精品解析：2025年山西省朔州市怀仁市中考一模数学试题

怀仁市2024—2025学年第二学期九年级学业质量监测 数学 注意事项： 1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡位置涂黑） 1. 智能焊接机器人是一种自动化设备，集合了多种先进技术．为了测试其精确度，四个智能焊接机器人分别对同一需要焊接的位置进行两次测量，下面是每个机器人两次测量结果的差，则两次测量结果最接近的是（ ） A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米 2. 以下是我国不同地区无偿献血的标志，其标志图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 小明五一假期在某博物馆看到了如图1所示的展品，了解到它是我国古代官仓、粮栈、米行等进行粮食计量的必备工具——米斗，凝聚着中国人上千年的智慧和匠心精神，且有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征．其示意图（不记厚度）如图2所示，则其俯视图为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，如下为记录几次数据之后所列表格： 1 2 3 8 19 则y与x之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 6. 小亮设计了一个“配绿色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的扇形．游戏者同时转动两个转盘（规定：指针恰好停在分界线上，则重新转一次），如果转盘A指针指向了黄色，转盘B指针指向了蓝色，那么他就赢了，因为黄色和蓝色在一起配成了绿色．这个游戏中游戏者获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 将不等式的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线分别交于点E和点F，点G是的中点，连接．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，顶点的横坐标为2，点和点均在该函数的图象上，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 当时， D. 若函数图象与x轴的一个交点的横坐标为．则当或时， 10. 如图，四边形是平行四边形，点P是对角线上一点，过点P作的平行线分别交于点M和点N，连接．若，若的面积为2，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 5 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请把答案写在答题卡的横线上） 11. 因式分解：____________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似，点B的坐标为，点的坐标为，点A的坐标为，则点的坐标为______． 13. 体育张老师为校运会规划铅球场地，他先选取点O为圆心，1米长为半径画铅球的投掷圈，再以O为圆心画扇形，已知米，，则投掷区（图中阴影部分）的面积为______平方米． 14. 2025年春晚吉祥物“巳（sì）升升”，是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A款吉祥物的单价为______元． 15. 已知是边长为4的等边三角形，点D是的中点，点E是延长线上一点，连接与相交于点F．若，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点和点，连接，过点B作轴，垂足为D，的延长线与直线交于点C． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积． 18. 如图，是的直径，直线l与相切于点C，连接，于E，的延长线交直线l于点D． （1）试判断和的大小关系，并说明理由； （2）若的半径为2，，求的长． 19. 我国在《黄帝内经》以及《左传》中记载，不同的音调对人体五脏以及情绪有不同的影响．科学研究也表明舒缓的音乐对降低人的心率，改善心肌供血有较好的辅助作用．某兴趣小组以“测试节奏舒缓的音乐对心率的影响”为课题展开研究，他们随机从本年级选取20名同学，分别测试并记录这些同学在听音乐前和听音乐时的心率，然后对相关数据进行整理和分析．（用x表示心率，单位：次/分，数据分为4组：A．，B．，C．，D．） 【数据的收集与整理】 20名同学听音乐前频数分布表 心率x（次/分） 频数 5 a 5 4 各组平均心率（次/分） 64 75 86 95 这20名同学听音乐时的心率在B组的是：71，71，73，74，74，76． 【数据分析】 平均数 中位数 方差 听音乐前 b 78 124.5 听音乐时 73 c 99 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______；_______；_______． （2）请你结合上表中的两种统计量分析节奏舒缓的音乐对心率的影响； （3）下午在学校的阶梯教室有本年级的100名同学参加这项课题研究，如果该小组在活动时播放该音乐，请估计心率在A组的同学人数． 20. 阅读与思考请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 数学兴趣课上老师提出这样一个问题：我们知道三角形三个内角的平分线交于一点，那么四边形四个内角的平分线能围成什么样的图形？同学们以小组为单位展开讨论． 善思小组经过交流后得出结论：若四边形三个内角的平分线交于一点，则第四个内角的平分线一定经过此点．善思小组给出了如下证明过程： 如图1，四边形中，，，的角平分线交于点O，过点O分别作于点E，于点F，于点G，于点H． 由角平分线的性质可知：，， ∴． ∴点O在的平分线上．（依据） 勤奋小组经过探究得出结论：四边形四个内角的平分线如果不交于一点，那么这四条角平分线围成一个对角互补的四边形．勤奋小组用下面过程说明． 如图2，四边形的四个内角的平分线分别交于点M，Q，P，N． ，别平分和， ， …… 任务： （1）材料中的“依据”指的内容是______； （2）在我们学习的特殊平行四边形中，四个内角的平分线交于一点的是______；（写出一类即可） （3）请将勤奋小组的过程补充完整； （4）已知四边形是平行四边形，，，和的平分线相交于点P，请分别在图3和图4中用不同的方法作出四个内角平分线围成的四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 21. 激光三角法测距是通过测量激光照射点在相机中的成像位置获得信息，具有技术难度低，成本低等特点．如图，激光器从点A处发射一束激光以一定的角度照射到被测目标表面的点B处，在点B处发生反射或散射，光线经过接收透镜的光心O照射在感光耦合组件上的点C处，当被测目标沿激光方向移动至点E处时，反射或者散射后的光线经过接收透镜的光心O照射在上的点F处，点G是上一点且，若测得，求被测目标移动的距离．（结果精确到，参考数据：） 22. 综合与实践 某市计划修建一条公路隧道，隧道的截面可以抽象成如图1所示的抛物线，底部宽度为12米，抛物线的最高点C距离的高度为6米，以所在直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求这条抛物线的解析式； （2）在隧道修建的过程中，需要搭建如图2所示的支架．四边形，四边形和四边形都是矩形，点E，点F，点Q和点M均在同一直线上，点D，点H，点R，点N都在抛物线上，点G和点P分别在和上，且米，除线段外，这些矩形的其他边都需要用钢材搭建，求需要钢材长度的最大值； （3）如图3，根据有关部门设计，在隧道两侧的人行道地基宽均为2米，该部门计划在点T正上方和点J正上方之间的抛物线部分设计多列灯，使隧道顶部呈现五彩缤纷的图案．若相邻两列灯的水平距离为米，灯对称分布，请你给出一种符合条件的灯的列数，并说明理由． 23. 综合与探究 问题情境： 数学课上，老师提出以下问题：如图1，正方形的顶点F，G在正方形的边和上，连接，过点A作的垂线交的延长线于点H，猜想和的数量关系，并说明理由． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题； 深入探究： （2）“善思小组”将图1中的正方形绕点C逆时针旋转，使得点G落在正方形的内部，连接，过点A作的垂线交的延长线于点H，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由； （3）“勤学小组”将图2中的正方形继续绕点C逆时针旋转，使得B，G，F在同一直线上，其余条件不变，得到如图3所示的图形，若，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怀仁市2024—2025学年第二学期九年级学业质量监测 数学 注意事项： 1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡位置涂黑） 1. 智能焊接机器人是一种自动化设备，集合了多种先进技术．为了测试其精确度，四个智能焊接机器人分别对同一需要焊接的位置进行两次测量，下面是每个机器人两次测量结果的差，则两次测量结果最接近的是（ ） A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了绝对值的意义．求出每个选项的绝对值，根据绝对值越小，测量结果越接近进行解答即可． 【详解】解：有题意可得， ∵， ∴两次测量结果最接近的是毫米， 故选：B 2. 以下是我国不同地区无偿献血的标志，其标志图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，幂的乘方，整式的除法，根据上述计算法则，逐一计算即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：A、无法合并，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意， 故选：D． 4. 小明五一假期在某博物馆看到了如图1所示的展品，了解到它是我国古代官仓、粮栈、米行等进行粮食计量的必备工具——米斗，凝聚着中国人上千年的智慧和匠心精神，且有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征．其示意图（不记厚度）如图2所示，则其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：俯视图是从上面看得到的图形，如图 故选：A． 5. 如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，如下为记录几次数据之后所列表格： 1 2 3 8 19 则y与x之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，设，用待定系数法求解析式即可解题． 【详解】解：秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系， 设与的函数关系式为：， 根据表格数据可得：， 解得， 与的函数关系式为：， 故选：A． 6. 小亮设计了一个“配绿色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的扇形．游戏者同时转动两个转盘（规定：指针恰好停在分界线上，则重新转一次），如果转盘A指针指向了黄色，转盘B指针指向了蓝色，那么他就赢了，因为黄色和蓝色在一起配成了绿色．这个游戏中游戏者获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及转盘A转出了黄色，转盘B转出了蓝色的结果数，再利用概率公式可得出答案．熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【详解】解：列表如下： 红 黄 白 （红，白） （黄，白） 蓝 （红，蓝） （黄，蓝） 粉 （红，粉） （黄，粉） 共有6种等可能的结果，其中转盘A转出了黄色，转盘B转出了蓝色的结果有1种， 这个游戏中游戏者获胜的概率是， 故选：D． 7. 将不等式的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是， 故选：A． 8. 如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线分别交于点E和点F，点G是的中点，连接．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线等于斜边一半，等腰三角形的性质，矩形的性质，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得到，则可求出，即可解答，熟知上述性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 垂直平分，点G是的中点， ， ， ， ， ， 故选：D． 9. 二次函数的图象如图所示，顶点的横坐标为2，点和点均在该函数的图象上，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 当时， D. 若函数图象与x轴的一个交点的横坐标为．则当或时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．由题意得到，即可判断A选项，当时，随着的增大而减小，即可判断B选项，抛物线开口向下，当时，函数有最大值，为，当时，，即可判断C选项，函数图象与x轴的一个交点为，根据抛物线的对称性得到函数图象与x轴的一个交点为，结合图象即可判断D选项． 【详解】解：由题意可知：对称轴为直线， ∴， 故选项A错误； 当时，随着的增大而减小， ∴若，则， 故选项B错误， ∵ ∴抛物线开口向下，当时，函数有最大值，为， ∴当时，，则， 故选项C正确； 若函数图象与x轴的一个交点的横坐标为．即函数图象与x轴的一个交点为，根据抛物线的对称性得到函数图象与x轴的一个交点为， ∵抛物线开口向下， ∴由图象可知，当时，， 故选项D错误，   故选：C． 10. 如图，四边形是平行四边形，点P是对角线上一点，过点P作的平行线分别交于点M和点N，连接．若，若的面积为2，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，根据已知条件求得，再证明，求得，则可得，即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 过点P作的平行线分别交于点M和点N， ， 四边形和四边形为平行四边形， ， 的面积为2， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：B． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请把答案写在答题卡的横线上） 11. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查利用提公因式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法是解题关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似，点B的坐标为，点的坐标为，点A的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求位似图形的坐标，正确求出位似比是解题关键．先根据点和点的坐标求出位似比，再根据位似图形的点坐标变换规律求解即可得． 【详解】解：∵和是以坐标原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为， ∴与的位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即为． 故答案为： 13. 体育张老师为校运会规划铅球场地，他先选取点O为圆心，1米长为半径画铅球的投掷圈，再以O为圆心画扇形，已知米，，则投掷区（图中阴影部分）的面积为______平方米． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了扇形面积的计算，根据题意得到，计算即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，投掷区（图中阴影部分）的面积为 （平方米） 故答案为： 14. 2025年春晚吉祥物“巳（sì）升升”，是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A款吉祥物的单价为______元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设A款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元，根据“顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同”列出分式方程，解方程即可得解． 【详解】解：设A款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 故答案为：． 15. 已知是边长为4的等边三角形，点D是的中点，点E是延长线上一点，连接与相交于点F．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，过点作于点，求出，证明，即可得到． 【详解】解：取的中点，连接，过点作于点，则 ∵是边长为4的等边三角形， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点D是的中点，的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了勾股定理、三角形中位线定理、含角的直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，分式的化简，负整数指数幂，绝对值，熟练计算是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值，再加减即可； （2）先计算括号中，再算乘法即可． 【详解】解：（1）， ， ； （2）， ， ， ． 17. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点和点，连接，过点B作轴，垂足为D，的延长线与直线交于点C． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何问题，一次函数的交点，熟练利用待定系数法求解析式是解题的关键． （1）把代入反比例函数，可得反比例函数的解析式，再求出点，利用待定系数法即可求得一次函数解析式； （2）求得直线的解析式，可求出点的坐标，即可求得的长，利用三角形面积公式即可解答． 【小问1详解】 解：把代入反比例函数，可得，解得， 反比例函数的解析式为， 把代入反比例函数解析式可得， 则， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 一次函数的解析式为， 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 把代入一次函数解析式，可得，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ， 的面积为． 18. 如图，是的直径，直线l与相切于点C，连接，于E，的延长线交直线l于点D． （1）试判断和的大小关系，并说明理由； （2）若的半径为2，，求的长． 【答案】（1）， 理由如下：如图，连接， 直线l与相切于点C， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质定理，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，做出正确辅助线，熟练利用角度的转换得到是解题的关键． （1）连接，利用切线的性质可得，再根据角度的转换即可得到； （2）根据勾股定理求得的长，再利用垂径定理得到，解直角三角形即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是直径， ， 根据勾股定理可得， ， ， ， ， 即， ． 19. 我国在《黄帝内经》以及《左传》中记载，不同的音调对人体五脏以及情绪有不同的影响．科学研究也表明舒缓的音乐对降低人的心率，改善心肌供血有较好的辅助作用．某兴趣小组以“测试节奏舒缓的音乐对心率的影响”为课题展开研究，他们随机从本年级选取20名同学，分别测试并记录这些同学在听音乐前和听音乐时的心率，然后对相关数据进行整理和分析．（用x表示心率，单位：次/分，数据分为4组：A．，B．，C．，D．） 【数据的收集与整理】 20名同学听音乐前频数分布表 心率x（次/分） 频数 5 a 5 4 各组平均心率（次/分） 64 75 86 95 这20名同学听音乐时的心率在B组的是：71，71，73，74，74，76． 【数据分析】 平均数 中位数 方差 听音乐前 b 78 124.5 听音乐时 73 c 99 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______；_______；_______． （2）请你结合上表中的两种统计量分析节奏舒缓的音乐对心率的影响； （3）下午在学校的阶梯教室有本年级的100名同学参加这项课题研究，如果该小组在活动时播放该音乐，请估计心率在A组的同学人数． 【答案】（1）6；79；72 （2）从平均数看，节奏舒缓的音乐能使心率降低：从中位数看，节奏舒缓的音乐能对心率无影响；从方差看，节奏舒缓的音乐能使心率更加稳定 （3）40人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图，平均数，中位数，用样本估计总量，熟知上述概念是解题的关键． （1）根据平均数，中位数的定义即可解答； （2）根据方差，平均数，中位数做出判断即可； （3）利用样本估计总量即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， 故答案为：6；79；72． 【小问2详解】 从平均数看，节奏舒缓的音乐能使心率降低； 从中位数看，节奏舒缓的音乐对心率无影响； 从方差看，节奏舒缓的音乐能使心率更加稳定． 【小问3详解】 （人）， 答：心率在A组的同学人数为40人． 20. 阅读与思考请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 数学兴趣课上老师提出这样一个问题：我们知道三角形三个内角的平分线交于一点，那么四边形四个内角的平分线能围成什么样的图形？同学们以小组为单位展开讨论． 善思小组经过交流后得出结论：若四边形三个内角的平分线交于一点，则第四个内角的平分线一定经过此点．善思小组给出了如下证明过程： 如图1，四边形中，，，的角平分线交于点O，过点O分别作于点E，于点F，于点G，于点H． 由角平分线的性质可知：，， ∴． ∴点O在的平分线上．（依据） 勤奋小组经过探究得出结论：四边形四个内角的平分线如果不交于一点，那么这四条角平分线围成一个对角互补的四边形．勤奋小组用下面过程说明． 如图2，四边形的四个内角的平分线分别交于点M，Q，P，N． ，别平分和， ， …… 任务： （1）材料中的“依据”指的内容是______； （2）在我们学习的特殊平行四边形中，四个内角的平分线交于一点的是______；（写出一类即可） （3）请将勤奋小组的过程补充完整； （4）已知四边形是平行四边形，，，和的平分线相交于点P，请分别在图3和图4中用不同的方法作出四个内角平分线围成的四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 【答案】（1）在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上 （2）菱形或正方形 （3）如图2，四边形的四个内角的平分线分别交于点M，Q，P，N． ，分别平分和， ， ∴， 同理可得：， ∴； （4） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形内角和定理、平行四边形的性质、作图—基本作图，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据角平分线的判定定理即可得解； （2）根据角平分线的性质结合特殊四边形的性质即可得解； （3）由角平分线的定义结合三角形内角和定理可得，同理可得，计算即可得解； （4）以点为圆心，线段为半径画弧交于，连接交于， 以点为圆心，线段为半径画弧交于，连接交于，交于，四边形即为所求；以点为圆心，线段为半径画弧交于，分别以、为圆心，于为半径画弧交于点，作射线，交于，以为圆心，线段为半径画弧交于，分别以、为圆心，于为半径画弧交于点，作射线，交于，交于，则四边形即为所求． 【小问1详解】 解：由题意可得：材料中的“依据”指的内容是：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上； 【小问2详解】 解：由题意可得：在我们学习的特殊平行四边形中，四个内角的平分线交于一点的是菱形或正方形； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图，以点为圆心，线段为半径画弧交于，连接交于，以点为圆心，线段 为半径画弧交于，连接交于，交于，四边形即为所求， 由作图可得：，， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∴，， ∴，， ∴平分，平分， ∵和的平分线相交于点P， ∴四边形即为所求； 如图4，以点为圆心，线段为半径画弧交于，分别以、为圆心，于为半径画弧交于点，作射线，交于，以为圆心，线段为半径画弧交于，分别以、为圆心，于为半径画弧交于点，作射线，交于，交于，则四边形即为所求； 由作图可得：平分，平分， ∵和的平分线相交于点P， ∴四边形即为所求． 21. 激光三角法测距是通过测量激光照射点在相机中的成像位置获得信息，具有技术难度低，成本低等特点．如图，激光器从点A处发射一束激光以一定的角度照射到被测目标表面的点B处，在点B处发生反射或散射，光线经过接收透镜的光心O照射在感光耦合组件上的点C处，当被测目标沿激光方向移动至点E处时，反射或者散射后的光线经过接收透镜的光心O照射在上的点F处，点G是上一点且，若测得，求被测目标移动的距离．（结果精确到，参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，求出和的长度，即可求出． 【详解】解：在中， ， ∴， ∵， ∴，， ∴ 即， ∴， ∴， ∴, 即被测目标移动的距离约为 22. 综合与实践 某市计划修建一条公路隧道，隧道的截面可以抽象成如图1所示的抛物线，底部宽度为12米，抛物线的最高点C距离的高度为6米，以所在直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求这条抛物线的解析式； （2）在隧道修建的过程中，需要搭建如图2所示的支架．四边形，四边形和四边形都是矩形，点E，点F，点Q和点M均在同一直线上，点D，点H，点R，点N都在抛物线上，点G和点P分别在和上，且米，除线段外，这些矩形的其他边都需要用钢材搭建，求需要钢材长度的最大值； （3）如图3，根据有关部门设计，在隧道两侧的人行道地基宽均为2米，该部门计划在点T正上方和点J正上方之间的抛物线部分设计多列灯，使隧道顶部呈现五彩缤纷的图案．若相邻两列灯的水平距离为米，灯对称分布，请你给出一种符合条件的灯的列数，并说明理由． 【答案】（1） （2）需要钢材长度的最大值为米； （3） 符合条件的灯的列数为或，理由如下： 由已知可知，（米），米， ∵相邻两列灯的水平距离为米，灯对称分布， ∴若顶部C处安装一列灯,则的两旁还可以各安装（列） 此时安装灯的列数为（列）， 若顶部C处不安装灯,则最顶部的两列灯应该在的两侧，且与的水平距离都为米， 此时安装灯的列数为（列）， 综上可知， 符合条件的灯的列数为或 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设，得到，根据二次函数的性质求最值即可； （3）相邻两列灯的水平距离为米，灯对称分布，据此进行分类讨论解答即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，抛物线的最高点为， 设抛物线解析式为, 把代入得到，， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：设， 则由已知及抛物线的对称性可知，，，，,， ∴， 米，米， 设搭建支架需要钢材的长度为米， ∴， ∵， ∴当时， 取得最大值为， 即需要钢材长度的最大值为米； 【小问3详解】 略 23. 综合与探究 问题情境： 数学课上，老师提出以下问题：如图1，正方形的顶点F，G在正方形的边和上，连接，过点A作的垂线交的延长线于点H，猜想和的数量关系，并说明理由． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题； 深入探究： （2）“善思小组”将图1中的正方形绕点C逆时针旋转，使得点G落在正方形的内部，连接，过点A作的垂线交的延长线于点H，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由； （3）“勤学小组”将图2中的正方形继续绕点C逆时针旋转，使得B，G，F在同一直线上，其余条件不变，得到如图3所示的图形，若，请直接写出的长度． 【答案】（1）四边形和四边形为正方形， ， ， ，即， ， ， ， ，即， ； （2）解：仍旧成立，理由如下： ， ，即， ， ， ，， 设， ，， ， ， 同（1）可得， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，正确做出辅助线是解题的关键． （1）利用正方形的性质得到，再利用角度转换得到，即可证明即可解答； （2）证明，可得，，再证明，即可证明，即可解答； （3）分类讨论，分当点在线段上，和当点在线段上，依次解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，当点在线段上， 过点作的垂线段，交的延长线于点，连接， ， ， ， ， ， ，， 为等腰直角三角形， 设，则， 根据勾股定理可得， 可得， 解得（负值舍去）， ， ， , , , ，， 设， ，， ， ， 同（1）可得， ， ， ， ； 如图，当点在线段上， 过点作的垂线段，交的延长线于点，连接， ， ， ， , , 为等腰直角三角形， 设，则， 根据勾股定理可得， 可得， 解得（负值舍去）， ， ， ， ，即， ， ， ，， 设， ，， ， ， 同（1）可得， ， ， ， ， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $