精品解析：河南省周口市第四初级中学2024-2025学年八年级下学期第一次素养评价数学试卷

周口四中八年级下学期 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，5，6 B. 2，3，4 C. 5，12，13 D. 1，，3 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A 两直线平行同位角相等 B. 如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 C. 全等三角形对应角相等 D. 对顶角相等 6. 在平面直角坐标系中，点P（1，-3）到原点距离是（ ） A. 4 B. C. D. 无法确定 7. 如图，若正方形，的面积分别为25和16，则正方形的边长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 8. 如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的实数为（ ） A. B. C. 3 D. 9. 如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是________． 12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_______. 13. 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c且满足，那么其面积为______． 14. 如图，在边长为1的正方形网格中，两格点A、B之间的距离为d_______3．（填，或）． 15. 如图，中，，，点D是边上的一个动点，则线段的最小值为______． 三、解答题（本大题共5个小题，满分55分） 16. 计算： （1）； （2）． 17 已知，，求： （1）代数式的值； （2）代数式的值． 18. 如图，在中，，，，点D是外一点，连接，且 （1）求的长； （2）求证：是直角三角形． 19. 一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距多少海里？ 20. 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步探究】如图1，将长方形纸片ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于E，若，，求AE的长； 【拓展延伸】如图2，在长方形纸片ABCD中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线AD运动，把沿直线BE折叠，当点A的对应点F刚好落在线段BC的垂直平分线上时，直接写出运动时间（秒）的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 周口四中八年级下学期 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A. 当x<0时，不是二次根式； B. ∵2>0，∴是二次根式； C. ∵-4<0，∴不是二次根式； D. ∵根指数是3，∴不是二次根式； 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键． 2. 下列各组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，5，6 B. 2，3，4 C. 5，12，13 D. 1，，3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故不是直角三角形； B、，故不是直角三角形； C、，是直角三角形； D、，故不是直角三角形； 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式加减法和乘除法，根据二次根式的加法运算法则，二次根式减法运算法则，二次根式的除法运算法则，二次根式的乘法运算法则对每一项判断即可解答． 【详解】解：∵，∴错误，故A项不符合题意； ∵不属于同类项，无法合并，∴错误，故B项不符合题意； ∵，∴错误，故C项不符合题意； ∵，∴正确，故D项符合题意； 故选D． 4. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质可得，据此即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 5. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 两直线平行同位角相等 B. 如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 C. 全等三角形的对应角相等 D 对顶角相等 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了命题和逆命题，写出逆命题，根据已学知识进行判断即可. 【详解】解：A. 两直线平行同位角相等，逆命题是同位角相等两直线平行，逆命题成立，故选项符合题意； B. 如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数，逆命题是如果两个实数的积是正数，那么这两个实数都是正数，逆命题不成立，故选项不符合题意； C. 全等三角形的对应角相等，逆命题是如果两个三角形的三个角分别对应相等，那么这两个三角形全等，逆命题不成立，故选项不符合题意； D. 对顶角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，逆命题不成立，故选项不符合题意； 故选：A 6. 在平面直角坐标系中，点P（1，-3）到原点的距离是（ ） A. 4 B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理计算即可． 【详解】点P（1，3）到原点的距离=， 故选B． 【点睛】考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 7. 如图，若正方形，的面积分别为25和16，则正方形的边长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在图形面积中的应用．熟记勾股定理是解题关键．设正方形A、B、C的边长分别为：，由勾股定理即可求解． 【详解】解：设正方形A、B、C的边长分别为：， 由题意得：， ∴， ∴（负值舍去）． 故选A． 8. 如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的实数为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出，根据，由此即可解决问题． 本题考查了矩形的性质，实数与数轴，勾股定理，等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M， ∴， ∴点M表示的实数为， 故选：A． 9. 如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形面积求出阴影部分长和宽，再求面积即可． 【详解】解：由图可知，阴影部分的长为＝4＝3（cm）， 宽为：cm， ∴阴影部分的面积为：3×＝6（）， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是求出阴影部分的长和宽，准确运用二次根式乘法法则进行计算． 10. 已知，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知等式两边平方，利用完全平方公式展开得到，同理可得，再结合m的范围，判断的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的求值，完全平方公式，解题的关键是灵活运用完全平方公式建立两个式子之间的关系． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_______. 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的定义，二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义列方程即可求出． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， 解得： ∴． 故答案为：7． 13. 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c且满足，那么其面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的非负性，勾股定理的逆定理，先根据实数的非负性求出a，b，c，再根据勾股定理的逆定理判断这个三角形是直角三角形，然后求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 则， ∴这个三角形是直角三角形， ∴这个三角形的面积是． 故答案为：6． 14. 如图，在边长为1的正方形网格中，两格点A、B之间的距离为d_______3．（填，或）． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：点，之间的距离， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 15. 如图，中，，，点D是边上的一个动点，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，勾股定理，以及三角形的面积．先利用三线合一求出，再利用勾股定理求出，然后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】如图，作于点H， ∵， ∴， ∴． 由垂线段最短可知，当时，线段的值最小． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，满分55分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0；（2）6 【解析】 分析】（1）分别化简各项，再作加减法； （2）利用平方差公式展开，再计算． 【详解】解：（1） = =0； （2） = = =6 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则，尤其注意平方差公式的运用． 17. 已知，，求： （1）代数式的值； （2）代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式即可得答案； （2）由于，方便运算，故可考虑将代数式化为含和的项，再整体代入和的值，进行代数式的求值运算． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 由已知： ， ， 故：原式． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，由于直接代入计算复杂容易出错，因此可考虑整体代入，本题考查了整体代入的思想． 18. 如图，在中，，，，点D是外一点，连接，且 （1）求的长； （2）求证：是直角三角形． 【答案】（1）5 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理， （1）在中，根据勾股定理即可求得的长； （2）利用勾股定理逆定理即可证明是直角三角形． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴． 【小问2详解】 证明：∵在中，， ∴是直角三角形． 19. 一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距多少海里？ 【答案】30海里 【解析】 【详解】试题分析：根据题意画出图形，根据题目中AB、AC的夹角可知它为直角三角形，然后根据勾股定理解答． 试题解析： 如图， ∵由图可知AC=16×1.5=24海里，AB=12×1.5=18海里， 在Rt△ABC中，BC=. 20. 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步探究】如图1，将长方形纸片ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于E，若，，求AE的长； 【拓展延伸】如图2，在长方形纸片ABCD中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线AD运动，把沿直线BE折叠，当点A的对应点F刚好落在线段BC的垂直平分线上时，直接写出运动时间（秒）的值． 【答案】6；2.5或10 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，熟练掌握长方形的性质，折叠的性质和勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理得出，则可得出答案； （2）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当点在长方形外部时，折叠的性质得，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）由题意得，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 在中，根据勾股定理，，即， 解得， 即的长为6； （2）∵四边形长方形， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， ∵点在线段的垂直平分线上， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得： 设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， 即的长为5， ； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：， 同①得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， 即的长为20， 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的值为2.5或10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $