精品解析：河南省洛阳市2025—2026学年第二学期期末试卷八年级数学

2025—2026学年第二学期期末试卷八年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 要使二次根式有意义，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 3. 蜜蜂的蜂巢造型美观、排列规整，如图，从入口观察，蜂巢由大量正六边形拼接而成，则入口处这些边形成的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线过点和，则方程的解是（ ）． A. B. C. D. 5. 新情境 王师傅加工了一批如图所示的平行四边形零件，交付验收时需要检查该零件是否为平行四边形，下列检查方法错误的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 小明将某市4月份每天的最高气温情况进行收集整理，通过分析绘制成箱线图，根据图中信息，下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的第一四分位数是15 B. 这组数据的中位数是22.5 C. 这组数据的第三四分位数是26 D. 这组数据的最小值是23，最大值是26 7. 已知点，都在直线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如下，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（ ） A. 男生训练达标次数的平均数高于女生 B. 男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C. 男、女生训练达标次数的中位数均为4 D. 男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定 9. 如图，的顶点，的坐标分别为，，直线将分为面积相等的两部分，则的值是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，在物理力学探究实验中，某同学将一个实心长方体金属块通过细线与力传感器相连，保持竖直方向将其缓慢浸入水中．传感器示数（单位：）反映金属块对细线的拉力，与金属块浸入水中的深度（单位：）的变化关系如图所示，当金属块完全浸没后，传感器示数不再随浸入深度的变化而变化（提示：当长方体金属块浸入水中时，）．当时，下列结论错误的是（ ）． A. 该长方体金属块的重力是 B. 该长方体金属块的高度是 C. 在长方体金属块完全浸没前，传感器示数随着长方体金属块浸入水中的深度的增大而减小 D. 当长方体金属块浸入水中的深度时，传感器示数为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若正比例函数的图象过一、三象限，请写出一个满足条件的k的值______． 12. 将个数据，，，，分成和两组，这种分组情况的组内离差平方和是______． 13. 某天电影院有两个影厅放映电影，上午各厅只放映一场电影，信息如下表所示．该影院当天上午所售电影票的平均价格为_______． 影厅 每张电影票价格/元 座位/个 上座率/ 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，顶点的坐标是，将矩形沿对角线进行翻折，点落在点的位置，交轴于点，则点的坐标是______． 15. 古琴历史悠久，最初仅有五弦，对应传统五音：宫、徵、商、羽、角．其发声管的管长可以通过“三分损益法”推算，例如基本音“宫”音的发声管长是时，“宫”经“三分益一”得“徵”，即“徵”音的发声管长是；“徵”经“三分损一”得“商”音的发声管长是；“商”经“三分益一”得“羽”；“羽”经“三分损一”得“角”．设“宫”音的发声管长为，五根发声管的长度总和为，则“徵”音的发声管长可用含的代数式表示为______，关于的函数解析式为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇OC生长在AB的中点D处，高出水面的部分尺，将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）． 18. 青少年体重指数（）可评判青少年营养状况与肥胖程度，体重指数，其中表示体重（单位：），表示身高（单位：）．为了解八年级学生体重指数分布情况，八年级某数学综合实践小组开展了一次调查，参考《国家学生体质健康标准》将学生体重指数（）分成四个等级（如下表），对数据进行整理、描述和分析，并绘制成如下统计图． 八年级学生BMI标准 等级 男生参考范围 女生参考范围 低体重（A） 正常（B） 超重（C） 肥胖（D） 请根据以上信息，解决下列问题： （1）所调查的女生体重指数（）的中位数落在______等级（只填字母），将条形统计图补充完整； （2）请根据以上信息，判断下列结论正确的是______（只填序号）； ①该调查是抽样调查，从八年级随机抽取男、女生各50名的体重指数作为样本，样本容量是100；②经调查某女生的BMI值是，说明该女生属于低体重；③若一位男生的身高为，体重为，说明该男生属于正常体重．④B等级的男生人数少于女生人数，其他等级都是男生人数多于女生人数； （3）若该年级共有10个班，共550人，其中男生250人，女生300人，请你估计该年级体重指数等级为超重（C）和肥胖（D）的学生人数一共多少人？请对该年级学生体重情况作出评价，并提出合理化建议． 19. 洛阳依托文旅特色打造夜间文旅消费市场，鼓励商户拓展线下外摆经营．商户小王借此售卖牡丹手工皂与牡丹瓷书签两款特色文创产品，两款文创的进价、售价如下表： 类型 牡丹手工皂 牡丹瓷书签 进价/（元/件） 售价/（元/件） 小王计划购进牡丹手工皂与牡丹瓷书签两种商品共件进行销售，设小王购进牡丹手工皂件，两种商品全部销售完后获得的总利润为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若牡丹瓷书签的进货数量不少于牡丹手工皂的倍，当购进两种商品各多少件时，可使得两种商品全部销售完后获得的总利润最大？并求出最大的总利润． 20. 如图，，平分，交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规在射线上作出点，使得四边形是菱形．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）若，，点是与的交点，求点到的距离． 21. 小丽一家驾驶电动汽车从家前往景点游玩，行驶一段路程后停车充电，然后继续行驶，直至到达景点．汽车充电前、充电后都以的速度匀速行驶，且每小时的耗电量均相同．出发后，汽车剩余电量（单位：）与行驶路程（单位：）的关系如图所示． （1）汽车行驶_____后停车充电； （2）当时，求与之间的函数表达式； （3）汽车在充电前后的两段行程中，剩余电量不低于的总时长为______． 22. 如图，的对角线与相交于点，点在外，且，． （1）求证：是矩形； （2）若，试说明当与满足怎样的数量关系时，四边形是菱形，并写出证明过程． 23. 定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形． （1）【初步感知】满足下列哪个条件时，四边形一定是垂美四边形？_____（填序号）； ① ② ③ ④， （2）【探索性质】如图1，垂美四边形的四条边之间有怎样的数量关系？完成下列探索过程． 四边形是垂美四边形， ． ． 由勾股定理可知，在中，， ， 同理可得，， ， ______． （3）【学以致用】如图2，分别以的边和为边向外作正方形与正方形．连接，，，，；与交于点． ①求证：四边形是垂美四边形； ②已知，，当是直角三角形时，直接写出的中线的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末试卷八年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 要使二次根式有意义，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数求出的取值范围，再判断选项即可． 【详解】∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴有意义需满足 ， 解得 ， 选项中只有满足条件． 2. 在中，，，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判定直角三角形的斜边，再根据勾股定理求解即可． 【详解】∵中，， ∴斜边为， ∵，， ∴根据勾股定理，． 3. 蜜蜂的蜂巢造型美观、排列规整，如图，从入口观察，蜂巢由大量正六边形拼接而成，则入口处这些边形成的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】正六边形的内角和为，而正六边形的每个内角相等，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，． 4. 如图，直线过点和，则方程的解是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一次函数的图像与轴交点的横坐标即为的解． 【详解】解：∵过点， ∴方程的解是． 5. 新情境 王师傅加工了一批如图所示的平行四边形零件，交付验收时需要检查该零件是否为平行四边形，下列检查方法错误的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的证明方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形； B、，，一组对边平行，另一组对边相等，不能得到四边形是平行四边形； C、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形； D、，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形． 6. 小明将某市4月份每天的最高气温情况进行收集整理，通过分析绘制成箱线图，根据图中信息，下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的第一四分位数是15 B. 这组数据的中位数是22.5 C. 这组数据的第三四分位数是26 D. 这组数据的最小值是23，最大值是26 【答案】C 【解析】 【分析】根据箱线图的定义，从左至右的五个关键位置分别代表最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值，直接读图即可判断． 【详解】解：由箱线图可知： 最小值为15．第一四分位数为23，中位数为24，第三四分位数为26，最大值为30． ∵第一四分位数为23，∴选项A错误； ∵中位数为24， ∴选项B错误； ∵第三四分位数为26， ∴选项C正确； ∵最小值为15，最大值为30， ∴选项D错误． 7. 已知点，都在直线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数系数判断随的变化趋势，再将转化为时的函数值，比较横坐标大小即可得到对应函数值的大小关系． 【详解】解：∵在直线中，， ∴随的增大而减小， ∵是时的取值，三个横坐标满足， ∴对应函数值满足，即． 8. 校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如下，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（ ） A. 男生训练达标次数的平均数高于女生 B. 男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C. 男、女生训练达标次数的中位数均为4 D. 男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线统计图读取男、女生各5次的达标次数数据，分别计算平均数、中位数和方差（或观察波动情况），逐一判断选项即可． 【详解】由图可知， 男生数据为：； 女生数据为：. ，，   男、女生训练达标次数的平均数相同， 故A错误； 将男生数据从小到大排列为：，中位数为； 将女生数据从小到大排列为：，中位数为，   男、女生训练达标次数的中位数均为， 故C错误； 男生离差平方和为：， 女生离差平方和为：，   男、女生训练达标次数的离差平方和不相等， 故B错误；  ，，  ，   女生达标情况更稳定， 故D正确． 故选：D． 9. 如图，的顶点，的坐标分别为，，直线将分为面积相等的两部分，则的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先连接、交于点，过点作轴交轴于点，取的中点为，连接，再根据平行四边形的性质推出为中点，进一步推出为的中位线，根据中位线的性质推出的坐标，最后根据平行四边形的性质，推出直线将分为面积相等的两部分必经过对角线的交点，即可求解． 【详解】如图，连接、交于点，过点作轴交轴于点，取的中点为，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵的中点为， ∴， ∵，对角线、交于点， ∴为中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴轴， ∴， ∴， ∵直线将分为面积相等的两部分， ∴经过对角线的交点， ∴将代入，解得：． 10. 如图，在物理力学探究实验中，某同学将一个实心长方体金属块通过细线与力传感器相连，保持竖直方向将其缓慢浸入水中．传感器示数（单位：）反映金属块对细线的拉力，与金属块浸入水中的深度（单位：）的变化关系如图所示，当金属块完全浸没后，传感器示数不再随浸入深度的变化而变化（提示：当长方体金属块浸入水中时，）．当时，下列结论错误的是（ ）． A. 该长方体金属块的重力是 B. 该长方体金属块的高度是 C. 在长方体金属块完全浸没前，传感器示数随着长方体金属块浸入水中的深度的增大而减小 D. 当长方体金属块浸入水中的深度时，传感器示数为 【答案】A 【解析】 【分析】当时，的值即为金属块的重力的值，据此可判断A；的值开始不随深度的变化而变化时的值即为金属块的高度的值，据此可判断B；根据函数图象可判断C；利用待定系数法求出当时，关于的关系式，再求出时，的值即可判断D． 【详解】选项A：金属块重力是时的拉力，，故符合题意； 选项B：后拉力不再变化，代表金属块完全浸没，因此金属块高度为，故不符合题意； 选项C：（完全浸没前），图像呈下降直线，随增大而减小，故不符合题意； 选项D：设，代入， ，解得， ∴解析式为： ∴当时，，故不符合题意． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若正比例函数的图象过一、三象限，请写出一个满足条件的k的值______． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据，正比例函数的图象经过一，三象限，求解即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象过一、三象限， ∴， ∴k的值可以为1； 故答案为：1（答案不唯一）． 12. 将个数据，，，，分成和两组，这种分组情况的组内离差平方和是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两组数据的平均数，再分别计算每组数据的离差平方和，将两个离差平方和相加即可得到最终结果． 【详解】解：∵对于分组，平均数为， ∴该组的离差平方和为， ∵对于分组，平均数为， ∴该组的离差平方和为， ∴这种分组情况的组内离差平方和为． 13. 某天电影院有两个影厅放映电影，上午各厅只放映一场电影，信息如下表所示．该影院当天上午所售电影票的平均价格为_______． 影厅 每张电影票价格/元 座位/个 上座率/ 【答案】元 【解析】 【分析】先求出每个影厅根据上座率对应的售出票数，再运用加权平均数求解即可． 【详解】∵由题意得，上午厅售出票数为：（张），厅售出票数为：（张）， ∴上午所售电影票的平均价格为（元）． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，顶点的坐标是，将矩形沿对角线进行翻折，点落在点的位置，交轴于点，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】先通过矩形的性质求出的长，再通过折叠结合矩形性质证明，推出，最后设，根据坐标距离公式建立关于的方程求解即可． 【详解】∵矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵矩形沿对角线进行翻折， ∴，，， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵，， ∴， 整理得：，解得：， ∴的坐标是． 15. 古琴历史悠久，最初仅有五弦，对应传统五音：宫、徵、商、羽、角．其发声管的管长可以通过“三分损益法”推算，例如基本音“宫”音的发声管长是时，“宫”经“三分益一”得“徵”，即“徵”音的发声管长是；“徵”经“三分损一”得“商”音的发声管长是；“商”经“三分益一”得“羽”；“羽”经“三分损一”得“角”．设“宫”音的发声管长为，五根发声管的长度总和为，则“徵”音的发声管长可用含的代数式表示为______，关于的函数解析式为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题目给出的“三分损益法”计算规则，依次求出徵，商，羽，角的发声管长，再将五个发声管长度相加，即可得到关于的函数解析式． 【详解】①∵由题意得，宫音发声管长为， “宫”经“三分益一”得“徵”， ∴徵的发声管长为：， ②∵“徵”经“三分损一”得“商”， ∴商的发声管长为：， ∵“商”经“三分益一”得“羽”， ∴羽的发声管长为：， ∵“羽”经“三分损一”得“角”， ∴角的发声管长为： ， ∵五根发声管长度总和为， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 17. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇OC生长在AB的中点D处，高出水面的部分尺，将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）． 【答案】水池深度为12尺，芦苇的长度是尺 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设水池深度为尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：设水池深度为尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； (尺) ∴水池深度为12尺，芦苇的长度是尺． 18. 青少年体重指数（）可评判青少年营养状况与肥胖程度，体重指数，其中表示体重（单位：），表示身高（单位：）．为了解八年级学生体重指数分布情况，八年级某数学综合实践小组开展了一次调查，参考《国家学生体质健康标准》将学生体重指数（）分成四个等级（如下表），对数据进行整理、描述和分析，并绘制成如下统计图． 八年级学生BMI标准 等级 男生参考范围 女生参考范围 低体重（A） 正常（B） 超重（C） 肥胖（D） 请根据以上信息，解决下列问题： （1）所调查的女生体重指数（）的中位数落在______等级（只填字母），将条形统计图补充完整； （2）请根据以上信息，判断下列结论正确的是______（只填序号）； ①该调查是抽样调查，从八年级随机抽取男、女生各50名的体重指数作为样本，样本容量是100；②经调查某女生的BMI值是，说明该女生属于低体重；③若一位男生的身高为，体重为，说明该男生属于正常体重．④B等级的男生人数少于女生人数，其他等级都是男生人数多于女生人数； （3）若该年级共有10个班，共550人，其中男生250人，女生300人，请你估计该年级体重指数等级为超重（C）和肥胖（D）的学生人数一共多少人？请对该年级学生体重情况作出评价，并提出合理化建议． 【答案】（1）B； （2）①③④ （3）102人；建议同学们均衡饮食，减少高热量食物摄入，日常加强体育锻炼，保持健康体重 【解析】 【分析】（1）用B等级的人数除以其人数占比求出参与调查的学生人数，进而求出B等级的女生人数，再根据中位数的定义求出中位数并补全统计图即可； （2）根据（1）所求结合题意逐一判断即可； （3）利用样本估计总体的思想求出该年级体重指数等级为超重（C）和肥胖（D）的学生人数，再根据实际情况提出合理化的建议即可． 【小问1详解】 解：（名）， ∴一共抽查了100名学生， ∴B等级的女生有（名）， ∴抽查的女生人数为（名）， 把这50名女生的按照从低到高的顺序排列，中位数为第25个数据和第26个数据的平均数， ∵， ∴第25个数据和第26个数据都在B等级， ∴所调查的女生体重指数（）的中位数落在B等级； 补全条形统计图见答案； 【小问2详解】 解：由（1）可得该调查是抽样调查，从八年级随机抽取男、女生各50名的体重指数作为样本，样本容量是100，故①正确； ∵， ∴若某女生的BMI值是，说明该女生属于正常体重，故②错误； 若一位男生的身高为，体重为，则其，故该男生属于正常体重，故③正确； 由（1）得B等级的男生人数少于女生人数，其它等级都是男生人数多于女生人数，故④正确； ∴正确的有①③④； 【小问3详解】 解：人， ∴估计该年级体重指数等级为超重（C）和肥胖（D）的学生人数一共102人； 该年级超重肥胖学生占比接近五分之一，占比偏高；建议同学们均衡饮食，减少高热量食物摄入，日常加强体育锻炼，保持健康体重． 19. 洛阳依托文旅特色打造夜间文旅消费市场，鼓励商户拓展线下外摆经营．商户小王借此售卖牡丹手工皂与牡丹瓷书签两款特色文创产品，两款文创的进价、售价如下表： 类型 牡丹手工皂 牡丹瓷书签 进价/（元/件） 售价/（元/件） 小王计划购进牡丹手工皂与牡丹瓷书签两种商品共件进行销售，设小王购进牡丹手工皂件，两种商品全部销售完后获得的总利润为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若牡丹瓷书签的进货数量不少于牡丹手工皂的倍，当购进两种商品各多少件时，可使得两种商品全部销售完后获得的总利润最大？并求出最大的总利润． 【答案】（1）（，且为整数） （2）当购进牡丹手工皂件，牡丹瓷书签件时，总利润最大，最大总利润为元． 【解析】 【分析】（1）先求出小王购进牡丹瓷书签件，再根据总利润手工皂总利润书签总利润即可求解； （2）先根据题意求出的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求解． 【小问1详解】 ∵小王购进牡丹手工皂与牡丹瓷书签两种商品共件，购进牡丹手工皂件， ∴小王购进牡丹瓷书签件， ∴由题意可得， 整理得：（，且为整数）； 【小问2详解】 ∵牡丹瓷书签的进货数量不少于牡丹手工皂的倍， ∴，解得， ∴ ∵，， ∴当时，有最大值，即的最大值为， ∴， ∴当购进牡丹手工皂件，牡丹瓷书签件时，总利润最大，最大总利润为元． 20. 如图，，平分，交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规在射线上作出点，使得四边形是菱形．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）若，，点是与的交点，求点到的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以点C为圆心，的长为半径画弧交射线于点F，连接，则四边形即为所求；由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则，再由可证明四边形是平行四边形，进而可证明平行四边形是菱形； （2）过点A作于点G，过点O作于点H， 由菱形的性质得到点为的中点，，证明是等腰直角三角形，推出，则，求出，即可得到，即点到的距离为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，过点A作于点G，过点O作于点H， ∵四边形是菱形，点是与的交点， ∴点为的中点， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即点到的距离为． 21. 小丽一家驾驶电动汽车从家前往景点游玩，行驶一段路程后停车充电，然后继续行驶，直至到达景点．汽车充电前、充电后都以的速度匀速行驶，且每小时的耗电量均相同．出发后，汽车剩余电量（单位：）与行驶路程（单位：）的关系如图所示． （1）汽车行驶_____后停车充电； （2）当时，求与之间的函数表达式； （3）汽车在充电前后的两段行程中，剩余电量不低于的总时长为______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据时间等于路程除以速度可得答案； （2）求出行驶过程中，每千米的耗电量，再用从家出发时的电量减去行驶过程中消耗的电量即可得到答案； （3）求出充电前，电量恰好为的时间，进而可求出充电前剩余电量不低于的时长；再求出充电后电量恰好为的时间，进而求出充电后剩余电量不低于的时长，据此可得答案． 【小问1详解】 解：， ∴汽车行驶后停车充电； 【小问2详解】 解：由题意得，行驶过程中，每千米的耗电量为， ∴当时，与之间的函数表达式为 【小问3详解】 解：在中，当时，，解得， ∴汽车在充电前，剩余电量不低于的时长为； 由（2）可得线段所表示的与之间的函数表达式为， 在中， 当时，，解得， ， ∴汽车在充电后，剩余电量不低于的时长为， ， ∴汽车在充电前、充电后的两段行驶过程中，剩余电量不低于的总时长为． 22. 如图，的对角线与相交于点，点在外，且，． （1）求证：是矩形； （2）若，试说明当与满足怎样的数量关系时，四边形是菱形，并写出证明过程． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，是的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是矩形． （2）当时，四边形是菱形，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴，，且， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，为中点， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∵，且三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形. 【解析】 【分析】（1）由平行四边形性质得，，由且为中点，得，即，又，故，故是矩形； （2）由矩形性质得，，故，结合得为等边三角形，，由直角三角形斜边中线得，故．由及公共边，证，得，从而，推出，又，得四边形为平行四边形，且，故为菱形. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形． （1）【初步感知】满足下列哪个条件时，四边形一定是垂美四边形？_____（填序号）； ① ② ③ ④， （2）【探索性质】如图1，垂美四边形的四条边之间有怎样的数量关系？完成下列探索过程． 四边形是垂美四边形， ． ． 由勾股定理可知，在中，， ， 同理可得，， ， ______． （3）【学以致用】如图2，分别以的边和为边向外作正方形与正方形．连接，，，，；与交于点． ①求证：四边形是垂美四边形； ②已知，，当是直角三角形时，直接写出的中线的长． 【答案】（1）③④ （2） （3）①证明：当时， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图2所示，设交于点T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形； 当时，则， ∴三点共线，三点共线，即此时点与点重合， 又∵此时， ∴四边形是垂美四边形； 综上所述，四边形是垂美四边形； ②或 【解析】 【分析】（1）由③的条件可证明四边形是菱形，得到，则四边形是垂美四边形；由④的条件可证明垂直平分，则四边形是垂美四边形；由①②的条件无法证明四边形是垂美四边形； （2）由已给过程和线段的和差关系可得答案； （3）①当时，由正方形的性质得到，证明，得到；设交于点T， 可证明，得到，则四边形是垂美四边形；当时，可证明三点共线，三点共线，即此时点与点重合，再由，可证明四边形是垂美四边形；②由正方形的性质和勾股定理可得，；再分两种情况：和，分别求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：③∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴四边形是垂美四边形； ④∵，， ∴垂直平分， ∴四边形是垂美四边形； 根据①②中的条件无法证明四边形是垂美四边形； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 ①略； ②解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，； 当时，则， ∴， 由（3）①得，即， ∵是的中线， ∴； 当时，则， 由（2）可得， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴同理可得； 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $