精品解析：上海市上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学2024-2025学年高三下学期开学考数学试卷

2024学年上海市上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学 高三年级下学期开学考数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 等比数列中，，则______. 【答案】9 【解析】 【分析】运用等比中项公式计算即可. 【详解】等比数列中，，则,即，解得. 故答案为：9. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数除法法则计算出，从而求出模长. 【详解】， 故. 故答案为： 3. 已知，，若与互相垂直，则实数的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标运算列出方程求解即可． 【详解】因为， 所以，解得. 故答案为：． 4. 已知，，则的值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据正弦以及角的范围，先求出余弦，得到正切，再根据两角和的正切公式，即可求出结果. 【详解】因为，，所以，则， 所以. 故答案为：3 5. 若经过圆锥的轴的截面是一个边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正三角形求出圆锥的高，利用圆的面积公式求出圆锥的底面面积，利用圆锥的体积公式求出该圆锥的体积. 【详解】圆锥的轴的截面是一个边长为2的正三角形， 设这个三角形为，，底面圆， ， 底面圆的面积， 则该圆锥的体积为. 故答案为：. 6. 已知常数，函数经过一个定点，则该定点坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】对函数解析式变形，得到，令，解题即可. 【详解】对函数解析式变形，得到， 令，解.代入解析式，得到，经过一个定点. 故答案为： . 7. 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示． 若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________． 【答案】4 【解析】 【详解】试题分析：由茎叶图可知，在区间的人数为，再由系统抽样的性质可知人数为人. 考点：1.系统抽样；2.茎叶图. 【名师点睛】本题主要考查了系统抽样与茎叶图的概念，属于容易题，高考对统计相关知识的考查，重点 在于其相关的基本概念，如中位数，方差，极差，茎叶图，回归直线等，要求考生在复习时注意对这些方 面的理解与记忆. 8. 小张和小李同学在玩数字游戏，在一张空白纸上依次写有这211个自然数，然后小张划掉最前面的4个数1，2，3，4，并将它们的和10写在数列的最后，然后小李继续划去5，6，7，8这4个数，并将其和26写在10的后面.两人依次操作，假设他们俩在计算和操作都正确的情况下，最后将剩下一个数，该数为______. 【答案】22366 【解析】 【分析】根据题意依次划掉数字并加入和，记作数列，并计算留下数字的和即可. 【详解】①易知，划掉次后，变为个正整数， 记为，其中 ， 所以； ②易知，再划掉次后，变为个正整数，记为， 其中， 则； ③而，再划掉次，变为个正整数，记为， 其中，，， 故； ④，再划掉最后次，变为个正整数，记为， 其中. 故答案为：. 9. 若函数，则图像上关于原点O对称的点共有________对. 【答案】4 【解析】 【分析】图象上关于原点对称的点的个数只需观察的图象与关于原点对称的函数的图象交点个数即可,再分别画图象可观察得解. 【详解】解：图象上关于原点对称的点的个数,只需观察 的图象与关于原点对称的函数的图象交点个数即可， 上图可知：两个图象交点个数4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了作图能力，重点考查了数形结合的思想． 10. 某班有学生45人，则至少有两人生日相同的概率为______.（假定一年365天，答案精确到0.001）. 【答案】0.891 【解析】 【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数为，至少有两人生日相同的对立事件是没有人生日在同一天，共有种结果，根据对立事件和古典概型的概率公式得到结果 【详解】由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件数， 至少至少有两人生日相同的对立事件是没有人生日在同一天，共有种结果， . 故答案为:0.891 11. 如图，四边形ABCD中，已知，则对角线AC的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】旋转构造全等，结合勾股定理计算即可. 【详解】由题意可知，即为等腰直角三角形， 可将绕B顺时针旋转得， 则， 又， 所以为直角三角形，， 即 故答案为：. 12. 若集合，若集合恰有两个元素，则所有满足要求的实数组成的集合为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出直线过定点，然后把求交集的问题转化为求方程解的问题，再利用根的情况列式计算得解. 【详解】联立，得， 由，可知直线过点，则有一个公共点， 由，得， 当时，有，即，则有唯一解， 对的情况进行讨论： ①，此时有，，符合题意； ②，，符合题意； ③当是方程的一个解时，有，此时， 此时另外一个解为，符合题意， 综上，所有满足要求的实数组成的集合为. 故答案为： 二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分. 13. 下列关于双曲线的性质表述错误的是（ ） A. 焦距为 B. 实轴长为4 C. 两渐近线夹角为 D. 离心率为 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程以及双曲线的几何性质逐一判断选项可得结论. 【详解】由题意得，，，焦距为，A正确； 实轴长为，B错误； 渐近线方程为，设渐近线的倾斜角为，则， ， 由 两渐近线夹角为，C正确； 离心率为，D正确， 故选：B. 14. 已知，，若，则 A. 有最小值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最大值 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质，即可求解有最小值，得到答案. 【详解】由题意，可知，，且， 因为，则，即， 所以， 当且仅当时，等号成立，取得最小值， 故选A． 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 15. 下列结论正确的是（ ） A. 已知一组样本数据，现有一组新的数据，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大； B. 已知具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4； C. 50名学生在一模考试中的数学成绩，已知，则的人数为30人 D. 已知随机变量，若，则 【答案】D 【解析】 【分析】计算可得平均数不变，可得新数据极差变小，可判断A；利用贺归直线过样本中心点，可求m，可判断B；可求得，进而可判断C；由已知得，计算可判断D. 【详解】对于A，新数据的总和为，与原样本数据的总和相等，且数据个数相等，因此平均数不变， ，而， 即极差变小了，由于两组数据平均数不变，而极差变小，说明新数据相对原样本数据更集中于平均数，因此方差变小，A错误； 对于B，经验回归直线必经过样本点的中心， ，解得，B错误； 对于C，一模考试中数学成绩，， 则，， 那么的人数为人，C错误； 对于D，，，， 解得，D正确， 故选：D. 16. 设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合出下列四个命题. ①若与均为等差数列，则中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素. 则上述命题中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误. 【详解】对于①，，均为等差数列，，，不为常数列且各项均不相同，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点， 中至多一个元素，①正确； 对于②，令，，满足，均为等比数列， 但当为偶数时，，此时中有无穷多个元素，②错误； 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为，方程至多有两个偶数解， 且有两个偶数解时，否则， ，单调性相反，方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为，方程至多有两个奇数解， 且有两个奇数解时，否则， ，单调性相反， 方程至多一个奇数解，，不可能同时成立， 若，， 则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 故不可能有4个不同的正数解，即M中最多有3个元素， 如，此时，③正确； 对于④，为单调递增，为递减数列， ，不为常数列且各项均不相同， 前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，④正确， 则上述命题中正确的个数为3个，即①③④. 故选：C 【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 直三棱柱中，，，. （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，则可得为异面直线与所成角，然后在中求解即可， （2）在三棱锥中利用等体积法求解即可 【小问1详解】 在直三棱柱中，， 为异面直线与所成角，，， ，， ，， 平面，平面，，， 故，，， 故异面直线与所成角的大小为. 【小问2详解】 连接，，， 平面，平面，， ，平面， 平面， 而，则平面， 设点到平面的距离为，由等体积法可得， 则， 解得，故点到平面的距离为. 18. 已知函数，其中常数. （1）若，求不等式的解集； （2）若，试比较与的大小. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的性质及对数运算计算即可； （2）分类讨论a的范围，结合对数函数的单调性及作差法比较大小即可. 【小问1详解】 时，，易知， 所以， 则不等式等价于， 即，解之得或， 结合定义域知不等式解集为； 【小问2详解】 易知当时，， 若，则，所以， 则，即； 若，则， 所以， 则，即； 综上所述：. 19. 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取件和件，测量产品中微量元素、的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的件产品的测量数据： 编号 （1）已知甲厂生产的产品共件，求乙厂生产的产品数量； （2）在（1）的条件下，当产品中的微量元素、满足且，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量； （3）从乙长抽出的上述件产品中，随机抽取件，求抽取的件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）. 【答案】（1） （2） （3）分布列答案见解析， 【解析】 【分析】（1）利用分层抽样可计算出结果； （2）计算出乙厂的件产品中优等品的件数，再利用优等品率乘以可得结果； （3）分析可知，随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值. 【小问1详解】 解：设乙厂生产的产品数量为件，则，解得. 因此，若甲厂生产的产品共件，则乙厂生产的产品共件. 【小问2详解】 解：乙厂的件产品中，其中优等品共件， 因此，乙厂生产的优等品的数量为件. 【小问3详解】 解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 因此，. 20. 已知平面直角坐标系中动点，定点，. （1）若点在轴上，且为等腰三角形，求点的坐标； （2）若点在轴上，且的外接圆与轴相切于点，求此时圆的半径； （3）设点在椭圆上，求的面积的最大值并求相应点的坐标. 【答案】（1）、或； （2）2或10； （3） 【解析】 【分析】（1）分别以为等腰三角形的顶点讨论，然后利用两点间的距离公式求解即可； （2）圆心到点A和点的距离相等，然后利用两点间的距离公式求解即可； （3）求出直线方程 利用点到直线的距离表示出三角形的高，设出椭圆的参数方程，然后利用三角函数求出最值即可 【小问1详解】 已知点，，点在轴上，设，要使为等腰三角形，有以下几种情况：、、 ① ， 令，展开并整理，解得， ② ， 令，即，解得， 或 ③ 由上可知，，， 令，即，无解， 点的坐标为、或. 【小问2详解】 因为点在轴上，所以设， 又的外接圆与轴相切于点， 所以意味着圆心C的纵坐标等于圆的半径r，所以圆心的坐标为， 又圆经过点， 所以， 所以或， 故此时圆的半径为2或10； 【小问3详解】 设在椭圆为到直线的距离， 而， 由定点，，得直线的方程为， 到直线的距离， 所以 又在椭圆所以设，其中是参数， 所以，其中， 由，所以， 所以当时，， 此时：， 代入参数化方程：， 所以得的坐标为， 综上，的面积的最大值为，此时点的坐标为， 21. 设函数，的值域为. （1）若的值域为，求，满足的条件； （2）设，若，令，求的解析式； （3）设，若，求的取值范围. 【答案】（1）且（或）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合二次函数图像，数形结合易得结论； （2）通过求导分析函数单调性，根据的取值进行分类讨论和的解析式，作差即可； （3）利用正弦函数图像，数形结合分析即可得出结果. 【小问1详解】 由题意可得，且必须包含0和端点值1或-1， 且（或）. 【小问2详解】 由题意，，定义域为， 且，令，得. 在上单调递减，在上单调递增. ①当时，，， 此时，所以， 故， ②当时，，， 此时，所以， . ③当时，在上单调递增，，， ； 综上所述，. 【小问3详解】 假设，且， 则，所以，所以， 当时，满足， 则最小值为； 最小正周期为， 当时，若，则或，且， 此时，不合题意，所以， 当时，满足，符合题意，所以最大值为， 的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年上海市上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学 高三年级下学期开学考数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 等比数列中，，则______. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则______. 3. 已知，，若与互相垂直，则实数的值是__________． 4. 已知，，则的值为__________. 5. 若经过圆锥的轴的截面是一个边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为___________． 6. 已知常数，函数经过一个定点，则该定点坐标为______. 7. 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示． 若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________． 8. 小张和小李同学在玩数字游戏，在一张空白纸上依次写有这211个自然数，然后小张划掉最前面的4个数1，2，3，4，并将它们的和10写在数列的最后，然后小李继续划去5，6，7，8这4个数，并将其和26写在10的后面.两人依次操作，假设他们俩在计算和操作都正确的情况下，最后将剩下一个数，该数为______. 9. 若函数，则图像上关于原点O对称的点共有________对. 10. 某班有学生45人，则至少有两人生日相同的概率为______.（假定一年365天，答案精确到0.001）. 11. 如图，四边形ABCD中，已知，则对角线AC的长为______. 12. 若集合，若集合恰有两个元素，则所有满足要求的实数组成的集合为______. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分. 13. 下列关于双曲线的性质表述错误的是（ ） A. 焦距为 B. 实轴长为4 C. 两渐近线夹角为 D. 离心率为 14. 已知，，若，则 A. 有最小值 B. 有最小值 C 有最大值 D. 有最大值 15. 下列结论正确是（ ） A. 已知一组样本数据，现有一组新的数据，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大； B. 已知具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4； C. 50名学生在一模考试中的数学成绩，已知，则的人数为30人 D. 已知随机变量，若，则 16. 设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合出下列四个命题. ①若与均为等差数列，则中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素. 则上述命题中正确个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 直三棱柱中，，，. （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求点到平面的距离. 18. 已知函数，其中常数. （1）若，求不等式解集； （2）若，试比较与的大小. 19. 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取件和件，测量产品中微量元素、的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的件产品的测量数据： 编号 （1）已知甲厂生产的产品共件，求乙厂生产的产品数量； （2）在（1）的条件下，当产品中的微量元素、满足且，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量； （3）从乙长抽出上述件产品中，随机抽取件，求抽取的件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）. 20. 已知平面直角坐标系中动点，定点，. （1）若点在轴上，且为等腰三角形，求点的坐标； （2）若点在轴上，且的外接圆与轴相切于点，求此时圆的半径； （3）设点在椭圆上，求的面积的最大值并求相应点的坐标. 21. 设函数，的值域为. （1）若的值域为，求，满足的条件； （2）设，若，令，求的解析式； （3）设，若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $