第一单元 圆柱与圆锥（知识清单）-2024-2025学年六年级数学下学期期中复习讲练测（北师大版）

第一单元 圆柱与圆锥（知识清单） （知识梳理+重点提炼+易错集锦+巩固拔高） 01 知识梳理 1、点动成线，线动成面，面动成体。 2、将一个长方形以长（宽）为轴，快速旋转后可以形成一个圆柱。 圆柱有两个底面和一个侧面，两个底面是两个完全相同的圆，侧面是一个曲面，圆柱有无数条高，所有的高都相等。 3、将一个直角三角形沿一条直角边快速旋转，会形成一个圆锥。 圆锥的底面是一个圆，圆锥的侧面是一个曲面，圆锥只有一条高。 4、圆柱的侧面积。 圆柱的侧面如果沿高剪开得到一个长方形，长方形的长就是圆柱的底面的周长，长方形的宽就是圆柱的高。 圆柱的侧面积=底面周长×高，用字母表示：S侧=Ch 5、圆柱的表面积。 圆柱的表面积=侧面积+两个底面积 圆柱的表面积公式：S表=2πr²+2πrh。 圆柱的表面积=侧面积+两个底面积（S表=S侧+2S底）； 圆柱的底面积=圆的面积，也就是S底=πr²。 6、意义：圆柱形物体所占空间的大小叫作圆柱的体积。 7、圆柱的体积的计算公式。 圆柱的体积=底面积×高。 如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高，那么圆柱的体积计算公式是V=Sh，用字母表示：V=S×h。 8、圆柱体积公式的应用。 圆柱的体积=底面积×高。 ①如果已知圆柱的高和底面卓径，那么圆柱的体积计算公式是V=πr2h。 ②如果已知圆柱的高和底面直径，那么圆柱的体积计算公式是V=π（）2h。 ③如果已知圆柱的高和底面周长，那么圆柱的体积计算公式是V=π（）2h。 9、圆柱形容器的容积。 圆柱形容器的容积=圆柱形容器内部的底面积×内部的高，当容器壁的厚度忽略不计时，容器的体积等于容积。 10、不规则物体的体积。 计算不规则物体的体积，可以借助圆柱形容器和水，给圆柱形容器里装适量的水，量出水的高度，把不规则物体放入容器完全浸入水中，并且水不被溢出，这时测量水的高度，上升的水的体积就是不规则物体的体积。 11、意义：圆锥形物体所占空间的大小叫作圆锥的体积。 12、圆锥的体积公式。 一个圆锥和一个圆柱的底面积和高都相等，将圆锥形容器装满沙子，再倒入圆柱形容器，3次可以倒满。所以说圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的。 圆锥的体积=圆柱的体积× 用字母表示为V=Sh V=πr2h× 13、求圆锥体积时，方法如下： （1）如果题中给出底面积和高这两个条件，可以直接运用V=Sh这一公式。 （2）如果题中给出底面半径和高这两个条件，可以运用V=πr2h这一公式。 （3）如果题中给出底面直径和高这两个条件，可以运用V=π（）2h这一公式。 02 重点提炼 1、经历由面旋转成圆柱、圆锥的活动，体会点、线、面、体之间的关系。（2）通过具体的情境和实际操作，探索圆柱侧面积的计算方法，掌握圆柱侧面积和表面积的计算方法，能正确计算圆柱的侧面积和表面积。 2、能灵活运用圆柱表面积的计算方法解决实际问题。 3、通过具体情境观察，实物感知等活动，感受物体体积的大小，发展空间观念； 4、掌握圆柱体积的计算方法，能正确计算圆柱的体积，能运用圆柱的体积计算方法解决简单的实际问题。 5、采用“类比猜想--验证说明”的方式来探索圆锥的体积计算公式，能准确地掌握圆锥的体积计算方法，会正确计算圆锥的体积，并能解决一些简单的实际问题。 03 易错集锦 易错点1圆柱形物体表面积的计算。 误区点拨： （1）对圆柱形物体的表面积公式运用不熟，底面积计算错误 （2）生活中计算圆柱形物体的表面积时，可以分为三种情况：①直接计算物体的侧面积 ②用圆柱的侧面积加一个底面积。③用圆柱的侧面积加两个底面积。注意所标出的数据的 单位是否一致。 易错点2圆柱体积的计算。 误区点拨： （1）计算圆柱体积时，错用圆柱的底面周长乘高。 （2）计算圆柱体积时，用圆柱的底面积乘高，注意一个数乘3.14的结果要准确，有时要灵 活使用乘法分配律进行简便计算。 易错点3圆锥体积的计算。 误区点拨： （1）计算圆锥的体积时，常忘记乘公式中的。 （2）不要忘记公式中的“×”。当一个圆柱和一个圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥 的3倍，圆锥的体积是圆柱的。 易错点4 计量单位没有统一。 误区点拨： （1）计算物体的表面积或体积时，单位不统一就直接计算。 （2）在计算物体的表面积或体积时，要注意相关联的量的单位是否统一，如果单位不统，先统一单位再计算。 04 巩固拔高 一、填空题 1．5月30日上午，神舟十六号载人飞船成功发射，延安苹果又一次随航天员去“天宫”。小温观看了神舟十六号载人飞船发射后，打算做一个火箭模型，他把棱长8厘米的正方体橡皮泥做成了组合在一起的等底等高的一个圆柱体和一个圆锥体（如图），这个圆柱体的体积是( )立方厘米，这个圆锥体的体积是( )立方厘米。 【答案】384 128 【分析】首先根据正方体的体积公式：V＝a3，求出这块橡皮泥的体积，因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以等底等高的圆柱与圆锥的体积和相当于圆锥体积的（3＋1）倍，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法求出圆锥的体积，进而求出圆柱的体积。 【解答】8×8×8÷（3＋1） ＝8×8×8÷4 ＝128（立方厘米） 128×3＝384（立方厘米） 这个圆柱的体积是384立方厘米，这个圆锥的体积是128立方厘米。 【点评】此题主要考查正方体体积公式的灵活运用，等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用，关键是熟记公式。 2．一个直径12米的半圆形鱼池的周长是( )米，占地面积是( )平方米。向鱼池中注入0.8米深的水，再放一些石头和小鱼，水面上升了5厘米，鱼池注入了( )升水，石头和小鱼的总体积是( )立方米。 【答案】30.84 56.52 45216 2.826 【分析】根据半圆的周长公式：C＝d÷2＋d，半圆的面积公式：S＝r2÷2，半圆柱的体积公式：V＝Sh，石头和小鱼放入鱼池中，上升部分水的体积就等于石头和小鱼的体积。据此解答即可。 【解答】5厘米＝0.05米 3.14×12÷2＋12 ＝18.84＋12 ＝30.84（米） 3.14×（12÷2）2÷2 ＝3.14×36÷2 ＝113.04÷2 ＝56.52（平方米） 56.52×0.8＝45.216（立方米） 45.216立方米＝45216升 56.52×0.05＝2.826（立方米） 半圆形鱼池的周长是30.84米，面积是56.52平方米，鱼池注入了45216升水，石头和小鱼的总体积是2.826立方米。 【点评】此题主要考查半圆的周长公式、半圆的面积公式、半圆柱的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 3．一个圆柱的底面直径是6分米，高比直径少，这个圆柱的高是( )分米，表面积是( )平方分米。 【答案】4 131.88 【分析】把圆柱的底面直径看作单位“1”，高比底面直径少，则高是底面直径的1－，根据乘法的意义，用6×（1－），求出圆柱的高，再根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，代入数据，即可解答。 【解答】6×（1－） ＝6× ＝4（分米） 3.14×（6÷2）2×2＋3.14×6×4 ＝3.14×32×2＋18.84×4 ＝3.14×9×2＋75.36 ＝28.26×2＋75.36 ＝56.52＋75.36 ＝131.88（平方分米） 一个圆柱的底面直径是6分米，高比直径少，这个圆柱的高是4分米，表面积是131.88平方分米。 【点评】熟练掌握求比一个数多或少几分之几的数是多少的计算方法，以及圆柱的表面积公式是解答本题的关键。 4．在一个圆柱体容器里盛满水后，倒入和它等底等高的圆锥体容器，可以倒满( )个这样的圆锥体容器。如果一个圆锥体容器的容积是16cm3，则这个圆柱的容积是( )cm3。 【答案】3 48 【分析】因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以一个圆柱体容器里盛满水后，倒入和它等底等高的圆锥体容器，可以倒满3个这样的圆锥体容器。已知一个圆锥体容器的容积，求这个圆柱的容积，用圆锥的容积乘3即可解答。 【解答】（个） （cm3） 可以倒满3个这样的圆锥体容器。如果一个圆锥体容器的容积是cm3，则这个圆柱的容积是48cm3。 5．把一段圆柱形钢材切削成一个最大的圆锥体，切削掉的部分重12kg，这段圆柱形钢材原来重( )kg。 【答案】18 【分析】把一段圆柱形钢材切削成一个最大的圆锥体，圆柱和圆锥等底等高，圆柱体积是圆锥体积的3倍，削去部分是圆锥体积的（3－1）倍，因为是相同的材料，它们之间的重量也是相同的关系，切削掉的部分的重量÷（3－1）＝圆锥重量，圆锥重量×3＝圆柱重量，据此列式计算。 【解答】12÷（3－1）×3 ＝12÷2×3 ＝18（kg） 这段圆柱形钢材原来重18kg。 6．在科技小组活动时，兰兰和同学们想制作神舟十五号的载人飞船模型，她把一根长8dm的圆柱截成4个小圆柱，表面积比原来增加了42dm2，这个圆柱原来的体积是( )dm3。 【答案】56 【分析】将一个圆柱截成4个小圆柱，表面积比原来增加了6个底面的面积，则一个底面的面积为7平方分米，那么再根据圆柱体积=底面积×高，即可得解。 【解答】42÷6×8 =7×8 =56（立方分米） 则这个圆柱原来的体积是56立方分米。 7．把一个棱长6分米的正方体钢锭熔铸成一个底面积是54平方分米的圆柱，圆柱的高是( )分米。 【答案】4 【分析】根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体体积；正方体钢锭熔铸成圆柱，体积不变，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；高＝体积÷底面积，代入数据，即可解答。 【解答】6×6×6÷54 ＝36×6÷54 ＝216÷54 ＝4（分米） 把一个棱长6分米的正方体钢锭熔铸成一个底面积是54平方分米的圆柱，圆柱的高是4分米。 8．一个圆柱体，如果把它的高截短4厘米，表面积就减少125.6平方厘米，它的体积减少( )立方厘米。 【答案】314 【分析】根据题干可知，减少的125.6平方厘米的表面积，就是圆柱截下的高为4厘米的圆柱的侧面积，由此先利用圆柱的侧面积及对应的高求出圆柱的底面半径，再利用圆柱的体积公式求出减少的体积。圆柱底面半径：r＝S÷h÷π÷2，圆柱体积：V＝πr2h。 【解答】底面半径： 125.6÷4÷3.14÷2 ＝31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 减少的体积： 3.14×52×4 ＝3.14×25×4 ＝314（立方厘米） 即，一个圆柱体，如果把它的高截短4厘米，表面积就减少125.6平方厘米，它的体积减少体积减少了314立方厘米。 二、选择题 9．如图，把正方体削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是（    ）cm3。 A．159.48 B．56.52 C．28.26 D．18.84 【答案】A 【分析】把正方体削成一个最大的圆锥，圆柱的底面直径和高都等于正方体棱长，削去部分的体积＝正方体体积－圆锥体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，圆锥体积＝底面积×高÷3，据此列式计算。 【解答】6×6×6－3.14×（6÷2）2×6÷3 ＝216－3.14×32×6÷3 ＝216－3.14×9×6÷3 ＝216－56.52 ＝159.48（cm3） 削去部分的体积是159.48cm3。 故答案为：A 10．把一根圆柱形木料削成一个最大的圆锥，削掉的部分是20立方分米，这段木料原来的体积是（    ）立方分米。 A．30 B．40 C．60 D．120 【答案】A 【分析】把一根圆柱形木料削成一个最大的圆锥，圆柱与圆锥等底等高，圆柱体积是圆锥体积的3倍，削掉部分是圆锥体积的2倍，削掉部分÷2＝圆锥体积，圆锥体积×3＝圆柱体积，据此分析。 【解答】20÷2×3 ＝10×3 ＝30（立方分米） 这段木料原来的体积是30立方分米。 故答案为：A 11．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积相差18cm3，这个圆柱的体积是（      ）cm3。 A．6 B．9 C．18 D． 【答案】D 【分析】当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱体积是圆锥体积的3倍；又知它们的体积差为18cm3，根据两数之差：（倍数－1）＝小数即可求出圆锥体积，进而求出圆柱的体积。 【解答】由分析可知，圆锥的体积： 18÷（3－1） ＝18÷2 ＝9（cm3） 9×3＝27（cm3） 这个圆柱的体积是27cm3。 故答案为：D 12．一支尖端部分是圆锥形的铅笔，圆锥部分的长度是圆柱部分的，则圆锥部分的体积是圆柱体积的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，这支铅笔的圆柱部分和圆锥部分的底面积相等，可以设它们的底面积都是S； 由圆锥部分的长度是圆柱部分的，可以设圆柱的长度是h，则圆锥的长度是h； 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，分别求出圆柱部分和圆锥部分的体积，再用圆锥部分的体积除以圆柱部分的体积，即可求出圆锥部分的体积是圆柱体积的几分之几。 【解答】设圆锥和圆柱的底面积都是S，圆柱的长度是h，则圆锥的长度是h。 圆柱的体积：Sh； 圆锥的体积：×S×h＝Sh Sh÷Sh＝ 圆锥部分的体积是圆柱体积的。 故答案为：C 13．将一盒900mL的饮料倒入3个这样的圆柱形杯子（如图）中，（    ）。 A．刚好全部倒满，且没有剩余 B．不能倒满 C．倒满后还有剩余 D．不能确定 【答案】C 【分析】已知圆柱形杯子的底面直径和高，根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，求出一个杯子的容积，再乘3，即是3个这样的杯子的容积，与饮料的体积相比较，得出结论。注意单位的换算：1mL＝1cm3。 【解答】3.14×（6÷2）2×10×3 ＝3.14×32×10×3 ＝3.14×9×10×3 ＝847.8（cm3） 847.8cm3＝847.8mL 900＞847.8 倒满后还有剩余。 故答案为：C 14．如选项中所示圆柱，与如图所示圆锥体积相等的是（    ）（单位：cm）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥的体积公式V＝πr2h，圆柱的体积公式V＝πr2h，分别求出圆锥的体积与各选项中圆柱的体积，找出与圆锥的体积相等的选项即可。 【解答】圆锥的体积： ×π×（6÷2）2×15 ＝×π×32×15 ＝×π×9×15 ＝45π（cm3） A．π×（6÷2）2×5 ＝π×32×5 ＝π×9×5 ＝45π（cm3） 圆柱的体积与圆锥的体积相等，符合题意； B．π×（2÷2）2×10 ＝π×12×10 ＝10π（cm3） 圆柱的体积与圆锥的体积不相等，不符合题意； C．π×（6÷2）2×15 ＝π×32×15 ＝π×9×15 ＝135π（cm3） 圆柱的体积与圆锥的体积不相等，不符合题意； D．π×（2÷2）2×18 ＝π×12×18 ＝18π（cm3） 圆柱的体积与圆锥的体积不相等，不符合题意。 故答案为：A 15．一个圆柱形水桶，底面直径是40厘米，高是50厘米，装满水后倒入一个长80厘米、宽50厘米的长方体水箱中，水的深度是多少厘米？（    ） A．31.4厘米 B．15.7厘米 C．25厘米 D．62.8厘米 【答案】B 【分析】根据圆柱体积＝底面积×高，求出水的体积，水的深度相当于长方体的高，再根据长方体的高＝体积÷底面积，列式计算即可。 【解答】3.14×（40÷2）2×50÷（80×50） ＝3.14×202×50÷4000 ＝3.14×400×50÷4000 ＝62800÷4000 ＝15.7（厘米） 水的深度是15.7厘米。 故答案为：B 16．将一根体积为1.2m3，长为6m的圆柱木头锯成同样长的3段，它的表面积增加了（    ）。 A．0.4m2 B．0.6m2 C．0.8m2 D．0.2m2 【答案】C 【分析】圆柱木头锯成同样长的3段，增加4个截面的面积，也就是圆柱的底面积；根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，底面积＝体积÷高，代入数据，求出圆柱的底面积，再用底面积×4，即可求出增加的面积，据此解答。 【解答】1.2÷6×4 ＝0.2×4 ＝0.8（m²） 将一根体积为1.2m3，长为6m的圆柱木头锯成同样长的3段，它的表面积增加了0.8m2。 故答案为：C 三、计算题 17．求如图物体的体积。 【答案】7822.5立方厘米 【分析】观察图形可知，这个图形的体积等于长30厘米，宽20厘米，高15厘米的长方体的体积减去底面直径为10厘米，高30厘米的圆柱体积的一半，据此利用长方体和圆柱体的体积公式计算即可解答。 【解答】 物体的体积是7822.5立方厘米。 18．求下列图形的体积。（单位：厘米） 【答案】159.48立方厘米 【分析】题干中的图形是正方体减去圆锥的体积，正方体的棱长为6厘米，圆锥的底面直径为6厘米，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，圆锥体积＝，图形的体积＝正方体体积－圆锥体积，据此可计算得出答案。 【解答】图形的体积为： （立方厘米） 四、解答题 19．一个圆柱形水池，水池内壁和底部都镶上瓷砖，水池内部底面周长25.12m，池深1.5m，镶瓷砖的面积是多少平方米？ 【答案】87.92平方米 【分析】由题可知，水池内壁和底部都镶上瓷砖，其实就是圆柱体的侧面积，侧面积＝底面周长×高，和一个底面积，底面积＝πr2，根据底面周长可求出底圆半径，从而求出底面积；通过底面周长和池深即可求出侧面积，以此解答。 【解答】25.12×1.5＋3.14×（25.12÷3.14÷2）2 ＝37.68＋3.14×（8÷2）2 ＝37.68＋3.14×42 ＝37.68＋3.14×16 ＝37.68＋50.24 ＝87.92（平方米） 答：镶瓷砖的面积是87.92平方米。 【点评】此题主要考查学生对圆柱形水池内表面积的计算，要注意实际需要计算的面。 20．聪聪是个科学迷，在家经常动手做科学小实验，他感觉小区的水质有问题，于是做了个过滤装置进行“污水过滤”的实验，下图是他改装的过滤装置：上层漏斗是近似的圆锥，底面直径是6厘米，高5厘米，实验规定漏斗中的液体体积不能超过漏斗容积的此时漏斗内水的体积刚好到规定的临界值，漏斗的过滤速度是0.5毫升/秒。则漏斗内的水过滤完需要多少秒？ 【答案】62.8秒 【分析】根据圆锥的体积：V＝sh＝πr2h，代入数据计算，即可求出圆锥的容积。从题意可知，漏斗中的液体刚好是漏斗容积的即圆锥容积×即求出液体的体积。漏斗的过滤速度是0.5毫升/秒，用液体的体积÷0.5，就求出了滤完需要的时间。据此解答。 【解答】（6÷2）2×3.14×5×× ＝32×3.14×5×× ＝31.4（立方厘米） ＝31.4（毫升） 31.4÷0.5＝62.8（秒） 答：漏斗内的水过滤完需要62.8秒。 21．工地上有一个圆锥形沙堆，沙堆的底面直径是6米，高30分米。把它铺在一条长31.4米、宽9米的公路上，可以铺多厚？ 【答案】0.1米 【分析】先利用圆锥的体积计算公式求出这堆沙的体积，再据沙子的体积不变，代入长方体的体积公式即可求出所铺沙子的厚度。 【解答】30分米＝3米 沙子体积： （立方米） 厚度： （米） 答：可以铺0.1米厚。 【点评】本题考查圆锥的体积、长方体的体积，解答本题的关键是掌握圆锥的体积、长方体的体积计算公式。 22．张大伯家有一堆小麦，堆成了圆锥形，张大伯量得它的底面周长是9.42米，高是2米，这堆小麦的体积是多少立方米？如果每立方米小麦的质量为700千克，这堆小麦的质量为多少千克？ 【答案】4.71立方米；3297千克 【分析】先根据圆锥的底面周长求出底面半径，再利用“”求出这堆小麦的体积，这堆小麦的质量＝这堆小麦的体积×每立方米小麦的质量，据此解答。 【解答】9.42÷3.14÷2 ＝3÷2 ＝1.5（米） ＝ ＝ ＝ ＝1.5×3.14 ＝4.71（立方米） 4.71×700＝3297（千克） 答：这堆小麦的体积是4.71立方米，这堆小麦的质量为3297千克。 23．2021年4月22日，习近平总书记在北京以视频方式出席世界“领导人气候峰会”，他在讲话中指出：“以能源绿色低碳发展为关键，坚持走生态优先、绿色低碳的发展道路。”淘气准备制作一个低碳节能立体标志（如下图，单位：厘米）。这个节能标志的体积是多少？ 【答案】41.72立方厘米 【分析】根据图可知，这个立体标志是一个长方体减去中间的一个圆柱体，根据长方体的体积：长×宽×高，圆柱体的体积：底面积×高，把数代入公式即可求解。 【解答】6×2×4－3.14×（2÷2）2×2 ＝48－6.28 ＝41.72（立方厘米） 答：这个节能标志的体积是41.72立方厘米。 【点评】本题主要考查长方体、圆柱的体积公式，熟练掌握它们的体积公式并灵活运用。 24．用铁皮制作一个有盖的圆柱形油桶，底面半径是2分米，高与底面半径的比是。制作这个油桶至少需要多少平方分米的铁皮？ 【答案】75.36平方分米 【分析】由题，已知圆柱的底面半径是2分米，高与底面半径的比是，即高是底面半径的2倍，据此可以求出圆柱的高。制作这个油桶需要铁皮的面积就是圆柱2个底面的面积和侧面积的和。根据圆的面积公式：，圆柱的侧面积公式：，把数据分别代入公式解答。 【解答】2×2＝4（分米） 2×3.14×2×4＋2×3.14×22 ＝3.14×16＋6.28×4 ＝50.24＋25.12 ＝75.36（平方分米） 答：制作这个油桶至少需要75.36平方分米的铁皮。 【点评】本题考查圆柱表面积公式的应用，关键是熟记公式并明确是求哪几个面的面积和。 25．一根圆柱形木材长2米，把它截成相等的4段后，表面积增加了18.84平方分米。原来这根圆木的体积是多少立方分米？ 【答案】62.8立方分米 【分析】截成相等的4段后，表面积增加（4－1）×2＝6个底面面积，总增加的面积÷底面个数求出木材底面面积，再代入体积公式：V＝Sh计算即可。 【解答】2米＝20分米 （4－1）×2 ＝3×2 ＝6（个） 18.84÷6×20 ＝3.14×20 ＝62.8（立方分米） 答：原来这根圆木的体积是62.8立方分米。 【点评】本题主要考查圆柱的体积公式，明确截成4段后，增加6个底面面积是解题的关键。 26．在“五一”小长假里，小平和小天到厦门鼓浪屿游玩。他们用一样的钱给自己的妈妈买了一个圆锥形贝壳工艺品（如下图）。 （1）这个贝壳工艺品的体积是多少立方厘米？ （2）小平和小天都带了一些钱，他们带的钱的比是5∶3，买了贝壳工艺品后，小平的钱还剩360元，小天还剩120元。小天带了多少钱？ 【答案】（1）157立方厘米 （2）360元 【分析】（1）从图中可知，这个圆锥形贝壳工艺品的底面直径是10厘米，高是6厘米；根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出这个贝壳工艺品的体积。 （2）已知小平和小天带的钱的比是5∶3，他们买的贝壳工艺品的价钱一样，所以两人剩下的钱的比仍是5∶3，即小平剩下的钱占5份，小天剩下的钱占3份，相差（5－3）份；已知小平的钱还剩360元，小天还剩120元，两个剩下的钱相差（360－120）元，用相差的钱数除以份数差，求出一份数，再乘小天的份数，即可求出小天带的钱数。 【解答】（1）10÷2＝5（厘米） ×3.14×52×6 ＝×3.14×25×6 ＝157（平方厘米） 答：这个贝壳工艺品的体积是157立方厘米。 （2）（360－120）÷（5－3） ＝240÷2 ＝120（元） 120×3＝360（元） 答：小天带了360元。 27．建设新农村时，为了废物利用的同时开发新能源，计划在空地建造一个圆柱形沼气池，这个圆柱形沼气池如下图： （1）建设时至少需要准备多大的空地？ （2）这个沼气池占用了多大的空间？ 【答案】（1）200.96平方米 （2）1607.68立方米 【分析】（1）求建设时至少需要准备多大的空地，就是求底面直径是16米的圆柱的底面积，根据圆的面积＝解答即可； （2）求这个沼气池占用了多大的空间，就是求沼气池的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高解答即可。 【解答】（1）16÷2＝8（米） 3.14×＝200.96（平方米） 答：建设时至少需要准备200.96平方米的空地。 （2）（立方米） 答：这个沼气池占用了1607.68立方米。 28．阅读下面资料，解决问题。 生物在进化过程中，为了求得生存，动物的骨、植物的茎等都是空心的，而且内圆直径和外圆直径之比大约都是8∶11。研究表明，当一根空心管子底面的内圆直径和外圆直径之比是8∶11时最不容易弯曲。根据这个研究，人们制成了空心零件、自行车的车身架等，以达到耗费最少材料而使其最坚固的目的。 （1）按照上面的研究，工人师傅制作了一种塑料零件（如下图）。这个零件底面的内圆直径是多少厘米？ （2）做这种塑料零件需要多少立方厘米的塑料？（π取3） 【答案】（1）16厘米 （2）6840立方厘米 【分析】（1）设这个零件底面的内圆直径是x厘米，根据内圆直径和外圆直径之比大约都是8∶11列比例解答； （2）用底面直径是22厘米的圆柱的体积减去空心圆柱的体积就是做这种塑料零件需要多少立方厘米的塑料，根据公式：外圆柱的体积与空心圆柱的体积差为：×（－）h解答即可。 【解答】（1）解：设这个零件底面的内圆直径是x厘米。 x∶22＝8∶11 11x＝176 x＝176÷11 x＝16 答：这个零件底面的内圆直径是16厘米。 （2）22÷2＝11（厘米） 16÷2＝8（厘米） 3×（－）×40 ＝3×（121－64）×40 ＝3×57×40 ＝171×40 ＝6840（立方厘米） 答：做这种塑料零件需要6840立方厘米的塑料。 29．现有两个等高的容器（如图），圆锥体容器的半径是15厘米，圆柱体容器的半径是12厘米。现将圆锥体容器装满水倒入圆柱体容器内，这时水深比圆柱体容器高度的低3厘米。问：这两个容器的高是多少厘米？ 【答案】9.6厘米 【分析】假设两个容器的高为x厘米，现将圆锥体容器装满水倒入圆柱体容器内，这时水深比圆柱体容器高度的低3厘米，则把圆柱的容器高度看作单位“1”，根据分数乘法的意义，圆柱现在的水深是（x－3）厘米，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，和圆锥的体积公式：πr2h，列方程为×π×152×x＝π×122×（x－3），然后解出方程即可。 【解答】解：设两个容器的高为x厘米。 ×π×152×x＝π×122×（x－3） ×π×225×x＝π×144×（x－3） ×π×225×x÷π＝π×144×（x－3）÷π ×225×x＝144×（x－3） 75x＝120x－432 120x－75x＝432 45x＝432 x＝432÷45 x＝9.6 答：这两个容器的高都是9.6厘米。 【点评】本题主要考查了圆柱和圆锥的灵活应用，可用列方程解决问题，掌握相应的公式是解答本题的关键。 30．李师傅想用一个底面直径为10厘米、高为15厘米的圆柱体木桩加工工艺品。 工序一：截取一段圆柱体木桩削成最大的圆锥，使得圆锥的体积是235.5立方厘米； 工序二：把圆锥和剩下的圆柱拼接起来，在圆锥部分雕刻上花纹，圆柱外部涂上颜料； 工序三：把做好的工艺品用长方体纸盒进行包装，请你帮李师傅算一算。 （1）截取的木桩有多高？ （2）拼接后，需涂颜料的面积是多少平方厘米？ （3）这个长方体纸盒的体积至少是多少立方厘米？ 【答案】（1）9厘米 （2）266.9平方厘米 （3）1500立方厘米 【分析】（1）截取一段圆柱体木桩削成最大的圆锥，那么圆锥与圆柱等底；根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积；根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷S，代入数据计算，即可求出截取木桩的高。 （2）先用原来木桩的高减去圆锥的高，即是剩下圆柱的高；把圆锥和剩下的圆柱拼接起来，在剩下圆柱的外部涂上颜料，那么需涂颜料的面积＝圆柱的侧面积＋底面积，其中S侧＝πdh，代入数据计算即可求解。 （3）把底面直径为10厘米，高为15厘米的木桩工艺品用长方体纸盒进行包装，则这个长方体的长、宽都等于木桩的底面直径，高等于木桩的高；根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这个长方体纸盒的体积。 【解答】（1）圆锥的底面积： 3.14×（10÷2）2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 圆锥的高： 235.5×3÷78.5 ＝706.5÷78.5 ＝9（厘米） 答：截取的木桩有9厘米高。 （2）3.14×10×（15－9）＋78.5 ＝3.14×10×6＋78.5 ＝188.4＋78.5 ＝266.9（平方厘米） 答：需涂颜料的面积是266.9平方厘米。 （3）10×10×15＝1500（立方厘米） 答：这个长方体纸盒的体积至少是1500立方厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一单元 圆柱与圆锥（知识清单） （知识梳理+重点提炼+易错集锦+巩固拔高） 01 知识梳理 1、点动成线，线动成面，面动成体。 2、将一个长方形以长（宽）为轴，快速旋转后可以形成一个圆柱。 圆柱有两个底面和一个侧面，两个底面是两个完全相同的圆，侧面是一个曲面，圆柱有无数条高，所有的高都相等。 3、将一个直角三角形沿一条直角边快速旋转，会形成一个圆锥。 圆锥的底面是一个圆，圆锥的侧面是一个曲面，圆锥只有一条高。 4、圆柱的侧面积。 圆柱的侧面如果沿高剪开得到一个长方形，长方形的长就是圆柱的底面的周长，长方形的宽就是圆柱的高。 圆柱的侧面积=底面周长×高，用字母表示：S侧=Ch 5、圆柱的表面积。 圆柱的表面积=侧面积+两个底面积 圆柱的表面积公式：S表=2πr²+2πrh。 圆柱的表面积=侧面积+两个底面积（S表=S侧+2S底）； 圆柱的底面积=圆的面积，也就是S底=πr²。 6、意义：圆柱形物体所占空间的大小叫作圆柱的体积。 7、圆柱的体积的计算公式。 圆柱的体积=底面积×高。 如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高，那么圆柱的体积计算公式是V=Sh，用字母表示：V=S×h。 8、圆柱体积公式的应用。 圆柱的体积=底面积×高。 ①如果已知圆柱的高和底面卓径，那么圆柱的体积计算公式是V=πr2h。 ②如果已知圆柱的高和底面直径，那么圆柱的体积计算公式是V=π（）2h。 ③如果已知圆柱的高和底面周长，那么圆柱的体积计算公式是V=π（）2h。 9、圆柱形容器的容积。 圆柱形容器的容积=圆柱形容器内部的底面积×内部的高，当容器壁的厚度忽略不计时，容器的体积等于容积。 10、不规则物体的体积。 计算不规则物体的体积，可以借助圆柱形容器和水，给圆柱形容器里装适量的水，量出水的高度，把不规则物体放入容器完全浸入水中，并且水不被溢出，这时测量水的高度，上升的水的体积就是不规则物体的体积。 11、意义：圆锥形物体所占空间的大小叫作圆锥的体积。 12、圆锥的体积公式。 一个圆锥和一个圆柱的底面积和高都相等，将圆锥形容器装满沙子，再倒入圆柱形容器，3次可以倒满。所以说圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的。 圆锥的体积=圆柱的体积× 用字母表示为V=Sh V=πr2h× 13、求圆锥体积时，方法如下： （1）如果题中给出底面积和高这两个条件，可以直接运用V=Sh这一公式。 （2）如果题中给出底面半径和高这两个条件，可以运用V=πr2h这一公式。 （3）如果题中给出底面直径和高这两个条件，可以运用V=π（）2h这一公式。 02 重点提炼 1、经历由面旋转成圆柱、圆锥的活动，体会点、线、面、体之间的关系。（2）通过具体的情境和实际操作，探索圆柱侧面积的计算方法，掌握圆柱侧面积和表面积的计算方法，能正确计算圆柱的侧面积和表面积。 2、能灵活运用圆柱表面积的计算方法解决实际问题。 3、通过具体情境观察，实物感知等活动，感受物体体积的大小，发展空间观念； 4、掌握圆柱体积的计算方法，能正确计算圆柱的体积，能运用圆柱的体积计算方法解决简单的实际问题。 5、采用“类比猜想--验证说明”的方式来探索圆锥的体积计算公式，能准确地掌握圆锥的体积计算方法，会正确计算圆锥的体积，并能解决一些简单的实际问题。 03 易错集锦 易错点1圆柱形物体表面积的计算。 误区点拨： （1）对圆柱形物体的表面积公式运用不熟，底面积计算错误 （2）生活中计算圆柱形物体的表面积时，可以分为三种情况：①直接计算物体的侧面积 ②用圆柱的侧面积加一个底面积。③用圆柱的侧面积加两个底面积。注意所标出的数据的 单位是否一致。 易错点2圆柱体积的计算。 误区点拨： （1）计算圆柱体积时，错用圆柱的底面周长乘高。 （2）计算圆柱体积时，用圆柱的底面积乘高，注意一个数乘3.14的结果要准确，有时要灵 活使用乘法分配律进行简便计算。 易错点3圆锥体积的计算。 误区点拨： （1）计算圆锥的体积时，常忘记乘公式中的。 （2）不要忘记公式中的“×”。当一个圆柱和一个圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥 的3倍，圆锥的体积是圆柱的。 易错点4 计量单位没有统一。 误区点拨： （1）计算物体的表面积或体积时，单位不统一就直接计算。 （2）在计算物体的表面积或体积时，要注意相关联的量的单位是否统一，如果单位不统，先统一单位再计算。 04 巩固拔高 一、填空题 1．5月30日上午，神舟十六号载人飞船成功发射，延安苹果又一次随航天员去“天宫”。小温观看了神舟十六号载人飞船发射后，打算做一个火箭模型，他把棱长8厘米的正方体橡皮泥做成了组合在一起的等底等高的一个圆柱体和一个圆锥体（如图），这个圆柱体的体积是( )立方厘米，这个圆锥体的体积是( )立方厘米。 2．一个直径12米的半圆形鱼池的周长是( )米，占地面积是( )平方米。向鱼池中注入0.8米深的水，再放一些石头和小鱼，水面上升了5厘米，鱼池注入了( )升水，石头和小鱼的总体积是( )立方米。 3．一个圆柱的底面直径是6分米，高比直径少，这个圆柱的高是( )分米，表面积是( )平方分米。 4．在一个圆柱体容器里盛满水后，倒入和它等底等高的圆锥体容器，可以倒满( )个这样的圆锥体容器。如果一个圆锥体容器的容积是16cm3，则这个圆柱的容积是( )cm3。 5．把一段圆柱形钢材切削成一个最大的圆锥体，切削掉的部分重12kg，这段圆柱形钢材原来重( )kg。 6．在科技小组活动时，兰兰和同学们想制作神舟十五号的载人飞船模型，她把一根长8dm的圆柱截成4个小圆柱，表面积比原来增加了42dm2，这个圆柱原来的体积是( )dm3。 7．把一个棱长6分米的正方体钢锭熔铸成一个底面积是54平方分米的圆柱，圆柱的高是( )分米。 8．一个圆柱体，如果把它的高截短4厘米，表面积就减少125.6平方厘米，它的体积减少( )立方厘米。 二、选择题 9．如图，把正方体削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是（    ）cm3。 A．159.48 B．56.52 C．28.26 D．18.84 10．把一根圆柱形木料削成一个最大的圆锥，削掉的部分是20立方分米，这段木料原来的体积是（    ）立方分米。 A．30 B．40 C．60 D．120 11．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积相差18cm3，这个圆柱的体积是（      ）cm3。 A．6 B．9 C．18 D． 12．一支尖端部分是圆锥形的铅笔，圆锥部分的长度是圆柱部分的，则圆锥部分的体积是圆柱体积的（    ）。 A． B． C． D． 13．将一盒900mL的饮料倒入3个这样的圆柱形杯子（如图）中，（    ）。 A．刚好全部倒满，且没有剩余 B．不能倒满 C．倒满后还有剩余 D．不能确定 14．如选项中所示圆柱，与如图所示圆锥体积相等的是（    ）（单位：cm）。 A． B． C． D． 15．一个圆柱形水桶，底面直径是40厘米，高是50厘米，装满水后倒入一个长80厘米、宽50厘米的长方体水箱中，水的深度是多少厘米？（    ） A．31.4厘米 B．15.7厘米 C．25厘米 D．62.8厘米 16．将一根体积为1.2m3，长为6m的圆柱木头锯成同样长的3段，它的表面积增加了（    ）。 A．0.4m2 B．0.6m2 C．0.8m2 D．0.2m2 三、计算题 17．求如图物体的体积。 18．求下列图形的体积。（单位：厘米） 四、解答题 19．一个圆柱形水池，水池内壁和底部都镶上瓷砖，水池内部底面周长25.12m，池深1.5m，镶瓷砖的面积是多少平方米？ 20．聪聪是个科学迷，在家经常动手做科学小实验，他感觉小区的水质有问题，于是做了个过滤装置进行“污水过滤”的实验，下图是他改装的过滤装置：上层漏斗是近似的圆锥，底面直径是6厘米，高5厘米，实验规定漏斗中的液体体积不能超过漏斗容积的此时漏斗内水的体积刚好到规定的临界值，漏斗的过滤速度是0.5毫升/秒。则漏斗内的水过滤完需要多少秒？ 21．工地上有一个圆锥形沙堆，沙堆的底面直径是6米，高30分米。把它铺在一条长31.4米、宽9米的公路上，可以铺多厚？ 22．张大伯家有一堆小麦，堆成了圆锥形，张大伯量得它的底面周长是9.42米，高是2米，这堆小麦的体积是多少立方米？如果每立方米小麦的质量为700千克，这堆小麦的质量为多少千克？ 23．2021年4月22日，习近平总书记在北京以视频方式出席世界“领导人气候峰会”，他在讲话中指出：“以能源绿色低碳发展为关键，坚持走生态优先、绿色低碳的发展道路。”淘气准备制作一个低碳节能立体标志（如下图，单位：厘米）。这个节能标志的体积是多少？ 24．用铁皮制作一个有盖的圆柱形油桶，底面半径是2分米，高与底面半径的比是。制作这个油桶至少需要多少平方分米的铁皮？ 25．一根圆柱形木材长2米，把它截成相等的4段后，表面积增加了18.84平方分米。原来这根圆木的体积是多少立方分米？ 26．在“五一”小长假里，小平和小天到厦门鼓浪屿游玩。他们用一样的钱给自己的妈妈买了一个圆锥形贝壳工艺品（如下图）。 （1）这个贝壳工艺品的体积是多少立方厘米？ （2）小平和小天都带了一些钱，他们带的钱的比是5∶3，买了贝壳工艺品后，小平的钱还剩360元，小天还剩120元。小天带了多少钱？ 27．建设新农村时，为了废物利用的同时开发新能源，计划在空地建造一个圆柱形沼气池，这个圆柱形沼气池如下图： （1）建设时至少需要准备多大的空地？ （2）这个沼气池占用了多大的空间？ 28．阅读下面资料，解决问题。 生物在进化过程中，为了求得生存，动物的骨、植物的茎等都是空心的，而且内圆直径和外圆直径之比大约都是8∶11。研究表明，当一根空心管子底面的内圆直径和外圆直径之比是8∶11时最不容易弯曲。根据这个研究，人们制成了空心零件、自行车的车身架等，以达到耗费最少材料而使其最坚固的目的。 （1）按照上面的研究，工人师傅制作了一种塑料零件（如下图）。这个零件底面的内圆直径是多少厘米？ （2）做这种塑料零件需要多少立方厘米的塑料？（π取3） 29．现有两个等高的容器（如图），圆锥体容器的半径是15厘米，圆柱体容器的半径是12厘米。现将圆锥体容器装满水倒入圆柱体容器内，这时水深比圆柱体容器高度的低3厘米。问：这两个容器的高是多少厘米？ 30．李师傅想用一个底面直径为10厘米、高为15厘米的圆柱体木桩加工工艺品。 工序一：截取一段圆柱体木桩削成最大的圆锥，使得圆锥的体积是235.5立方厘米； 工序二：把圆锥和剩下的圆柱拼接起来，在圆锥部分雕刻上花纹，圆柱外部涂上颜料； 工序三：把做好的工艺品用长方体纸盒进行包装，请你帮李师傅算一算。 （1）截取的木桩有多高？ （2）拼接后，需涂颜料的面积是多少平方厘米？ （3）这个长方体纸盒的体积至少是多少立方厘米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$