上海市上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学2024-2025学年高三下学期开学考数学试卷

2024学年上海市上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学 高三年级下学期开学考数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 等比数列中，，则______. 2. 已知复数满足（虚数单位），则______. 3. 已知，，若与互相垂直，则实数的值是__________． 4. 已知，，则的值为__________. 5. 若经过圆锥的轴的截面是一个边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为___________． 6. 已知常数，函数经过一个定点，则该定点坐标为______. 7. 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示． 若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________． 8. 小张和小李同学在玩数字游戏，在一张空白纸上依次写有这211个自然数，然后小张划掉最前面的4个数1，2，3，4，并将它们的和10写在数列的最后，然后小李继续划去5，6，7，8这4个数，并将其和26写在10的后面.两人依次操作，假设他们俩在计算和操作都正确的情况下，最后将剩下一个数，该数为______. 9. 若函数，则图像上关于原点O对称的点共有________对. 10. 某班有学生45人，则至少有两人生日相同的概率为______.（假定一年365天，答案精确到0.001）. 11. 如图，四边形ABCD中，已知，则对角线AC的长为______. 12. 若集合，若集合恰有两个元素，则所有满足要求的实数组成的集合为______. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分. 13. 下列关于双曲线的性质表述错误的是（ ） A. 焦距为 B. 实轴长为4 C. 两渐近线夹角为 D. 离心率为 14. 已知，，若，则 A. 有最小值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最大值 15. 下列结论正确的是（ ） A. 已知一组样本数据，现有一组新的数据，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大； B. 已知具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4； C. 50名学生在一模考试中的数学成绩，已知，则的人数为30人 D. 已知随机变量，若，则 16. 设与是两个不同无穷数列，且都不是常数列，记集合出下列四个命题. ①若与均为等差数列，则中最多有1个元素； ②若与均等比数列，则中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素. 则上述命题中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 直三棱柱中，，，. （1）求异面直线与所成角大小； （2）求点到平面的距离. 18. 已知函数，其中常数. （1）若，求不等式的解集； （2）若，试比较与的大小. 19. 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取件和件，测量产品中微量元素、的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的件产品的测量数据： 编号 （1）已知甲厂生产的产品共件，求乙厂生产的产品数量； （2）在（1）的条件下，当产品中的微量元素、满足且，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量； （3）从乙长抽出的上述件产品中，随机抽取件，求抽取的件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）. 20. 已知平面直角坐标系中动点，定点，. （1）若点在轴上，且为等腰三角形，求点的坐标； （2）若点在轴上，且的外接圆与轴相切于点，求此时圆的半径； （3）设点在椭圆上，求的面积的最大值并求相应点的坐标. 21. 设函数，的值域为. （1）若的值域为，求，满足的条件； （2）设，若，令，求解析式； （3）设，若，求的取值范围. 2024学年上海市上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学 高三年级下学期开学考数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 【1题答案】 【答案】9 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】3 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】4 【8题答案】 【答案】22366 【9题答案】 【答案】4 【10题答案】 【答案】0.891 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分. 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】A 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 【17题答案】 【答案】（1）； （2） 【18题答案】 【答案】（1）； （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3）分布列答案见解析， 【20题答案】 【答案】（1）、或； （2）2或10； （3） 【21题答案】 【答案】（1）且（或）； （2）； （3）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $