精品解析：山东省济宁市嘉祥县第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

2024—2025学年度第二学期3月份考试 高二数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考试号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则从到的平均变化率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均变化率的定义计算可得. 【详解】. 故选：B. 2. 已知函数，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的运算法则求出导数，进而求出导数值. 【详解】函数，求导得， 所以. 故选：C 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】由，则，而， 所以点处的切线方程为，即. 故选：A 4. 点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，得到曲线在点处切线的斜率大于等于-1，结合的范围，得到答案. 【详解】，设， 则曲线在点处切线的斜率为， 则，又，切线斜率存在，故， 则. 故选：B 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究的单调性，得到最大，再变形，利用的单调性比较的大小即可. 【详解】因为，设，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减. 所以在时取到最大值， 所以，即. 因为， ， 又因为，所以， 因为在上单调递增， 所以，即，所以. 故选：A 6. 已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出函数的导函数，根据在区间上单调递增，得出，利用导数求出的最小值，从而求出是的最大值. 【详解】由已知可得， 因为在上单调递增， 所以即上恒成立， 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，所以， 即的最大值为. 故选：C 7. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 8. 已知函数函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则恰有2个零点 B. 若恰有2个零点，则的取值范围是 C. 若恰有3个零点，则的取值范围是 D. 若，则恰有3个零点 【答案】D 【解析】 【分析】利用导函数得出单调区间和极值，画出函数大致图像，由图像对选项做出判断. 【详解】 令，则 ∴时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递减； 时，，单调递增， ∴有极大值：，极小值：，且， ∴大致图像如下： 对于选项A：若，则恰有1个零点，故A选项错误. 对于选项B：若恰有2个零点，则的取值范围是或或，故选项B错误. 对于选项C.：若恰有3个零点，则的取值范围是，故选项C错误. 对于选项D. 若，则恰有3个零点，故选项D正确. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则下列说法正确的是（ ） A. 在这段时间里，运动员的平均速度 B. 在运动过程中运动员的瞬时速度 C. 在起跳到落水的过程中运动员的速度不可能为0 D. 第时刻瞬时速度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过计算函数在某区间的平均变化率判断选项，求出函数的导数，即瞬时速度来判断选项. 【详解】选项：，所以选项正确； 选项：对函数求导得：，所以选项正确； 选项：令，解得：，即在起跳到落水的过程中运动员的速度可以为0，所以选项错误； 选项：把代入，得，所以选项正确. 故答案为：. 10. 设函数，则（ ） A. 当时，有两个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 当时，点为曲线的对称中心 D. 当时，在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据因式分解可得函数的零点，结合导函数的图像去研究函数的极大值、对称中心与单调性. 【详解】已知，所以, 当时，，方程有两个根，所以正确， 当时，的解集为，的解集为， 所以在上单调减，在上单调增，所以在处取极小值，所以错误, 当时，， 所以关于中心对称，所以正确， 当时，的解集为，而,所以在上单调递增，所以正确. 故选： 11. 已知函数，有如下结论，其中正确的结论是（ ） A. 当时，在区间上单调递减 B. 在点处的切线方程为 C. 当时，在上单调递减 D. 当时，有两个极值点 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，求出，由条件判断即可；对于B，利用导数的几何意义求出切线斜率，可得其切线方程；对于C，先求得，设，通过求导判断的单调性，当时，推得，即可判断其单调性；对于D，先将问题转化为两个函数与的图象交点问题，作出图象，由图判断交点情况，推理即可判断的极值点情况. 【详解】，， 对于A，因为，所以，由可得， 则在上单调递减，故A正确； 对于B，,故在点处的切线方程为， 即,故B错误； 对于C， ，令 ，则， 当 时，令 ，解得， 当 时， ，则 在上单调递减， 当 时， ，则 在上单调递增， 所以， 即 ，故 在上单调递增，故C错误； 对于D，令，得， 令，， 当，则，当，则， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当，， 又当趋近于时，趋近于，， 当趋近于时，趋近于0， 可作出函数的大致图象如图所示， 由图可知，当时，直线与的图象有两个交点， 即方程有两个不等实根， 当或时，， 当时，， 则在和上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点， 故有两个极值点，所以D正确. 故选：AD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用中的任意一个数作为分子，中的任意一个数作为分母，可构成__________个不同的分数. 【答案】16 【解析】 【分析】由分子、分母选择个数及分步乘法计数原理可得分数的个数； 【详解】从1，5，9，13中的任选一个数作分子，4，8，12，16中任选一个数作分母， 可构成个不同的分数； 故答案为：16. 13. 若直线为曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先设点并写出曲线的切线方程，再比较两个方程的斜率与截距可得到与的方程组，解方程即可得到的值 【详解】因为，所以， 设切点为，则切线方程为， 化简可得， 又因为是曲线y的切线，所以， 解得. 故答案为：. 14. 已知函数的定义域为为的导函数，且对任意的恒成立，，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】构造，根据已知及导数研究函数的单调性，再利用单调性解不等式，即可得答案. 【详解】令，则，而对任意的恒成立， 所以恒成立，故在R上单调递减， 又，则，即， 所以不等式解集为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会. （1）如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？ （2）如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？ 【答案】（1）63；（2）32 【解析】 【分析】（1）对于去几人进行分类讨论，最后根据加法计数原理求解即可；（2）对甲和乙两位同学要么都去，要么都不去进行分类讨论，分别计算去法种数，最后相加即可. 【详解】（1）一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会， 去1人时，有种去法；去2人时，有种去法； 去3人时，有种去法；去4人时，有种去法； 去5人时，有种去法；去6人时，有种去法； 根据分类计数原理得：共有种去法； （2）当甲和乙两位同学都去，则至少要去2人， 则有种去法； 当甲和乙两位同学都不去，则有种去法； 根据分类计数原理得：共有种去法； 16. 已知函数. （1）当时，求过原点的切线方程； （2）讨论的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）设出切点，求导，写出切线方程，结合切线过原点可求答案； （2）求导，分情况讨论导数的符合，可得函数单调性. 【小问1详解】 由题意知，的定义域为，则， 当时，，设切点为，则切线方程为 ，即， 又因为切线过，代入切线方程得， 即，解得，所以切线方程为. 【小问2详解】 ， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令，得， 所以，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上所述，①当时，在上单调递增； ②当时，在上单调递减，在上单调递增. 17. 某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克. （1）求函数的解析式； （2）若系列的成本为4元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大. 【答案】（1）；（2）当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大. 【解析】 【详解】分析：（1）根据题意已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.即可求出a得到解析式；（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，然后根据利润计算式得出具体表达式，然后根据导数求最值思维求解即可. 详解： （1）有题意可知，当时，，即， 解得， 所以 （2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，则 ， ， 令，得或（舍去）， 所以当时，为增函数； 当时，为减函数， 故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点， 即时函数取得最大值. 所以当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大. 点睛：考查函数的表示，导函数最值的应用，正确理解题意，写出具体表达式，然后借助导数分析思维求解是解题关键，做此类题要有耐心，认真审题，读懂题意，属于中档题. 18. 已知函数. （1）当时，证明恒成立； （2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，确定最小值，证明出； （2）求定义域，求导，得到的单调性，故极小值，根据，即，构造，求导，得到单调性，又因为，所以等价于，解得，故的取值范围为. 【小问1详解】 当时，，定义域为R， ，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即在定义域内有唯一的极小值，即为最小值， 所以； 【小问2详解】 因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得； 令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 令，则， 所以在内单调递增， 又因为，所以不等式等价于，解得， 所以的取值范围为. 19. 已知函数. （1）当时，求函数零点的个数； （2）求函数的极值； （3）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）有唯一的零点 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间，再根据零点的存在性定理即可得解； （2）求导，再分和两种情况讨论，求出函数的单调区间，再结合极值的定义即可得解； （3）利用分离参数法，构造新的函数，利用导数求出函数的最值，即可得解. 小问1详解】 的定义域为， 当时，在上单调递减， 又因为， 由零点存在定理，在区间内存在零点， 所以在上有唯一的零点； 【小问2详解】 ， 则， ①当时，令，得， 当变化时，的变化情况如下表 1 + 0 单调递增 单调递减 所以有极大值，没有极小值； ②当时，令，得， 当即时， 当变化时，的变化情况如下表 1 0 + 0 单调递减 单调递增 单调递减 所以的极小值为，极大值为； 当即时，没有极值； 当即时， 当变化时，的变化情况如下表 1 0 + 0 - 单调递减 单调递增 单调递减 所以的极小值为，极大值为； 综上所述， 当时，有极大值，没有极小值； 当时，的极小值为，极大值为； 当时，没有极值； 当时，的极小值为，极大值为； 【小问3详解】 恒成立，即恒成立， 令，即恒成立，则， 当时，，所以函数在上单调递减， 又因为， 所以，当时，，不符合题意； 当时，令，则，令，则， 所以函数得在上单调递增，在上单调递减， 所以，只需，即， 令，则， 令，则，令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使，只能，即， 综上，要使不等式恒成立，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期3月份考试 高二数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考试号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则从到平均变化率为（ ） A. 2 B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 点在曲线上，设曲线在点处切线倾斜角为，则角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则恰有2个零点 B. 若恰有2个零点，则的取值范围是 C. 若恰有3个零点，则的取值范围是 D. 若，则恰有3个零点 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则下列说法正确的是（ ） A. 在这段时间里，运动员的平均速度 B. 在运动过程中运动员的瞬时速度 C. 在起跳到落水的过程中运动员的速度不可能为0 D. 第时刻瞬时速度为 10. 设函数，则（ ） A. 当时，有两个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 当时，点为曲线的对称中心 D. 当时，在区间上单调递增 11. 已知函数，有如下结论，其中正确的结论是（ ） A. 当时，在区间上单调递减 B. 在点处的切线方程为 C. 当时，在上单调递减 D. 当时，有两个极值点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用中任意一个数作为分子，中的任意一个数作为分母，可构成__________个不同的分数. 13. 若直线为曲线的切线，则__________. 14. 已知函数的定义域为为的导函数，且对任意的恒成立，，则不等式的解集为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 一个宿舍6名同学被邀请参加一个晚会. （1）如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？ （2）如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？ 16. 已知函数. （1）当时，求过原点的切线方程； （2）讨论单调性. 17. 某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克. （1）求函数的解析式； （2）若系列的成本为4元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大. 18. 已知函数. （1）当时，证明恒成立； （2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）当时，求函数零点的个数； （2）求函数的极值； （3）若恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $