精品解析：2025年山东省济南市历城区一模数学试卷

2025年3月九年级质量检测 数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在这四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 根据实数的大小比较方法比较即可． 【详解】解：， 在这四个数中，最小的数是， 故选：C． 2. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是．将数21500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的形式，满足，为整数，确定 和的值即可求解． 【详解】∵ ， ∴ 将用科学记数法表示为． 3. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】其俯视图为： ． 故选：B． 4. 如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线 上，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，补角的定义，由，则，再利用平角的定义即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选： 5. 有理数 ， 在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由数轴可得：，且，进而由有理数的加减运算法则可对各选项进行判断． 【详解】由数轴知：，，则， ， 、B、D选项正确，C选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数大小的比较、有理数的加减运算法则，根据有理数加减法则确定出算式的符号是解题的关键． 6. 2024年7月，第33届夏季奥林匹克运动会（）在法国巴黎举办．下面是巴黎奥运会一些项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； B． 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项不符合题意； C． 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； D． 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 7. 某博物馆开展“文化讲解员”招募活动．两位同学分别从“恐龙化石展”、“矿物世界展”、“海洋贝类展”、“动物迁徙展”四个展厅中随机选择一个进行讲解，则两位同学选择同一个展厅的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 画树状图得到所有种等可能的情况，其中两位同学选择同一个展厅的情况有 种，用概率公式计算即可． 【详解】解：设“恐龙化石展”、“矿物世界展”、“海洋贝类展”、“动物迁徙展”四个展厅分别为， 画树状图如下： 共有种等可能的情况，其中两位同学选择同一个展厅的情况有 种， 两位同学选择同一个展厅的概率为， 故选：B． 8. 如图，正方形的顶点在 轴上，点 ，点在反比例函数图象上．若直线 的函数表达式为，则k值为（ ） A. 6 B. 12 C. 16 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】解方程求得，，得到，，过 作 轴于 ，过作轴于 ，根据正方形的性质得到 ， ，根据全等三角形的性质得到， ，根据相似三角形的性质得到，设 ，，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论． 【详解】解：在中，令，则， 令 ，则， ，， ，， 过 作 轴于 ，过作轴于 ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ，， ， ， 设 ，， ，， ，， 点 ，点在反比例函数图象上， ， ，（不合题意舍去）， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 9. 如图，在 中，，，分别以点 和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ，作直线 交 于点 ，连接 ，再以点 为圆心，以 的长为半径作弧交射线 于点 ，连接．若 ，则 的长为（　　） A. 2 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】证明出，求出，再由三线合一求出，即可求解 ． 【详解】解：由题意得，直线 垂直平分 ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍负）， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，尺规作图，等腰三角形的性质，三角形的内角和、外角定理等知识点，运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，对于点．和点，若满足，我们称点 和点 互为等和点．下列结论： ①若点 坐标为，则点 的等和点 在直线上； ②若点分别在函数的图象上，点 和 互为等和点，则点 的坐标为； ③若点 坐标为，则无论 取何值，直线上有且只有一个点是点 的等和点： ④若点 坐标为，则二次函数的图象上总存在点 的等和点．其中，正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的阅读理解能力。函数与方程的综合运用。对于新定义，要理解它所规定的运算规则，再根据这个规则结合函数与方程的有关知识解题． 根据新定义的运算规则，结合函数与方程的有关知识，逐项判断即可． 【详解】解：①设点， ， 故①正确； ②设， ， ， ， ， 故②正确； ③设， ， ， 点 的等和点在直线上， 当时，直线解析式为， 而直线与直线平行， 点 的等和点一定不在直线上， 故③错误； ④设， ， ， 代入得， 即， 对于任意实数，二次函数的图象上总存在点 的等和点； 故④正确；  故选：B ． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键． 飞镖游戏板由大小相等的个小正方形格子构成，阴影区域由大小相等的 个小正方形格子构成，根据概率公式计算即可得到答案． 【详解】解：飞镖游戏板由大小相等的个小正方形格子构成，阴影区域由大小相等的 个小正方形格子构成， 击中阴影区域的概率是， 故答案为：． 12. 化简的结果为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据分式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为____°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形外角和定理，平面镶嵌等知识点，掌握外角和定理是解题的关键． 由多边形的外角和定理直接可求出结论． 【详解】∵正八边形的每一个外角都相等，外角和为， ∴它的一个外角． 故答案为： ． 14. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪和慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和䠂慧行走的路程分别为与x的函数图象如图所示，则慧慧追上聪聪时，聪聪行走的路程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象中的数据列式计算是解题的关键． 根据函数图象中的数据列式计算即可． 【详解】解：根据函数图象得，慧慧开始的速度为， 聪聪的速度为 ， ， 故答案为：． 15. 如图，在 中，点P是边 上一点，将沿直线折叠，点D的对应点为E．当点E恰好落在 边上时，若，则的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，延长 与的延长线交于点，证明，，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，延长 与的延长线交于点， ∵ ， ∴ ，， ∴， 由折叠可得：，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴，而，， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算零次幂，化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数幂，再合并即可． 【详解】解： 17. 解不等式组：，并求所有整数解的和． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 先解每一个不等式，再确定不等式组的解集，得到不等式组的所有整数解，计算即可． 【详解】解：， 解：解不等式①得，， 解不等式②得， ， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为， 所有整数解得和为． 18. 如图，在菱形中， 于点E，于点F．求证： ． 【答案】 证明：四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， 即 ． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，先由菱形的性质得，结合 于点E，于点F，证明，故，即可作答． 【详解】略 19. 如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯 和汽车折臂升降机的折臂底座 都垂直于地面 ，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点E到地面 距离是． （1）求下折臂的长； （2）求路灯 的高． （结果精确到，参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点 作于点，过点 作于点 ，先求出，求出，然后在中，利用勾股定理即可求解； （2）过点 作 ，垂足为．先求出，再求出，在中，求出，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：过点 作于点，过点 作于点 ， 由题意可得四边形是矩形， ， ， ， ． 在中，， 答：下折臂的长约为． 【小问2详解】 解：过点 作 ，垂足为． ， ． ， ． ， ， 由题意可得四边形是矩形， ， 在中，， ． ． 答：路灯 的高约为． 20. 如图， 内接于， 是的直径，过点作的切线交 的延长线于点 ，过点 作 ，交直线于点 ，交于点 ． （1）求证： 平分； （2）若 ，求线段的长． 【答案】（1） 证明：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， 平分． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质定理得到 ，根据平行线的判定定理得到 ，得到 ，得到 ，即可得到结论； （2）证明 ，求出，证明 ，求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 21. 计算 某研究所甲、乙试验田各有水稻稻穗5万个，为了考察水稻穗长的情况，研究员于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位：），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）： b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图所示： 甲试验田穗长频数分布表（表1） 分组 频数 频率 4 0.08 n 14 0.28 11 0.22 m 0.20 2 合计 50 1.00 c．乙试验田穗长在这一组的是：6.3，6.4，6.3，6.3，6.2，6.2，6.1，6.2，6.4 d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）： 试验田 平均数 中位数 众数 方差 甲 5.924 5.8 5.8 0.454 乙 5.924 w 6.5 0.608 根据以上信息，回答下列问题： （1）表1中的值为______，n的值为______； （2）表2中 的值为______； （3）在此次考察中，穗长为的稻穗，穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是______；稻穗生长（长度）较稳定的试验田是______； A．甲 B．乙 C．无法推断 （4）若穗长在范围内的稻穗为“良好”，请估计甲试验田所有“良好”的水稻约为多少万个? 【答案】（1）10，0.18 （2）6.15 （3）A，A （4）估计甲试验田所有“良好”的水稻约为 万个 【解析】 【分析】（1）根据频数，频率，总数之间的关系求得的值； （2）根据中位数的意义进行计算； （3）根据中位数及方差的意义进行判断稳即可； （4）根据样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：∵ 这一组对应的频率为， ∴， ∴这一组对应的频数为： 频率； 【小问2详解】 解：由乙的频数分布直方图和中位数定义可知，中位数为这组数的第1个与第2个的平均数， 故中位数； 【小问3详解】 解：由题意可知，穗长为的稻穗在甲试验田在中位数之前，在乙试验田中在中位数之后，所以穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是甲， 因为甲实验田的方差小，所以稻穗生长（长度）较稳定的试验田是甲． 故答案为：A，A； 【小问4详解】 解：甲试验田中穗长在范围内频率为， 故甲试验田所有“良好”的水稻约为（万个）， 答：估计甲试验田所有“良好”的水稻约为 万个． 【点睛】本题考查了频数分布表，频数分布直方图，求中位数，根据方差判断稳定性，样本估计总体，从统计图表中获取信息是解题的关键． 22. 某文教店老板到批发市场选购两种品牌的绘图工具套装，每套 品牌套装进价比品牌每套套装进价多元，已知用 元购进 种套装的数量和用元购进种套装的数量相同． （1）求两种品牌套装每套进价分别为多少元？ （2）若 品牌套装每套售价为元，品牌套装每套售价为元，店老板决定，购进品牌的数量比购进 品牌的数量的倍还多 套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过 元，则最少购进 品牌工具套装多少套？ 【答案】（1） 品牌套装每套进价为元，则品牌套装进价为元 （2） 套 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键。 （1）设 品牌套装每套进价为 元，则B品牌套装进价为元，列方程求解即可； （2）设购进 品牌套装套，则购进品牌套装套，根据题意列不等式求解即可。 【小问1详解】 解：设 品牌套装每套进价为 元，则B品牌套装进价为元 由题意得 解得 经检验， 是分式方程的解 答： 品牌套装每套进价为元，则品牌套装进价为元 【小问2详解】 解：设购进 品牌套装套，则购进品牌套装套， 由题意得： 解得 为正整数， 答：最少购进 品牌工具套装 套． 23. 如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）如图1，将直线 向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点 ，若，求平移距离； （3）如图2， 是第二象限内一点，，连接，将绕点顺时针旋转，点 的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求点 的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先将点代入一次函数 ，求得一次函数解析式，再求出点，即可求出把比例函数解析式； （2）法1：作轴交直线 于点 ，根据，即可求． 法2：设直线 平移前后与轴分别交于两点，连接 ，根据与同底等高，，即可求； （3）连接 ，设点 的对应点为点，过点作轴于 ，过点 作轴于 ，由旋转的性质可证明，得，设 ，则，得点的坐标为，列方程，解方程进而可求点 的坐标． 【小问1详解】 解：点在一次函数 上， ， 一次函数 的表达式为； 点在直线上， ， ． ， 把代入得， 解得： ， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：法1：作轴交直线 于点 ， ， ， ， ， ． 法2：设直线 平移前后与轴分别交于两点， 连接 ， 与同底等高， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：连接 ，设点 的对应点为点，过点作轴于 ，过点 作轴于 ， 由旋转的性质可知：， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， 点， 为等腰直角三角形． 设 ，则， ， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 解得：（不合题意，舍去）， 当 时，， 点 的坐标为． 【点睛】本题主要涉及一次函数与反比例函数的性质及应用，还包括图形的旋转等知识，解题的关键在于利用函数图像上点的坐标满足函数解析式这一性质，求出函数中的未知参数，进而确定函数解析式；对于三角形面积问题，通过合理设点坐标利用面积公式求解；对于图形旋转问题，根据旋转的性质得到对应点坐标的关系，再结合反比例函数解析式求解． 24. 抛物线交x轴于，B两点（B在A的右侧），交y轴于点，M是第四象限内抛物线上一动点． （1）求此抛物线的表达式； （2）如图1，连接 ，过动点M作，垂足为点D，连接．当时，求的长； （3）如图2，过动点M作 的平行线交y轴于点N，若射线 平分线段 ，求点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线 的解析式，过 点作轴，垂足为 ，交 于点，证明，得到，求出，进而求出 点的坐标，进而求出的长即可； （3）求出直线 的解析式，设，平行求出直线 的解析式，进而得到点 的坐标，中点坐标公式求出 点坐标，代入直线 的解析式，求出的值即可． 【小问1详解】 解：抛物线过 解得： 抛物线解析式为： 【小问2详解】 抛物线与 轴交于， 令，则：， ， ∵， ∴， ∴， ∴设直线 的解析式为：，把代入得：， 解析式为：， 如图，过 点作轴，垂足为 ，交 于点， ， ∴， ∵， ， 又 ， ， 又， ， 设，则 解得： ； 【小问3详解】 同（2）法可得：直线 解析式为： 由（2）知 解析式为： 设 设 的解析式为： ，把代入，得：， 解析式为： 中点为 将代入 得： 解得：（舍）， ． 25. （一）模型呈现（1）如图1，点 在直线 上，，过点作于点，过点 作于点 ，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验（2）如图2，在 中，点 为 上一点，，四边形的周长为， 的周长为 ．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展（3）如图3，在 中，，直线 经过点，且于点 ，于点 ．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点 在 边上，且． 是对角线 上一动点， 是边 上一动点，且满足，当 在 上运动时，请求线段 的最大值，并求出此时线段的长度． 【答案】（1）； （2）； （3）解：；理由如下， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）当时 【解析】 【分析】（一）由全等三角形的性质可得结论； （二）由全等三角形的性质得对应相等的线段，经过等量代换即可求出； （三）证明，得，由，得，进而可得结论： （四）在 上找一点 使，延长交 的延长线于点，过点作 的垂线，垂足为 ，过点 作 的垂线，垂足为 ．由矩形性质及勾股定理证明 ，求出，证明，进而证明， 为等腰三角形， 设，则，解直角三角形求出，，设， ，证明，得，由二次函数的性质即可求解． 【详解】（一）解：， ， 故答案为： （二）解：四边形的周长为，， ， ， 的周长为 ，， ， ， ， 故答案为：； （三）略 （四）解：在 上找一点 使，延长交 的延长线于点，过点作 的垂线，垂足为 ，过点 作 的垂线，垂足为 ． 在矩形中，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， 为等腰三角形， ， 设，则， ， ， ，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴，， 设， ， ， ， ， 即， ，对称轴为直线， 当时，， 即当时，． 【点睛】本题主要涉及全等三角形的判定与性质、“一线三等角”模型等数学概念，利用“一线三等角”模型及全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而得出对应边相等；构造“一线三等角”模型，结合三角函数和相似三角形的性质及二次函数的性质，求解线段的最值及相应长度是正确解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年3月九年级质量检测 数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在这四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是．将数21500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 2024年7月，第33届夏季奥林匹克运动会（）在法国巴黎举办．下面是巴黎奥运会一些项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 7. 某博物馆开展“文化讲解员”招募活动．两位同学分别从“恐龙化石展”、“矿物世界展”、“海洋贝类展”、“动物迁徙展”四个展厅中随机选择一个进行讲解，则两位同学选择同一个展厅的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的顶点在轴上，点 ，点在反比例函数图象上．若直线的函数表达式为，则k值为（ ） A. 6 B. 12 C. 16 D. 24 9. 如图，在 中，，，分别以点 和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和 ，作直线 交于点 ，连接，再以点 为圆心，以的长为半径作弧交射线于点，连接．若 ，则的长为（　　） A. 2 B. 2 C. 3 D. 4 10. 在平面直角坐标系中，对于点．和点，若满足，我们称点 和点 互为等和点．下列结论： ①若点 坐标为，则点 的等和点 在直线上； ②若点分别在函数的图象上，点 和 互为等和点，则点 的坐标为； ③若点 坐标为，则无论取何值，直线上有且只有一个点是点 的等和点： ④若点 坐标为，则二次函数的图象上总存在点 的等和点．其中，正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是_______． 12. 化简的结果为_______． 13. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为____°． 14. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪和慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和䠂慧行走的路程分别为与x的函数图象如图所示，则慧慧追上聪聪时，聪聪行走的路程是_______． 15. 如图，在 中，点P是边上一点，将沿直线折叠，点D的对应点为E．当点E恰好落在边上时，若，则的长为_______． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 解不等式组：，并求所有整数解的和． 18. 如图，在菱形中， 于点E，于点F．求证： ． 19. 如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面 ，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点E到地面 距离是． （1）求下折臂的长； （2）求路灯的高． （结果精确到，参考数据：） 20. 如图， 内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点 作 ，交直线于点 ，交于点． （1）求证： 平分； （2）若 ，求线段的长． 21. 计算 某研究所甲、乙试验田各有水稻稻穗5万个，为了考察水稻穗长的情况，研究员于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位：），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）： b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图所示： 甲试验田穗长频数分布表（表1） 分组 频数 频率 4 0.08 n 14 0.28 11 0.22 m 0.20 2 合计 50 1.00 c．乙试验田穗长在这一组的是：6.3，6.4，6.3，6.3，6.2，6.2，6.1，6.2，6.4 d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）： 试验田 平均数 中位数 众数 方差 甲 5.924 5.8 5.8 0.454 乙 5.924 w 6.5 0.608 根据以上信息，回答下列问题： （1）表1中的值为______，n的值为______； （2）表2中 的值为______； （3）在此次考察中，穗长为的稻穗，穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是______；稻穗生长（长度）较稳定的试验田是______； A．甲 B．乙 C．无法推断 （4）若穗长在范围内的稻穗为“良好”，请估计甲试验田所有“良好”的水稻约为多少万个? 22. 某文教店老板到批发市场选购两种品牌的绘图工具套装，每套 品牌套装进价比品牌每套套装进价多元，已知用 元购进 种套装的数量和用元购进种套装的数量相同． （1）求两种品牌套装每套进价分别为多少元？ （2）若 品牌套装每套售价为元，品牌套装每套售价为元，店老板决定，购进品牌的数量比购进 品牌的数量的倍还多 套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过 元，则最少购进 品牌工具套装多少套？ 23. 如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）如图1，将直线 向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点 ，若，求平移距离； （3）如图2， 是第二象限内一点，，连接，将绕点顺时针旋转，点 的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求点 的坐标． 24. 抛物线交x轴于，B两点（B在A的右侧），交y轴于点，M是第四象限内抛物线上一动点． （1）求此抛物线的表达式； （2）如图1，连接，过动点M作，垂足为点D，连接．当时，求的长； （3）如图2，过动点M作的平行线交y轴于点N，若射线 平分线段 ，求点M的坐标． 25. （一）模型呈现（1）如图1，点 在直线 上，，过点作于点，过点 作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验（2）如图2，在 中，点 为上一点，，四边形的周长为， 的周长为 ．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展（3）如图3，在 中，，直线 经过点，且于点 ，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且． 是对角线 上一动点， 是边上一动点，且满足，当 在 上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $