精品解析：山东省济宁市邹城市第十二中学2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题

数学定时练 （满分120分 时间120分钟） 温馨提示：请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！ 一、选择题：（每题3分，共30分，下列各题都有代号为A、B、C、D的四个结论供选择，其中只有一个结论是正确的，请把你认为正确结论的代号涂在答题卡上．） 1. 的倒数是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，掌握乘积是1的两个数互为倒数是解题关键．根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数是， 故选：D． 2. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式和积的乘方法则对每个选项一一判断即可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项法则、同底数幂乘法法则、完全平方公式和积的乘方法则，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键． 3. 如图所示几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从前往后看到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，主视图为： 故选B． 4. 网络用语“6”是比较厉害的意思，且“6”本身是一个自然数．将数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．据此进行解答即可． 【详解】解：． 故选：A． 5. 下列分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键，根据因式分解的方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，因式分解错误，不符合题意； B、，因式分解错误，不符合题意； C、，因式分解错误，不符合题意； D、，因式分解正确，符合题意； 故选D． 6. 如图，直线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质，掌握上述基本性质定理是解题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABOC的面积为6，边OB在x轴上，顶点A、C分别在反比例函数和的图象上，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】连接OA，如图，利用平行四边形的性质得AC垂直y轴，则利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAE和S△OCE，所以=-k+1，然后根据平行四边形的面积公式可得到▱ABOC的面积=2S△OAC=6，即可求出k-2的值． 【详解】解：连接OA，如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AC垂直y轴， 点A、C分别在反比例函数和的图象上， ∴=×|k|=-k，=×2=1， ∴=-k+1， ∵▱ABOC面积=2=6． ∴-k+2=6， ∵k-2=-6， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了平行四边形的性质． 8. 我国古代数学著作《增删算法统宗》中有一首诗，其大意是：今有绢与布40定，卖得680贯钱，若……，……欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．若设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组，根据已有信息，题中用“……，……”表示的缺失条件应为（ ） A. 4定绢价50贯，3定布价90贯 B. 4定绢价90贯，3定布价50贯 C. 4定布价90贯，3定绢价50贯 D. 4定布价50贯，3定绢价90贯 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，古代数学问题，根据题意列出方程组是解题的关键． 设有绢定，布定，根据方程组中求解即可． 【详解】设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组 ∵ ∴题中用“……，……”表示的缺失条件应为4定绢价90贯，3定布价50贯． 故选：B． 9. 在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（ ） A. 当石块下降时，此时石块在水里 B. 当时，F拉力与之间的函数表达式为 C. 石块下降高度时，此时石块所受浮力是 D. 当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象读取相关信息，一次函数的应用，求函数解析式，观察图象，解出的函数关系式，利用关系式判断出相关结论即可解题． 【详解】解：A、由图得，当石块下降时，拉力不变，此时石块不在水里，故A不符题意； B、设，代入，得，故B不符合题意； C、将，代入，，，故C不符合题意； D、将时，代入，得，，故D符合题意， 故选：D． 10. 如图，是一组按照某种规律摆放成的图案，则图6中三角形的个数是（ ） A. 22 B. 20 C. 18 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查图形类规律题，由图可知：第一个图案有三角形1个，第二图案有三角形个，第三个图案有三角形个，第四个图案有三角形，…，由此得出规律解决问题． 【详解】解：第一个图案有三角形1个， 第二图案有三角形个， 第三个图案有三角形个， 第四个图案有三角形， 第五个图案有三角形， 第六个图案有三角形． 故选：B 二、填空题：（每题3分，共18分．请把答案填在答题纸上．） 11. 要使式子 有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数即可得出结论． 【详解】解：要使式子有意义，则 ， 解得：． 故答案为：． 12. 一组数据2，3，5，，6的众数是3，则这组数据的中位数是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数，根据众数是一组数据中出现次数最多的数，得到，再根据中位数为一组数据排序后位于中间的一位或中间两位数的平均数，进行求解即可． 【详解】解：∵一组数据2，3，5，，6的众数是3， ∴， ∴将数据排序后，位于中间的数据为：3； ∴中位数为3； 故答案为：3 13. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据题意，得到，，进而得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 14. 如图，建筑物上有一高为的旗杆，从D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则建筑物的高约为_____（结果保留小数点后一位）．（参考数据，，） 【答案】 【解析】 【分析】先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，设，从而可得，再在中，利用正切三角函数解直角三角形即可得． 【详解】解：由题意得：， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 在中，，即， 解得，经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， 即建筑物的高约为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 15. 关于的分式方程有非负数解，则的取值范围为_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况参数的范围，先求出分式方程的解，根据方程的解的情况结合分式有意义，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵方程有非负数解， ∴且， ∴且， ∴且； 故答案为：且． 16. 如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论：①；②当时，；③动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则；④当时，．其中正确结论的序号是________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由图知当动点沿匀速运动到点时，，作于点，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到，即可判断①，当时，证明是等边三角形，即可判断②，当时，且时，最小，求出最小值即可判断④，利用勾股定理分别表示出和进行比较，即可判断③． 【详解】解：由图知当动点沿匀速运动到点时，， 作于点， 是等边三角形，点在边上，， ，， ，， ， ， 故①正确； 当时，，， ， 是等边三角形， ， ， 故②正确； 当时，且时，最小， ，， ，， 最小为，即能取到， 故④错误； 动点沿匀速运动时， ，， ，，， 由①知：； 当时，过作，由④可知：，则， ∴； ， ； 故③正确； 综上所述，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了二次函数综合，等边三角形性质，解直角三角形，勾股定理，涉及到动点问题、读懂函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解本题的关键． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．请把过程认真的书写在答题纸上．） 17. （1）计算： ． （2）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】（1）10（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则，准确计算是解题的关键； （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）先通分，计算括号内的，除法变乘法，约分化简后，利用整体代入法求值即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式 ； ∵， ∴， ∴原式． 18. 某校体育组为了解全校学生“最喜欢的一项球类项目”，随机抽取了部分学生进行调查，下面是根据调查结果绘制的不完整的统计图．请你根据统计图回答下列问题： （1）本次调查的学生共有 人，扇形统计图中喜欢乒乓球的学生所占的百分比为 ； （2）请补全条形统计图（图2），并估计全校4000名学生中最喜欢“足球”项目的有多少人？ （3）篮球教练在制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人进行个别座谈，请用列表法或树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率． 【答案】（1）50， （2）图见解析，全校4000名学生中最喜欢“足球”项目的有640人 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图得综合应用，列表法求概率，从统计表中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用足球的人数除以所占的比例求出总人数，求出其他项目人数所占的百分比，根据各项百分比之和为1，求出喜欢乒乓球的学生所占的百分比即可； （2）求出喜欢乒乓球的学生人数，补全条形图，利用样本估计总体的思想，进行求解即可； （3）画出树状图，利用概率公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：（人）； ； 故答案为：50，； 【小问2详解】 乒乓球项目人数（人），补全条形图如下： （人）； 答：全校4000名学生中最喜欢“足球”项目的有640人； 【小问3详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果数为2， ∴． 19. 如图，直线交轴于点，交轴于点，与反比例函数的图象交于，，连接、． （1）求的值； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出时，的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或． 【解析】 【分析】此题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质的应用．利用数形结合的思想是解题的关键． （1）把A点坐标代入中，即求出b值，即可得出一次函数的表达式．再把，代入一次函数表达式，即求出C、D的坐标，最后把C点坐标代入，求出k即可； （2）直接利用，即可求出结果； （3）根据反比例函数图象在一次函数图象上方时，，再结合点C、点D的坐标和图象即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴，即， ∴直线的解析式为． ∵点和点在直线上， ∴，， 解得：，， ∴，， 又∵在反比例函数上， ∴， 解得：． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 要使，即反比例函数图象在一次函数图象上方或相交即可，即或． 20. 如图，已知矩形（）． （1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹： ①以点为圆心，以的长为半径画弧交边于点，连接，； ②作的平分线交于点． （2）在（1）中所作出的图形中若，，求的长． 【答案】（1）图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作线段和角平分线，矩形的性质，勾股定理： （1）根据要求作图即可； （2）由作图可知：，在中，由勾股定理得，则，在中由勾股定理求得，再根据面积法得到，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，作图如下： 【小问2详解】 解：由作图可知：， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 晨晨家近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 新能源车 油箱容积：40升 电池电量：60千瓦时 油价：9元/升 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：千米 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用： 元 注：续航里程是指在最大的能源储备下可连续行驶的总里程． （1）用含代数式表示新能源车的每千米行驶费用 ． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程在什么范围时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】（1） （2）①燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；②当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． （1）根据每千米行驶费用相应的费用续航里程，即可求解； （2）①结合（1）列出分式方程，解方程求解即可；②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【小问1详解】 解：新能源车的每千米行驶费用为：（元）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ，， 燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元； ②设每年行驶里程为， 由题意得：， 解得， 答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 22. 如图，在中，，平分交于点，过点和点的圆，圆心在线段上，⊙O交于点，交于点． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1）相切，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质： （1）连接，根据角平分线的定义结合等边对等角，推出，进而得到，推出，即可得出结论； （2）连接，圆周角定理，得到，勾股定理求出的长，证明，求出的长，证明，列出比例式求出的长即可． 【小问1详解】 解：与相切，理由如下： 连接，则：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∵为半径， ∴与相切于点； 【小问2详解】 连接， 由题意，得：为的直径， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 【模型构建】 如图，将含有45°的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， ①则点A坐标为______；点B坐标为______； ②）C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，，则的最小值是______； （2）如图2，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于B，A两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图3，直线的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线与y轴交于点D．点、Q分别是直线l和直线上的动点，点C的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）①，；②；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）①分别令和求解即可； ②过A作于，证明得到，利用勾股定理求得，根据垂线段最短得的最小值是的长，进而可求解； （2）在图2中，过B作交直线l于C，过C作轴于D，证明是等腰直角三角形，则，证明得到，，进而求得，然后利用待定系数法求解即可； （3）过点作轴于，过点作于，证明．分两种情况，由全等三角形的性质得，，可得点的坐标，将点的坐标代入求得的值，即可求解． 【详解】解：（1）①当时，，当时，由得， ∴点A坐标为：点B坐标为； ②在图1中，过A作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点A坐标为，点B坐标为， ∴， ∴， ∴， 在中，； ∵D是正比例函数图象上的两个动点， ∴根据垂线段最短，得的最小值是的长， 故的最小值是； （2）在图2中，过B作交直线l于C，过C作轴于D， 则， ∴， ∴， ∵直线绕点A逆时针旋转得到直线l， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∴， ∴，， 当时，，当时，由得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 设直线l对应的函数表达式为， 将、代入，得，解得， ∴直线l对应的函数表达式为； （3）根据题意，当时，如图，过点作轴于，过点作，交延长线于， ， ， ， ， ， 又， ． ，， ， 点的坐标为， 将点的坐标代入得，， 解得：， 点的坐标为； 当时，过点作轴于，过点作，交延长线于， ， ， ， ， ， 又， ． ，， ， 点的坐标为， 将点的坐标代入得，， 解得：， 点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中新定义方法，添加合适辅助线构造“一线三直角”是解答的关键． 24. 如图1，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式： （2）如图2，过点作轴交二次函数图象于点，是二次函数图象上异于点的一个动点，连结、，若，求点的坐标； （3）如图3，若点是二次函数图象上位于下方的一个动点，连接交于点．是否存在点使的值最大．若存在请求出的最大值；若不存在请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）设出两点式，待定系数法求出解析式即可； （2）当点在直线的上方时，过点作轴，交的延长线于点，待定系数法求出直线的解析式，设点，则点，根据二次函数的对称性求出，根据题意求出，列出方程式，解方程求出的值，即可求出点的坐标；当点在的下方时，点和点重合，舍去； （3）作于，交于，根据，，表示出的长，根据相似三角形判定和性质即可求出的值，结合二次函数的最值即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与轴交于点、， ∴设二次函数的解析式为：， 将代入得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：如图： 当点在直线的上方时， 过点作轴，交的延长线于点， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则点， ∵， ∴对称轴为， ∴， 即， 则，， ∵， ∴， 即， 解得：， 当时，， 当时，， ∴或； 当点在的下方时， 同理得出， ∴， ∴， 此时点和点重合，故舍去， ∴或； 【小问3详解】 解：存在，如图： 作于，交于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，二次函数的对称性，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学定时练 （满分120分 时间120分钟） 温馨提示：请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！ 一、选择题：（每题3分，共30分，下列各题都有代号为A、B、C、D的四个结论供选择，其中只有一个结论是正确的，请把你认为正确结论的代号涂在答题卡上．） 1. 的倒数是（ ） A. B. 5 C. D. 2. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 网络用语“6”是比较厉害的意思，且“6”本身是一个自然数．将数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 6 如图，直线，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABOC的面积为6，边OB在x轴上，顶点A、C分别在反比例函数和的图象上，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 4 8. 我国古代数学著作《增删算法统宗》中有一首诗，其大意是：今有绢与布40定，卖得680贯钱，若……，……欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．若设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组，根据已有信息，题中用“……，……”表示的缺失条件应为（ ） A 4定绢价50贯，3定布价90贯 B. 4定绢价90贯，3定布价50贯 C. 4定布价90贯，3定绢价50贯 D. 4定布价50贯，3定绢价90贯 9. 在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（ ） A. 当石块下降时，此时石块水里 B. 当时，F拉力与之间的函数表达式为 C. 石块下降高度时，此时石块所受浮力是 D. 当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 10. 如图，是一组按照某种规律摆放成的图案，则图6中三角形的个数是（ ） A. 22 B. 20 C. 18 D. 16 二、填空题：（每题3分，共18分．请把答案填在答题纸上．） 11. 要使式子 有意义，则x的取值范围是_______． 12. 一组数据2，3，5，，6的众数是3，则这组数据的中位数是________． 13. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是_______． 14. 如图，建筑物上有一高为的旗杆，从D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则建筑物的高约为_____（结果保留小数点后一位）．（参考数据，，） 15. 关于分式方程有非负数解，则的取值范围为_______． 16. 如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论：①；②当时，；③动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则；④当时，．其中正确结论的序号是________． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．请把过程认真的书写在答题纸上．） 17. （1）计算： ． （2）先化简，再求值：，其中满足． 18. 某校体育组为了解全校学生“最喜欢的一项球类项目”，随机抽取了部分学生进行调查，下面是根据调查结果绘制的不完整的统计图．请你根据统计图回答下列问题： （1）本次调查的学生共有 人，扇形统计图中喜欢乒乓球的学生所占的百分比为 ； （2）请补全条形统计图（图2），并估计全校4000名学生中最喜欢“足球”项目的有多少人？ （3）篮球教练在制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人进行个别座谈，请用列表法或树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率． 19. 如图，直线交轴于点，交轴于点，与反比例函数的图象交于，，连接、． （1）求的值； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出时，的取值范围． 20. 如图，已知矩形（）． （1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹： ①以点为圆心，以的长为半径画弧交边于点，连接，； ②作的平分线交于点． （2）在（1）中所作出的图形中若，，求的长． 21. 晨晨家近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 新能源车 油箱容积：40升 电池电量：60千瓦时 油价：9元/升 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：千米 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用： 元 注：续航里程是指在最大的能源储备下可连续行驶的总里程． （1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用 ． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程在什么范围时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 22. 如图，在中，，平分交于点，过点和点的圆，圆心在线段上，⊙O交于点，交于点． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 23. 【模型构建】 如图，将含有45°的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， ①则点A坐标为______；点B坐标为______； ②）C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，，则的最小值是______； （2）如图2，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于B，A两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图3，直线的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线与y轴交于点D．点、Q分别是直线l和直线上的动点，点C的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 24. 如图1，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点． （1）求二次函数解析式： （2）如图2，过点作轴交二次函数图象于点，是二次函数图象上异于点的一个动点，连结、，若，求点的坐标； （3）如图3，若点是二次函数图象上位于下方的一个动点，连接交于点．是否存在点使的值最大．若存在请求出的最大值；若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$