法中错误的为（ ） A. 已知，且与夹角为锐角，则 B. 已知，不能作为平面内所有向量的一组基底 C. 若 且 ，则 D. 若非零，满足，则与的夹角是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用向量夹角为锐角的充要条件是向量积大于零且不共线来判断A，利用是否为共线向量来判断B，利用向量数量积性质判断C，利用向量模的运算来判断D． 【详解】对于A，由与夹角为锐角，则，解得， 当与共线时，即，可得，解得， 由于当时，与相等，夹角为零度，不符合题意，所以且， 故A是错误的； 对于B，因为，所以与共线， 即不能作为平面向量的基底，故B是正确的； 对于C，由可得：，因为，所以有可能或，故C是错误的； 对于D，由可得：， ，解得， 而， 再利用，代入得： ， 因为，所以，故D是错误的； 故选：ACD． 10. 对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A. 若，则△ABC为等腰三角形 B. 若，则 C. 若，，，则符合条件的△ABC有两个 D. 若，则△ABC是锐角三角形 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据在的单调性进行判断；对于B，根据正弦定理即可判断证明；对于C，利用余弦定理即可得解；对于D，根据正弦定理去判断即可． 【详解】解：若cosA＝cosB，因为在的单调递减，则A＝B，所以三角形ABC一定为等腰三角形，A正确； 若A＞B，则a＞b，即2RsinA＞2RsinB， 所以sinA＞sinB，B正确； 若a＝8，c＝10，B＝60°，由余弦定理得，， 所以，故符合条件的△ABC有一个，C错误； 若sin2A+sin2B>sin2C，则a2+b2>c2， 由余弦定理得cosC大于0，即C为锐角，但不能证明三角形为锐角三角形，D错误． 故选：AB． 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则下列选项正确的是（ ） A. 若，，则有两解 B. 若，，则无解 C. 若为锐角三角形，且，则 D. 若，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据边角的关系，可判断三角形的个数，即可判断AB；根据三角形是锐角三角形，求角的范围，即可判断C；利用正弦定理，将边表示为三角函数，利用三角函数的性质，即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，则有两解，A正确． 对于B，因为，所以有且仅有一解，B错误． 对于C，由得，C正确． 对于D，因为，所以，又因为， 所以，则 ， 由，得， 所以当，即时，取得最大值，D正确． 故选：ACD. 三.填空题（共10小题） 12. 在中，，P是直线上一点，若，则实数m的值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】将题设将变形为，再结合共线定理的推论即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为三点共线，所以. 故答案为：. 13. 在矩形ABCD中，，点E为边AB的中点，点F为线段BC上的动点，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点建立直角坐标系，设，则，根据的范围即可求出的范围. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 由题意得，，因为为中点，所以， 设，则， ，，则， ，则， 故答案为：. 14. 在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是______分钟．（注：） 【答案】15 【解析】 【分析】由已知条件，先解，利用正余弦定理得及为东西走向，再解，利用利用正弦定理得，进而得到，利用路程与速度的比即可求时间. 【详解】设缉私艇最快在处追上走私船，追上走私船需t小时， 则，， ∴在中，已知,, ， 由余弦定理得， ，即， 由正弦定理得， 则， ， ∴为东西走向，， 在中，由正弦定理得， 则，且为锐角， ∴， 即，∴小时，即分钟. 故答案为：. 四.解答题 15. 已知向量，满足，，且． （1）若，求实数k的值； （2）求与的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的垂直的数量积表示，即可求解； （2）利用向量的数量积运算律和夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 因为，， 即，解得： ， 解得： 【小问2详解】 ， ， ∴ ∵，∴ 16. 在中，，，边，上的点，满足，，为中点． （1）设，求实数，的值； （2）若，求边的长． 【答案】（1），； （2）8. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得； （2）用、表示出，再根据数量积的运算律及定义计算可得. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 所以 ， 又，且、不共线， 所以，； 【小问2详解】 因为， 所以 ， 解得或（舍去），即边的长为． 17. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理和余弦定理来求解角的大小； （2）应用三角形的面积公式计算边的数量关系. 【小问1详解】 由可知， 由正弦定理，得， 即． 所以， 又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知． 所以， 又， 所以， 所以，即． 所以的周长为． 18. 在中，，，点D为的中点，连接并延长到点E，使. （1）若，求的余弦值； （2）若，求线段的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，由结合余弦定理求解即可求出，在中，由余弦定理即可求出答案. （2）在中，由余弦定理求出，在中，由余弦定理求出，连接，在中，由余弦定理即可求出线段的长. 【小问1详解】 因为，，所以， 因为，所以， 设，则，即， 解得，所以， 在中，由余弦定理知，. 【小问2详解】 在中，由余弦定理知，， 所以，化简得，解得， 因为是的中点，所以， 在中，由余弦定理知，， 所以， 因为，所以， 在中，由余弦定理知， ， 连接，在中，由余弦定理知， ， 所以. 19. 如图所示，在的边外侧作，使得四点在同一平面内. （1）若，证明：为一个定值； （2）若锐角中内角所对的边分别为，且，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在、中，利用余弦定理计算化简可得，整理即可证明； （2）由题意，根据余弦定理可得，利用正弦定理和两角差的正弦公式可得，结合的取值范围即可求解. 【小问1详解】 在中，因为， 所以由余弦定理得 ， 在中，， 所以由余弦定理得 ， 所以， 化简得， 所以为一个定值1. 【小问2详解】 由，可知， 则，又， 则， 所以， 所以， 所以 ， 又， 则，得， 所以， 故，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江阴市第二中学2024级高一数学阶段性检测 2025.3.15 一.选择题 1. ①平行向量就是共线向量；②若向量与是共线向量，则、、、四点共线；③若非零向量与满足，则、互为相反向量.其中正确的有（ ）个. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量若，则m等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量与的夹角为，，，若，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 设为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角所对的边分别为，表示的面积，若 ，则 A. 90 B. 60 C. 45 D. 30 8. 在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（ ） A. B. C. 2 D. 二.多选题 9. 下列说法中错误的为（ ） A. 已知，且与夹角为锐角，则 B. 已知，不能作为平面内所有向量的一组基底 C. 若 且 ，则 D. 若非零，满足，则与的夹角是 10. 对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A. 若，则△ABC为等腰三角形 B. 若，则 C. 若，，，则符合条件的△ABC有两个 D. 若，则△ABC是锐角三角形 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则下列选项正确的是（ ） A. 若，，则有两解 B. 若，，则无解 C. 若为锐角三角形，且，则 D. 若，则的最大值为 三.填空题（共10小题） 12. 在中，，P是直线上一点，若，则实数m的值为_____. 13. 在矩形ABCD中，，点E为边AB的中点，点F为线段BC上的动点，则的取值范围是_________． 14. 在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是______分钟．（注：） 四.解答题 15. 已知向量，满足，，且． （1）若，求实数k的值； （2）求与的夹角． 16. 在中，，，边，上的点，满足，，为中点． （1）设，求实数，的值； （2）若，求边的长． 17. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，求的周长． 18. 在中，，，点D为的中点，连接并延长到点E，使. （1）若，求的余弦值； （2）若，求线段的长. 19. 如图所示，在的边外侧作，使得四点在同一平面内. （1）若，证明：为一个定值； （2）若锐角中内角所对的边分别为，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $