精品解析：江西省鹰潭市余江区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024－2025学年第一学期期末 九年级数学作业题 说明：1．本作业共有六个大题，23个小题，满分120分，时间120分钟． 2．本作业分为作业题和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在作业题上作答，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数定义，关键是掌握锐角的正弦定义．直角三角形中，锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦，由此即可得到答案． 【详解】解：在中，， ∴， 故选：B． 2. 某休闲广场供游客休息的石板凳如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图，熟练掌握俯视图是从物体的上面看得到的平面图形是解题关键，注意实际存在又没有的部分，在所在方向看不到的应用虚线表示． 由题意根据三视图相关概念可知俯视图是从物体的上面看得到的平面图形，从而得出选项． 【详解】解：俯视图是从物体的上面看得到的平面图形，该几何体从上面看得到一个矩形，中间有2个虚线的矩形． 故选：D． 3. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 4. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在x轴上，则点B的横坐标是（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】分别过点作轴，轴于点，证明，得，从而可得，即可解答此题． 【详解】解：过点作轴，轴于点，如图： ， ∴， ∵点A的坐标是，点C的坐标是 ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中 ， ∴ ∴ ∴， ∴点B的横坐标是5， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键． 5. 如图所示是一次函数和反比例函数的图像，观察图像，当时，x的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】主要考查了反比例函数的图像性质和一次函数的图像性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．根据图像可得：要使，需图像在图像的上方，由此即可得解． 【详解】根据题图可得， 当或时，． 故选：C． 6. 已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示： … 0 1 2 … … 6 1 1 6 … 则当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解表格信息，掌握二次函数图形的对称轴，增减性是解题的关键． 根据表格信息得到对称轴直线为，时，随的增大而减小，结合二次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：当时，，当时，， ∴对称轴直线为， ∴时，随的增大而减小， ∴当时，， 故选：C ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键．根据的顶点坐标为进行解答即可． 【详解】解：的顶点坐标是， 故答案为： 8. 已知是一元二次方程的两根，则的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握若方程的两个实数根分别为、，则，．根据根与系数的关系可得，，再代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两根， ，， ， 故答案为：． 9. 如图1是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．过作，垂足为，过作，垂足为，可得， 则得到，即可求解． 【详解】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为， 由题意得，， 则若将放置内，且使得点重合，在上，在上， 则， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 10. 为了解北京市九年级学生的1分钟跳绳成绩，随机抽取了1000名学生的1分钟跳绳成绩，成绩统计如表： 组别（个） 人数 50 150 200 600 根据北京市体育中考跳绳评分标准，1分钟跳绳个数不小于180的为满分，现任意抽查北京市一名九年级学生，1分钟跳绳成绩满分的概率约为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．据此求解即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为：． 11. 如图，菱形的顶点A，分别在轴，轴上，轴，，，反比例函数的图象经过点，则的值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象，菱形的性质，正确理解反比例函数的图象是解题的关键．设菱形的对角线，相交于点E，则根据菱形的性质可求出点B的坐标，代入反比例函数关系式求解，即得答案． 【详解】设菱形的对角线，相交于点E， 则，， 轴， 轴， ， 把代入，得， ． 故答案为：5． 12. 已知抛物线与x轴交于点和点B（点A始终在点B的右边），与y轴交于点C，若为等腰三角形，则a的值为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合，涉及抛物线与x轴的交点问题，等腰三角形的性质，根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键．先求解抛物线与x轴的一个交点坐标和y轴的交点C的坐标，然后求出的长度，再分①，②时，分别画图，结合图形讨论求解即可． 【详解】解：∵， 解得：，， ∴，， ∵点A始终在点B的右边， ∴， 当时，， ∴， 如图，当时， ∴， 当时， ∴， 解得：， 当时， ∴，即， ∴， 解得：（舍去），， 当时， ∴， 解得：，经检验符合题意； 当时，此时，则， 此时只有， ∴， 解得：，经检验不符合题意； 综上：或或， 故答案为：或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）如图，已知和，是的中点，是的中点，，求的值． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，平行线分线段成比例，掌握公式法求一元二次方程，平行线分线段成比例的计算方法是解题的关键． （1）先确定，，再运用求根公式，代入计算即可求解； （2）根据，是的中点，得到，则有，所以有（或），即可求解． 【详解】解：（1）， ， 则，． （2），， ， ， ，是的中点， ， ， ， （或）． 14. 如图，在菱形中，，对角线，交于点，为的中点，连接，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，中位线的判定和性质，掌握菱形的性质，中位线的判定和性质是关键． 根据菱形的性质得到，由点为的中点，为的中点，得到是的中位线，则，由即可求解． 【详解】解：在菱形中，， ，，为的中点， 为的中点， 是的中位线， ， ， ． 15. 如图，在中，，于点D． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，进而问题可求证； （2）根据（1）中相似，然后结合相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∴，即， ∵，， ∴， ∴ 解得：（负根舍去）． 16. 如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需如何设置页边距？ 【答案】 【解析】 【分析】设页边距为，根据题意找出等量关系列方程，解方程即可解题． 【详解】解：设页边距为 则列方程为：， 解得：，（舍去）， 答：页边距为． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系列方程式解题的关键． 17. 如图，这是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作，使得，且点A在上； （2）在图2中作，使得，且． 【答案】（1）如图，即为所作； ； （2）如图，即为所作； ． 【解析】 【分析】（1）取格点，使，，即为所作； （2）取两个小正方形的中心，即为所作． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，，，， ∴， ∴，且． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图是某商场的地下停车场，现仅剩下“045”、“046”、“047”、“048”四个车位． （1）若有一辆小汽车停车，则这辆车停在“046”号车位的概率是 ； （2）分别记这四个车位为、、、，小明和小红同时来到该处停车，用画树状图或列表的方法，求两人停在不相邻车位的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单概率计算以及列举法求概率，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据简单概率计算公式求解即可； （2）根据题意作出树状图，结合树状图求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，停车场，现仅剩下“045”、“046”、“047”、“048”四个车位， 则这辆车停在“046”号车位的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意，画出树状图如下， 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人停在不相邻车位的结果有6种， 所以，两人停在不相邻车位的概率为． 19. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩，如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】阴影的长约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度． 过点A作于点T，于点K，在中，根据锐角三角函数分别求出，再证明四边形是矩形，即可求得，再根据等腰直角三角形的性质即可求解，即可解答． 【详解】解：如图，过点A作于点T，于点K， 在中，，， ∴， ． ∵， ∴四边形是矩形， ∴，． 在中，， ∴， ∴． 答：阴影的长约为． 20. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，∠BEF＝90°且CF＝3FD． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求 CG的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴∠ABE+∠AEB＝90°， ∵∠BEF＝90°， ∴∠DEF+∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝∠DEF， ∴△ABE∽△DEF； （2）CG＝6． 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出∠A＝∠D＝90°，证出∠ABE＝∠DEF，即可得出△ABE∽△DEF； （2）求出DF＝1，CF＝3，由相似三角形的性质得出，解得DE＝2，证明△EDF∽△GCF，得出，求出CG＝6，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD， ∴DF＝1，CF＝3， ∵△ABE∽△DEF， ∴，即， 解得：DE＝2， ∵AD∥BC， ∴△EDF∽△GCF， ∴，即， ∴CG＝6． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 22. 在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x﹣6与双曲线的一个交点为A(m，2)，与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）点B的坐标 ，k的值 ； （2）若点P在x轴上，且△APC的面积为16，求点P的坐标． 【答案】（1）B的坐标为（3，0），k=8；（2）P1（-1，0），P2（7，0） 【解析】 【分析】（1）把A（m，2）代入y=2x-6，即可求出m，然后把A代入线，即可求出k；通过一次函数y=2x-6，令y=0，即可求出B点； （2）过点A作AM⊥x轴于点M，通过三角形的面积计算，即可求出PB，最后算出P点坐标． 【详解】（1）令y=0，则2x-6=0，可得x=3， ∴直线y=2x-6与x轴交点B的坐标为（3，0）， 将A（m，2），代入y=2x-6，得m=4， 将A（4，2），代入，得k=8， （2）过点A作AM⊥x轴于点M， ∵A（4，2），C（0，-6）， ∴OC=6，AM=2， ∵S△APC＝S△APB+S△CPB═×PB×2+×PB×6＝4PB， ∵S△APC=16， ∴PB=4， ∴P1（-1，0），P2（7，0） 【点睛】此题考查一次函数和反比例函数图象上点的特点，熟悉一次函数和反比例函数性质是解题的关键． 六、（本大题共12分） 23. 1.【课本再现】北师大版九年级上册数学课本第21页有这样一道题： （1）如图1，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．则与之间有怎样的关系？请说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，，点在边上．连接为延长线上一点，连接，且的延长线垂直于，垂足为点． ①求的值； ②求的值． 【答案】（1），，理由见解析；（2）①；②． 【解析】 【分析】（1）根据题意可证，得到，则，由此即可求解； （2）①证明，得到即可求解；②由，得到，设，则，运用勾股定理得到，根据正弦值的计算即可求解． 【详解】解：（1），，理由如下： 延长交于， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）①， ， 在矩形中，，， ， ， ， ， ∵， ； ②， ， ， 设，则， ， ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正弦值的计算，掌握相似三角形的判定和性质，正弦值的计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第一学期期末 九年级数学作业题 说明：1．本作业共有六个大题，23个小题，满分120分，时间120分钟． 2．本作业分为作业题和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在作业题上作答，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 某休闲广场供游客休息的石板凳如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 4. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在x轴上，则点B的横坐标是（ ） A. 4 B. C. D. 5 5. 如图所示是一次函数和反比例函数的图像，观察图像，当时，x的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6. 已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示： … 0 1 2 … … 6 1 1 6 … 则当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 抛物线的顶点坐标是______． 8. 已知是一元二次方程的两根，则的值是______． 9. 如图1是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面__________． 10. 为了解北京市九年级学生的1分钟跳绳成绩，随机抽取了1000名学生的1分钟跳绳成绩，成绩统计如表： 组别（个） 人数 50 150 200 600 根据北京市体育中考跳绳评分标准，1分钟跳绳个数不小于180的为满分，现任意抽查北京市一名九年级学生，1分钟跳绳成绩满分的概率约为______． 11. 如图，菱形的顶点A，分别在轴，轴上，轴，，，反比例函数的图象经过点，则的值为__________． 12. 已知抛物线与x轴交于点和点B（点A始终在点B的右边），与y轴交于点C，若为等腰三角形，则a的值为______． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）如图，已知和，是的中点，是的中点，，求的值． 14. 如图，在菱形中，，对角线，交于点，为的中点，连接，求的度数． 15. 如图，在中，，于点D． （1）求证：； （2）若，，求的长． 16. 如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需如何设置页边距？ 17. 如图，这是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作，使得，且点A在上； （2）在图2中作，使得，且． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图是某商场的地下停车场，现仅剩下“045”、“046”、“047”、“048”四个车位． （1）若有一辆小汽车停车，则这辆车停在“046”号车位的概率是 ； （2）分别记这四个车位为、、、，小明和小红同时来到该处停车，用画树状图或列表的方法，求两人停在不相邻车位的概率． 19. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩，如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到；参考数据：，，） 20. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，∠BEF＝90°且CF＝3FD． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求 CG的长． 22. 在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x﹣6与双曲线的一个交点为A(m，2)，与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）点B的坐标 ，k的值 ； （2）若点P在x轴上，且△APC的面积为16，求点P的坐标． 六、（本大题共12分） 23. 1.【课本再现】北师大版九年级上册数学课本第21页有这样一道题： （1）如图1，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．则与之间有怎样的关系？请说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，，点在边上．连接为延长线上一点，连接，且的延长线垂直于，垂足为点． ①求的值； ②求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $